Derivada Implicita y orden superior 2012.ppt

Derivadas implicitas

1. 1
Derivación implícita.
Derivación implícita de segundo
orden.

2. 2
Derivación Implícita
Lamayorpartedelasfuncionesquehemosencontradohastaahorase
puedenescribirexpresandounavariableexplícitamenteentérminosdeotra
variable,porejemplo:y=(x
2
+2)
3
oy=xe
x
o,engeneral,y=f(x).
Sinembargo,algunasfuncionessedefinenimplícitamentepormediodeuna
relaciónentrexey,comoporejemplo:x
2
+y
2
=25
Enalgunoscasos,esposibleresolverunaecuacióndeestetipoparaycomouna
función(ovariasfunciones)explícitasdex. 
2 2 2
22
De 25 25 obtenemos dos funciones:
25 y 25
x y y x
f x x g x x
     
    

3. 3
Derivación Implícita
Por fortuna no es necesario resolver una ecuación para y en términos de x con el fin de
hallar y’. En lugar de ello, podemos aplicar el método de la derivación implícita. Este
consiste en derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x, y a continuación
resolver la ecuación resultante para y’
Ejemplo22
22
a) Si 25, encuentre
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente al círculo
25 en el punto (3,4)
dy
xy
dx
xy



4. 4
a) Derive ambos miembros de la ecuación.
22
22
25
0 2 2 0
dd
xy
dx dx
d d dy
x y x y
dx dx dx


       
    dy x
y
dx y

   3,4
3
4
y 
Solución
Recuerde que y es una función
X, aplique la regla de la cadena
b) En el punto (3,4) tenemos x=3 y y=4 de modo que:
Por lo tanto, una ecuación de la tangente al
Círculo en (3,4) es:
3
4 3 3 4 25
4
y x x y      

5. 5
Necesitamosencontrarlapendientey’.Puestoquenopodemosresolver
paray,usamosladiferenciaciónimplícita.Derivamoscadatérminode
laecuación.
Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva
dada por la ecuación x
2
+xy+y
2
=7 en el punto (-1,2) .22
7 2 2 0
dy dy
x xy y x x y y
dx dx

       

  
2 2 0
22
2
2
dy dy
x x y y
dx dx
dy
yxyx
dx
dy y x
y
dx y x
    
  

  
 


1,2
2 2 1 4
2 2 1 5
y


  
  
Ejercicio

6. 64
5
m
Recta tangente:
4
21
5
yx   44
2
55
yx   4 14
55
yx Recta normal:
5
21
4
yx    55
2
44
yx    53
44
yx  
EJERCICIO(Continuación………)

7. 7
Ejercicio propuesto
Determine la ecuación de la recta normal a la gráfica de ecuación
xy
3
-x
5
y
2
=4en el punto (1,2)
2
2 3 ln 4 lnq p q p    dq
dp   
 2/ 1
2 3 2ln 4 ln 2 3
4
pp
dq dpdq
D q p D q p
dp q p
         

  
 
 

1 1 3
3
1 3 4 1 3 421
23
2 2 8 24 2 6 2 3
2
44
p
p q p qdq dq pp
qdp q p dp p q p q
qq


   
       

   

Laecuacióndelademandaparaciertoproductoes:
expresarladerivadadeqconrespectoap,esdecir

8. 8
Derivada de orden superior
Si la función fes diferenciable, entonces su derivada f’se llama la
primera derivada de f. Si la función f’es diferenciable, entonces su
derivada f” se llama la segunda derivada de fy así sucesivamente….
Laderivadadeunafunciónenunpunto,esunamedidadelainclinacióndelarecta
tangenteenelpuntoconsiderado.Ahoranecesitamosmedircuánseparadoestáel
gráficodelafuncióndesurectatangente.Porejemplo,lastangenciasdelascurvas
y=x
2
;y=x
3
,y=x
4
conlarectay=0sonmuydiferentes.Loquerealmentequeremos
medirescómosecurvaelgráficodefenunavecindaddelpuntodetangencia.

9. 9
Derivada de orden superior
Las derivadas de orden superior se denotan mediante: 
 
 
22
2
22
33
3
33
Primera derivada ´, ´( ), , ( ) ,
Segunda derivada ´´, ´´( ), , ( ) ,
Tercera derivada ´´´, ´´´( ), , () ,
Cuarta derivad
x
x
x
dy d
y f x f x D y
dx dx
d y d
y f x f x D y
dx dx
d y d
y f x f x D y
dx dx
 
 
44
(4) (4) 4
44
( ) ( )
a , ( ), , ( ) ,
..................................
n-ésima derivada , ( ), , ( ) ,
x
nn
n n n
xnn
d y d
y f x f x D y
dx dx
d y d
y f x f x D y
dx dx

10. 10
Ejemplo32
2
(4) (5)
1. Sea ( ) 2 5 3 1 sus derivadas de orden superior son
( ) 6 10 3
( ) 12 10 ( ) 12 ( ) 0 ( ) 0
y todas las siguientes.
f x x x x
f x x x
f x x f x f x f x
   
   
          42
2 6 7 2y x x x    3
3
''' 48
dy
yx
dx
  
2. Considere la función
y demuestre que:

11. 112
32
2
Encontrar si 2 3 7
dy
xy
dx
 32
2 3 7xy 2
6 6 0x y y 2
6 6y y x   2
6
6
x
y
y


 2
x
y
y
 2
2
2y x x y
y
y

 2
2
2xx
yy
yy
  2 2
2
2xx
y
yy
x
y
    4
3
2xx
y
yy

Derivada implícita de segundo orden
Derivando implícitamente:Derivando y’como un cuociente:
Reemplace el
contenido el y’