Derivadas parciales

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MATEMÁTICA APLICADA PARA LA INGENIERÍA III


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FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON
MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA APLICADA PARA INGENIERÍA III CICLO: III

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TEMA: Derivadas parciales SEMANA: 10
TURNO: MAÑANA PABELLÓN: B AULA: 604 SEMESTETRE: 2017 - I

Derivadas parciales

DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Si � = �(�,�), las primeras derivadas parciales de ?????? con respecto a � � � son las
funciones ??????
� � ??????
� definidas por

??????
??????�
�(�,�)=�
�=
??????�
??????�
=�
�(�,�)=lim
∆�→0
�(� + ∆�, �) − �(�,�)
∆�


??????
??????�
�(�,�)=�
�=
??????�
??????�
=�
�(�,�)=lim
∆�→0
�(�, � + ∆�) − �(�,�)
∆�


Para hallar??????
� se considera y constante y se deriva con respecto a x. De manera similar, para
calcular ??????
�, se considera x constante y se deriva con respecto a y.


DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES

Si � = �(�,�,�), las primeras derivadas parciales de ?????? con respecto a �,� � � son las
funciones ??????
�, ??????
�� ??????
� definidas por

??????
??????�
�(�,�,�)=�
�=
??????�
??????�
=�
�(�,�,�)=lim
∆�→0
�(� + ∆�, �, �) − �(�,�,�)
∆�

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??????
??????�
�(�,�,�)=�
�=
??????�
??????�
=�
�(�,�,�)=lim
∆�→0
�(�, � + ∆�, �) − �(�,�,�)
∆�



??????
??????�
�(�,�,�)=�
�=
??????�
??????�
=�
�(�,�,�)=lim
∆�→0
�(�, �, � + ∆) − �(�,�,�)
∆�


Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes
las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.

Es importante tener presente que las derivadas parciales de una función de dos
variables, � =�(�,�) tienen una interpretación geométrica útil. Informalmente, los valores
??????�
??????�
y
??????�
??????�
en un punto ??????=(�
0,�
0,�
0)=(�,�,�) denotan las pendientes de la superficie en las
direcciones de � � �, respectivamente. Ver las siguientes figuras:
Plano �=�
0=�
��
��
=(����??????���� �� ??????� �??????����??????ó� �� �)


��
��
=(����??????���� �� ??????� �??????����??????ó� �� �)
Plano �=�
0=�

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DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Como sucede en las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc.
Derivadas parciales de una función de varias variables.
Por ejemplo:

1) Derivar dos veces con respecto a x:
??????
��=
??????
??????
??????
??????�
??????
=
??????
??????�
(
????????????
??????�
)
2) Derivar dos veces con respecto a y:
??????
��=
??????
??????
??????
??????�
??????
=
??????
??????�
(
????????????
??????�
)
3) Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:
??????
��=
??????
??????
??????
??????�??????�
=
??????
??????�
(
????????????
??????�
)
4) Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:
??????
��=
??????
??????
??????
??????�??????�
=
??????
??????�
(
????????????
??????�
)
Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas.

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IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS
Si f es una función de � � � y tal que ??????
�� y ??????
�� son continuas, entonces, para todo (�,�)
??????
��(�,�) = ??????
��(�,�)
Ejemplo 1.- Aplique la definición de derivada parcial para calcular �
�(�,�) � �
�(�,�) si:
�(�,�) = 3�
2
– 2�� + �
2

Solución
�
�(�,�)=lim
∆�→0
�(� + ∆�, �)−�(�,�)
∆�
=lim
∆�→0
3(�+ ∆�)
2
−2(�+ ∆�)� + �
2
− (3�
2
− 2�� + �
2
)
∆�

= lim
∆�→0
3(�
2
+ 2�.∆� + (∆�)
2
) −2��−2.∆�.�+�
2
−3�
2
+2��−�
2
∆�
=
=lim
∆�→0
6�(∆�) + 3(∆�)
2
– 2(∆�)�
∆�
=lim
∆�→0
∆�[6� + 3(∆�) − 2�]
∆�
=6�+3(0)−2�=
=??????�−??????�
�
�(�,�)=lim
∆�→0
�(�,�+∆�)−�(�,�)
∆�
=
lim
∆�→0
3�
2
−2�(�+∆�)+(�+∆y)
2
−(3�
2
−2��+�
2
)
∆�

