Derivadas e integrales

1. Cap¶³tulo 4
Derivadas e Integrales
4.1. Introducci¶on a la derivaci¶on
En este cap¶³tulo presentaremos los conceptos m¶as b¶asicos del c¶alculo diferencial e
integral. Este cap¶³tulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata con
el concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral.
Adem¶as, se ver¶a el nexo que existe entre ambos conceptos a trav¶es de un muy importante
teorema.
4.1.1. Derivada de una funci¶on
Si tuvi¶esemos que de¯nir a la derivada de una funci¶on en pocas palabras, dir¶³amos
que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funci¶on nos dice, de
alguna manera, cu¶anto cambia la funci¶on(variable dependiente) a medida que cambia la
variable independiente. La derivada de una funci¶on nos dir¶a si una funci¶on crece o decrece
r¶apidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funci¶on, mejor
comenzaremos describiendo el signi¯cado geom¶etrico que tiene, para luego de¯nirla m¶as
correctamente.
Signi¯cado geom¶etrico de la derivada
Consideremos una funci¶on lineal comof(x) =mx+n. Sabemos que la pendiente de la
recta descrita por esta funci¶on es constante e igual am. Es decir, la tasa de crecimiento de
esta funci¶on es constante y valem. Decimos que la derivada de esta funci¶on es constante
para todoxy valem.
Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funci¶on cuadr¶aticaf(x) =x
2
. Cu¶al es la
tasa de crecimiento de esta funci¶on. Al gra¯car esta funci¶on(una par¶abola) nos damos
cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos del
origen a lo largo del ejexhacia la derecha, esta funci¶on crece y crece cada vez m¶as r¶apido.
>Como poder medir m¶as cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los
siguientes dos puntos de la par¶abola:
P1(1; f(1)) =P1(1;1)

2. 112 Derivadas e Integrales
P2(2; f(2)) =P2(2;4)
Una buena manera de medir cuanto cambia la funci¶onf(x) al ir dex= 1 ax= 2 es
calcular la pendiente de la recta que une los puntos (1;1) y (2;4). Dicha pendiente vale:
m=
4¡1
2¡1
= 3
Esta pendiente representa la tasa de crecimiento "promedio"de la funci¶on al ir dex= 1
ax= 2 ya que la funci¶on crecer¶a m¶as lentamente cerca dex= 1 y m¶as r¶apidamente
cerca dex= 2. >Como poder saber, de mejor manera cuanto crecef(x) cerca dex= 1.
F¶acil. Consideremos un punto m¶as cercano queP2al puntoP1. A decir, consideremos el
punto
P3(1;5; f(1;5)) =P3(1;5;2;25)
Repitiendo el c¶alculo para la pendiente promedio entre los puntosP1yP3, encontramos
que:
m=
2;25¡1
1;5¡1
=
1;25
0;5
= 2;5
Notemos que al ir considerando un punto, llamadoPk, cada vez m¶as cercano aP1, la
recta que uneP1conPkse asemeja cada vez m¶as con la recta tangente aP1. Decimos
que en ell¶³mite, la recta que une los puntosP1yPkes la recta tangente a la curva enP1.
-2 -1 1 2
1
2
3
4




recta tangente
a y=x
2
en P1

P1

Definicion 1 (geometrica de derivada)La derivada de una funci¶onf(x)enx±se
de¯ne como la pendiente de la recta tangente al gr¶a¯co def(x)en el punto(x±; f(x±)).
4.1.2. Noci¶on de l¶³mite
Entender el concepto de l¶³mite es fundamental en cualquier curso serio de c¶alculo.
Sin ir m¶as all¶a, la derivada es un l¶³mite. Pero, > qu¶e es un l¶³mite ? Al estudiar series
ya introducimos, sin darnos cuenta, la noci¶on de l¶³mite. Por ejemplo, consideremos la
siguiente suma :
Sn=
1
2
+
1
4
+
1
8
+¢ ¢ ¢+
1
2
n
>Qu¶e pasaba sincrec¶³a al in¯nito? Esta suma se transformaba en una serie geom¶etrica
cuyo valor sabemos que es 1. Matem¶aticamente, esto se expresa como:
l¶³m
n!1
Sn= 1

