Derivadas y Antiderivadas

UNEG

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad Nacional Experimental de Guayana
vice –rectorado académico
catedra: matemáticas IV
Derivadas, anti derivadas y
familias de curvas
Yepez y
Prof: Álvaro Barrios Bachiller: Yepez Yeraldine

2. Derivadas
Laderivadaeslapendientedelarecta
tangenteaunafunciónf(x)enunpunto
determinad
Yepez y
Donde:
•La derivada de la función es el
punto marcado a la pendiente
de la recta tangente.
•La grafica de la función es la
dibujada en rojo.
•La tangente de la curva es la
dibujada en verde.

3. Derivada como razón de cambio
Siy=f(x),entonceslarazóndecambiopromediodeyconrespectoaxenel
intervalox,x+Δxsedefinecomo:
Δy
Δx
=
????????????+∆x−??????(??????)
Δx
Ejemplo:
Sif(x)=x²–3x
X1=2yx2=10
¿Cuáleslarazóndecambiopromedioentreestos?
Solución
Δx = x2 -x1 f(2)=(2)² -3(2) f(10)=(10)² -3(10)
Δy
Δx
=
70−2
8
Δx =10 -2 f(2)=4-6 f(2)=100-30
Δy
Δx
=
68
8
Δx = 8 f(2)= -2 f(2)=70
Δy
Δx
=
17
2
Yepez y

4. Propiedades de la derivadas
•(C)‘=0
•LINEALIDAD:[F,(X)±F2(X)±F3(X)±….Fn(x)]`
•[KF]`=K.F
•[F.G]`=F`.G+F.G`
•[
�
�
]`=
�`.�−�.�`
�²
•[
??????
�
]`=
−??????.�
�²
REGLA DE LA CADENA
[( )ⁿ]`=n( )ⁿ-‘ . ( )‘
[�
()
]‘ =�
()
.( )‘
[√( )]‘=
()′
2√()
[ln( )]‘=
()
()
[Sen( )]‘=Cos( ).( )'
[Cos( )]‘= -Sen( ).( )'
[Tg( )]‘=sec²( ).( )'
[Ctg( )]‘=-csc².( )‘
[Csc( )]‘=-csc( ).ctg( ).( )'
[Sec( )]‘=Sec().Tg().()'
Yepez y

5. Ejercicios resueltos
•[�
????????????
]‘=�
(??????+2)5
[�
()
]‘ =�
()
.( )‘
[�
(??????+2)5
]'=�
(??????+2)5 .[(x+2) ]'
�
(??????+2)5
. 5(x+2) . (x+2)'
�
(??????+2)5
.5(x+2) . (x+2)
�
(??????+2)5
. 5(x+2)
Yepez y 5 4

6. Ejercicios resueltos
??????+2
??????
√
??????+2
??????
= (
??????+2
??????
2??????+2
??????
)‘
????????????
????????????
= (
??????+2
??????
)‘ =
(t+2)‘.t−(t+2).t′
??????²
�??????
�??????
=
??????′+2′.??????−??????+2.1
??????²
1.??????−(??????+2)
??????²
=
??????−??????−2
??????²
=
−2
??????²
????????????
????????????
=
−2
??????²
2??????+2
??????
1
=
−2
2.??????²
??????+2
??????
=
−1
??????²
??????+2
??????
Yepez y

7. Yepez y
anti derivadas

8. Anti derivadas
Laantiderivadaeslafunciónqueresultadelprocesoinversodeladerivación,
esdecir,consisteenencontrarunafunciónque,alserderivadaproducela
funcióndada.
Notación
Lanotaciónqueemplearemosparareferirnosaunaantiderivadaesla
siguiente:
Ejemplo:
Para f ( x ) = 3 x ² , l a función: F ( x ) = x ³ e s una anti
derivada, pues f' (x)‘=3( x²) 3 ' =f(x)
F '(x) = F(x)
Yepez y

9. Interpretación geométrica
SiFesunaantiderivadadefsobreunintervaloI,entonceslaanti
derivadageneraldefsobreIes:
F(x) +C Donde: C es una constante
Significadogeométrico:
SiF(x)esunaantiderivadadef(x)enI,cualquierotraantiderivadade
fenIesunacurvaparalelaalgráficodey=F(x).
Yepez y

10. Anti derivadas
•Por ejemplo, si f(x) = 2x, entonces algunas anti derivadas son:
•F(x) = x
2
+ 2
•F(x) = x
2
+ 1
•F(x) = x
2
•F(x) = x
2
-1
•F(x) = x
2
-2
Si las representamos gráficamente en un mismo plano, se tiene :
•A este conjunto de gráficas se le conoce como una familia de
antiderivadas, con una derivada en común, que es f(x) = 2x
Yepez y

11. Yepez y

12. Familia de curvas
sonlascurvasqueseobtienendeunafunciónyquedifierenentresíenuna
constante.
•Enlasiguientefigura,semuestranunafamiliadecurvasdecolectorpara
diferentesvaloresconstantesdelacorrientebase.
Yepez y

13. Familia de curvas
Yepez y
Ejemplos:
Estascurvasrepresentan,laformadefuncionamientodel
transistor.

14. Familia de curvas
Yepez y
Esta curva, nos indica que para una temperatura ambiente de
25ºC, la potencia máxima es de 125mW. Sin embargo, para
55ºC, la potencia máxima disminuye a 50mW.

15. Gracias
Yepez y