determinante inversa

Determinante de una matriz
Regla de Sarrus
Propiedades de los determinantes
Matriz inversa
Matriz inversa por el método de la adjunta
Matriz inversa por Gauss Jordan

1. SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II Agosto 2010 “Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra visión de ser competitivos e innovadores para tener acreditación internacional y contribuir al desarrollo sostenido.” MATEMÁTICA BÁSICA - DETERMINANTE E INVERSA DE UNA MATRIZ 1

2. CONTENIDOS Determinante de una matriz Regla de Sarrus Propiedades de los determinantes Matriz inversa Matriz inversa por el método de la adjunta Matriz inversa por Gauss Jordan 2

3. ¿QUÉ ES EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ? ¿Cómo se halla el determinante de una matriz? ¿Cuáles son sus propiedades? ¿Qué métodos existen para hallar el determinante? ¿En que usa el determinante de una matriz? 3

4. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 4 Asociamos con cada matriz cuadrada , a un número llamado determinante y denotamos por: Ejemplo: Hallar el determinante de la siguiente matriz Solución: Determinante de una matriz de orden 2

5. 5 Regla de Sarrus Dada la matriz general de orden 3x3 siguiente: DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3 Su determinante se obtiene multiplicando y sumando algebraicamente sus elementos de la siguiente forma

6. 6 Propiedades de los determinantes Si cada una de las entradas de una fila (o columna) de A es 0, entonces Si dos filas o columnas son idénticas, entonces Si k es una constante y A es de orden n, entonces Si una matriz es triangular, su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 7. 8 .

7. 7 Determinante de una matriz por Menores complementarios Donde es el determinante de la submatriz de orden (n-1).(n-1) de la matriz A que se obtiene omitiendo su i - ésima fila y n – ésima columna. El determinante se llama el menor del elemento . El determinante de una matriz, mediante el método de menores complementarios, queda definido de la forma siguiente:

8. 8 Ejemplo: Hallar el determinante de la siguiente matriz: Solución Hallar el determinante de la siguiente matriz:

9. MATRIZ DE COFACTORES 9 Ejemplo: Si A es una matriz cuadrada de orden n, su matriz de cofactores se define por: , donde Si Hallar su matriz de cofactores

10. 10 Hallan do cada

11. ADJUNTA DE UNA MATRIZ Matriz de orden 2 11 Ejemplo:

12. Matriz de orden 3 12 Si A es una matriz de orden 3, la adjunta es la transpuesta de su matriz de cofactores. Ejemplo: Del ejemplo anterior tenemos : Por tanto

13. 13 Propiedades: A.A -1 = I I -1 = I (A -1 ) -1 = A (A T ) -1 = (A -1 ) T (A.B) -1 = B -1 . A -1 MATRIZ INVERSA Si A y B son dos matrices cuadradas tal que AB = BA = I, entonces A y B se denominan matrices inversas, es decir, A es la inversa de B, y B es la inversa de A. La inversa de la matriz A se simboliza como: A - 1 Observación Una matriz A que posee inversa, se llama matriz inversible. Una matriz A que no posee inversa, se llama matriz singular o no inversible. A es una matriz no singular si y sólo si:

14. MATRIZ INVERSA POR EL METODO DE LA ADJUNTA Si A es una matriz no singular, su inversa es: 15 Ejemplo Hallar la inversa de la siguiente matriz: Inversa de una matriz de orden 2

15. 16 1º Hallando el determinante de A 2º Hallando la matriz adjunta de A 3º L a inversa de A es:

16. 17 Ejemplo Hallar la inversa de la siguiente matriz: Inversa de una matriz de orden 3 1º Hallando el determinante de A

17. 18 2º Hallando la matriz de cofactores de A

18. 19 3º Hallando la adjunta de A 4º L a inversa de A es:

19. 20 Es el conjunto de operaciones o procesos que se realizan sobre las filas de una matriz. No modifican su orden ni su característica y permite obtener una segunda matriz equivalente a la primera. Las operaciones elementales son las siguientes: Notación Transformaciones elementales de filas Intercambiar las filas y Multiplicar la fila por la constante Sumar k veces la fila a la fila TRANSFORMACIONES ELEMENTALES SOBRE FILAS EN UNA MATRIZ

20. 21 MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS JORDAN (Operaciones elementales) Sea A es una matriz cuadrada de orden n . Para calcular su inversa se sigue los siguientes pasos: Se construye una matriz de la forma M = ( A | I ) ; es decir, a la matriz A se le amplia con la identidad, formándose una matriz llamada matriz ampliada o aumentada. Utilizando las operaciones elementales sobre filas (método Gauss), se transforma la matriz A, en la matriz identidad: M = ( I | A -1 ) . La matriz que resulta en el lado derecho, será la matriz inversa de A. O.E Esto es

21. 22 Ejemplo Hallar la inversa de la matriz A por el método de Gauss Solución Por lo tanto la matriz inversa de A es:

22. REPASO PARA EL EXAMEN FINAL