Derivação com logaritmo
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Nov 05, 2018
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Exercícios resolvidos utilizando logaritmos como alternativa para a regra da cadeia para derivada de funções.
Slide Content
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Derivação Logarítmica
Contato: [email protected]
Escrito por Diego Oliveira Publicado em 08/07/2015 Atualizado em 31/10/2018
O que é?
A derivação logarítmica é uma técnica usada para facilitar a derivada de funções
mais complexas.
O que preciso saber?
Basicamente as propriedades operatórias dos logaritmos.
A: ln(AB) = ln(A)+ln(B);
A: ln
A
B
= ln(A)ln(B);
A: ln(A)
3
=3ln(A).
oBS.: Apesar da derivação logarítmica ser uma boa ferramenta prática, normal-
mente ela pode ser dispensada.
Exemplo 1:Encontre a derivada deJ= (+)
(
)
.
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
ln(y) = ln((+)
(
)
)
usandoA
ln(y) = ln(+)
+ ln(
)
usandoA
ln(y) = 5ln(+)+ 6ln(
)
1
Exercícios Resolvidos: Derivação Logarítmica
Contato: [email protected]
Escrito por Diego Oliveira Publicado em 08/07/2015 Atualizado em 31/10/2018
O que é?
A derivação logarítmica é uma técnica usada para facilitar a derivada de funções
mais complexas.
O que preciso saber?
Basicamente as propriedades operatórias dos logaritmos.
A: ln(AB) = ln(A)+ln(B);
A: ln
A
B
= ln(A)ln(B);
A: ln(A)
3
=3ln(A).
oBS.: Apesar da derivação logarítmica ser uma boa ferramenta prática, normal-
mente ela pode ser dispensada.
Exemplo 1:Encontre a derivada deJ= (+)
(
)
.
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
ln(y) = ln((+)
(
)
)
usandoA
ln(y) = ln(+)
+ ln(
)
usandoA
ln(y) = 5ln(+)+ 6ln(
)
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
derivando a equação anterior
J
5J
5
=
‚
+
+
Œ
)
5J
5
=
‚
+
+
Œ
J
ComoJ= (+)
(
)
então:
5J
5
=
‚
+
+
Œ
((+)
(
)
)
Exemplo 2:Encontre a derivada deJ=
D6?
()E8
()
(
+)
.
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
?(J) =?
‚
D6?
()E8
()
(
+)
Œ
usandoA
?(J) =?(D6?
()E8
())-?(
+)
)
usandoA
?(J) =?(D6?
()) +?(E8
())?(
+)
)
usandoA
?(J) =?(D6?()) +?(E8())?(
+))
2
derivando a equação anterior
J
5J
5
=
‚
+
+
Œ
)
5J
5
=
‚
+
+
Œ
J
ComoJ= (+)
(
)
então:
5J
5
=
‚
+
+
Œ
((+)
(
)
)
Exemplo 2:Encontre a derivada deJ=
D6?
()E8
()
(
+)
.
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
?(J) =?
‚
D6?
()E8
()
(
+)
Œ
usandoA
?(J) =?(D6?
()E8
())-?(
+)
)
usandoA
?(J) =?(D6?
()) +?(E8
())?(
+)
)
usandoA
?(J) =?(D6?()) +?(E8())?(
+))
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
derivando a equação anterior
J
5J
5
=
‚
4@D()
D6?()
+
D64
()
E8()
+
Œ
)
5J
5
=
‚
4@D()
D6?()
+
D64
()
E8()
+
Œ
J
ComoJ=
D6?
()E8
()
(
+)
então:
5J
5
=
‚
4@D()
D6?()
+
D64
()
E8()
+
Œ ‚
D6?
()E8
()
(
+)
Œ
Exemplo 3:Encontre a derivada deJ=
.
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
?(J) =?(
)
usandoA
?(J) =?()
derivando a equação anterior
J
5J
5
=?() +
)
5J
5
= (?() +)J
ComoJ=
então:
5J
5
=
?() +
3
derivando a equação anterior
J
5J
5
=
‚
4@D()
D6?()
+
D64
()
E8()
+
Œ
)
5J
5
=
‚
4@D()
D6?()
+
D64
()
E8()
+
Œ
J
ComoJ=
D6?
