Demostraciones de teoremas acerca de límites

Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.

1. Demostraciones de teoremas acerca de límites de
productos, cocientes, potencia, y raíces de
funciones
December 18, 2014
Abstract
Éstas son mis propias demostraciones; no sé si coinciden con aquellas que
vienen en los libros de texto. Puede que sean menos inspiradas–¡ojalá no sean
equivocadas!–pero creo que dan más comentarios aclaratorios, y que tratan con
mayor extensión las dudas e inquietudes comunes, de los alumnos.
1 Comentarios preliminares
1.1 La motivación por desarrollar teoremas acerca de límites de
funciones "compuestos"
Digamos que tuviéramos que demostrar
lim
x!3
s
p
5x
2
+ 4 + 2
3
p
x
4
4x5 + 12
=
3
4
: (1.1)
Según la norma que aceptaron los matemáticos del Siglo XIX, para demostrar que
lim
x!a
u(x) =Les necesario y suciente demostrar que para cualquier número positivo
, por mínimo que sea, existe un número positivo!tal que sijxaj< !, entonces
jf(x)Lj< . Es decir, para todos los valores dextales quea! < x < a+!, se
verica queL < u(x)< L+.
1
Obviamente, sería pesada tarea hacer una demostración tal, para la función presen-
tada en (1.1). Pero, ¿qué alternativa habría? Al examinar (1.1), se nota que la función
consta de "componentes" que son funciones en sí mismos. Por ejemplo,5x
2
. Po-
dríamos conjeturar que el límite de la función presentada en (1.1) es alguna función
de los respectivos límites de sus "componentes". De ser cierta, esta idea simplicaría
1
De costumbre, las demostraciones que tratan límites usan los símbolosy, respectivamente, en vez de
!y. Nosotros los usaremos también, en apartados posteriores.
2
Sin embargo, no es necesario usar una técnica exclusivamente algebraica para hacerlo. Por ejemplo, se
emplean argumentos y razonamientos mas bien geométricos para demostrarlim
x!0
senx
x
= 1:
1

2. en mucho la tarea de demostrar que el límite es—o quenoes—
3
4
. Esta posibilidad
es la motivación por intentar desarrollar cierta "estuche" de teoremas acerca de límites
"compuestos".
1.2 Los teoremas que se demostrarán en este documento
De los siguientes 8 teoremas, se demostrarán números 3 hasta 8, en los cualesnes
un entero positivo,kes un número real, y los límites de las funcionesf(x)yg(x)
conformexse aproxima al valorasí, existen, y sonLfyLgrespectivamente.
1.lim
x!a
k=k
2.lim
x!c
x=c
3.lim
x!a
[kf(x)] =klim
x!a
f(x) =kLf
4.lim
x!a
[f(x)g(x)] = lim
x!a
f(x)lim
x!a
g(x) =LfLg
5.lim
x!a
[f(x)g(x)] =
h
lim
x!a
f(x)
i h
lim
x!a
g(x)
i
=LfLg
6.lim
x!a

f(x)
g(x)

=
lim
x!a
f(x)
lim
x!a
g(x)
=
Lf
Lg
7.lim
x!a
[f(x)]
n
=
h
lim
x!a
f(x)
i
n
= [Lf]
n
8.lim
x!a
h
n
p
f(x)
i
=n
q
lim
x!a
f(x) =
n
p
Lf
1.3 Un poco acerca de la estrategia que se usará para demostrar
los teoremas
En el apartado, se mencionó que para demostrar lim
x!a
u(x) =Les necesario y
suciente demostrar que para cualquier número positivo, por mínimo que sea, existe
un número positivo!tal que sijxaj< !, entoncesjf(x)L)j< . Por lo tanto
(usando Teorema 3 a modo de ejemplo, y empleando los símbolos habitualesy),
procuraremos demostrar que para cualquier número positivo, por mínimo que sea,
existe un número positivotal que sijxaj< , entoncesjkf(x)kLj< .
3
Por otro lado, los enunciados de los teoremas para demostrar tienen la forma "Si
lim
x!a
f(x)existe y esLf, entonces...". Así que en en las demostraciones, podremos
tomar por sentadolo todo de lo que "lim
x!a
f(x) =Lf" implica. A saber, podemos
tomar por sentado que para cualquier número positivo, por mínimo que sea, existe
3
Una vez demostrados los primeros Teoremas, se procurará, de ser posible, trasformar, a través de man-
iobras algebraicas, las declaraciones de los demás en formas que posibiliten el uso de las conclusiones de los
primeros.
2

