Diapositiva N°6 Espacios vestoriales IMPORTANCIA EJERCICIOS Y MAS.pdf

DIAPOSITIVA

1. ESPACIOS VECTORIALES
ÁLGEBRA LINEAL
EP Ingeniería Civil
Vicerrectorado Académico
Dirección de Desarrollo Académico

2. ESPACIO VECTORIAL
Lanocióndeespaciovectorialeslabasedelestudioqueharemos,
eselterrenodondesedesarrollaelÁlgebraLineal.Esprobableque
yaestefamiliarizadoconlosvectoresdedosytresdimensionespara
pasarposteriormentealosespaciosn-dimensionales,yaquese
usanconfrecuenciaenFísicaeIngeniería.Enestasdisciplinas,un
vectorsecaracterizapordosatributos(longitudydirección)yse
representaporunsegmentorectodirigido.

5. Loselementosde??????sellamanvectoresyloselementosde??????sellamanescalares
Hayquetenerbienpresentequeunespaciovectorialconstadecuatroingredientes:
➢Unconjuntodevectores
➢Unconjuntodeescalares
➢Unaoperacióndeadición
➢Unaoperacióndemultiplicaciónporunescalar
Observación:Conelsímbolo0representamostantoalvectornulocomoalnúmerocero.
Ejemplo
Si??????=ℝ,entoncesdecimosque??????esunespaciovectorialsobreℝó??????esunℝ-espaciovectorial
osimplementeque??????esunespaciovectorialreal.

6. Si??????=ℂ,entoncesdecimosque??????esunespaciovectorialsobreℂó??????esunℂ-espacio
vectorialosimplementeque??????esunespaciovectorialcomplejo.
Ejemplo1
??????=ℝ
2
=�,�Τ�∈ℝ∧�∈ℝdecimosqueℝ
2
esunespaciovectorial
Ejemplo2
??????=ℝ
??????
=�
1,�
2,…,�
??????
Τ�
??????∈ℝ,??????=1,??????decimosqueℝ
??????
esunespaciovectorial

15. Verificarqueelconjuntoℝ
??????
conlasoperacionescanónicas:
�
1,�
2,⋯,�
??????+�
1,�
2,⋯,�
??????=�
1+�
1,�
2+�
2,….,�
??????+�
??????
??????�
1,�
2,⋯,�
??????=(??????�
1,??????�
2,⋯,??????�
??????)
Esunespaciovectorial.
Sea ??????
??????el conjunto de todos los polinomios de grado ≤2de la forma ��=
�
2�
2
+�
1�+�
0, donde �
0,�
1��
2son números reales. La suma de dos
polinomios ��=�
2�
2
+�
1�+�
0, ��=�
2�
2
+�
1�+�
0y la multiplicación
por un escalar ??????están en ??????
??????definidas en forma usual por:
��+��=�
2+�
2�
2
+�
1+�
1�+�
0+�
0
??????��=??????�
2�
2
+??????�
1�+??????�
0.
Verificar que ??????
??????junto a estas dos operaciones, define espacio vectorial.

16. Sea??????elconjuntodetodaslasfuncionesconvaloresrealesdefinidasparatodoslos
númerosreales.Si�y�estánen??????y??????unescalar,definimoslasoperaciones
usualesdosoperaciones
�+��=��+��y
∝.��=∝.��
Verificarque??????esunespaciovectorial.
Por lo tanto, el conjunto ??????con las operaciones es, un espacio vectorial
Notación:Elespaciovectorial??????denotadatambiéncomo??????−∞,∞.
De manera similar, el conjunto ??????�,�de todas las funciones con valores reales,
definidas en el intervalo �,�, con las operaciones, también define espacio
vectorial.

17. Verificarqueelconjuntoℝ
??????
conlasoperacionescanónicas:
�
1,�
2,⋯,�
??????+�
1,�
2,⋯,�
??????=�
1+�
1,�
2+�
2,….,�
??????+�
??????
??????�
1,�
2,⋯,�
??????=(??????�
1,??????�
2,⋯,??????�
??????)
Esunespaciovectorial.
Sea ??????
??????el conjunto de todos los polinomios de grado ≤2de la forma ��=�
2�
2
+�
1�+�
0, donde �
0,�
1��
2son números
reales. La suma de dos polinomios ��=�
2�
2
+�
1�+�
0, ��=�
2�
2
+�
1�+�
0y la multiplicación por un escalar ??????están
en ??????
??????definidas en forma usual por:
��+��=�
2+�
2�
2
+�
1+�
1�+�
0+�
0
??????��=??????�
2�
2
+??????�
1�+??????�
0.
Verificar que ??????
??????junto a estas dos operaciones, define espacio vectorial.

18. Observelaversatilidaddelconceptodeespaciovectorial.Unvector
puedeserunnúmero,una??????-uplaosecuencia,unamatriz,unpolinomio
ounafunción,etc.Pero¿cuáleselobjetivo?¿Porquécomplicarnosla
vidaconesadefiniciónabstracta?Hayvariasrazones,perolademás
pesoesquelaabstracciónresultasermatemáticamenteeficienteenel
sentidodequeahorapuededemostrarseresultadosgeneralescuya
validezafectaatodoslosespaciosvectoriales.Unavezdemostradoun
teoremaparaespaciosvectorialesarbitrarios,noesnecesarioprobarlo
porseparadoparan-uplas,matrices,polinomiosofunciones.Basta
saberqueelteoremaesciertoparatodoespaciovectorialespecifico
denotadapor??????,independientementedequecomoseansuselementos.

19. Enunespaciovectorialcomoconsecuenciadelos
axiomas,sonválidaslasreglasoperacionales
habitualesusadasenloscálculosnuméricos.
Veamosalgunadeellas.
•Si�,�,�∈??????�+�=�+�entonces�=�
En particular: si w+u=wentonces u=0

20. TEOREMA Sea ??????un espacio vectorial, �un vector en ??????y ∝un escalar.
a)0�=0
b)∝0=0
c)−1�=−�
d)Si ∝�=0, entonces ∝=0o �=0.