DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

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1. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

2. Concepto: Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. La derivada de orden superior comprende las derivadas a partir de la segunda derivada a más, y que se efectúa derivando tantas veces como se indique. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. Representación:

3. Utilidad : Para graficar una función tridimensional y encontrar los puntos críticos se determina:

4. Teorema de schwarz (igualdad de las derivadas mixtas).

5. Ejercicios de aplicación : Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden y muestre que las derivadas mixtas son iguales: Función : Derivada de orden superior respecto de x .  

6. Solución: Paso 1: Derivar parcialmente la función en primer orden respecto de x. Siendo Simplificar  

7. Paso 2: Derivar parcialmente la función en segundo orden respecto de x. El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función ( ) en x , “( )” es:  

8. Derivada de orden superior respecto de y. Solución: Paso 1: Derivar parcialmente la función de primer orden respecto de y. Paso 2 : Derivar parcialmente la función de segundo orden respecto de y.

9. El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función ( ) en y , “( )” es:   Derivada de orden superior mixta ( : Función:   Solución: Paso 1: Derivar parcialmente la función respecto de x.  

10.   Paso 2: Derivar parcialmente la función respecto y. El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función ( ) en xy , “( )” es:  

11. Solución: Paso 1 : Derivar parcialmente la función respecto de y . Paso 2 : Derivar parcialmente la función respecto de X. Derivada de orden superior mixta ( :  

12.   El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función ( ) en yx , “( )” es:     Finalmente , tomando en cuenta las derivadas parciales de orden superior mixtas, se puede afirmar que son iguales. Lo que se comprueba el teorema de schwarz siendo la función continua.