Derivate - esercizi con soluzioni

Esercitazione sul calcolo di semplici derivate

1. ESERCITAZIONE: IL CALCOLO DELLE DERIVATE Data:10/12/2014
Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1) x2e2y
x
 ; 2)  3xxlnxy  ;
3) xlnexy
x
 ; 4) 1x3xx2y
34
 ;
5) 43
x4x3xy  ; 6)  xlnxx2xy
23
 ;
7) 3x
3xx
y
4
2


 ; 8) 2
x
x
xlnxe2
y

 .


Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1) 32
3x2xy  2) xln
2x
y
2


3) xlnx
ey 4)  
x2ln
1x2ln
y





Rappresenta la funzione assegnata e determina gli intervalli in cui f(x) è continua e quelli in cui è
derivabile.  2xlnxf 


Determina i punti stazionari della seguente funzione. 22
xxln4y 



Calcola la derivata prima, seconda e terza delle seguenti funzioni. 1xlnxey
2x2

xlnx2y
2



Risolvi il seguente problema:

Date le funzioni 






altrimenti xx
2x0 se x3x
xf
2
2 e 






altrimentix3x
2x0 sexx
xg
2
2
a) calcola le derivate fx e gx e le relative condizioni di esistenza;
b) disegnato il grafico delle due funzioni, indica i valori di x per i quali le funzioni non sono derivabili
precisando se per tali valori le funzioni sono però continue;
c) trova gli eventuali valori di x per i quali f(x) e g(x) hanno tangenti parallele.

2. SOLUZIONI

Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1) x2e2y
x
 ;
2e2y
x


2)  3xxlnxy  ;
 
xln
x
3
2x2
xlnx
x
3
13x
1xlnx3x
x
1
1y











3) xlnexxlnexy
xx
 ;

  

 1xlnx1e
exlnx1e
x
1
exxlnexe1y
x
xx
xxx





4) 1x3xx2y
34
 ;
3x3x8y
23


5) 4
1
3
1
2
1
43
x4x3xx4x3xy  ;
4332
4
3
3
2
2
1
x
1
x
1
x2
1
x
4
1
4x
3
1
3x
2
1
y






6)  xlnxx2xy
23
 ;
   
  1x2xxln1x4x3
x
1
xx2xxln1x4x3y
22
232



7) 3x
3xx
y
4
2


 ;
   
 
 
 
2
4
345
2
4
34545
2
4
324
3x
3x6x12x3x2
3x
x12x4x43xx6x2
3x
x43xx3x1x2
y












8) 2
x
x
xlnxe2
y

 .
 
4
2xx2
4
2x2x2
4
x2x
x
xlnx2xxxe4ex2
x
xlnx2x2xe4xxex2
x
x2xlnxe2x
x
1
1e2
y















3. Calcola la derivata delle seguenti funzioni.

1)  3
1
232
3x2x3x2xy 
  

 
3
2
2
3
2
2
3x2x3
1x2
2x23x2x
3
1
y






2) 2
1
22
xln
2x
xln
2x
y











 
xlnx
2xxlnx2
2x
xln
2
1
xlnx
2xxlnx2
xln
2x
2
1
xln
x
1
2xxlnx2
xln
2x
2
1
y
2
22
2
2
22
2
2
2
2
1
2




























3) xlnx
ey
 1xlney
xlnx


4)  
x2ln
1x2ln
y



  

  
 x2lnx21x2
1x2ln1x2x2lnx22
x2ln
1x2ln
x2
1
x2ln
1x2
2
y
2
2











4. Rappresenta la funzione assegnata e determina gli intervalli in cui f(x) è continua e quelli in cui è
derivabile.  2xlnxf 


DOMINIO 





02x
02xln
→ 




2x
e2x
0 → 




2x
3x → 3x D =   ;3


ZERI   3x e2x 02xln 02xln
0

La funzione ha uno zero in x = 3


SEGNO
Essendo una irrazionale di indice 2 è positiva   ;3x


COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI DEL DOMINIO   023ln2xlnlim
3x


;    

2ln2xlnlim
x
La funzione è continua in tutto il dominio.


DERIVATA PRIMA   2
1
2xln2xlnxf 

 2xln2x2
1
2x
1
2xln2
1
xf









DOMINIO DELLA DERIVATA PRIMA 







f(x) di dominio Nel
02xln
02x
D’=   ;3


ZERI DERIVATA PRIMA
Non esistono.

5. SEGNO
Sempre positiva in D’.


COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI  

















 0
1
23ln232
1
2xln2x2
1
lim
3x
;  
0
1
ln2
1
2xln2x2
1
lim
x



















Il punto x = 3 è un punto a tangente verticale.



GRAFICO

6. Determina i punti stazionari della seguente funzione. 22
xxln4y 



I punti stazionari sono i punti a tangente orizzontale cioè i punti in cui la derivata prima è 0.


DERIVATA PRIMA  
x
4x2
x
x28
x2
x
8
x2x2
x
1
4y
22
2




.

I punti in cui si annulla sono:
 
2x 4x 04x 0
x
4x2
22
2




A = 





55,144ln422ln4y
2x
22

B = 





55,144ln422ln4y
2x
22

7. Calcola la derivata prima, seconda e terza delle seguenti funzioni.
1xlnxey
2x2

1x
1
x2e2y
x2



2
x2
1x
1
2e4y



3
x2
1x
2
e8y


xlnx2y
2

x2xlnx4y 
6xln424xln4y 
x
4
y

8. Risolvi il seguente problema:

Date le funzioni 






altrimenti xx
2x0 se x3x
xf
2
2 e 






altrimentix3x
2x0 sexx
xg
2
2
a) calcola le derivate xf e xg e le relative condizioni di esistenza; 






2x0x se 1x2
2x0 se 3x2
xf







2x0x se3x2
2x0 se1x2
xg  
 
 
 31x2lim
13x2lim
33x2lim
11x2lim
2x
2x
0x
0x












 
 
 
 13x2lim
31x2lim
11x2lim
33x2lim
2x
2x
0x
0x












Le due funzioni non sono derivabili in x = 0 e in x = 2 che risultano punti angolosi.

b) disegnato il grafico delle due funzioni, indica i valori di x per i quali le funzioni non sono derivabili
precisando se per tali valori le funzioni sono però continue;

In x = 0 e x = 2 le funzioni sono continue.

c) trova gli eventuali valori di x per i quali f(x) e g(x) hanno tangenti parallele.
I valori per i quali le tangenti sono parallele sono quelli in cui le derivate sono uguali (le tangenti
hanno la stessa inclinazione!) o si annullano (punti stazionari a tangente orizzontale)
f’(x) = g’(x)  –2x + 3 = 2x – 1  x = 1
f’(x) = 0  –2x + 3 = 0  x = 2
3
g’(x) = 0  2x – 1 = 0  x = 2
1
Le funzioni hanno tangenti parallele nei punti stazionari x = 2
1 , x = 2
3 e in x = 1.