Determinantes (definição e algumas propriedades)

Notas de aula sobre determinantes.

1. 1/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
DETERMINANTES
(a consulta a estas notas de aulan˜ao dispensaa leitura da bibliografia de referˆencia)
Prof. Ricardo Saldanha de Morais
Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica de Minas Gerais
Departamento de Matem´atica ( http://www.dm.cefetmg.br)
II semestre de 2021

2. 2/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Sum´ario
1
Defini¸c˜ao do determinante
2
Propriedades do determinante
3
Determinante e matriz inversa
4
Referˆencias

3. 3/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Defini¸c˜ao do determinante
Determinantes s˜ao ´uteis na resolu¸c˜ao de sistemas lineares, na caracte-
riza¸c˜ao de matrizes invert´ıveis e no processo de mudan¸ca de vari´aveis
em integrais, entre outras aplica¸c˜oes.
O determinante pode ser visto como uma fun¸c˜ao cuja entrada ´e uma
matriz quadrada e cuja sa´ıda ´e um n´umero real.
Denotamos o determinante de uma matriz quadradaA=(a
ij)
n×n
por
detA, ou por det(A).
Defini¸c˜ao (Determinante de matrizes 1×1 e 2×2)
(i) [a
11]=a
11,
(ii) [
a
11a
12
a
21a
22
]=a
11a
22−a
21a
12.
Exemplo 1
SeM=[
−5−2
3 8
], ent˜ao det(M)=(−5)⋅8−3⋅(−2)=−40+6=−34.

4. 4/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Dada uma matrizA=(a
ij)
n×n
, omenordo elemento do elementoa
ij,
denotado por
˜
A
ij, ´e a submatriz(n−1)×(n−1)deAobtida eliminando-
se ai-´esima linha ej-´esima coluna deA:
̃A
ij=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
11⋯a
1j⋯a
1n
⋮ ⋮ ⋮
a
ij⋯a
ij⋯a
in
⋮ ⋮ ⋮
a
n1⋯a
nj⋯a
nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Exemplo 2
SejaB=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
12 3 1
32 1 2
0 0−3−4
0 5 0−6
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. Osmenoresassociados ab
11,b
21eb
43s˜ao
̃B
11=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 1 2
0−3−4
5 0 −6
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,̃B
21=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 3 1
0−3−4
5 0 −6
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ẽB
43=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 1
3 2 2
0 0−4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.

5. 5/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
SejaA=(a
ij)
3×3
. Ocofatordo elementoa
ij´e definido por
˜a
ij=(−1)
i+j
det(̃A
ij).
Cabe observar quẽA
ij´e uma matriz 2×2.
Exemplo 3
SejaE=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
3 0 −3
1−22
021
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
O cofator do elementoe
22´e
˜e
22=(−1)
2+2
det[
3−3
0 1
]=1⋅(3⋅1−0⋅(−3))=3.
O cofator dee
32´e
˜e
32=(−1)
3+2
det[
3−3
1 2
]=(−1)⋅(3⋅2−1⋅(−3))=−9.

6. Defini¸c˜ao (Determinante de matrizes 3×3)
SejaA=(a
ij)
3×3
. OdeterminantedeA´e
det(A)=a
i1⋅˜a
i1+a
i2⋅˜a
i2+a
i3⋅˜a
i3, (1)
em quei´e o ´ındice de uma linha qualquer deA,i=1,2,3.
Pode-se provar que o determinante est´a bem definido, isto ´e, o resultado
da f´ormula (1)n˜ao dependeda escolha da linha.
Exemplo 4
Calcule det(G), em queG=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 3
0 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solu¸c˜ao: Escolhendo a 2
a
¯linha, obtemos
det(G)=0⋅˜g
21+1⋅˜g
22+2⋅˜g
23
=1⋅{(−1)
2+2
det[
1 3
1 2
]}+2⋅{(−1)
2+3
det[
1 2
1 1
]}
=1⋅1⋅(1⋅2−1⋅3)+2⋅(−1)(1⋅1−1⋅2)=−1+2=1.
Pela 1
a
¯ou 3
a
¯linha, chegar´ıamos ao mesmo resultado.
6/23

7. 7/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Suponhamos que sabemos calcular o determinante de matrizes de di-
mens˜oes(n−1)×(n−1).
Defini¸c˜ao (Determinante de matrizesn×n)
SejaA=(a
ij)
n×n
. Ocofatordo elementoa
ij´e definido por
˜a
ij=(−1)
i+j
det(
˜
A
ij).
OdeterminantedeA´e definido por
det(A)=a
i1⋅˜a
i1+a
i2⋅˜a
i2+ ⋯ +a
in⋅˜a
in, (2)
em quei´e o ´ındice de uma linha qualquer deA,i=1,⋯, n.
Conv´em observar que
˜
A
ij´e uma matriz(n−1)×(n−1).
´
E poss´ıvel demonstrar que o determinante est´a bem definido, isto ´e, o
resultado da express˜ao (2)independe da escolha da linha.
A f´ormula (2) ´e chamadadesenvolvimento em cofatores do deter-
minante deAem termos dai-´esima linha.