3. 4.1 Introducci¶on a la derivaci¶on 113
x f(x)
§10.8415
§0.50.9589
§0.10.9983
§0.050.9996
§0.010.9999
Este es un caso particular de l¶³mite.
De modo m¶as general, decimos que el l¶³mite de una funci¶onf(x) cuandoxtiende aaes
L, si al acercarnos a x=a podemos hacer que f(x) se acerque a L tanto como queramos.
Esto se anota matem¶aticamente as¶³:
l¶³m
x!a
f(x) =L
Nota:No es necesario quef(a) exista o este de¯nido para que l¶³mx!af(x) exista.
Ejemplo 4.1.1Sea c una constante cualquiera, entonces
l¶³m
x!a
c=c
l¶³m
x!a
c¢x=c¢a
Ejemplo 4.1.2
l¶³m
x!1
1
x
= 0
Si bien es cierto el valor de1=xpara cualquierxreal es distinto de0, podemos hacer
que1=xse acerque a cero tanto como queramos tomando valores dexlo su¯cientemente
grandes.
Ejemplo 4.1.3
l¶³m
x!0
sin(x)
x
= 1
En el ejemplo anterior, justi¯camos el valor del l¶³mite pero no dimos una demostraci¶on
rigurosa de su valor porque en parte no contamos con la teor¶³a completa. Justi¯caremos
el valor del ¶ultimo l¶³mite con ayuda de una calculadora aunque debemos decir que esto
no constituye una demostraci¶on en s¶³.
A partir de esta tabla observamos claramente que existe una tendencia por parte de
f(x) =
sin(x)
x
a acercarse a 1 a medida quexse acerca a 0.
Propiedades de linealidad del l¶³mite :
l¶³m
x!a
cf(x) =cl¶³m
x!a
f(x)
l¶³m
x!a
[f(x) +g(x)] = l¶³m
x!a
f(x) + l¶³m
x!a
g(x)

4. 114 Derivadas e Integrales
Ejemplo 4.1.4Sea :
f(x) =
x
2
¡1
x¡1
Calcular el valor de:
l¶³m
x!1
f(x)
Soluci¶on :El valor def(1)no esta de¯nido ya que tras una simple evaluaci¶on obten-
emos:
f(1) =
0
0
Pero notemos que :
f(x) =
(x+ 1)(x¡1)
x¡1
=x+ 1; x6= 1
Entonces:
l¶³m
x!1
f(x) = l¶³m
x!1
x+ 1 = 2
Definicion 2 (formal de derivada)La derivada de una funci¶onf(x)evaluada en
un puntox±se de¯ne como:
l¶³m
h!0
f(x±+h)¡f(x±)
h
Otra de¯nici¶on equivalente de la misma derivada es la siguiente :
l¶³m
x!x±
f(x)¡f(x±)
x¡x±
Notaci¶on :
La derivada dey=f(x) enx±se denota por:
dy
dx
¯
¯
¯
¯
x±
=f
0
(x±)
Ejemplo 4.1.5Calculemos la derivada def(x) =x
2
evaluada enx=x±
d
dx
(x
2
)
¯
¯
¯
¯
x±
= l¶³m
h!0
(x±+h)
2
¡x
2
±
h
= l¶³m
h!0
x
2
±+ 2x±h+h
2
¡x
2
±
h
= l¶³m
h!0
(2x±h+h
2
)
h
= l¶³m
h!0
(2x±+h)
= 2x±

5. 4.1 Introducci¶on a la derivaci¶on 115
Hemos de¯nido la derivada de una funci¶on en un punto cualquierax±. Entonces,
ahora es natural querer considerar o construir la siguiente funci¶on:
Definicion 3 (de la funcion derivada)La funci¶on derivada (de otra funci¶on) se
de¯ne punto a punto como sigue:
f
0
(x) = l¶³m
h!0
f(x+h)¡f(x)
h
Hagamos notar que no hemos dicho nada acerca de sihpuede tomar solo valores positivos
o no al irse acerc¶andose a cero en el l¶³mite. Esto nos lleva a de¯nir dos clases distintas de
derivadas (y de l¶³mites). Sihen 3 tiende a cero tomando solo valores positivos, entonces
la derivada se denominaderivada por la derecha. A su vez, sihtiende a cero tomando
solo valores negativos, entonces la derivada se denominaderivada por la izquierda. Para
que una funci¶on se digaderivableen un punto, debe estar de¯nida su derivada por la
izquierda y su derivada por la derecha en ese punto y ambas deben ser iguales. Para que
una funci¶on se diga derivable, debe ser derivableen todopunto. No todas las funciones
son derivables.
Ejemplo 4.1.6Consideremos la funci¶onf(x) =jxj. Esta funci¶on no es derivable porque
parax= 0su derivada por la izquierda es distinta a su derivada por la derecha. De
hecho, enx= 0la derivadas por la izquierda y por la derecha def(x)valen¡1y1
respectivamente.
Ejemplo 4.1.7La funci¶on derivada de la funci¶onf(x) =x
2
es:
f
0
(x) = 2x
Demostraci¶on:Directa a partir de la de¯nici¶on de funci¶on derivada y del ejemplo 4.1.5.
Notaci¶on :La derivada de la derivada de una funci¶on, o simplemente la segunda
derivada de una funci¶on, se anota como sigue:
d
dx
µ
d
dx
f(x)
¶
=
d
2
dx
2
f(x) =f
00
(x)
De igual modo, podemos hablar de la derivadan-esima de una funci¶onf(x).
¶
Esta debe
entenderse como una funci¶on proveniente def(x) despu¶es de haberla derivadonveces
seguidas.

