Digitales Ii Tema4 Simplificacion De Funciones Logicas

1. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Tema 4:
Simplificación de
Funciones Lógicas

2. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
La expresión de una función lógica como suma de minterms o
producto de maxterms no es necesariamente la expresión más
simple.
Ventajas de un diseño sencillo: •Menor número de puertas •Dimensiones reducidas •Más barato •Más rápido •Tiempo de diseño reducido
•Menor posibilidad de fallos
•Más elegante

3. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Dada la función F(A, B, C) en forma de tabla de verdad:
1 111
1 011
1 101
1 001
1 110
0 010
0 100
0 000
F CBA
∏
= =
2 1 0
M·M·M)2,1,0(M F
7 6 5 4 3
m m m m m
)7,6,5,4,3(m F
+ + + + =
= =
∑

4. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Utilizando las propiedades del álgebra de Boole podemos
simplificar el Producto de los Maxterms.
)C A)·( B A()BB C A)·( CC B A(
)C B A)·( C B A)·( C B A)·( C B A(
)C B A)·( C B A)·( C B A(
M·M·M)2,1,0(M F
2 1 0
+ + = + + + + =
= + + + + + + + + =
= + + + + + + =
= = =
∏

5. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
También utilizando las propiedades del álgebra de Boole
podemos simplificar la Suma de minterms.
A BC )B B(A BC
)C C(AB )C C(BA)A A(BC
ABC ABC CAB CBA CBA BCA
ABC CAB CBA CBA BCA
m m m m m)7,6,5,4,3(m F
7 6 5 4 3
+ = + + =
= + + + + + =
= + + + + + =
= + + + + =
= + + + + = =
∑

6. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
En ambos casos, los diseños son más sencillos que la suma de
minterms o el producto de maxterms.
ESTRATEGIA
- Factorizar términos que difieren en una variable (aparece
complementada en uno y sin complementar en el otro) para
eliminar ésta (Términos adyacentes).
NECESARIO
-Mucha práctica para poder agrupar y llegar a la expresión
simple.
-Procedimiento claro y conciso para no perderse
TABLAS O MAPAS DE KARNAUGH:
-Sencillos
-Equivalen a una tabla de verdad
-Más clara para simplificar
-Procedimiento definido de simplificación
-No son útiles para más de 6 variables

7. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Principio de la simplificación en el desarrollo por minterms o
“desarrollo por unos”:
A)B B(A
=
+
A)B B(A AB BA m m F
3 2
=
+
=
+
=
+
=
Ejemplo:
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 0
F B A
Los valor de B cambian en estos dos
minterms.
Los valor de A no cambian en estos dos minterms.
B se elimina, A permanece
ESTRATEGIA DE SIMPLIFICACIÓN: Encontrar parejas de minterms que difieren en el valor
de una sola variable ÎEsta variable se elimina.

8. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Principio de la simplificación en el desarrollo por Maxterms o
“desarrollo por ceros”:
A)B·B( A
=
+
A BB A)B A)·( B A( M·M F
1 0
=
+
=
+
+
=
=
Ejemplo:
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 0
F B A
Los valor de B cambian en estos dos
Maxterms
Los valor de A no cambian en estos dos Maxterms
B se elimina, A permanece
ESTRATEGIA DE SIMPLIFICACIÓN: Encontrar parejas de Maxtermsque difieren en el valor
de una sola variable ÎEsta variable se elimina.

9. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Ejercicio: Calcular: a) como suma de minterms; b) como producto de
Maxterms; c) la expresión más simplificada de esta función
expresada en la siguiente tabla de verdad:
0 1 1
1 0 1
0 1 0
1 0 0
F B A

10. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
0 1 1
1 0 1
0 1 0
1 0 0
F B A
0 1 1
1 0 1
0 1 0
1 0 0
F B A
El valor B no cambia
El valor A cambia
El valor B no cambia
El valor A cambia
B B)A A( BA BA m m F
2 0
=
+
=
+
=
+
=
B)AA( B)B A)(B A( MM F
3 1
=
+
=
+
+
=
=

11. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
La tabla de Karnaughcomo alternativa a la tabla de verdad: •Es una tabla de verdad
•Correspondencia biunívoca entre las casillas de una tabla de
verdad y una tabla de Karnaugh
•Ordenada “estratégicamente”
•Permite determinar “adyacencias”
Adyacencia:
Cuando dos expresiones tienen las mismas variables, todas
igualmente complementadas o no, excepto en una única que varía.

12. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Tabla de Karnaugh de una variable:
(existen únicamente 4 funciones)
1
1
0
0
F A
n
0
1
1
1
0
0
F A
n
0
1
1
0
0
0
F A
n
1
1
1
0
0
0
F A
n
1
1
1
1
0
0
F A
n
1 0
1 0 A
1
0
0
0
1 0 A
1
1
0
0
1 0 A
1
1
0
1
1 0 A
1
0
0
1
1 0 A
•
Tabla de una entrada con dos
casillas, siendo ambas adyacentes.
• Dos casillas adyacentes son
simplificables, ya se desarrolle por
ceros o por unos.
0 AA F
0 F
=
==
A F
A F
==
A F
A F
==
1F
1 A A F
=
=
+
=

13. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Tabla de Karnaugh de 2 variables:
(existen únicamente 16 funciones)
•
Tabla de dos entradas con 4 casillas, siendo estas adyacentes por
“vecindad” horizontal o vertical
• Dos casillas adyacentes son simplificab les, eliminándose una variable.
• Cuatro casillas también son adyace ntes, eliminándose 2 variables.
3
2
1
0
n
11
01
10
00
FBA
3 1
1
2 0
0
1 0
A
B

14. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
3
2
1
0
n
011
101
010
100
FBA
3
0
1
0
1
2
1
0
1
0
1 0
A
B
B F
=
(B=0 en ambos casos)
3
2
1
0
n
111
101
010
000
FBA
3
1
1
0
1
2
1
0
0
0
1 0
A
B
A F
=
(A=1 en ambos casos)

15. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
3
2
1
0
n
111
101
110
100
FBA
3
1
1
1
1
2
1
0
1
0
1 0
A
B
1F
=
(se elimina A y B)
El que se mueva en la foto no sale.
3
2
1
0
n
111
001
110
000
FBA
1
0
1 0
A
B

16. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Tabla de Karnaugh de 3 variables
:
(2
8
=256 casos posibles)
1 1 1 1
7
1 0 1 1
6
1 1 0 1
5
1 0 0 1
4
1 1 1 0
3
0 0 1 0
2
0 1 0 0
1
0 0 0 0
0
F C B A
n
5
1
7
1
3
1
1
0
1
4
1
6
1
2
0
0
0
0
10 11 01 00
AB
C
• Tabla de dos entradas con 8 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal
o vertical.
• Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenana según el código de
Gray.
• 2 casillas adyacentes son simplif icables, eliminándose 1 variable.
• 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables,
• 8 casillas son adyacentes, eliminándose 3 variables.
BCA
A BC F
+
=

17. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Tabla de Karnaugh de 3 variables
:
(2
8
=256 casos posibles)
1 1 1 1
7
1 0 1 1
6
1 1 0 1
5
1 0 0 1
4
1 1 1 0
3
0 0 1 0
2
0 1 0 0
1
0 0 0 0
0
F C B A
n
5
1
7
1
3
1
1
0
1
4
1
6
1
2
0
0
0
0
10 11 01 00
AB
C
• Tabla de dos entradas con 8 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal
o vertical. También son adyacentes por los bordes.
• Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenan según el código de
Gray.
• 2 casillas adyacentes son simplif icables, eliminándose 1 variable.
• 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables,
• 8 casillas son adyacentes, eliminándose 3 variables.
A+BA+C
)C A)(B A( F
+
+
=

18. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Tabla de Karnaugh de 4 variables
:
(2
16
casos posibles)
• Tabla de dos entradas con 16 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad”
horizontal o vertical. También son adyacentes por los bordes.
• Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenan según el código de
Gray. Lo mismo para las otras variables.
• 2 casillas adyacentes son simplif icables, eliminándose 1 variable.
• 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables.
• 8 casillas también son adyacentes, eliminándose 3 variables.
• 16 casillas también son adyacentes, eliminándose 4 variables.

19. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
11111
15
10111
14
11011
13
10011
12
01101
11
00101
10
01001
9
00001
8
01110
7
10110
6
11010
5
10010
4
01100
3
10100
2
01000
1
10000
0
FDCBA
n
10
0
14
1
6
1
2
1
10
11
0
15
1
7
0
3
0
11
9
0
13
1
5
1
1
0
01
8
0
12
1
4
1
0
1
00
10 11 01 00
AB
CD
AB CB DA F
+
+
=

20. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Tabla de Karnaugh de 5 variables
:
(2
32
casos posibles)
• 2 Tablas de dos entradas, con 16 casillas cada una.
• Si el orden es ABCDE, la primera tabla respresenta A=0 y la segunda A=1.
• Además de las adyacencias interiores, también son adyacentes dos casillas con
idénticas posiciones relativas en ambo cuadros (propiedad de traslación)
•2
n
casillas adyacentes forman un grupo y se eliminan n variables.
A=0
10
1
14
1
6
0
2
1
10
11
0
15
1
7
0
3
1
11
9
0
13
1
5
1
1
0
01
8
1
12
1
4
1
0
1
00
10 11 01 00
BC
DE
A=1
10
0
14
1
6
1
2
1
10
11
0
15
1
7
0
3
0
11
9
0
13
1
5
0
1
0
01
8
0
12
1
4
0
0
1
00
10 11 01 00
BC
DE

21. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
A=0
10
1
14
1
6
0
2
1
10
11
0
15
1
7
0
3
1
11
9
0
13
1
5
1
1
0
01
8
1
12
1
4
1
0
1
00
10 11 01 00
BC
DE
A=1
10
0
14
1
6
1
2
1
10
11
0
15
1
7
0
3
0
11
9
0
13
1
5
0
1
0
01
8
0
12
1
4
0
0
1
00
10 11 01 00
BC
DE
-Se eliminan ADE
Î
-Se eliminan BE
Î
-Se eliminan BD
Î
-Se eliminan AD
Î
-Se elimina E
Î
-Se elimina C
Î
EDBA
DCBA
ECB
ECA
DCA
BC
EDBA DCBA ECB
ECA DCA BC F
+
+
+
+
+
+
=

22. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
18
1
22
1
30
1
26
0
10
1
14
1
6
0
2
1
10
19
0
23
0
31
1
27
0
11
0
15
1
7
0
3
1
11
17
0
21
0
29
1
25
0
9
0
13
1
5
1
1
0
01
16
1
20
0
28
1
24
0
8
1
12
1
4
1
0
1
00
100 101 111 110 010 011 001 000
ABC
DE
-Se eliminan ADE Î
-Se eliminan BE Î
-Se eliminan BD Î
-Se eliminan AD Î
-Se elimina E Î
-Se elimina C Î
EDBA
DCBA
ECB
ECA
DCA
BC
EDBA DCBA ECB
ECA DCA BC F
+
+
+
+
+
+
=
Tabla de Karnaugh de 5 variables(alternativa)
:
(2
32
casos posibles)

23. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Tabla de Karnaugh de 6 variables(alternativa)
:
(2
32
casos posibles)
10 14 6 2
10
11 15 7 3
11
9 13 5 1
01
8 12 4 0
00
10 11 01 00CD
EF
58 62 54 50
10
59 63 55 51
11
57 61 53 49
01
56 60 52 48
00
10 11 01 00CD
EF
26 30 22 18
10
27 31 23 19
11
25 29 21 17
01
24 28 20 16
00
10 11 01 00CD
EF
43 47 39 34
10
42 46 38 35
11
41 45 37 33
01
40 44 36 32
00
10 11 01 00CD
EF
B=0 B=1
A=0
A=1

24. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Ejercicios:
1 0
1
1 0
0
1 0
A
B
1 1 1 0
1
1 1 0 0
0
10 11 01 00
AB
C
1 1
1
0 0
0
1 0
A
B
1 0 1 0
1
1 0 1 0
0
10 11 01 00
AB
C
0 0 1 1
1
0 1 1 0
0
10 11 01 00
AB
C
1 1 0 0
1
1 0 0 1
0
10 11 01 00
AB
C
1 1 1 1
10
1 1 1 1
11
0 0 1 0
01
1 0 0 1
00
10 11 01 00AB
CD
1 1 1 1
10
1 1 1 1
11
0 0 1 0
01
1 0 0 1
00
10 11 01 00AB
CD
1 1 1 1
10
1 0 0 1
11
1 0 0 1
01
1 1 1 1
00
10 11 01 00AB
CD

25. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Funciones incompletamente especificadas: •Algunos problemas o diseños no definen completamente una
función lógica.
•Los casos no especificados no son “0” ni tampoco “1”. Pero
pueden ser cualquiera de los dos.
•Se marcan como “X” en las tablas.
•Se convierten a “0” o a “1” según interese a la hora de
simplificar.

26. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Ejemplo:
circuito que detecta si un número en BCD es par (F=1)
o impar (F=0)
X X 1 1
10
X X 0 0
11
0 X 0 0
01
1 X 1 X
00
10 11 01 00AB
CD
X 1 1 1 1 15
X 0 1 1 1 14
X 1 0 1 1 13
X 0 0 1 1 12
X 1 1 0 1 11
X 0 1 0 1 10
0 1 0 0 1 9
1 0 0 0 1 8
0 1 1 1 0 7
1 0 1 1 0 6
0 1 0 1 0 5
1 0 0 1 0 4
0 1 1 0 0 3
1 0 1 0 0 2
0 1 0 0 0 1
X 0 0 0 0 0
F D C B A
n
D F
=

27. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Criterios de Simplificación: •Marcar y aceptar las casillas no combinables.
•Marcar y aceptar las casillas que se pueden combinar en grupos
de 2 de una sola forma.
•Marcar y aceptar las casillas que se pueden combinar en grupos
de 4 de una sola forma.
•......
•Las casillas aún libres se agr upan con otras aunque ya estén
marcadas, formando el menor número de grupos posible
pero del máximo tamaño posible.

28. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
J. Gómez-García
Ejemplo de desarrollo por unos:
10
0
14
1
6
1
2
0
10
11
0
15
1
7
X
3
0
11
9
1
13
0
5
1
1
0
01
8
0
12
1
4
1
0
1
00
10 11 01 00
AB
CD
Casilla 9 no combinable:
DCBA
Casilla 0 sólo combinable con 4
para grupo de 2. Las demás
admiten al menos 2 posibilidades:
DCA
Casilla 5 sólo combinable con 4,
6, 7 para grupo de 4:
BA
Casilla 12 sólo combinable con 4,
6 y 14 para grupo de 4:
DB
Casilla 15 sólo combinable con 6,
7 y 14 para grupo de 4:
BC