Derivadas implicitas

derivadas implicitas

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL ¨FRANCISCO DE MIRANDA¨ ÁREA: TECNOLOGÍA PROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL Realizado por: Licdo. Flores, Jesús Licda. Pérez, María Puerto Cumarebo; mayo de 2016 DERIVADAS IMPLICITAS

2. En todo lo estudiado, hasta ahora se ha supuesto como representación de función explícita, es decir como: y=f(x). La derivación implícita se da, cuando no se puede expresar en esta forma. Cuando la variable y esta definida implícitamente, se deriva teniendo estos pasos: Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x. Agrupar los términos en que aparezca dy /dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha. Factorizar dy /dx del lado izquierdo de la ecuación Despejar dy /dx

3. EJEMPLO: Derivar la ecuación y 3 +y 2 -5y -x 2 =-4 SOLUCIÓN 1. Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x

4. 2 . Agrupar los términos que aparezcan dy /dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha. 3. Factorizar dy /dx en el lado izquierdo de la ecuación 4. Despejar dy /dx

5. Teorema: Supongamos que una ecuación de la forma F( x,y )=0, define a y de manera implícita como una función de x , es decir: y=f(x) , para todo x, en el dominio de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular dy /dx, con la fórmula: donde: : es derivada de F con respecto a x, se toma y como constante. : es derivada de F con respecto a y, se toma x como constante .  

6. En efecto: Tenemos la ecuación: F( x,y )=0    

7. Ejemplo: Derivar:   SOLUCIÓN       hallamos Luego, se reemplaza en la fórmula y se obtiene: =  

8. Aplicación : Un obrero levanta con la ayuda de una soga, un tablón hasta lo alto de un edificio en construcción. Supongamos que el otro extremo del tablón de 5m sigue una trayectoria perpendicular a la pared y que el obrero mueve el tablón a razón de 0.15m/s. ¿A qué ritmo se desliza por el suelo el extremo cuando está a 2.5 m de la pared?

9. Solución Del teorema de Pitágoras se tiene que x 2 + y 2 = r 2 Derivamos a la expresión como función implícita tomando en cuenta que el tablón no cambia de longitud. Se tiene: 0.15m/s V x

10. De donde:

11. Ejercicios 1 . Hallar de 2. Dada la ecuación: . Hallar .