6. 116 Derivadas e Integrales
4.2. Reglas importantes para derivar
Como el lector ya deber¶³a poseer una comprensi¶on b¶asica del signi¯cado de la funci¶on
derivada, a continuaci¶on enunciaremos una serie de reglas pr¶acticas para derivar las
funciones m¶as importantes. No abordaremos las demostraciones te¶oricas de estas reglas
no porque sea dif¶³ciles sino simplemente porque no deseamos extendernos demasiado.
4.2.1. Derivadas de funciones b¶asicas
y(x) =k) y
0
(x) = 0
y(x) =mx ) y
0
(x) =m
y(x) =x
n
) y
0
(x) =nx
n¡1
y(x) =e
x
) y
0
(x) =e
x
y(x) =a
x
) y
0
(x) =a
x
lna
y(x) = lnx) y
0
(x) = 1=x
y(x) = sinx) y
0
(x) = cosx
y(x) = cosx) y
0
(x) =¡sinx
4.2.2. Propiedades de linealidad de la derivada
Seacuna constante cualquiera, entonces:
y(x) =cf(x))y
0
(x) =cf
0
(x)
y(x) =f(x)§g(x))y
0
(x) =f
0
(x)§g
0
(x)
Derivada de un producto de funciones
La derivada de una producto de funciones es como sigue:
d
dx
[f(x)¢g(x)] =
·
d
dx
f(x)
¸
¢g(x) +f(x)¢
·
d
dx
g(x)
¸
Ejemplo 4.2.1Calcular la derivada def(x) =xsin(x).
d
dx
[x¢sin(x)] =
·
d
dx
x
¸
¢sin(x) +x¢
·
d
dx
sin(x)
¸
= sin(x) +xcos(x)
Derivada de un cuociente de funciones
d
dx
·
f(x)
g(x)
¸
=
h
d
dx
f(x)
i
¢g(x)¡f(x)
h
d
dx
g(x)
i
[g(x)]
2

7. 4.2 Reglas importantes para derivar 117
Ejemplo 4.2.2Calcular la derivada def(x) =tan(x)
d
dx
tan(x) =
d
dx
·
sin(x)
cos(x)
¸
=
h
d
dx
sin(x)
i
¢cos(x)¡sin(x)
h
d
dx
cos(x)
i
[cos(x)]
2
=
cos(x)¢cos(x)¡sin(x) [¡sin(x)]
[cos(x)]
2
=
cos
2
(x) + sin
2
(x)
cos
2
(x)
=
1
cos
2
(x)
= sec
2
(x)
Derivada de una composici¶on de funciones. Regla de la cadena
d
dx
g(f(x)) =
d
dx
g(x)
¯
¯
¯
¯
f(x)
¢
d
dx
f(x)
Ejemplo 4.2.3Calcular la derivada desin(x
2
)
d
dx
sin(x
2
) =
d
dx
sin(x)
¯
¯
¯
¯
x
2
¢
d
dx
x
2
= cos(x
2
)¢2x
Ejercicio 4.2.1Veri¯car que las funcionesy(x) = sin(wx)ey(x) = cos(wx)satisfacen
la ecuaci¶ondiferencial:
y(x)
00
+w
2
y(x) = 0 (4.1)
Concluir que la funci¶on :
y(x) =Asinwx+Bcoswx
dondeAyBson constantes arbitrarias, tambi¶en satisface la ecuaci¶on 4.1. Se dice que
la funci¶ony(x)es la soluci¶on general de la ecuaci¶on 4.1
Nota:La ecuaci¶ondiferencial4.1 es muy importante. en general, este tipo de ecuaciones
llevan el nombre deecuaciones diferenciales. Una ecuaci¶on diferencial es una ecuaci¶on
en donde ¯gura una funci¶onf(x)junto con algunas de sus derivadas. En este tipo de
ecuaciones, la soluci¶on no es un valor real como en una ecuaci¶on algebraica, sino que la
soluci¶on de la ecuaci¶on es una funci¶on !.

