Derivada direccional

Matematica 3 Derivada direccional concepto y ejemplos

1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño ” Derivada Direccional Alumno: Jesús Obeyeiro Sánchez Dávila C.I.:27.094.327 Profesor: Cristóbal Espinoza

2. Índice Introducción……………………………………………………3 Derivada direccional………………………………………..4 Definición solo en la dirección de un vector…….6 Demostración………………………………………………….7 Propiedades…………………………………………………….9 Campos vectoriales……………………………………….10 Funcionales y diagrama de curvas…………………11 Ejemplo…………………………………………………………12 Conclusión…………………………………………………….13 Bibliografía…………………………………………………….14

3. Introducción Cuando se define la derivada en una dimensión  su interpretación geométrica es sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función h( x,y ) que representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos situamos en un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una, sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en cualquier dirección intermedia. La cosa es aun más complicada para campos escalares, dependientes de las tres coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué significa una pendiente. Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse de una forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de una dirección determinada, pero nada más.

4. Derivada Direccional En   análisis matemático, la derivada direccional ( o bien  derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.

5. La derivada direccional de una  función real de n variables: F(x)= f( x ₁,x ₂,…,x ̯) En la derivación del vector v=( v₁,v ₂,…,v ̯) Es la función definida por el limite Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su  gradiente h → Donde “." denota el  producto escalar  o producto punto entre vectores. En cualquier punto x , la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por en dicho punto.

6. Definición solo en la dirección de un vector Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso : Si la función es diferente, entonces: Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector de  norma  definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de f  por unidad de distancia.int a,b,c ; a+b =c Restricción al vector unitario: Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a un vector unitario.   Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en una misma.

7. Demostración El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supóngase que existe una  función diferenciable z = ƒ( x,y ). La derivada direccional según la dirección de un vector unitario es: El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio  lo cual lleva, por ser diferenciable la función   f , a:

8. Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que: Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar  del gradiente por el vector Notaciones alternas: La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos: Donde V es la parametrización de una curva para la cual V es tangente y la cual determina su magnitud

9. Propiedades Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas  se mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones ƒ y g definidas en la vecindad de un punto p , donde son diferenciables: Regla de la suma: Regla del factor constante: donde  c  es cualquier constante. Regla del producto  (o regla de Leibniz): Regla de la cadena: Si g es diferenciable en el punto p y h es diferenciable en g(p) , entonces:

10. Campos vectoriales El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de en , del tipo: En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una variable: Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación: Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano :  

11. Funcionales La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux , es de hecho una derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de funciones. Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación mostrando el vector gradiente en negro, y el vector unitario  escalado por la derivada direccional en la dirección de en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de una función.

12. Derivada direccional ejemplo

13. Conclusión De todo lo anterior se concluye principalmente que funciones reales de tres o más variables reales son las que más aparecen en ingeniería. Además, los conceptos son más fáciles de interpretar en el espacio tridimensional ordinario, lo que hace didácticamente aconsejable dentar la atención sobre las funciones reales de tres variables reales. Pero los resultados son validos para cualquier número de variables. Cada vector del espacio ordinario tiene un módulo y una dirección. Cuando se fija un vector dr =( dx,dy,dz ) = dxi + dyj + dzk dando valores concretos a dx,dy,dz , se fija su módulo y su dirección. Cada valor de la diferencial de la función f en un punto (x, y,z ) es el producto escalar de su gradiente en ese punto por un vector dr , es decir, En cada punto (x, y,z )el gradiente ∇f es fijo, tiene un valor concreto; pero el vector dr puede ser cualquiera; puede tener cualquier módulo y cualquier dirección.

14. Bibliografía https://es.slideshare.net/YeniferPernia/derivada-direccional-77894710 https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_direccional http://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivada_direccional http://electricidad.usal.es/Principal/Circuitos/Comentarios/Temas/ConceptoGradiente.pdf