Derivata di Funzione Composta - Teoria - Dimostrazione della Formula

Derivata di Funzione Composta - Teoria con Dimostrazione della Formula - Funzioni Composte - Formule della Derivata

1. A cura di Enzo Exposyto

zZ
g(x)

f(g(x))

—>

e

2. Funzione Composta
f(g(x))

X Zz Y
g(x) f(g(x))

jo : == ;,

A una x - tramite g(x) - corrisponde una sola z

A quella z - tramite f(g(x)) - corrisponde una sola y

3. Funzione Composta
f(g(x))

... con altre parole:

g prende una x e la trasforma in g(x) f prende quella g(x) e la trasforma in f(g(x))

g : x -> g(x) f: g(x) > f(9(x))

x my &) mp tae

Auna x corrisponde una sola g(x) e a quella g(x) corrisponde una sola f(g(x))

4. Funzione Composta
f(g(x))

A una x corrisponde una sola g(x) e a quella g(x) corrisponde una sola f(g(x))

x my a ee)

A quella z - tramite f(g(x)) - corrisponde una sola y

A una x - tramite g(x) - corrisponde una sola z

x D 2 => y

E possibile, allora, stabilire le seguenti uguaglianze:

x => z = g(x) y = gtx)
y =f(z

5. Funzione Composta
f(g(x))

g(x) f(g(x))

A

=> z = g(x) y = f(g(x))
y = f(z)

6. Derivata di
Funzione Composta

f(g(x))

Formula:

D[f(g(x))] = F(g(x)) * g'(x)

—

1)

7. Scriviamo
la Formula in
Altri Modi ...

8. PAID

Derivata di
Funzione Composta
f(g(x))
D[f(g(x))] = F(g(x) * a’) | (1)

Dal Grafico della Funzione Composta:

g(x) f(a(x))

g(x) =z
g(x) = 2’
Difz=F(z)*z'| (2)

9. Derivata di
Funzione Composta

f(g(x))

D[f(g(x))] = f(g(x)) * g'(x)

Dif(z)] = F(z) * z'

A Dal Grafico della Funzione Composta:

gx) fal)

ae

y = f(9(x))
y = f(z)
y' = f(z)

D[f(z)] = y'* z'

(2)

(3)

10. Derivata di
Funzione Composta

f(g(x))

D[f(g(x))] = F(g(x)) * g')| (1)

D[f(z)] = f(z) * z' (2)
D[f(z)] = y'* z’ (3)
y' = dy z'=dz
dz dx
Dif(z)] = dy * dz (4)
dz dx

11. Derivata di
Funzione Composta

f(g(x))

D[f(g(x)] = F(g(x) * g'(x)

D[f(z)] = f(z) * z'

D[f(z)] = y'* z'

D[f(z)] = dy * dz
dz dx

D[f(z)] = dy * dz = dy
dz dx dx

dy = dy * dz
dx dz dx

(1)
(2)
(3)
(4)

(5)

12. Dimostrazione
della Formula

DIf(g(x))] = f(g(x)) * g'(x)

13. Derivata di
Funzione Composta f(g(x)):
Limite
del Rapporto Incrementale

f(g(e+h))-f(g@)
(2+h)-(2)

D[f(gco»)]= lim

14. f(g(@+h))-f(g@)

Dif(g@))]= wi (a+h)-(2)

… F(g(a+h))-f(g@)
= lim h

h—0

‘i f(g(a+h))-f(g@) gle+h)-g(a)
~ h “g(a+h)-g(a)
u f(gle@+h))-f(g(@)) g(a@+h)-gca)
mn g(z+h)-g@) h

f(g(e@+h))-f(gi@) g(æ+h)-gt)

ee g(z+h)-g(x) ee, h

= [il primo limite é la derivata f'(g(x)); comunque,
ció sara reso più evidente nella slide successiva]

=P (90). 9 a) V4

15. 6 f(gle+h))-fig@) f(g(a@+h)+ga)-9(@))- f(g(@))
A —— 4 ms A” : Et 2 a AR

hoo g(z+h)-g(x) 430 glz+h)-gíx)
f(gc@)+g(a+h)-9(2))- fig)
= lim
h>0 g(z+h)- g(a)

= [g(x) =z and g(x+h) - g(x) = hi]
f(z+h,)-f@

=f (go) Y