8. 118 Derivadas e Integrales
4.2.3. Aplicaciones de la derivada
En esta secci¶on abordaremos algunas aplicaciones b¶asicas de la derivada en algunos
problemas de matem¶aticas y f¶³sica.
Ejemplo 4.2.4Calcular la ecuaci¶on de la recta tangente a la curva descrita por la
funci¶onf(x) =x
3
+ 3x
2
¡5en el punto de abcisax= 1.
Soluci¶on :Sabemos que la pendiente de dicha recta es igual a:
m=
d
dx
(x
3
+ 3x
2
¡5)
¯
¯
¯
¯
x=1
= 3x
2
+ 6x
¯
¯
¯
x=1
= 3 + 6
= 9
Ahora conocemos la pendiente de la recta. Solo basta conocer un punto de la recta para
poder determinar la ecuaci¶on punto-pendiente de la recta. Sabemos que un punto de la
recta corresponde a(1; f(1)).
f(1) = 1 + 3¡5 =¡1
Entonces, la ecuaci¶on de la recta buscada es :
y+ 1 = 9(x¡1)
4.2.4. Cinem¶atica en una dimensi¶on
La cinem¶atica se encarga de describir, con el uso de las matem¶aticas, el movimiento
de los cuerpos. Para tal efecto, las medidas dedistanciay detiemposon esenciales.
Consideraremos un mundo de una dimensi¶on(espacial),en donde se necesita una sola
coordenada para describir la posici¶on de un cuerpo en el espacio. Si queremos saber
en donde se encuentra un cuerpo, debemos medir su distancia con respecto a alg¶un
origen arbitrario que supondremos inm¶ovil. Pero si el cuerpo se halla en movimiento, la
distancia entre este cuerpo y el origen var¶³a con respecto al tiempo.
Definicion 4Lavelocidades la tasa de cambio de la posici¶on de un m¶ovil con respecto
al tiempo. M¶as precisamente, supongamos que contamos con una funci¶onx(t)que nos
entrega la posici¶on de un m¶ovil con respecto a un punto ¯jo O en funci¶on del tiempo.
Entonces, llamamos velocidad instant¶anea del m¶ovil (con respecto a O) a:
v(t) =
d
dt
x(t)
Definicion 5Laaceleraci¶ones la tasa de cambio de la velocidad de un m¶ovil con
respecto al tiempo. M¶as precisamente, supongamos que contamos con una funci¶onv(t)

9. 4.2 Reglas importantes para derivar 119
que nos entrega la velocidad de un m¶ovil en funci¶on del tiempo. Entonces, llamamos
aceleraci¶on instant¶anea del m¶ovil a:
a(t) =
d
dt
v(t) =
d
2
dt
2
x(t)
Ejemplo 4.2.5Calcula la velocidad y aceleraci¶on de un m¶ovil cuya posici¶on est¶a de-
scrita por :
x(t) = 5t
2
+ 12t+ 3
Soluci¶on :
v(t) =x
0
(t) = (5t
2
+ 12t+ 3)
0
= (5t
2
)
0
+ (12t)
0
+ (3)
0
= 10t+ 12
a(t) =v
0
(t) = (10t+ 12)
0
= (10t)
0
+ (12)
0
= 10
4.2.5. Optimizaci¶on en una variable
Una de las aplicaciones del c¶alculo diferencial o de derivadas es encontrar los puntos
en donde una funci¶on alcanza valores m¶aximos o m¶³nimos. Geom¶etricamente, es f¶acil ver
que la pendiente de la recta tangente a esos puntos es cero. Por lo tanto, si una funci¶on
alcanza un valor m¶aximo o m¶³nimo en un punto, entonces la derivada de la funci¶on en
ese punto deber¶a ser nula.
Ejemplo 4.2.6Calcular el valor m¶³nimo def(x) =x
2
+ 8x¡1.
Soluci¶on:Calculemos la derivada def(x):
f
0
(x) = 2x+ 8
Ahora impongamos quef
0
(x) = 0:
f`(x) = 2x+ 8 = 0)x= 4
f(4) = 4
2
+ 8¢4¡1 = 47
El valor m¶³nimo def(x)es47.
Observaciones:
Que una funci¶on tenga un punto extremo (un m¶aximo o un m¶³nimo) en un punto implica
que la derivada de la funci¶on en ese punto es cero, pero la a¯rmaci¶on rec¶³proca no es
cierta: que la derivada de una funci¶on se anule en un punto no implica que la funci¶on
tenga un punto extremo en ese punto.
Ejemplo 4.2.7Consideremos la funci¶onf(x) =x
3
:
) f
0
(x) = 3x
2
= 0)x= 0
La derivada def(x) =x
3
enx= 0vale cero, pero la funci¶on NO tiene un valor extremo
en ese punto.

