Determinante vandermonde

metodos numericos o algebra lineal

1. Determinante de Vandermonde
Objetivos.Denir la matriz de Vandermonde y demostrar la formula para su determi-
nante. Conocer su aplicacion a la interpolacion polinomial.
Requisitos.Determinante y sus propiedades, polinomios.
1. Denicion (matriz de Vandermonde).Sean1; : : : ; n2F. Lamatriz de Vander-
mondegenerada por los puntos1; : : : ; nse dene mediante la siguiente formula:
V(1; 2; 3; : : : ; n):=
2
6
6
6
6
6
6
6
4
11
2
1: : :
n1
1
12
2
2: : :
n1
2
13
2
3: : :
n1
3
: : : : : : : : : :
1n
2
n: : :
n1
n
3
7
7
7
7
7
7
7
5
:
En notacion breve:
V(1; 2; 3; : : : ; n):=


j1
i

n
i;j=1
:
Las entradas de cada renglon forman una progresion geometrica.
2. Ejemplo (el determinante de Vandermonde paran= 1).En este caso la matriz
de Vandermonde es de tama~no 11:
detV(1) =

1

:
Su determinante es igual a 1 y no depende de1.
3. Ejemplo (el determinante de Vandermonde paran= 2).
detV(1; 2) =





11
12





=21:
4. Ejemplo (el determinante de Vandermonde paran= 3).
detV(1; 2; 3) =







11
2
1
12
2
2
13
2
3







:
Determinante de Vandermonde, pagina 1 de 4

2. Aplicamos operaciones elementales por columnas:
detV(1; 2; 3) =







11
2
1
12
2
2
13
2
3







C3+=3C2
C2+=3C1
==========







113
2
113
123
2
223
1 0 0







:
Luego expandimos a lo largo de la ultima la:
detV(1; 2; 3) = (1)
3+1




131(13)
232(23)




:
De la primera la factoricemos el factor comun13; de la segunda la factoricemos
el factor comun23:
detV(1; 2; 3) = (13)(23)




11
12




:
El ultimo determinante es detV(1; 2) =21. Cambiando los signos de los factores
13y23, obtenemos:
detV(1; 2; 3) = (21)(31)(32):
5. Teorema (formula para el determinante de Vandermonde).
detV(1; : : : ; n) =
Y
1i<jn
(ji):
Demostracion.Por induccion. El caso degeneradon= 1 puede servirnos como una base
de la induccion si aceptamos el convenio que el producto de los elementos de un conjunto
vaco es igual a 1:
detV(1) = det

1

= 1 =
Y
;
=
Y
1i<j1
(ji):
Paran= 2 la formula tambien es correcta:
detV(1; 2) =




11
12




=21=
Y
1i<j2
(ji):
Supongamos que la formula es cierta paran1 y la demostremos paran. Usamos la
misma idea que vimos en el cason= 3. Para eliminar todas las entradas del ultimo
renglon excepto la primera entrada realicemos las siguientes operaciones elementales con
las columnas:
Cn+ =nCn1; : : : ; C 3+ =nC2; C 2+ =nC1:
Determinante de Vandermonde, pagina 2 de 4

3. Obtenemos el siguiente determinante:
detV(1; : : : ; n) =









11n
2
11n: : :
n1
1
n2
1n
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1n1n
2
n1n1n: : :
n1
n1
n2
n1n
1 0 0 : : : 0









:
Expandamos el determinante a lo largo del ultimo renglon:
detV(1; : : : ; n) = (1)
n+1







1n
2
11n: : :
n1
1
n2
1n
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
n1n
2
n1n1n: : :
n1
n1
n2
n1n







:
Para cadai2 f1; : : : ; n1g, deli-esimo renglon factoricemosin:
detV(1; : : : ; n) = (1)
2
(1)
n1
Y
1in1
(in)







11
2
1: : :
n2
1
: : : : : : : : :
1n1
2
n1: : :
n2
n1







:
Usando el factor (1)
n1
cambiemos los signos de los factoresin,i2 f1; : : : ; n1g,
luego notemos que el ultimo determinante esV(1; : : : ; n1). Podemos calcularlo usando
la hipotesis de induccion:
detV(1; : : : ; n) =
Y
1in1
(ni)
Y
1i<jn1
(ji) =
Y
1i<jn
(ji):
6. Observacion.La ultima igualdad en la demostracion del teorema esta basada en el
hecho que los conjuntos

(i; j): 1i < jn1

y

(i; n): 1in1

son disjuntos, y su union es

(i; j): 1i < jn

:
Por ejemplo, paran= 4:

(1;2);(1;3);(1;4);(2;3);(2;4);(3;4)

=

(1;2);(1;3);(2;3)

[

(1;4);(2;4);(3;4)

:
7. Corolario (el determinante de Vandermonde con argumentos diferentes por
pares es distinto de cero).Sean1; : : : ; ndiferentes por pares:i6=jsii6=j.
Entonces detV(1; : : : ; n)6= 0.
Determinante de Vandermonde, pagina 3 de 4

4. Aplicacion a la interpolacion polinomial
8. Teorema (existencia y unicidad del polinomio interpolante).SeaFun campo.
Sean0; 1; : : : ; nelementos deFdiferentes por pares y sean0; 1; : : : ; n2F. Entonces
existe un unico polinomioP2 Pn(F) tal queP(i) =ipara todoi2 f0; : : : ; ng.
Demostracion.BusquemosPde la forma
P(x) =c0+c1x+c2x
2
+: : :+cnx
n
:
Para que se cumplan las igualdadesP(i) =ilos coecientes del polinomio deben
satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
8
<
:
c0+c10+c2
2
0+: : :+cn
n
0=0;
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
c0+c1n+c2
2
n+: : :+cn
n
n=n:
La matriz del sistema es la matriz de Vandermonde asociada a los puntos0; : : : ; n, esto
es, la matrizV(0; : : : ; n). Como0; : : : ; nson diferentes por pares, su determinante es
distinto de cero. Por el teorema de Cramer el sistema tiene una unica solucion.
9. Corolario (la igualdad de polinomios de gradonenn+ 1 puntos implica
la igualdad de sus coecientes).SeanP; Q2 Pn(F). Supongamos que0; 1; : : : ; n
son algunos puntos deFdiferentes a pares, y
8k2 f0;1; : : : ; ngP(k) =Q(k):
EntoncesP=Q, esto es, los coecientes correspondientes dePyQson iguales.
10. Corolario (la igualdad de los valores de polinomios en un conjunto innito
de puntos implica la igualdad de sus coecientes).SeaFun campo innito (por
ejemplo,Q,RoC), seanP; Q2 P(F) y seaAun subconjunto innito deF. SiP() =
Q() para todo2A, entoncesP=Q.
11. Ejemplo: dos polinomios diferentes sobre un campo nito pueden tener
los mismos valores en todos los puntos.En campos nitos es posible la situacion
cuandoP() =Q() para todo2F, peroP6=Q. Recordemos que en el campo de dos
elementosF2=f0;1gse cumple la igualdad 1 + 1 = 0. Consideremos los siguientes dos
polinomios sobre el campoF2:
P(x) =x+x
5
; Q(x) = 0:
Notemos quePyQson dos polinomios diferentes, pues tienen coecientes diferentes.
PeroP(0) = 0 =Q(0) yP(1) = 1+1+0 =Q(0), as queP() =Q() para todo2F2.
Determinante de Vandermonde, pagina 4 de 4