Determinantes

Questões de matemática dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
DETERMINANTES

2. DETERMINANTES
1


01. (Unicamp 2020) Sabendo que p é um número real, considere a matriz
p2
A
0p

=


e sua transposta
T
A. Se
T
AA+
é singular (não invertível), então

a) p 0.=
b) | p | 1.=
c) | p | 2.=
d) p 3.=
02. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3,
1a1
A b 1 a.
2b2


=




Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual
a

a) 0.
b) 2.
c) 5.
d) 10.
03. (Mackenzie 2018) O valor do determinante
1
3
1
3
1
3
3
3
33
0 log 3 log
1 log 27 log 27
0 log 81 log 243
é
a) 0
b) 1
c) 1−
d) 3
e)
1
3

04. (Famema 2018) Considere as matrizes
ij 2 3
A (a ) ,
×
= com
ij
a 2i j,= −
2
12
B01
m 12


= −

−
e
m0
C,
3m 6
−
=

sendo m um
número real. Sabendo que C A B,= ⋅ então det C é igual a

a) 0.
b) 12.−
c) 8.−
d) 6.
e) 4.−

3. DETERMINANTES
2



05. (Mackenzie 2017) Para a matriz quadrada
cos17 0 sen17
M 111
sen28 0 cos28
°°

=

 °°
 o valor do determinante de
10
M é
a)
1
16

b)
1
32

c)
1
64

d)
1
128

e)
1
256


06. (Famerp 2017) No estudo da dinâmica de populações é comum ser necessário determinar o número real λ na
equação det(M I) 0,λ−= em que M é uma matriz quadrada, I é a matriz identidade, da mesma ordem de M, e det
representa o determinante da matriz (M I).λ− Se, em um desses estudos, tem-se
0 17 2
M 2 0 0,
100


=



o valor positivo de
λ é igual a
a) 5.
b) 8.
c) 9.
d) 12.
e) 6.

07. (Mackenzie 2017) Considerando m e n raízes da equação
xx
2
22
2 80
log x log x 0 0,
1 23
=
onde x 0,> então mn+ é
igual a
a)
2
3

b)
3
4

c)
3
2

d)
4
3

e)
4
5


08. (Famema 2017) Considere as matrizes
k0k
A,
3 2k

=
−
sendo k um número real, com k 2,<
ij 3 2
B (b ) ,
×
= com
2
ij
b (i j) ,= − e C A B.= ⋅ Sabendo que detC 12,= o valor de
2
k é

a) 0.
b) 9.
c) 4.
d) 16.
e) 1.

4. DETERMINANTES
3



09. (Mackenzie 2016) Se f(sen(x)) sen(3 x),= para todo x∈ e A(y), para y,∈, é a matriz 3 3,×
1 f cos 1
6
A(y) f cos y f cos ,
66
1
f cos 1
26
π
ππ
π
 
 


  
=  
   





o valor de y que satisfaz a equação det(A(y)) 2= é
a)
1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

10. (Unicamp 2016) Considere a matriz quadrada de ordem 3,
cos x 0 sen x
A 0 1 0,
sen x 0 cos x
−

=



onde x é um número real.
Podemos afirmar que

a) A não é invertível para nenhum valor de x.
b) A é invertível para um único valor de x.
c) A é invertível para exatamente dois valores de x.
d) A é invertível para todos os valores de x.

11. (Fgv 2015) Os elementos da matriz
ij 3 3
A (a )
×
= representam a quantidade de voos diários apenas entre os
aeroportos i, de um país, e os aeroportos j, de outro país. A respeito desses voos, sabe-se que:
- quando
j 2,= o número de voos é sempre o mesmo;
- quando i j,= o número de voos é sempre o mesmo;
- quando i 3,= o número de voos é sempre o mesmo;
-
11
a 0,≠ e det A 0.=

De acordo com as informações, é correto afirmar que o conjunto solução com as possibilidades de
11
a é igual a

a)
21 13
{a ,a }
b)
21 23
{a ,a }
c)
22 13
{a ,a }
d)
21 22
{a ,a }
e)
13 22
{a ,a }

12. (Mackenzie 2015) Se i é a unidade imaginária e
1
(1 i) b
M
i 2 2a
−+
=
−−
tem determinante igual a 3i, os valores de a
e b são, respectivamente,

a) 6 e 3
b) 3 e 1
c) 0 e 6
d) 2 e 4
e) 4 e 2

5. DETERMINANTES
4


13. (Unicamp 2014) Considere a matriz
1a1
M b 1 a,
1b1


=



onde a e b são números reais distintos. Podemos afirmar que
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é positivo.
c) o determinante de M é igual a
22
a b.−
d) a matriz M é igual à sua transposta.