10. 120 Derivadas e Integrales
-10 -5 5 10
-20
-10
10
20



Para saber mejor que sucede con una funci¶onf(x) en un puntox=adonde su derivada
se anula (f(a) = 0), calculamos la segunda derivada de la funci¶on y la evaluamos en ese
punto.
1.Sif
00
(a)>0 entoncesf(x) alcanza un valor m¶³nimo "local"en torno ax=a
2.Sif
00
(a)<0 entoncesf(x) alcanza un valor m¶aximo "local"en torno ax=a
3.Sif
00
(a) = 0 entonces no podemos decir nada acerca del comportamiento def(x)
en torno ax=a

11. 4.3 Introducci¶on a la integraci¶on 121
4.3. Introducci¶on a la integraci¶on
Esta secci¶on tratar¶a de los aspectos b¶asicos del c¶alculo integral. Pero nuevamente,
tal como hicimos con la secci¶on de c¶alculo diferencial, abordaremos el tema de un mo-
do pr¶actico y no te¶orico. Comenzaremos de¯niendo el concepto de la integral (o inte-
gral de¯nida) y luego introduciremos el concepto de la primitiva (o anti-derivada). La
de¯nici¶on de integral de¯nida que presentaremos (tambi¶en conocida como integral de
Riemman) no tiene relaci¶on alguna con lo que hemos visto de c¶alculo diferencial. Las
primitivas, en cambio, tiene directa relaci¶on con lo que es el c¶alculo diferencial o de
derivadas. Adem¶as, veremos que existe un teorema, el Teorema Fundamental del C¶alcu-
lo (TFC), que relaciona el concepto de integral con el de primitiva, por lo cual tambi¶en
se le otorga a esta ¶ultima el nombre de integral inde¯nida. Calcular una integral puede
resultar sumamente dif¶³cil, pero si la relacionamos con una primitiva a trav¶es del TFC,
el c¶alculo puede ser directo.
4.3.1. La integral de¯nida
Consideremos una funci¶onf(x). S¶olo a modo de ilustraci¶on, consideraremos que la
funci¶onf(x) es creciente. Queremos encontrar una manera de calcular el ¶area encerrada
entre la funci¶onf(x), el ejexy las rectasx=ayx=b. Para tal efecto hagamos lo
siguiente:
Consideremos el intervalo [a; b] de las abscisas. Dividamos el intervalo para [a; b]
ennsub-intervalos m¶as peque~nos y de igual tama~noh= (b¡a)=n. El intervalo
i-¶esimo resulta ser:
[a+h(i¡1); a+hi] dondei2 f1;2; : : : ; ng
Dividamos nuestra ¶area en peque~nos rectangulitos de basehy alturaf(a+h(i¡
1)); i2 f1;2; : : : ; ngde tal manera que la suma de las areas de estos rectangulitos
sea un poco inferior al area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos
I¡(x).

y

area achurrada
f(a) = I-




a h x
Dividamos nuestra ¶area en peque~nos rectangulitos de basehy alturaf(a+hi); i2
f1;2; : : : ; ngde tal modo que la suma de las areas de estos rectangulitos sea un poco
superior a la area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitosI+(x).

