Desigualdades e intervalos calculo.

propiedades de las desigualdades e intervalos, ejemplos y ejercicios.

1. CALCULO DESIGUALDADES E INTERVALOS

2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

3. DESIGUALDADES Una desigualdad es una expresión algebraica relacionada por signos . Nos sirve para establecer la relación entre dos cantidades semejantes mediante la siguiente simbología. Símbolo> Significado Ejemplo = Igual a=3 ≠ Diferente 3≠ 3.333 > Mayor que π > 3 < Menor que -1< ≥ Mayor o igual que a ≥ b ≤ Menor o igual que X

4. RELACION DE ORDEN ENTRE LOS NUMEROS REALES Si a, b Є R i) a < b sí y solo sí , b - a es positivo . Ej . -10 < -6 → -6 -(-10) = 4 3 < 5 → 5 – 3 = 2 ii) a> b sí y solo sí , a – b es positivo Ej . 7 > 2 → 7 – 2 = 5 - 2 > -7 → -2 – (-7) =5 Si a,b Є R a ≤ b si y solo si a < b , o bien , a = b a ≥ b si y solo si a > b, o bien , a = b

5. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES 1. Si a < b y c < d → a + c < b + d. Ej . 2 < 5 7 < 10 2 + 7 < 5 + 10 Si a > b y c > d → a + c > b + d Ej -3 > -5 4 > 1 -3 + 4 > -5 + 1 Si dos desigualdades del mismo sentido se suman miembro a miembro la desigualdad no cambia de sentido .

6. 2. Si a < b , c Є R → a ± c < b ± c Ej . - 4 < 7 - 4 + 2,5 < 7 + 2,5 -1,5 < 9,5 Si a > b , c Є R → a ± c > b ± c Ej . 3 > -1 3 – 5 > -1 – 5 -2 > -3 Si sumamos o restamos un mismo número real a ambos miembros de la desigualdad , la desigualdad resultante no cambia de sentido . PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

7. 3. Si a < b , c > 0 → a.c < b.c , y, a/c < b/c Ej. 4 < 10 4 < 10 4 . 2 < 10. 2 4/2 < 10/2 8 < 20 2 < 5 Si a > b , c > 0 → a.c > b.c ,y, a/c > b/c Ej. 15 > 9 15 > 9 15 . 3 > 9 . 3 15/3 > 9/3 45 > 27 5 > 3 Si se multiplica o divide a ambos miembros de una desigualdad por un número real positivo la desigualdad resultante no cambia de sentido. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

8. 4. Si a < b , y, c < 0 → a . c > b . c ,y, a/c > b/c Ej. 3 < 12 3 < 12 3 (-3) > 12 (-3) 3 / (-3) > 12/ (-3) -9 > -36 -1 > -4 Si a > b , y, c < 0 → a . c < b . c , y, a/c < b/c Ej. 3 > -4 3 > -4 3 (-2) < -4 (-2) 3 / (-2) < (-4) / (-2) -6 < 8 -3/2 < 2 Si se multiplica o divide a ambos miembros de una desigualdad por un número real negativo, la desigualdad resultante cambia de sentido. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

9. a > o , y, b > 0 a . b > 0 a < 0 ,y, b < 0 Ej. 8 > 0 , y , 7 > 0 -5 < 0 ,y, -6 < 0 8 . 7 > 0 (-5)(-6) > 0 56 > 0 30 > 0 El producto de dos números reales es mayor que cero si ambos son positivos o ambos son negativos . PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

10. INTERVALO DE UNA VARIABLE Es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y que están comprendidos entre dos de ellos: a y b, que se denominan extremos del intervalo. La diferencia que existe entre ambos extremos se conoce como Amplitud de intervalo y es igual al valor absoluto de su diferencia |a-b|

11. INTERVALO DE UNA VARIABLE Notaci ón de intervalo: [ a,b ] “intervalo de a hacia b” Notación para la variable: a<x<b “la variable x es mayor que a y menor que b”

12. CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS INTERVALO ¿QUE REPRESENTA? CERRADO [ a,b ] { x|a≤x≤b } ABIERTO ( a,b ) { x|a <x<b} SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA ( a,b ] { x|a < x≤b } SEMIABIERTO POR LA DERECHA [ a,b ) { x|a≤x <b} INFINITO (a,+ œ) , [a,+ œ) (- œ,b ) , (- œ,b ]

13. Representación gráfica de los intervalos En la recta real los valores a y b se denominan extremos del intervalo Resolver una desigualdad significa encontrar todas sus soluciones, es decir obtener el intervalo donde la relación es verdadera.

14. DESIGUALDADES. EJEMPLO 1: Encuentra el conjunto de solución que satisfaga la siguiente desigualdad:

15. Ejemplo 2

16. Ejemplo 3 Doble desigualdad

17. Ejemplo 4: Desigualdad cuadrática

18. Ejemplo 5: Desigualdad de racionales

19. EJERCICIO 1 Resuelve las siguientes inecuaciones o desigualdades e indica su intervalo 1 3x < 15 12 7> 8x - 5 2 3x + 6 > 2x + 12 13 1 - 5x < -8 3 4x - 8 > 3x – 14 14 x – 3 < 3 - x 4 10x + 24 < 16x + 12 15 3x + 5 ≥ 4x-1 5 - 2x + 3 > - 3x – 1 16 2x+ 5>6x+4 6 5(x + 6) - 5 > - 10 17 3x + 7 ≥ 2x-3 7 6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1) 18 - 4x + 9 < x - 1 8 5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4 19 3x - 1 ≥ x - 3 9 2x+ 4 > 0 20 3x - 1 ≤ 2x+1 10 3x - 7< 5 21 x + 2 ≤ 3x - 5 4 11 2 - x >3