14. (Espm 2014) Se a matriz
3x
4x1


+
for multiplicada pelo valor do seu determinante, este ficará multiplicado por
49. Um dos possíveis valores de x é
a) 5
b) –3
c) 1
d) –4
e) 2

15. (Mackenzie 2013) Sendo
senx cos x
A
cos x senx
=
−
e
22
log 256 log 0,25
B 11
24
= números reais, o valor da expressão
1
AB
−
−⋅ é
a) 3−
b)
1
3
−
c)
1
5
−
d) 1
e) 5

16. (Fgv 2012) Seja a matriz identidade de ordem três
100
I 010
001


=



A a matriz
001
0 1 0.
100





Considere a equação
polinomial na variável real x dada por det(A xI) 0−= em que o símbolo det(A xI)− indica o determinante da matriz
A xI.− O produto das raízes da equação polinomial é

a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
e) -1

6. DETERMINANTES
5



17. (Fgv 2011) O sistema linear nas incógnitas x , y e z.

x y 10 z
yz5x
zx7y
−= +

−=−

+=+



pode ser escrito na forma matricial AX = B, em que:
x 10
X y e B 5 .
z7
  
  
= =
  
  
  
Nessas condições, o determinante da matriz
A é igual a

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

18. (Espm 2011) Dadas as matrizes
x 2 1 x
A e B
1 1 1 2
  
= =
  
−  
a diferença entre os valores de x, tais que
det(A B) 3x,⋅= pode ser igual a

a) 3
b) -2
c) 5
d) -4
e) 1

19. (Mackenzie 2010) Dadas as matrizes A = (a
ij)3x3 tal que
ij
ij
a 10,se i j
a 0,se i j
= =


= ≠


e B = (b
ij)3x3 tal que
ij
ij
b 3,se i j
b 0,se i j
= =


= ≠

,
o valor de det(AB) é

a) 27 x 10
3

b) 9 x 10
3

c) 27 x 10
2

d) 3
2
x 10
2

e) 27 x 10
4


20. (Espm 2010) Considerando-se log 2 = 0,3, o valor do determinante abaixo é igual a

()()( )
22 2
11 1
log4 log16 log400
log2 log4 log20


a) 0,36
b) 0
c) 3
d) 0,74
e) 0,42

7. DETERMINANTES
6



21. (Mackenzie 2010) Considerando 0 < x <
3
2
π
, o número de soluções da equação
log(tg(x)) log(cot g(x))
det 0
11

=

é
a) 2
b) 3
c) 0
d) 1
e) 4

22. (Fgv 2010) Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é


a)




123 4
4321
2468
5678






b)




123 4
1 4 5 16
26820
5 6 11 8






c)




1111
2222
3333
4444






d)




123 4
5678
9 10 11 12
13 14 15 16






e)




-1 2 3 4
1 -6 7 8
9 10 -11 12
13 14 15 -16








23. (Unesp 2008) Seja A uma matriz. Se
3
10 0
A 0 6 14 ,
0 14 34


=



o determinante A é
a) 8.
b) 2 2.
c) 2.
d)
3
2.
e) 1.

24. (Fgv 2007) As matrizes A = (a
ij)4x4 e B = (bij)4x4 são tais que 2aij = 3bij. Se o determinante da matriz A é igual a 3/4,
então o determinante da matriz B é igual a

a) 0
b) 4/27
c) 9/8
d) 2
e) 243/64

25. (Unifesp 2004) Se │A│ denota o determinante da matriz A, e se
A1
A
2A

=

, Então,

a)
01
A
20

=



b)
21
A , se A 0
22

= <



c)
11
A , se A 0
21
−
= >

−

d)
21 11
A ou A
22 2 1
−  
= =
  
−  

e)
2 1 11
A ou A
2 2 21
−  
= =
  
−  

8. DETERMINANTES
7




















GABARITO

1 - B 2 - D 3 - C 4 - B 5 - B
6 - E 7 - C 8 - E 9 - D 10 - D
11 - A 12 - A 13 - B 14 - D 15 - B
16 - E 17 - B 18 - C 19 - A 20 - E
21 - A 22 - E 23 - C 24 - B 25 - D