12. 122 Derivadas e Integrales
y

area achurrada
f(a) = I+




a h x

Si resulta que
l¶³m
h!0
I¡= l¶³m
h!0
I+=I6=1
entonces se denomina a este l¶³mite "la integral def(x) a dxentre x=a y x=b
2
se
denota:
I=
Z
b
a
f(x)dx
Ejemplo 4.3.1Calcular la integral def(x) =xentrex= 0yx=b.
Soluci¶on:Dividamos el intervalo [0,b] ennpartes iguales de longitudh=b=nmediante
los puntosf0; h;2h; : : : ; bg. Entonces, la integral de¯nida entrex= 0yx=bes:
Z
b
0
xdx= l¶³m
h!0
n¡1
X
i=0
h¢ih= l¶³m
h!0
n
X
i=1
h¢ih
N¶otese que hemos expresado la integral como
l¶³m
h!0
I¡(x)y adem¶as comol¶³m
h!0
I+(x)
Calculemos primero el primer l¶³mite:
l¶³m
h!0
I¡(x) = l¶³m
h!0
n¡1
X
i=0
h¢ih= l¶³m
h!0
h
2
n¡1
X
i=0
¢i= l¶³m
h!0
h
2
(n¡1)n
2
= l¶³m
h!0
"
(hn)
2
2
¡
hn¢h
2
#
pero comohn=bentonces
l¶³m
h!0
I¡(x) = l¶³m
h!0
"
b
2
2
¡
bh
2
#
=
b
2
2
Queda propuesto al lector veri¯car que tambi¶en se tiene que:
l¶³m
h!0
I+(x) =
b
2
2

13. 4.3 Introducci¶on a la integraci¶on 123
4.3.2. La integral inde¯nida o primitiva
La derivaci¶on puede ser vista como un operador que toma una funci¶onf(x) y retorna
su funci¶on derivadaf
0
(x). >Existir¶a el proceso inverso? Es decir, >existir¶a alg¶un operador
que tome la funci¶onf
0
(x) y retornef(x) ? Este proceso inverso existe y se denomina
integraci¶on inde¯nida,c¶alculo de primitivaso deanti-derivadas.
Definicion 6SeaF(x)una funci¶on diferenciable con derivadaf(x). Sea, adem¶as,C
una constante real cualquiera. Entonces se denomina primitiva o integral inde¯nida de
f(x)a la funci¶onF(x) +C. La primitiva def(x)se anota:
Z
f(x)dx=F(x) +C=funci¶on que al derivarla entrega f(x)
Observaci¶on:N¶otese que al pedir la primitiva def(x)se busca una funci¶on tal que
al derivarla entregue f(x). Sabemos, por el enunciado, que la funci¶onF(x)cumple con
tal condici¶on. PeroF(x)no es la ¶unica funci¶on que cumple con la condici¶on. A decir
verdad, la funci¶onF(x) +C, dondeCuna constante cualquiera, tambi¶en cumple con la
condici¶on (ya que la derivada de una constante es cero).
4.3.3. Primitivas importantes
Z
kdx=kx+C
Z
x
n
dx=
x
n+1
n+ 1
+C
Z
e
x
dx=e
x
+C
Z
a
x
dx=
a
x
lna
+C
Z
1
x
dx= lnx+C
Z
sinxdx=¡cosx+C
Z
cosxdx= sinx+C
4.3.4. Propiedades de las primitivas
Z
cf(x)dx=c
Z
f(x)dx
Z
[f(x)§g(x)]dx=
Z
f(x)dx§
Z
g(x)dx

14. 124 Derivadas e Integrales
Ejemplo 4.3.2
Z
[x
2
¡7x
5
+ 2 sinx]dx=
Z
x
2
dx¡7
Z
x
5
dx+ 2
Z
sinxdx=
x
3
3
+
7x
6
6
¡2 cosx+C
4.3.5. El Teorema Fundamental del C¶alculo (TFC)
Si bien las integrales(de¯nidas) y las primitivas se de¯nieron de manera completa-
mente distinta, existe un poderoso teorema que relaciona ambos conceptos. Este teorema
nos permite calcular integrales dif¶³ciles calculando muy f¶acilmente una primitiva.
Teorema 4.3.1 (Fundamental del Calculo)SeaF(x)una funci¶on diferenciable
con derivadaf(x). Es decir,F(x)es una primitiva def(x). Entonces,
Z
b
a
f(x)dx=F(b)¡F(a)
Notaci¶on :Sea F(x) una funci¶on. Entonces se utiliza mucho la siguiente notaci¶on:
F(x)j
b
a
´F(b)¡F(a)
Corolario (de la notaci¶on)
Z
b
a
f(x)dx=F(x)j
b
a
Ejemplo 4.3.3Calcular la integral
Z
5
1
x
2
dx
Soluci¶on:Si bien esta integral se puede calcular usando sumatorias y tomando el l¶³mite
(hacerlo como ejercicio), una manera mucho m¶as f¶acil es hacerlo empleando el TFC.
Sabemos que una primitiva def(x) =x
2
esF(x) =x
3
=3 +C. Entonces, seg¶un el TFC,
Z
5
1
x
2
dx=F(5)¡F(1) = (5
3
=3 +C)¡(1
3
=3 +C) = 125=3¡1=3 = 124=3

