Derivada Direccional

1. Derivada direccional
jseniu

cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
Denotada por:
t
yxfsentytxf
yxfD
t
u
),(),cos(
lim),(
0





),(yxfD
u
 se define como
siempre que ese límite exista.

2. Interpretación geométrica de la
derivada direccional
 ),(/),,( yxfzzyx 
C
 ),(,, bafba








zz
sentby
tax



cos
:
u


3. x
y
a
f(a, b)
f(a+dx, b)
a+dx
Plano
t
baftsenbtaf
t
bafyxf
m
),(),cos(
),(),(
sec





Interpretación geométrica de la
derivada direccional
(a, b) (x, y)
f (x, y)
t
   tbyax 
22

4. x
y
a
f(a, b)
f(a+dx, b)
a+dx
Plano
t
baftsenbtaf
m
t
tag
),(),cos(
lim
0




tagu
mbafD ),(
Interpretación geométrica de la
derivada direccional
(a, b) (x, y)
f (x, y)
t

5. Interpretación geométrica de la
derivada direccional

6. Derivada direccional
jseniu

cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
 senyxfyxfyxfD
yxu
),(cos),(),( 

7. Demostración de la forma de
cálculo de la derivada direccional
Fijado un punto (a, b) y sea
 senyxfyxftg
yx
),(cos),()( 
Por ser f una función diferenciable de x e y,
podemos aplicar la regla de la cadena.
Si t=0
 sentbytax  ;cos
),()( yxftg
)(),()(),()( tyyxftxyxftg
yx

 senbafbafg
yx
),(cos),()0( 

8. Demostración de la forma de
cálculo de la derivada direccional
Por otro lado
),(
),(),cos(
lim
)0()(
lim)0(
0
0
bafD
t
bafsentbtaf
t
gtg
g
u
t
t








 senbafbafg
yx
),(cos),()0( 
Por lo tanto
 senbafbafbafD
yxu
),(cos),(),( 

9. Gradiente de una función de dos
variables
),(yxf

Sea z=f (x, y) una función de x e y, tal que f
x
y f
y
existen. Se llama gradiente de f, al vector
Se “lee delta de f ”
Otra notación
f

),(yxfgrad
jyxfiyxfyxf
yx

),(),(),( 
Es un vector del plano xy

10. Forma alternativa de la derivada
direccional
jseniu

cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
uyxfyxfD
u

  ),(),(

11. Propiedades del Gradiente
),(),(demáximovalorEl
).,(pordada
vienededirecciónLa
yxfesyxfD
yxf
fdeocrecimientmáximo
u 




Sea z=f (x, y) una función diferenciable en el punto
(x, y)
uyxfyxf

 todopara0),(Dentonces0),(Si
u 

12. Propiedades del Gradiente
),(),(demínimovalorEl
).,(pordada
vienededirecciónLa
yxfesyxfD
yxf
fdeocrecimientmínimo
u 




entonces es normal a la curva de nivel que pasa
por (x
0
, y
0
)
0),(
00

 yxf
Sea z=f (x, y) una función diferenciable en el punto (x
0
, y
0
) y
),(
00
yxf


13. Derivada direccional máxima

14. Derivada direccional para
funciones de tres variables
kcjbiau


Si f es una función diferenciable de x, y, z su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
),,(),,(),,(),,( zyxfczyxbfzyxafzyxfD
zyxu 
1u


15. Gradiente de una función de tres
variables
Sea w = f (x, y, z) una función de x, y,y z tal que f
x,
,
f
y
y

f
z
existen. Se llama gradiente de f, al vector
kzyxfjzyxfizyxfzyxf
zyx

),,(),,(),,(),,( 
uzyxfzyxfD
u

  ),,(),,(
La derivada direccional en términos del gradiente

16. Propiedades del gradiente de una
función de tres variables
uzyxfzyxf

 todopara0),,(Dentonces0),,(Si
u 
),,(),,(demáximovalorEl
).,,(pordada
vienededirecciónLa
zyxfeszyxfD
zyxf
fdeocrecimientmáximo
u 




entonces es normal a la superficie de nivel que
pasa por (x
0, y
0,z
0)
0),,(
000

 zyxf
Sea u=f (x, y,z) una función diferenciable en el punto (x
0
, y
0
,z
0
) y
),,(
000
zyxf
