DERIVATA di FUNZIONE ESPONENZIALE INTERA - BASE NON e - INSIEME di DERIVABILITA' - LIMITE del RAPPORTO INCREMENTALE - DIMOSTRAZIONI PASSO PASSO

DERIVATA di FUNZIONE ESPONENZIALE INTERA
- BASE NON e
- INSIEME di DERIVABILITA'
- LIMITE del RAPPORTO INCREMENTALE
- DIMOSTRAZIONI PASSO PASSO

Calcolo della Derivata di una Funzione Esponenziale Intera
Definizione della Funzione
Dominio
Insieme di Derivabilità
Incremento della x
Rapporto incrementale
Limite del rapporto incrementale
Dimostrazioni
Calcoli Passo Passo
Grafici

https://www.youtube.com/user/enzoexposito

http://www.enzoexposito.it/mobile/matematica.html

http://www.enzoexposito.it/mobile/anal_infin_derivate.html

https://www.slideshare.net/EnzoExposito1

https://www.linkedin.com/in/enzo-exposyto-aa970530/

https://www.facebook.com/enzoexposyto

https://twitter.com/enzoexposyto

https://www.tumblr.com/blog/enzoexposyto

#matematica
#analisi
#funzione #funzioni
#esponenziale #esponenziali
#logaritmo #logaritmi
#dominio
#limite #limiti
#derivata #derivate

#math #maths #mathematics
#calculus
#function #functions
#exponential #exponentials
#logarithm #logarithms
#domain
#limit #limits
#derivative #derivatives

NOTA:
A pagina 12, la frase completa,
che deriva (ovviamente) dal contesto, è
"Consideriamo, allora, il (LIMITE del) Rapporto Incrementale ..."

1. DERIVATA = eel”
del RAP] ORTO |

“A cura di Enzo Exposyto

Y = (1/2)

2. DERIVATA
y’ = (112) ih(1/2)

3. Consideriamo
la Funzione Esponenziale Intera
y=f(x)=a [a>0;a<>1]
La base ‘a’ é diversa da
e = 2,718281828...
Essa € tale che
a ogni x,
elemento del Dominio
X = R = ]-00, +oo[,
fa corrispondere
y=a,
con y elemento dell’insieme
Y = R' = 0, tool

4. Funzione Esponenziale Intera

y=fx)=a [a>0;a<>1]
a<>e

Y

f(x)

>

f:xeX

D y = 109) = acy

5. INSIEME
di DERIVABILITA
della Funzione data

6. La Funzione Primitiva,
cioé la Funzione da Derivare,

y = f(x) = al

in quali PUNTI
dell'INTERVALLO - DOMINIO

E DERIVABILE?

7. la Funzione Esponenziale Intera

y = f(x) =a’,
é derivabile
nell’Insieme di Definizione X,
PINTERVALLO APERTO
R = ]-00, +00[.

Qui, essa e
- Definita
- Continua

- Derivabile

8. Rapporto
Incrementale
e DERIVATA
in generale ...

9. y = f(x)

Data, ora, una x
dell’Insieme di Derivabilita,
consideriamo, per essa,
un incremento ‘h’
molto piccolo,
prossimo allo zero;
pensiamo, ad esempio,
ad h = 0,0000000001:

x +h =x + 0,0000000001

Introduciamo, poi,
il RAPPORTO INCREMENTALE

10. y = f(x)

Consideriamo una x
dell’Insieme di Derivabilita
e
h, incremento della x;
aX corrisponde y = f(x)

aXth corrisponde y.= f(x+h).

II RAPPORTO INCREMENTALE è:

y. -y
(x+h)-(x)

f(x+h) - f(x)
(x+h) - (x)

11. Dati

- la Funzione y = f(x)
- h, incremento della x
- il Rapporto Incrementale
f(x+h) - f(x)
(x+h) - (x)

la DERIVATA é il LIMITE,
SE ESISTE ed E FINITO,
del Rapporto Incrementale
per l’incremento h tendente a 0:

y' = lim f(x+h) - f(x)
neo (X+h)- (x

12. Consideriamo, allora,
il Rapporto Incrementale

y' = lim f(x+h) - f(x)
h>0 (ch) - (x)

per la Funzione

x
y=a conxReale

13. Derivata della Funzione
Esponenziale Intera a’, cona<>e

y=a* xeR
y'=lim_a th. a =lim_a th. a

h->0 (ch) - (x) h>0 h

= a** In(a) 1 - Segue

14. Nel calcolo del limite,
evidenziamo quanto segue - 1

1* Riga Al denominatore,

(x+h) - (x) = + h FE h

15. DIMOSTRAZIONE ...

16. x+h x+h

lim_a «ax =lima - aX

h>0 (x+h) - (x) h->0 h
= lim aah - a*
h>0 h

= lim _a* (ah - 1)
h

h>0

= lim aX (at - 1)
h->0 h

= lim aX lim (a? - 1)

h->0 h->0

= a** In(a) 2 - Fine

17. Nel calcolo del limite,
evidenziamo quanto segue - 2
21 Riga Al numeratore, per la 1“ proprieta
delle potenze, si ricava, dalla 1* riga,
che ats a B a"
2" Riga Al numeratore, notiamo che a” é presente
nei due termini
31 Riga Al numeratore, poniamo in evidenza a”
41 Riga Trattandosi di un prodotto, possiamo
moltiplicare a con la frazione restante
5“ Riga Il limite del prodotto della 4* riga
è uguale al prodotto dei limiti
51 Riga Nel 1° limite, a NON varia al variare di h;
il 2° € un LIMITE NOTEVOLE
ed é pari a In(a):
vedi il LIMITE con 3 a diverse nel Piano h - y

18. | Piano h - y ] y
lim a”- 15 In(a)

aro h a= 112 |

lim (1/2)"- 4 + In(1/2) = - 0,69
h

h->0

19. | Piano h - -y | y

lim 2°-1 E + In(2) =

noo h,
lim a” = 4 = In(a)
|h >0 h r
5 4 3 2 1.0 1 = In(2) = 0,69 |
1 ’ T T i | N
y= Qn 4 (a=2;h <> 0)
h

4

20. Piano h - y y

5 4 3 2 1.0 1 2 3 4 5

y= 3'-1 (a=3;h<+70)
h

2

3

4

5

21. 2 GRAFICI d’esempio,
quello della Primitiva
(con a = 1/2)

e quello della sua Derivata,
a CONFRONTO ...

22. — Cc y = (1/2)

paa y'= (1/2) * In(1/2)

23. Notiamo che
la Funzione Esponenziale Intera

y = f(x) = a
e la sua Derivata
y’ = f(x) = a** In(a)
hanno lo stesso Dominio:

R =]-00, +oo[