15. 4.4 Aplicaciones de la integral 125
4.4. Aplicaciones de la integral
4.4.1. C¶alculo de ¶areas
Ejemplo 4.4.1Hallar el ¶area entre las curvasy=x
2
+ 1ey= 9¡x
2
Soluci¶on :Gra¯quemos ambas funciones: y
y=x
2
+1





y=9-x
2

x


-2 -1 1 2
2
4
6
8
Encontremos los puntos de intersecci¶on de ambos gr¶a¯cos:
y=x
2
+ 1
y=9¡x
2
Resolviendo este sistema, encontramos que:
x
2
+ 1 = 9¡x
2
)2x
2
= 8)x=§2
Luego, el ¶area entre ambos gr¶a¯cos corresponde a:
Z
2
¡2
[(9¡x
2
)¡(x
2
+ 1)]dx=
Z
2
¡2
[8¡2x
2
]dx=
Z
2
¡2
8dx¡2
Z
¡2
2x
2
dx
= 8¢(2¡(¡2))¡2
x
3
3
¯
¯
¯
¯
¯
2
¡2
= 32¡2¢[8=3¡(¡8=3)] = 32¡32=3 = 64=3
4.4.2. Cinem¶atica en una dimensi¶on
En la secci¶on de derivaci¶on ya vimos que la derivada con respecto al tiempo de la
posici¶on de un m¶ovil es su velocidad y que la derivada con respecto al tiempo de la
velocidad de un m¶ovil es su aceleraci¶on. Ahora que conocemos la integrar podemos decir
que:
v(t) =
Z
a(t)dt+C1
x(t) =
Z
v(t)dt+C2
Las constantes de integraci¶onC1yC2pueden determinarse conociendo la velocidad y
posici¶on del m¶ovil en un instante dado.
Ejemplo 4.4.2Calcular la posici¶on y velocidad de un m¶ovil sabiendo quea(t) = 2t+1,
v(0) = 0,x(0) = 3.
Soluci¶on :Sabemos que:
v(t) =
Z
a(t)dt+C1=
Z
[2t+ 1]dt+C1=t
2
+t+C1

16. 126 Derivadas e Integrales
Evaluando la condici¶on v(0)=0 obtenemos:
v(0) =C1= 0
Por tanto, la velocidad del m¶ovil es:
v(t) =t
2
+t
Calculemos ahora su posici¶on :
x(t) =
Z
v(t)dt+C2=
Z
[t
2
+t]dt+C2=t
3
=3 +t
2
=2 +C2
Evaluando la condici¶onx(0) = 3obtenemos :
x(0) =C2= 3
Por lo tanto, la posici¶on del m¶ovil es:
x(t) =t
3
=3 +t
2
=2 + 3

17. 4.5 Problemas propuestos 127
4.5. Problemas propuestos
4.5.1. Derivadas y sus aplicaciones
1.Derivar:
a)y=
1
4
x
4
¡2x
2
b)y= (x
2
¡1)(x
3
¡5x
2
¡7)
c)y= 2 sinx+ 3 cosx
d)y= (x¡1)(x¡3)(x¡5)
e)y= (2x¡1)
3
2.Para la siguiente funci¶on, analizar crecimiento, m¶aximos y m¶³nimos.
y=x
3
¡9x
2
+ 20x¡8
Adem¶as, determinar todos los puntos de la curva representada por la funci¶on an-
terior donde la normal es perpendicular a la recta de ecuaci¶on 4x+y= 3.
3.Hallar todos los puntos para los cuales la tangente a la curva descrita por la
siguiente funci¶on es paralela al ejex:
y=x
4
¡2x
3
+ 1
4.Probar que la ecuaci¶on de la recta normal a la curva
y= 3¡x
2
en el punto de abscisa x = a es:
x¡2ay+a(5¡2a
2
) = 0
y hallar los puntos de la par¶abola cuyas normales pasan por el punto (0,2).
5.Un autom¶ovil recorre un camino rectil¶³neo, partiendo del reposo en un punto O a
las 9
±±
hrs, pasa por otro punto A despu¶es de una hora y se detiene en un tercer
punto B. La distanciasen kil¶ometros al punto de partida despu¶es dethoras de
camino est¶a dada por
s= 60t
2
¡10t
3
Hallar :
a)La hora de llegada a B
b)La distancia entre A y B
c)La velocidad media entre A y B
d)La velocidad m¶axima y a qu¶e hora la alcanza.