()E8
()
(
+)
então:
5J
5
=
‚
4@D()
D6?()
+
D64
()
E8()
+
Œ ‚
D6?
()E8
()
(
+)
Œ
Exemplo 3:Encontre a derivada deJ=
.
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
?(J) =?(
)
usandoA
?(J) =?()
derivando a equação anterior
J
5J
5
=?() +
)
5J
5
= (?() +)J
ComoJ=
então:
5J
5
=
?() +
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 4:Encontre a derivada deJ=
D6?()
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
?(J) =?(
D6?()
)
usandoA
?(J) =D6?()?()
Derivação a equação anterior implicitamente em relação a
J
5J
5
=4@D()?() +
D6?()
5J
5
=
4@D()?() +
D6?()
J
ComoJ=
D6?()
então:
5J
5
=
4@D()?() +
D6?()
D6?()
Exemplo 5:Encontre a derivada deJ=4@D()
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
ln(J) = ln4@D()
usandoA
?(J) =?(4@D())
Aplicando a regra da cadeia ao lado direito e derivação implícita do lado esquerdo
J
5J
5
=?(4@D())E8()
4
Exemplo 4:Encontre a derivada deJ=
D6?()
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
?(J) =?(
D6?()
)
usandoA
?(J) =D6?()?()
Derivação a equação anterior implicitamente em relação a
J
5J
5
=4@D()?() +
D6?()
5J
5
=
4@D()?() +
D6?()
J
ComoJ=
D6?()
então:
5J
5
=
4@D()?() +
D6?()
D6?()
Exemplo 5:Encontre a derivada deJ=4@D()
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
ln(J) = ln4@D()
usandoA
?(J) =?(4@D())
Aplicando a regra da cadeia ao lado direito e derivação implícita do lado esquerdo
J
5J
5
=?(4@D())E8()
4
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
)
5J
5
=(?(4@D())E8())J
comoJ=4@D()
então:
5J
5
=(?(4@D())E8())4@D()
Exemplo 6:Encontre a derivada deJ=E8()
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
?(J) =?E8()
usandoA
?(J) = ()?(E8())
Aplicando a regra da cadeia ao lado direito e derivação implícita do lado esquerdo
J
5J
5
=
‚
?(E8()) +
4@DD64
()
E8()
Œ
)
5J
5
=
‚
?(E8()) +
4@DD64
()
E8()
Œ
J
ComoJ=E8()
então:
5J
5
=
‚
?(E8()) +
4@DD64
()
E8()
Œ
E8()
5
)
5J
5
=(?(4@D())E8())J
comoJ=4@D()
então:
5J
5
=(?(4@D())E8())4@D()
Exemplo 6:Encontre a derivada deJ=E8()
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
?(J) =?E8()
usandoA
?(J) = ()?(E8())
Aplicando a regra da cadeia ao lado direito e derivação implícita do lado esquerdo
J
5J
5
=
‚
?(E8()) +
4@DD64
()
E8()
Œ
)
5J
5
=
‚
?(E8()) +
4@DD64
()
E8()
Œ
J
ComoJ=E8()
então:
5J
5
=
‚
?(E8()) +
4@DD64
()
E8()
Œ
E8()
5
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Este trabalho está licenciado com uma
Licença Creative Commons -
Atribuição-NãoComercial-
CompartilhaIgual 4.0 Internacional.
Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por
isso, certique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do
mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos
de matemática, acesse:www.number890.wordpress.com
Para aulas particulares, digitação de texto em LAT
E
Xe resolução de listas de exer-
cícios entre em contato.
?336568@8>4@> 463@@<4@>E96#>36C)JA6?>36C@C5AC6DD4@>
6
Este trabalho está licenciado com uma
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CompartilhaIgual 4.0 Internacional.
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isso, certique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do
mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos
de matemática, acesse:www.number890.wordpress.com
Para aulas particulares, digitação de texto em LAT
E
Xe resolução de listas de exer-
cícios entre em contato.
?336568@8>4@> 463@@<4@>E96#>36C)JA6?>36C@C5AC6DD4@>
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