Diferenciales, aproximaciones y estimación de errores

En cálculo, la diferencial representa un cambio en la lineación de una función.
En los enfoques tradicionales para el calculo, las diferenciales (dx, dy, etc…) se interpretan como infinitesimales.
Representa la parte principal del cambio en la lineación de una función: y = f(x)
Con respecto a cambios en la variable independiente.
Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior. Esto es cierto para valores de cercanos a . Se utiliza para cálculos aproximados de algunas raíces, logaritmos etc.
Si x denota el valor medido de una variable y x + Δx representa el valor real, entonces Δx denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud f(x), entonces la diferencia que hay entre f(x + Δx) y f(x) se le conoce como error propagado.
A la razón ER = Δ푦/푦 se le conoce como error relativo y es expresado mediante un porcentaje.

1. Diferenciales, aproximaciones y estimación de errores Ejemplos en la vida cotidiana Por: Mónica García Montes

2. Diferenciales En cálculo, la diferencial representa un cambio en la lineación de una función. En los enfoques tradicionales para el calculo, las diferenciales (dx, dy, etc…) se interpretan como infinitesimales. Representa la parte principal del cambio en la lineación de una función: y = f(x) Con respecto a cambios en la variable independiente.

3. Ejemplo Un ejemplo aplicado a la vida cotidiana: S aber calcular hasta donde puede llegar un automóvil a una cierta velocidad tomando en cuenta cuanta gasolina gasta por kilómetro y cuanta gasolina gasta para llegar a su destino en una velocidad fija.

4. Aproximaciones Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior. Esto es cierto para valores de cercanos a . Se utiliza para cálculos aproximados de algunas raíces, logaritmos etc.

5. Ejemplo Haciendo uso de las diferenciales se puede calcular una aproximación como la de:   Datos f(x) = f’(x) = X = 25 = 0.6 Datos X = 25 Recurso f(x + ) ≈ f( x ) + f’( x ) Recurso Sustitución ≈ + (0.6) ≈ 5 + ≈ 5 + ≈ 5 + 0.06 ≈ 5.06 Sustitución

6. Estimación de errores Si x denota el valor medido de una variable y x + Δ x representa el valor real, entonces Δ x denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud f(x), entonces la diferencia que hay entre f(x + Δ x) y f(x) se le conoce como error propagado. A la razón ER = se le conoce como error relativo y es expresado mediante un porcentaje.  

7. Ejemplo La arista de una pecera cubica mide 9.6cm con un posible error de 0.003cm. Determina el volumen de la pecera y proporciona una estimación del posible error. Primero se tiene que sacar el volumen de dicha figura. Ahora, el error propagado que tendrá el cálculo del volumen de la pecera lo podemos aproximar calculando el diferencial de la función. El valor propagado se define como: Teniendo ya el valor del volumen y del error de propagación, se pueden sustituir los valores en la fórmula: ≈ ≈ ≈ Resultado El resultado se representa en términos de porcentajes.  

8. Bibliografía “Cálculo integral” García Noel, Maya Verónica, Domínguez Rosa María Editorial Umbral México 2016 “Calcular el error relativo” http://www.taringa.net/post/ciencia-educacion/18375170/Como-calcular-el- error-relativo.html “Concepto de diferencial” http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htm