18. 128 Derivadas e Integrales
6.Para la siguiente funci¶on, resuelva la ecuaci¶onf
0
(x) = 0 y halle el conjunto de
valores para los cualesf
0
(x) es menor o igual que cero.
f(x) =x
3
¡2x
2
¡4x+ 7
7.Un invasor extraterrestre se acercaba al planeta Tierra de manera que su distancia
en kil¶ometros desde la super¯cie de la Tierra en el momentotdespu¶es de ser
descubierto era
s(t) = 50t
3
¡300t
2
+ 4050
Afortunadamente, fue enviado de vuelta al espacio por fuerzas de antigravedad.
a)Halle la velocidad y aceleraci¶on del invasor extraterrestre correspondiente al
tiempot.
b)>Cu¶ando era su velocidad cero?
c)>Cu¶ando era su aceleraci¶on cero?
d)>En qu¶e tiempo se acercaba a la Tierra?
e)>Cu¶ando se acercaba a tierra con mayor velocidad y cu¶al era esa velocidad?
f)Calcule la menor distancia entre el invasor extraterrestre y la super¯cie de la
tierra.
g)Encuentre los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad estaba aumen-
tando, y en los cuales la velocidad estaba disminuyendo.
h)Usando lo anterior, gra¯que el movimiento, en el intervalot[0;5]
8.Considere a un atleta que quiere ir desde el punto A hasta el punto B atravesando
los medios I y II como se indican en la ¯gura. En el medio I el atleta se desplaza
con rapidezv1y en el medio II se desplaza con velocidadv2. El atleta quiere llegar
del punto A hasta el punto B en el tiempo m¶³nimo. Demuestre que esto lo puede
conseguir siguiendo el camino que se indica en la ¯gura, donde los ¶angulosµ1yµ2
obedecen la ley de Snell:
sinµ1
sinµ2
=
v1
v2
Nota:La luz, de acuerdo al Principio de Fermat de seguir el camino m¶as r¶apido
entre dos puntos, obedece la ley de Snell al refractarse.

A


2q v2


v1
2q

B

19. 4.5 Problemas propuestos 129
4.5.2. Integrales y sus aplicaciones
1.En cada uno de los casos siguientes hallary=f(x) y veri¯car la respuesta por
derivaci¶on:
a)
dy
dx
=f
0
(x) = 4x¡3 yf(0) =¡9
b)
dy
dx
=f
0
(x) = 12x
2
¡24x+ 1 yf(1) =¡2
c)
dy
dx
=f
0
(x) = 3 cosx+ 5 sinxyf(0) = 4
d)
dy
dx
=f
0
(x) = 3e
x
¡
2
x
yf(1) = 0
2.a)Una part¶³cula se mueve sobre una recta con velocidadv(t) = 3¡2ten
metros=segundo. Hallar la funci¶on que determina su posici¶onsen t¶erminos
detsi parat= 0,s= 4m.
b)Una part¶³cula se est¶a moviendo sobre una recta con aceleraci¶on dada por
a(t) =t
2
¡tenmetros=segundo
2
. Hallar la funci¶on velocidadv(t) y la funci¶on
s(t) sis(0) = 0 ys(6) = 12.
3.Calcular:
a)
Z
7
¡2
(6¡2x)dx
b)
Z
1
0
(x
3
¡5x
4
)dx
c)
Z
¼=2
0
cost+ 2 sint)dt
d)
Z
4
1
3
x
dx
e)
Z
1
0
8e
t
dt
4.Calcular el ¶area limitada por:
a)La curvay=x
2
¡xy el ejex
b)Las curvasy= 4x
2
ey=x
2
+ 3
c)La curvay= sinxy la rectay=x
d)La curvay=e
x
, el ejeyy la rectay= 4

20. 130 Derivadas e Integrales
5.Una part¶³cula se mueve sobre una recta con velocidadv(t) =t
2
¡tenm=seg. De-
terminar el desplazamiento durante los primeros 5 segundos. >Cu¶al es la distancia
recorrida en ese intervalo de tiempo?
6.Determinar el ¶area limitada por las curvas:
y= 2x
2
ey= 12x
2
¡x
7.Un punto M se mueve sobre una recta con aceleraci¶ona(t) = 2t¡4. Cuandot= 0,
M est¶a en el origen y su velocidad es de 3m=s. Calcular la velocidad de M en cada
instantet. Probar que cuandot= 1sel punto M comienza a devolverse al origen
y calcular su distancia al origen en ese instante.