8. 8/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Exemplo 5
Calcule det(F), em queF=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 3 4
0 1 2 0
0 0 0 3
1 1 2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solu¸c˜ao: Como o determinante independe da escolha da linha, escolhemos
a linha com mais zeros. Pela 3
a
¯linha, temos
det(F)=0⋅
˜
f
31+0⋅
˜
f
32+0⋅
˜
f
33+3⋅
˜
f
34=3⋅
˜
f
34
=3⋅{(−1)
3+4
det(
˜
F
34)},
em que
˜
F
34=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 3
0 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. A matriz
˜
F
34coincide com a matrizGdo
exemplo anterior. Vimos que det(G)=1. Logo,
det(F)=3⋅(−1)⋅1=−3.
Quando uma matriz tem poucos zeros, o c´alculo do determinante pela
defini¸c˜ao pode ser bastante trabalhoso.

9. 9/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Propriedades do determinante
Regra de Sarrus
SeA=(a
ij)
3×3
, repetimos as duas primeiras colunas deA, `a direita da
disposi¸c˜ao original dos elementos, conforme a figura
O determinante ´e a soma dos produtos ao longo das diagonais indicadas por
linhas cheias menos a soma dos produtos ao longo das diagonais tracejadas:
det(A)=(a
11⋅a
22⋅a
33+a
12⋅a
23⋅a
31+a
13⋅a
21⋅a
32)
−(a
31⋅a
22⋅a
13+a
32⋅a
23⋅a
11+a
33⋅a
21⋅a
12).
O resultado acima ´e v´alidosomentepara o c´alculo do determinante de
matrizes 3×3.

10. Defini¸c˜ao (Matriz triangular)
Umamatriz triangular´e uma matriz quadrada tal que os elementos situ-
ados acima, ou abaixo, da diagonal principal s˜ao todos nulos.
Exemplo 6 (Matrizes triangulares)
C=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2−1 0
0−1
√
2
0 0 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
triangular superior
,K=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 0 0 0
1−1 0 0
π2 2 0
1 0 5 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
triangular inferior
,I
3=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Teorema (Determinantes de matrizes triangulares)
O determinante de uma matriz triangular coincide com o produto dos ele-
mentos da diagonal principal.
Exemplo 7
Em rela¸c˜ao `as matrizes do exemplo anterior, temos
det(C)=2⋅(−1)⋅3=−6,det(K)=2⋅(−1)⋅2⋅4=−16 e det(I
3)=1⋅1⋅1=1.
10/23

11. Dada uma matriz com nenhum ou poucos elementos nulos, ´e poss´ıvel re-
lacionar o c´alculo de seu determinante com o determinante duma matriz
triangular?
Propriedades do determinante (Parte I)
SejamAeBmatrizesn×n. Ent˜ao,
P1 Atem uma linha nula, det(A)=0;
P2 (A)=det(A
t
);
P3 (AB)=det(A)det(B).
Exemplo 8
Calcule o determinante deE=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 5 4
1 3 2
0 9−8
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solu¸c˜ao: Como det(E)=det(E
t
), podemos escolher colunas tamb´em para
calcular o determinante. Entre todas as linhas e colunas, a 1
a
¯coluna possui
mais zero. Da´ı, pela 1
a
¯coluna, encontramos
det(E)=0⋅˜e
11+1⋅˜e
21+0⋅˜e
31=1⋅{(−1)
2+1
det[
5 4
9−8
]}=76.
11/23

12. A propriedade P2 implica que todos os resultados que se referem a linhas
s˜ao v´alidos com rela¸c˜ao a colunas.
Exemplo 9
SejamMeNmatrizesn×ntais que det(M)=−2 e det(N)=3. Calcule
det(NM
t
).
Solu¸c˜ao:
Temos que det(NM
t
)
P3
=det(N)det(M
t
)
P2
=det(N)det(M)=3⋅(−2)=−6.
Propriedades do determinante (Parte II)
P4 AeBmatrizesn×n. SeB´e obtida deAmultiplicando-se uma
linha por um escalarαent˜ao det(B)=αdet(A);
Exemplo 10
SejaA=[
−2 5
1 2
]. Assim, det(A)=(−2)⋅2−1⋅5=−9.
SejaBa matriz obtida deApor meio da opera¸c˜ao elementar 3L
2→L
2,
isto ´e,B=[
−2 5
3 6
].
Temos que det(B)=(−2)⋅6−3⋅5=−27. Ou seja, det(B)=3 det(A).
12/23