=lim
∆�→0
3�
2
−2��−2(∆�)�+�
2
+2�(∆�)+(∆�)
2
−3�
2
+2��−�
2
∆�

=lim
∆�→0
∆�[−2�+2�+∆�]
∆�

=−2�+2�+0=−??????�+??????�
Ejemplo 2. Hallar las derivadas parciales ??????
� � ??????
� de la función �(�,�) = 3� − �
2
�
2
+
2�
3
�.
Solución
∎ �(�,�) = 3� − �
2
�
2
+ 2�
3
�
�
�(�,�) = 3 − 2��
2
+ 6�
2
�

∎ �(�,�) = 3� − �
2
�
2
+ 2�
3
�
�
�(�,�) = −2�
2
� + 2�
3

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Ejemplo 3. Dada �(�,�) = ��
�
2
�
, hallar �
� � �
�, y evaluar cada una en el punto (1,??????�2).
Solución
∎ �(�,�) = ��
�
2
�

�
�(�,�) = �.�
�
2
�
.2��+�
�
2
�
=�
�
2
�
[2��+1]
�
�(1,??????�2) = �
(1)
2
??????�2
[2(1)??????�2+1]=2[2??????�2+1]=4??????�2+2

∎ �(�,�) = ��
�
2
�

�
�(�,�) = �.�
�
2
�
.�
2
=�
3
.�
�
2
�

�
�(1,??????�2) = (1)
3
.�
(1)
2
??????�2
=�
??????�2
=2

Ejemplo 4. Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por
�(�,�) = −
�
2
2
−�
2
+
25
8
, en el punto (
1
2
,1).
Solución
∎ �(�,�) = −
�
2
2
−�
2
+
25
8

�
�(�,�) = −�
Pendiente en la dirección de x es:
�
�(
1
2
,1) = −
1
2

∎ �(�,�) = −
�
2
2
−�
2
+
25
8

�
�(�,�) = −2�
Pendiente en la dirección de y es:
�
�(
1
2
,1) = −2(1) = −2

Ejemplo 5. Hallar la derivada parcial de �(�,�,�) = �� + ��
2
+ �� con respecto a z.
Solución
�
�(�,�,�) = 2�� +�

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Ejemplo 6. Dada �(�,�,�) = �.���(��
2
+ 2�), hallar �
�(�,�,�).
Solución
�
�(�,�,�)= �.cos(��
2
+ 2�)[2] + ���(��
2
+ 2�)
= 2�.���(��
2
+ 2�) + ���(��
2
+ 2�)

Ejemplo 7. Dada �
�(�,�,�,�) =
(�+�+�)
�
3
, hallar �
�(�,�,�,�)
Solución
�
�(�,�,�,�) = −2
(�+�+�)
�
3


Ejemplo 8. Dada �(�,�) = 3��
2
– 2� + 5�
2
�
2
, hallar
�
��(�,�),�
��(�,�),�
��(�,�) � �
��(�,�).
Solución
∎ �
�(�,�) = 3�
2
+ 10��
2

�
��= 10�
2


∎ �
�(�,�) = 6�� – 2 + 10�
2
�
�
��= 6� + 10�
2


∎ �
��(�,�) = 6� + 20��
∎ �
��(�,�) = 6� + 20��

Ejemplo 9. Demostrar que �
�� = �
�� � �
���= �
���= �
��� para la función dada por:
�(�,�,�) = ��
�
+�??????��
Solución
∎ �
�(�,�,�) = �.�
�
+??????��
∎ �
�(�,�,�) =
�
�

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(x, y,z)
(x, y,z) (x, y,z)
1
(x, y,z)
xz
xz zx
zx
f
z
ff
f
z








2
2
2
1
(x, y,z)
1
(x, y,z) (x, y,z) (x, y,z) (x, y,z)
1
(x, y,z)
xzz
zxz xzz zxz zzx
zzx
f
z
f f f f
z
f
z





   







EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Encuentre �
�(�,�) � �
�(�,�) dadas:
a) z =??????�
� + �
� − �

b) z =
�
2
2�
+
4�
2
�

c) z = �
�
.�����
d) z =
��
�
2
+ �
2

e) � = ���(3�).���(3�)

2) Empleando la definición de derivadas, calcule �
�(�,�) � �
�(�,�) dada:
�(�,�) = √�+�
3) Encuentre �
�(�,�,�), �
�(�,�,�) � �
�(�,�,�), dada:
a) �(�,�)=??????�√�
2
+�
2
+�
2

b) � =
3��
� + �

4) Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observe que las derivadas
parciales mixtas de segundo orden son iguales
a) � = �����
�
�

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b) � = 2�.�
�
−3�.�
−�


REGLA DE LA CADENA
REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Sea � = �(�,�), donde � es una función derivable de � � �. Si � = �(�) y � = ℎ(�),
donde � � ℎ son funciones derivables de �, entonces � es una función diferenciable de
�,�


??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�


w

??????�
??????�

??????�
??????�

x y


��
��

��
��

t t

Regla de la cadena: una variable dependiente �, es función de � � �, lasque a su vez son
funciones de �. Este diagrama representa la derivada de � con respecto a �.