3. un número positivo!tal que sijxaj< !, entoncesjf(x)L)j< . Amén de
g(x) =Lg.
Porque las normas se expresan en la forma de desigualdades, se presentan a con-
tinuación unos cuantos teoremas importantes acerca de ellas en los cualesb,c, ydson
cualesquier números reales:
1.jbcj jbj+jcj
2. d >0, sib > c, entoncesbd > cd.
3. d <0, sib > c, entoncesbd < cd:Por ejemplo,2<7,
pero(7) (5)<(2) (5).
2 Las demostraciones
2.1 Teorema 3:lim
x!a
[kf(x)] =klim
x!a
f(x) =kLf
Sik= 0, el teorema se reduce al Teorema 1 del Apartado. Ahora, tratamos el caso
k6= 0. Dado quelim
x!a
f(x) =Lf, existe >0tal quejf(x)Lfj<

jkj
sijxaj<
. En consecuencia, la existencia del mismoasegura quejkf(x)kLfj< . Con
esto, queda demostrado el teorema.
Nótese que para el casok <0, es necesario usar algunos de los teoremas acerca de
desigualdades (Apartado) para llegar a esta conclusión a partir de jf(x)Lfj<
jkj.
2.2 Teorema 4:lim
x!a
[f(x)g(x)] = lim
x!a
f(x)lim
x!a
g(x) =LfLg
Dado quelim
x!a
f(x) =Lfylim
x!a
g(x) =Lg, existe >0tal que sijxaj< ,
entoncesjf(x)Lfj<

2
yjg(x)Lgj<

2
. Para dicho valor de,
jf(x)Lfj+jg(x)Lgj<

2
+

2
:
Porque para cualesquier dos números realesbycse verica quejbcj jbj+jcj,
j[f(x)Lf][g(x)Lg]j< :
Reorganizamos esta última para obtener
j[f(x)g(x)][LfLg]j< :
Por lo tanto, la misma existencia de untal quejf(x)Lfj<

2
yjg(x)Lgj<

2
parajxaj< asegura quej[f(x)g(x)][LfLg]j< . Con esto, queda
demostrado el teorema.
3

4. 2.3 Teorema 5:lim
x!a
[f(x)g(x)] =
h
lim
x!a
f(x)
i h
lim
x!a
g(x)
i
=LfLg
Este teorema es clave, porque se usará para demostrar Teoremas 6 y 7, mismo que
se usarán para demostrar Teorema 8. Comenzamos por explorar un poco. Dado que
lim
x!a
f(x) =Lfylim
x!a
g(x) =Lg, para cualquier número positivoexiste un número
positivo!tal que sijxaj< !, entoncesjf(x)Lfj< yjg(x)Lgj< . Por
lo tanto, para dicho valor de!,+Lf< f(x)<+Lf, y+Lg< g(x)<
+Lg.
Podríamos pensar que como consecuencia, la una o la otra de las siguientes rela-
ciones debe ser cierta:
[+Lf] [+Lg]<[f(x)] [g(x)]<[+Lg] [+Lg]
ó
[+Lf] [+Lg]<[f(x)] [g(x)]<[+Lg] [+Lg]:
Es decir–para expresarlo de forma más general–fácilmente podríamos pensar que si
u < v < wyp < q < r, entoncesjupj<jvqj<jwrj. Pero esta idea es equivocada.
Por ejemplo,0:99<1<1:01y1:01<1<0:99pero no es cierto que
j(0:99) (1:01)j<j(1) (1)j<j(1:01) (:99)j.
En vista de lo susodicho, para demostrar este teorema, tal vez sea mejor no seguir
la estrategia usual. O sea, la de demostrar que para cualquier número positivo,
por mínimo que sea, existe un número positivotal que sijxaj< , entonces
j[f(x)] [g(x)]LfLgj< . Por lo tanto, a continuación se usará una especie de la
demostración por contradicción.
Primero, supongamos quelim
x!a
[f(x)g(x)] =L;conL 6=LfLg. Ahora, sea
un número lo sucientemente cercano alacomo para que sijxaj , entonces los
valores absolutos dejf(x)Lfj;jg(x)Lgj, yjf(x)g(x) Ljpueden hacerse
menor que cualquier número positivo, por pequeño que sea. Por los hipótesis acerca
de los respectivos límites, deben existir númerosy, no necesariamente positivos,
tales quef() =Lf+yg() =Lg+. Por lo tanto, podemos escribir
f()g() =LfLg+Lg+Lf+;
y
f()g() L= [LfLg L] + [Lg+Lf+]:
Para quejf()g() Ljpueda hacerse menor que cualquier número positivo con-
formex!a, es necesario quejjojj–o ambos–notiendan a cero conformex!a.
Por lo tanto, el supuestolim
x!a
[f(x)g(x)] =L;conL 6=LfLgcontradice el hipóte-
sis. (Es decir, imposibilita quelim
x!a
f(x) =Lfylim
x!a
g(x) =Lg:) Por consiguiente,
lim
x!a
[f(x)g(x)] =
h
lim
x!a
f(x)
i h
lim
x!a
g(x)
i
=LfLg.
4