13. 13/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Propriedades do determinante (Parte III)
P5 AeBmatrizesn×n. SeBresulta deApela troca da posi¸c˜ao
relativa de duas linhas ent˜ao det(B)=−det(A).
Exemplo 11
Seja a matrizA=[
−2 5
1 2
]do exemplo anterior. Sabemos que
det(A)=−9.
Consideremos agora a matrizBobtida deAatrav´es da opera¸c˜ao ele-
mentarL
1↔L
2, isto ´e,B=[
1 2
−2 5
].
Da´ı, det(B)=1⋅5−(−2)⋅2=9. Ou seja, det(B)=−det(A).
Propriedades do determinante (Parte IV)
P6 AeBmatrizesn×n. SeB´e obtida deAsubstituindo a linha
ipor ela somada a um m´ultiplo escalar de uma linhaj,i≠j, ent˜ao
det(B)=det(A).

14. Exemplo 12
SejaA=[
−2 5
1 2
](mesma matriz do ´ultimo exemplo). J´a vimos que
det(A)=−9.
SejaBobtida deApor meio da opera¸c˜ao elementar(−5)L
2+L
1→L
1,
isto ´e,B=[
−7−5
1 2
].
Logo, det(B)=(−7)⋅2−1⋅(−5)=−9. Ou seja, det(B)=det(A).
Exemplo 13
SejaA=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 2 −4 5
3 0 −3 6
2 4 5 7
5−1−3 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. Calcule o determinante da matrizAusando
opera¸c˜oes elementares para Ψransform´a-la” em uma matriz triangular.
Solu¸c˜ao:
A=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 2 −4 5
3 0 −3 6
2 4 5 7
5−1−3 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
L1↔L2
B=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
3 0 −3 6
0 2 −4 5
2 4 5 7
5−1−3 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(1/3)L1→L1
14/23

15. 15/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Exemplo 13 (cont.)
C=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 −1 2
0 2 −4 5
2 4 5 7
5−1−3 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(−2)L1+L3→L3
(−5)L1+L4→L4
D=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 −1 2
0 2 −4 5
0 4 7 3
0−1 2 −9
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
L2↔L4
E=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 −1 2
0−1 2 −9
0 4 7 3
0 2 −4 5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
4L2+L3→L3
2L2+L4→L4
F=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 −1 2
0−1 2 −9
0 0 15 −33
0 0 0 −13
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
matriz triangular
Temos que det(F)=1⋅(−1)⋅15⋅(−13)=195. Al´em disso,
(i) (F)
P6
=det(E),
(ii) (E)
P5
=−det(D),
(iii) (D)
P6
=det(C),
(iv) (C)
P4
=
1
3
det(B)e
(v) (B)
P5
=−det(A).

16. 16/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Exemplo 13 (cont.)
Logo,
det(A)=−det(B)=−3 det(C)=−3 det(D)=3 det(E)=3 det(F)
e portanto det(A)=3⋅195=585.
Corol´ario 1
SeA=(a
ij)
n×n
´e invert´ıvel, ent˜ao
det(A
−1
)=
1
det(A)
.
Prova: Temos queA A
−1
=I
n. Assim, pela propriedade P3,
det(A A
−1
)=det(I
n)⟺det(A)det(A
−1
)=1.
Portanto, det(A
−1
)=
1
det(A)
.

17. Corol´ario 2
SejamAuma matrizn×neα∈R. Ent˜ao det(α A)=α
n
det(A).
Prova:
det(α A)=det(α I
nA)
P3
=det(α I
n)det(A)
=det
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
α0⋯0
0α⋯0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0⋯α
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
det(A)
=α
n
det(A).
Corol´ario 3
SeA=(a
ij)
n×n
tem duas linhas iguais, ent˜ao det(A)=0.
Prova: Sejamiejas linhas iguais deA. SejaBa matriz obtida deApela
aplica¸c˜ao da opera¸c˜ao elementarL
i↔L
j. Pela propriedade P5,
det(B)=−det(A).
MasA=B. Portanto, det(A)=−det(A)⇔2 det(A)=0⇔det(A)=0.
17/23

18. Exemplo 14
A matrizE=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2 0 0 0
2−2 0 0
0 3 2 0
−1 5 4 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
foi obtida deA=(a
ij)
4×4
atrav´es da
sequˆencia de opera¸c˜oes elementares:
troca da linhaL
2pela linhaL
4,
multiplica¸c˜ao da linhaL
3por 3,
substitui¸c˜ao da linhaL
2por(−1)L
4+L
2,
substitui¸c˜ao da linhaL
1por 2L
4+L
1.
Calcule det(
√
2A
t
A
−2
).
Solu¸c˜ao:
Como n˜ao conhecemos os elementos da matrizA, de imediato, e o determi-
nante deE´e f´acil de ser calculado, vamos expressar o determinante deA
em termos do determinante deE.
SejamB,CeDas matrizes resultantes das aplica¸c˜oes das trˆes pri-
meiras opera¸c˜oes relacionadas acima no seguinte sentido:
A
L2↔L4
−−−−−−−−−→B
3L3→L3
−−−−−−−−−−→C
(−1)L4+L2→L2
−−−−−−−−−−−→D
2L4+L1→L1
−−−−−−−−−−→E.18/23