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Ejemplo 1. Hallar dw
dt cuando � = 0, aplicando la regla de la cadena, dada 22
,w x y y
donde x sent y t
ye
Solución
w

??????�
??????�

??????�
??????�

x y

��
��

��
��

t t

��
��
=
??????�
??????�
.
��
��
+
??????�
??????�
.
��
��
=2��.cos(�)+(�
2
−2�)�
�
=
= 2.���(�).�
�
.cos(�)+(���
2
�−2.�
�
)�
�
=
= 2.�
�
.���(�).cos(�)+�
�
.���
2
(�)−2.�
2�

Cuando � = 0

��
��
=2.�
0
.���(0).cos(0)+�
0
.���
2
(0)−2.�
2(0)
=−2

REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

Sea � = �(�,�), � es una función diferenciable de � � �. Si � = �(�,�) � � = ℎ(�,�),
son tales que las derivadas parciales de primer orden
??????�
??????�
,
??????�
??????�
,
??????�
??????�
y
??????�
??????�
, existen, entonces
??????�
??????�
y
??????�
??????�
existen y están dadas por:

??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
�


??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�

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Regla de la cadena: una variable dependiente �, es función de � � � las que a su vez son
funciones de � � �. Este diagrama representa la derivada de w con respecto a � � �.
Ejemplo 2. Encuentre
??????�
??????�
�
??????�
??????�
,
dada � = 2��, x = s
2
+ t
2
y y = s/t
Solución
w

??????�
??????�

??????�
??????�

x y

??????�
??????�

??????�
??????�

??????�
??????�

??????�
??????�

t s t s

??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�

??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�

??????�
??????�
=2�(2�)+2�(
1
�
)=2(
�
�
)2�+2(�
2
+�
2
)(−
�
�
2
)=4�−
2�
3
+2��
2
�
2
=
6�
2
+ 2�
2
�

??????�
??????�
=2�(2�)+2�(−
�
�
2
)=2(
�
�
)2�+2(�
2
+�
2
)(−
�
�
2
)=4�−
2�
3
+2��
2
�
2
=
=
4��
2
−2�
3
−2��
2
�
2
=
2��
2
−2�
3
�
2

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La regla de la cadena puede extenderse a cualquier número de variables.

Ejemplo 3.- Dada � = �� + �� + ��, � = �.����,� = �.���� � � = �, para
�=1 � �=2??????. Hallar
??????�
??????�
�
??????�
??????�
.
Solución

w

??????�
??????�

??????�
??????�

??????�
??????�

x y z

??????�
??????�

??????�
??????�

??????�
??????�

??????�
??????�

��
��

s t s t t


??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
=(�+�)����+(�+�)����+(�+�).0=
=[�.����+�]����+[�.����+�]����
Entonces, para �=1 � �=2??????, tenemos que:

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??????�
??????�
=[1.���2??????+2??????]���2??????+[1.���2??????+2??????]���2??????=2??????

??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
=−(�+�)�.����+(�+�)�.����+(�+�).1=
=−[�.����+�]�.����+[�.����+�]�.����+[�.����+�.����](1)=
=−[1.��2??????+2??????](1)���2??????+[(1)���2??????+2??????](1)���2??????
+[(1)���2??????+(1)���2??????](1)=
=−[1.(0)+2??????](1)(0)+[(1)(1)+2??????](1)(1)+[(1).(0)+(1).(1)](1)=[1+2??????]+1=
= 2 + 2??????

REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLICITA

Si la ecuación ??????(�,�)=0 define a y implícitamente como función derivable de x, entonces:

??????�
??????�
=−
??????�(�,�)
??????�(�,�)
, ??????
�(�,�)≠0
Si la ecuación ??????(�,�,�) = 0 define a z implícitamente como una función diferenciable
de � � �, entonces:

??????�
??????�
=−
??????
�(�,�,�)
??????
�(�,�,�)
�
??????�
??????�
=−
??????
�(�,�,�)
??????
�(�,�,�)
,??????
�(�,�,�)≠??????