5. 2.4 Teorema 6:lim
x!a
h
f(x)
g(x)
i
=
lim
x!a
f(x)
lim
x!a
g(x)
=
Lf
Lg
Escribiremos
f(x)
g(x)
comof(x)

1
g(x)

, para luego usar Teorema 5. Pero también,
tenemos que demonstrar quelim
x!a

1)
g(x)

=
1
lim
x!a
g(x)
=
1
Lg
.
Porque
g(x)
g(x)
= [g(x)]

1
g(x)

;Teorema 5 nos dice quelim
x!a

g(x)
g(x)

=
h
lim
x!a
g(x)
i

lim
x!a
1
g(x)

=
Lg

lim
x!a
1
g(x)

:Pero también,lim
x!a

g(x)
g(x)

= lim
x!a
1 = 1(Teorema 1). Por lo tanto,
Lg

lim
x!a
1
g(x)

= 1, por lo quelim
x!a

1
g(x)

=
1
Lg
;con tal queLg6= 0.
Ahora, podemos escribirlim
x!a

f(x)
g(x)

=
h
lim
x!a
f(x)
i

lim
x!a
1
g(x)

=Lf

1
Lg

=
Lf
Lg
;con tal queLg6= 0.
2.5 Teorema 7:lim
x!a
[f(x)]
n
=
h
lim
x!a
f(x)
i
n
= [Lf]
n
Porquenes un entero positivo, podemos escribir[f(x)]
n
como el producto den
factoresf(x), para luego aplicar Teorema 5 repetidas veces, y de esta forma de-
mostrar quelim
x!a
[f(x)]
n
es el producto denfactores
h
lim
x!a
f(x)
i
. Es decir, que
lim
x!a
[f(x)]
n
=
h
lim
x!a
f(x)
i
n
= [Lf]
n
.
Para encontrar una demostración alternativa, exploremos un poco. Dado quelim
x!a
f(x) =
Lf, existe! >0tal que para cualquier >0,+Lf< f(x)< +Lfsijxaj<
!. Por no saber el signo algebraico deLf, no podemos decir que[+Lf]
n
<
[f(x)]
n
<[+Lf]
n
, pero sí, quej[f(x)]
n
j<min ([+Lf]
n
;[+Lf]
n
).
4
En
consecuencia, la una o la otra de las siguientes desigualdades es correcta:
[+Lf]
n
<[f(x)]
n
<[+Lf]
n
ó
[+Lf]
n
<[f(x)]
n
<[+Lf]
n
:
Supongamos que la primera es la correcta. (La lógica a seguir sería igual, si
eligiéramos la segunda.) Las expansiones de[+Lf]
n
y[+Lf]
n
contienen el
término[Lf]
n
, más otros términos que tienen, todos, el factor. En consecuencia, con
escribir
[+Lf]
n
[Lf]
n
<[f(x)]
n
[Lf]
n
<[+Lf]
n
[Lf]
n
; (2.1)
4
min (u; v)es el menor de los dos números, o su valor común siu=v.
5

6. el valor[f(x)]
n
[Lf]
n
queda acotado hacia arriba y hacia abajo por números que–por
tenercomo un factor–se pueden minimizar hasta el punto que uno quiera, por dis-
minuir el valor de!. Por lo tanto, podemos demostrar quelim
x!a
[f(x)]
n
=
h
lim
x!a
f(x)
i
n
=
[Lf]
n
a través de la siguiente serie de declaraciones:
1. ;
j[f(x)]
n
[Lf]
n
j<min (j[+Lf]
n
[Lf]
n
j;j[+Lf]
n
[Lf]
n
j).
2. !para dar unatal quemin (j[+Lf]
n
[Lf]
n
j;j[+Lf]
n
[Lf]
n
j)<
, se asegura quej[f(x)]
n
[Lf]
n
j< :
3.lim
x!a
f(x) =Lfasegura que sí, existe el valor necesario, de!.
4. lim
x!a
[f(x)]
n
=
h
lim
x!a
f(x)
i
n
= [Lf]
n
.
2.6 Teorema 8:lim
x!a
h
n
p
f(x)
i
=n
q
lim
x!a
f(x) =
n
p
Lf
Se usará Teorema 7. Primero, escribimosf(x) =
h
n
p
f(x)
i
n
. Ahora, apoyándonos
en Teorema 7, escribimoslim
x!a
f(x) =
h
lim
x!a
n
p
f(x)
i
n
. Por lo tanto,lim
x!a
n
p
f(x) =
n
q
lim
x!a
f(x) =
n
p
Lf.
Y ahora, ¿quiere Ud. usar los Teoremas para demostrar
lim
x!3
s
p
5x
2
+ 4 + 2
3
p
x
4
4x5 + 12
=
3
4
?
6