Diagrama de bode

Detalle del diagrama de bode

1. REPRESENTACIONES GRÁFICAS

1. ¿Qué son?

• Son gráficos que permiten mostrar la respuesta en frecuencia de
un sistema lineal.
• Son herramientas útiles para el análisis, síntesis y diseño.


2. Diagrama de Bode

Permite representar la respuesta en frecuencia de un sistema H(jw)
en dos gráficos conocidos como:

[[[[]]]]
[[[[]]]]
[[[[]]]] Fase de Diagrama r/sw v/s H(jw) /
Magnitud de Diagrama r/sw v/s H(jw) log 20
dB
H(jw)
•
====








Unidades
Cantidad Unidad Observación
Magnitud decibeles [dB] 20log|H(jw)|
Fase Grados [º] 0[º] a 360[º]
Frecuencia radianes/segundo [r/s] 1 radian = 180 / π [º]


Escalas
Cantidad Escala Observación
Magnitud lineal Se marca cada 20 [dB]
Fase lineal Se marca cada 90 [º]
Frecuencia logarítmica En decadas [dec]


Década, corresponde al rango entre w
1 y su múltiplo 10w1.

2. 3. Factores canónicos

Para dibujar estos diagramas la función de transferencia se expresa
en producto de los siguientes factores canónicos:

[B1] K Ganancia Bode a frecuencia cero.

[B2] (1+jw/w
o)
q
Factor simple

[B3] (jw)
q
Factor cero

[B4] [1+2ξ(jw/w
n)+(jw/wn)
2
]
q
Factor cuadrático

[B5] e
-jwτ
τ>0 Factor retardo


Donde q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1






4. Ejemplo de descomposición en factores canónicos.

• Considerar la función:

12
2
2
2
−−−−
++++++++++++++++====
++++++++++++
++++
====
++++++++++++
++++
====
))
jw
()
2
jw
(*0.25*2(1
1-
jw)(1
1-
(jw) jw/2)(1 )
0.1jw-
e (* 3 H(jw)
))
jw
()
2
jw
(*0.25*2(1 jw)(1 (jw)
) w/2 j(1 )
0.1jw-
e (* 3
H(jw)
:como escribirse puede Entonces
4) jw
2
((jw) 1) (jw (jw)
2) (jw
0.1jw-
e 6
H(jw)

3. 5. Gráficas aproximadas de los factores canónicos.


• [B1] F(jw) = K

Magnitud
|F(jw)|[dB]= |K|[dB] = 20 log |K| es una recta horizontal



Fase
/F(jw) = /K =



<<<<
≥≥≥≥
0 K 180-
0 K
o
0
es una recta horizontal


Obs. MATLAB prefiere +180[
o
]


/F(jw)| [
o
]

0
o



-90
o


- 180
o
10
-1
10
-0
10
+1

w
K≥0
K<0
|F(jw)|[dB]

+20
20log|K|

0


- 20
10
-1
10
-0
10
+1

w

4. • [B2] F(jw) = (1+ jw/w o)
q
, q Є {-1, 1}


Magnitud

|F(jw)|[dB]= q * 10 * log (1 + (w/w o)
2
) [dB] q = -1



Fase

/F(jw) = q * arctan (w/wo) [
o
] q = -1




/F(jw)| [
o
]

0
o



-45
o


- 90
o
10
-
1
10
-0
10
+1

w/w
o
|F(jw)|[dB]

0


-10


- 20
10
-
1
10
-0
10
+1

w/w
o

5. • [B3] F(jw) = (jw)
q
, q Є {-1, 1}

Magnitud

|F(jw)|[dB]= q * 20 * log |w| [dB]

Es una recta con pendiente 20*q [dB/decada]
q = - 1


Fase

/F(jw) = q * 90 [
o
] q = -1

/F(jw)| [
o
]

0
o



-45
o


- 90
o



-135
o

10
-
1
10
-0
10
+1

w
|F(jw)|[dB]

+20


0


- 20
10
-
1
10
-0
10
+1

w

6. • [B4] F(jw) = [1+2ξ(jw/w n)+(jw/wn)
2
]
q


q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1

Magnitud
|F(jw)|[dB]= q * 10* log ( (1- (w/w n)
2
)
2
+ 4ξ
2
(w/wn)
2
)

Para todo w > w n q = -1 (ξ aumenta )

Fase
/F(jw) =









>>>>∀∀∀∀
ξξξξ
++++
<<<<∀∀∀∀
ξξξξ
n
w w )
2
n
w -
2
w
n
w w 2
arctan( *q q * 90
n
w w )
2
w -
2
n
w
n
ww2
( arctan * q


(ξ aumenta )


/F(jw)| [
o
]

0
o


-45
o

- 90
o


-135
o


-180
o


10
-
1
10
-0
10
+1

w/w
n
ξ
10
-1
10
-0
10
+1

w/w
n
|F(jw)|[dB]

0


-20


- 40
ξ

7. • [B5] F(jw) = e
-jwτ
τ>0

Magnitud
|F(jw)|[dB]= 0


Fase
/F(jw) = -w τ






/F(jw)| [
o
]

0
o



-300
o


- 600
o
10
-
1
10
-0
10
+1

w
τ

8. 6. Procedimiento para construir un diagrama de Bode aproximado.