19. Exemplo 14 (cont.)
Ent˜ao,
(i) (B)
P5
=−det(A),
(ii) (C)
P4
=3 det(B),
(iii) (D)
P6
=det(C)e
(iv) (E)
P6
=det(D).
Assim,
det(A)=−det(B)=−
1
3
det(C)=−
1
3
det(D)=−
1
3
det(E)
=(−
1
3
)⋅(−2)⋅(−2)⋅2⋅3=−8
e, por isso,
det(
√
2A
t
A
−2
)
P3
= det(
√
2A
t
)det((A
−1
)
2
)
Cor. 2
= (
√
2)
4
det(A
t
) (det(A
−1
))
2
Cor. 1
= 4 det(A)(
1
det(A)
)
2
=4
1
det(A)
= 4(−
1
8
)=−
1
2
.
19/23

20. 20/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Exemplo 15
Utilize opera¸c˜oes elementares para simplificar e calcular o determinante de
P=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
11 12−19 18
18 19−47 46
5 6 −96 95
3 4 −21 20
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solu¸c˜ao:
Neste caso, aplicando opera¸c˜oes elementares `as colunas, ´e poss´ıvel chegar a
uma matriz com duas colunas iguais:
P=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
11 12−19 18
18 19−47 46
5 6 −96 95
3 4 −21 20
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(−1)C2+C1→C1
C4+C3→C3
Q=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−1 12−1 18
−1 19−1 46
−1 6 −1 95
−1 4 −1 20
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Pelas propriedades P2 e P6, det(P)=det(Q). ComoQtem duas colunas
iguais, det(Q)=0. Logo, det (P)=0.

21. Determinante e matriz inversa
Teorema (Determinante e matriz inversa)
SejaAuma matrizn×n. Ent˜ao,A´e invert´ıvel se, e somente se, det(A)≠0.
Prova:
SejaRa forma escalonada reduzida deA. Ent˜ao,
(i)R=I
nouRtem uma linha nula e
(ii)A´e invert´ıvel se e somente seR=I
n.
ComoRpode ser obtida deApor meio de uma sequˆencia de opera¸c˜oes
elementares,
det(A)=αdet(R)para algumα∈Rn˜ao nulo.
Da´ı,
(iii) (A)≠0 se e somente se det(R)≠0.
Segue dos fatos (i), (ii) e (iii) queA´e invert´ıvel se, e somente se, det(A)≠0.
Equivalentemente,An˜ao ´einvert´ıvel se, e somente se, det(A)=0.
21/23

22. Corol´ario
SejaAuma matrizn×n. O sistema homogˆeneoAX=¯0 admite somente a
solu¸c˜ao trivial se se somente se det(A)≠0.
Equivalentemente, o sistema homogˆeneoAX=¯0 possui solu¸c˜ao n˜ao
trivial (A)=0.
Exemplo 16
Determine os valores deλ∈Rpara os quais o sistema linear homogˆeneo
(K−λI
3)X=¯0 admite solu¸c˜ao n˜ao trivial, em queK=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2 0 0
−1 3 0
√
5 2−2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solu¸c˜ao:
De acordo com o corol´ario acima,(K−λI
3)X=¯0 tem infinitas solu¸c˜oes se
e somente se det(K−λI
3)=0. Temos que
K−λI
3=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2 0 0
−1 3 0
√
5 2−2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
−λ
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2−λ 0 0
−1 3−λ 0
√
5 2 −2−λ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
matriz triangular
.
Assim, det(K−λI
n)=(−2−λ)(3−λ)(−2−λ)=(2+λ)
2
(3−λ)e, portanto,
det(K−λI
n)=0⟺λ=−2 ouλ=3.
22/23

23. 23/23
Defini¸c˜ao do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referˆencias
Referˆencias
SANTOS, R.J.Geometria Anal´ıtica e´Algebra Linear. Belo Hori-
zonte: Imprensa Universit´aria da UFMG, 2014. Acesso em 24/08/2020.
BOLDRINI, J.L. [et. al.].´Algebra Linear. 3. ed. S˜ao Paulo: Editora
Harper Row do Brasil Ltda, 1980.
ANTON, H.; RORRES, C. ´Algebra Linear com Aplica¸c˜oes. 8. ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
POOLE, D.´Algebra Linear. S˜ao Paulo: Pioneira Thomson Learning,
2004.
L
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