Ejemplo 4. Dada �
3
+ �
2
– 5� – �
2
+ 4 = 0, hallar
��
��
.
Solución
Definiendo: ??????(� ,�)=�
3
+ �
2
– 5� – �
2
+ 4
??????
�(�,�) = −2�
??????
�(�,�) = 3�
2
+ 2� – 5
Luego:
��
��
=−
??????�(�,�)
??????�(�,�)
=−
(−2�)
3�
2
+ 2� − 5
=
2�
3�
2
+ 2� − 5


Ejemplo 5. Dada la ecuación: 3�
2
� – �
2
�
2
+ 2�
3
+ 3�� – 5 = 0, hallar
??????�
??????�
�
??????�
??????�
.
Solución

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Definiendo: ??????(�,�,�)=3�
2
� – �
2
�
2
+ 2�
3
+ 3�� – 5

??????�
??????�
=−
??????�(�,�,�)
??????�(�,�,�)
=−
6��−2��
2
3�
2
+ 6�
2
+3�
=
2��
2
− 6��
3�
2
+ 6�
2
+3�


??????�
??????�
=−
??????�(�,�,�)
??????�(�,�,�)
=−
−2�
2
� + 3�
3�
2
+ 6�
2
+ 3�
=
2�
2
� − 3�
3�
2
+ 6�
2
+ 3�


EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Sean � = �
2
+ �
3
, � = �.�
�
y � = �.�
−�
, aplicar la regla de la cadena para calcular
??????�
??????�
�
??????�
??????�
.
Resp.
??????�
??????�
=2�.�
2�
+3�
2
�
−3�
.
??????�
??????�
=2�
2
�
2�
−3�
3
�
−3�
.

2) Sean � = 2�� + �
2
, � = �
�
y � = ����, calcule la derivada total
��
��
, aplicando la
regla de la cadena.
Resp.

��
��
=2�
�
.����−2�
�
.����−2����.����


3) Sean � = �
2
+ ��, � = �.����, � = �.���� y � = �.���
2
�; calcule
??????�
??????�
�
??????�
??????�
.

Resp.
??????�
??????�
=2����
2
�(1+����).
??????�
??????�
=�
2
.����(2����+2���
2
�−���
2
�).


4) Calcule
��
��
, si �.���� + �.���� – 1 = 0.
Resp.
��
��
=−
�.���� − ����
����−�����
.


5) Calcule
??????�
??????�
�
??????�
??????�
si 4�
3
+ 3��
2
– ��
2
– 2�
2
� + 7= 0.

Resp.
??????�
??????�
=
�
2
+ 4��− 3�
2
12�
2
+ 6��
.
??????�
??????�
=
�� + �
2
6�
2
+ 3��


6) Calcule
??????�
??????�
�
??????�
??????�
si ,
y
r
ue � = 2�.���� y � = 4�.����.

Resp.
??????�
??????�
=
2�
�
�

�
2
(2�����−�����);
??????�
??????�
=
2��
�
�

�
2
(�����+������)

FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON
MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA APLICADA PARA INGENIERÍA III CICLO: III

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected]
Web: http://jacobiperu.com/ 999685938
Página 14 de 14

7) Calcule
??????�
??????�
�
??????�
??????�
si � = ������(3�+�), � = �
2
.�
�
, � = ���(��).

Resp.
??????�
??????�
=
6��
??????
− �.cos (��)
√1−(3�+�)
2
;
??????�
??????�
=
3�
2
.�
??????
+ cos (��)
√1−(3�+�)
2


8) Calcule
??????�
??????�
,
??????�
??????∅
�
??????�
????????????
si � = �
2
+ �
2
+ �
2
,
�=����∅���??????,
�=����∅���?????? �
�=����∅.
Resp.
??????�
??????�
=2����∅���?????? + 2����∅���?????? + 2����∅

??????�
??????∅
=2�����∅���?????? + 2�.����∅���?????? − 2�.����∅

??????�
????????????
=−2�.����∅.���?????? + 2�.����∅���??????


9) Calcule
??????�
??????�
�
??????�
??????�
si � = ���(2�+3�), � = � + � y � = � – �; evalúe para
�=0,�=
??????
2
.


10) Calcule aplicando la regla de la cadena la
??????�
??????�
�
??????�
??????�
dada � = ??????�(�
2
+�
2
+�
2
),
� = �.�
�
.����, � = �.�
�
.����, � = �.�
�
. Evaluar para (�,�) = (−2,0).

BIBLIOGRAFÍA
Nakamura - Métodos numéricos aplicados con software
Hirsh - Numerical computation of internal and external flows. I

REFERENCIAS
https://www.derivadas.es/2014/02/18/derivadas-parciales-2/
http://crashdanny1996.blogspot.pe/p/noviembre_5.html
https://www.google.com.pe/search?q=files%20upc%20cohortejun%202013%20webnode%20es%20MA
TEMATICA%20PARA%20INGENIE
https://urmate.jimdo.com/c%C3%A1lculo-integral/