• Escriba H(jw) como producto de factores canónicos
• Seleccionar rango de frecuencia de los gráficos
• Dibujar los diagramas

I) Diagrama de Magnitud

• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la
pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre
consecutivos. Hacer una Tabla.
• Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el
diagrama de magnitud. (Pendiente = [20dB / década])
• Desplazar verticalmente el diagrama de magnitud en 20log(|K|).
Esta operación es equivalente a renumerar el eje de ordenadas

II) Diagrama de Fase

• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la
pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre
consecutivos. Hacer una Tabla.
• Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el
diagrama de fase. (Pendiente = 45[
o
/ década]).
• Desplazar verticalmente el diagrama de fase en 90*q [
o
] cuando
existe el factor (jw)
q
. Esta operación es equivalente a renumerar
el eje de ordenadas.
• Si K<0 desplazar verticalmente el diagrama de fase en -180 [
o
]

III) Verificación

• Verifique que su resultado satisface las aproximaciones
asintóticas, tanto en magnitud como en fase, para frecuencias muy
bajas (w → 0) y para frecuencias muy altas (w → ∞).

9. 7. Ejemplo de Diagrama de Bode

Dada la función de transferencia de un sistema lineal, obtener su
respuesta en frecuencia usando Diagrama de Bode.

4)-(s 8)(s s
1)(s 2)-(s 8
H(s)
++++
++++
====

a) Como interesa el comportamiento en frecuencia usar s = jw. Luego
escribir H(jw) como el producto de factores canónicos.

H(jw) = 0,5 (1-jw/2) (1+jw) (jw)
-1
(1+jw/8)
-1
(1-jw/4)
-1


F1 F2 F3 F4 F5 F6

b) Cálculo del rango de frecuencias de interés ( en Diagrama de Fase):

Factores PQ 1 PQ 2
F1 - -
F2 0,2 20
F3 0, 1 10
F4 - -
F5 0,8 80
F6 0,4 40
Tabla 1. Rango de frecuencias

El rango va desde [0,1; 80], se usará un rango [ 0,01; 100 ].


c) Diagrama de Magnitud
•••• Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes
entre dos puntos de quiebre sucesivos:

PQ (- ∞ ; 1] ( 1 ; 2] ( 2 ; 4] ( 4 ; 8] ( 8 ; +∞]
F1 - - - - - -
F2 2 0 0 1 1 1
F3 1 0 1 1 1 1
F4 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1
F5 8 0 0 0 0 - 1
F6 4 0 0 0 - 1 - 1
Sumar pendientes -1 0 1 0 - 1
Tabla 2. Contribución de pendientes

10. • El factor F1 desplaza verticalmente el diagrama en
20 log (0,5) = - 6 [dB].


Figura 1. Diagrama de Magnitud






d) Diagrama de Fase

•••• Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes
entre dos puntos de quiebre sucesivos:


PQ (- ∞;0,1] (0,1;0,2] (0,2;0,4] (0,4;0,8] (0,8;10] (10;20] (20;40] (40;80] ( 80;+∞]
F1 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F2 2 0 0 - 1 -1 -1 -1 0 0 0
F3 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0
F4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F5 8 0 0 0 0 - 1 -1 -1 -1 0
F6 4 0 0 0 1 1 1 1 0 0
Suma 0 1 0 1 0 - 1 0 - 1 0
Tabla 2. Contribución de pendientes


• El factor F4 desplaza verticalmente el diagrama de fase en
-90[
o
].
10
-2
10
-1
10
o
2 4 8 10
1
10
2
w
| |dB

40

30

20

10


-6
-10

-20

-30

-40

11. Figura 2. Diagrama de Fase


El programa MATLAB dispone del comando “bode” para calcular y
dibujar exactamente estos diagramas. En este ejemplo, primero se expande
la función en polinomios tanto el numerador como el denominador.

032s-
2
4s
3
s
16 - 8s -
2
8s
H(s)
++++++++
====


Entonces los diagramas de Bode se obtienen con el código MATLAB:

>> H = tf ( [ 8 -8 -16] , [ 1 4 -32 0] );

>> bode (H);


10
-2
10
-1
.2 .4 .8 10
o
2 4 8 10
1
20 40 80 10
2
w
/_[
o
]

90



45







-45



-90