Determinantes 2022 (Primera Parte).pdf, matematica 2

determinants matematica

1. Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

3. Asociado a cada matriz cuadrada “a”de orden n,
existe un número real llamado determinantede “a”
Puede definirse como una función f:
tal que
Puede tomar valores positivos, negativos o cero
Esta función no es inyectiva
(matrices distintas pueden tener el mismo determinante)
a
11…a
1n
………
a
n1…a
nn
R
nxn
→R
det a= ??????
f(a)= deta= ??????∈??????(esunnúmeroreal)

4. Matriz de orden 1
Sea a= (a
11) R
1x1
, se define det a = det (a
11) = a
11
Ejemplo
Si a=7,deta=a=7

5. Matriz cuadrada de orden 2
Regla de Cramer
R
2x2

6. Matriz cuadrada de orden 2
Ejemplos
b=
1 0
0−13
⇒b=1.−13−0.0=−13
c=
−72
17−3
⇒c=(−7).−3−17.2=−13
a=
5−1
2−3
⇒a=5.−3−2.(−1)=−13
(matrices distintas pueden tener el mismo determinante)

7. Recordemos(el problema de la cochera)
x = cantidad de motos
y = cantidad de autos
ቐ
��+��=??????�(���������������??????���??????����??????����)
��+��=���(��������������������??????����??????����)
��??????�
�����

8. ቊ
��+��=??????�
��+��=���
�=
���−��
4
�=??????�−�⇒
2�+2�=140
2�+4�=200
⇒
sustitución
Sumas y
restas
�=�������
�=��autos
��+�(??????�−�)=���
�=??????�−�⇔
2�=60
igualación

9. ቊ
��+��=??????�
��+��=���
ቊ
��+��=�
��+��=�
�=
��−��
��−��
�=
��−��
��−��
��−��=
��
��
≠0
��??????�
�����
���
���
�=��
�=��
�=
70.4−1.200
1.4−1.2
=40�=
1.200−70.2
1.4−1.2
=30
Entonces estas sumas
y restas de ciertos
productos entre los
coeficientes resultan
“determinantes” para
resolver este sistema
lineal !
��−��=
��
��
≠0
Cramerestableció que, el determinanteno nulo en el denominador, permite
determinarla unicidad de la solución de este sistema de ecuaciones lineales.
(NO usaremos el método de esta diapositiva)
=
��
��
��
��
=
��
��
��
��

10. Matriz cuadrada de orden 3
R
3x3
(sólomatrices de orden 3)

11. =










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
detadet 131211
aaa 232221
aaa Nota: la regla también se cumple si se
repiten la columna 1 y 2 a la derecha.
+ a
11a
22a
33+a
21a
32a
13+a
31a
12a
23
+
– +
+
–
–
Se copian la primera y la segunda fila de
la matriz por debajo de la misma y luego
se forman los productos como indican
las flechas y se suman con los respectivos signos.
–a
13a
22a
31–a
23a
32a
11–a
33a
12a
21

12. Encontrar el valor del determinante de la matriz dada
utilizando la Regla de Sarrus
1 2 -2
det a = 0 -1 3
3 -1 0
1 2 -2
0 -1 3
deta = 0 + 0 + 18 –6 –(–3) –0 = 15
+
─
─
─
+
+

13. Dada la matriz �=
011
023
1�3
, determinar,
si existen, los valores de �para que
Rta: �=4
�+??????�=0
�+??????�=
111
033
1�4
⇒12+3−3−3�=0⇒12 = 3 �

14. 1. El determinante de una matriz es igual al de
su traspuesta.
2.Si en una matriz se permutan entre sí dos
líneas paralelas (filas o columnas) el valor de
su determinante cambia de signo.
Propiedades de los determinantes
−533
2−7−6
139
=
−521
3−73
3−69
deta = det( a
t
)12
FF
−533
2−7−6
139
=−
2−7−6
−533
139

15. 3. Si una matriz tiene una línea (fila o columna)
de ceros, el determinante vale cero.
4. Si una matriz tiene dos líneas paralelas iguales
(2 filas iguales o 2 columnas iguales) , su
determinante es nulo.
Propiedades de los determinantes0
000
772
335
=−−
−
F
3= 00
6610
772
335
=
−
−−
−
C
2= C
3

16. 5. Si se multiplican todos los elementos deuna líneade
una matriz por un escalar, el determinante queda
multiplicado por ese escalar.
Propiedades de los determinantes

17. Consecuencias de esta propiedad 5
1) Si los elementos de una línea tienen un factor común,
dicho factor puede extraerse fuera del determinante.
Propiedades de los determinantes

18. 2) Si se multiplican todos los elementos de una matriz "??????"
de orden ??????por un escalar �, el valor del determinante
será: �
??????
.det??????es decir:
�.??????=�.a
ij=�.a
ij=�.�…�??????=�
??????
.??????
Propiedades de los determinantes
2
3
.16 = 128