Dinámica del movimiento rotacional

Se deduce la ecuación fundamental de la dinámica rotacional

1. Física 1
Sesión 3 Semana 1
Torque de una fuerza
Torque de una fuerza. Torque y aceleración angular de un
cuerpo rígido. Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje
móvil

2. 16/04/09 2Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
•El torque es la medida cuantitativa de la
tendencia de una fuerza a para causar o
alterar la rotación de un cuerpo.
•Se define torque de una fuerza F respecto
del punto O como
•Cuya magnitud está dada por:
•La dirección del torque se determina por la
regla de la mano derecha.
•La unidad del torque es el “newton-metro”
F
O
r Ft= ´
r ur
F
o
rFsent j=
Momento de una fuerza o torque
[].N mt=
La dirección se determina por la
regla de la mano derecha

3. 16/04/09 3Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Momento de una fuerza o torque
•Podemos definir el torque como el
producto de la fuerza por su brazo de
palanca

4. 16/04/09 4Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Momento o torque de una fuerza
o
r
r
F
r
t f=F r sen f
o
r
r
F senf
f
r senf
o
r
r
F
r
f
Producto de la distancia por la
componente perpendicular de la fuerza
Producto de la fuerza por la componente
perpendicular de la distancia

5. 16/04/09 5Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Relación torque – rotación
Analice la relación torque sentido de la rotación en la animación del aula virtual

6. 16/04/09 6Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Ejercicio 10.1 Pág. 393
•Calcule el torque en cada uno de los siguientes casos:

7. 16/04/09 7Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Ejercicio 10.3 Pág. 394
•Una placa metálica cuadrada de 0,108 m por
lado, pivotea sobre un eje que pasa por el
punto O en su centro y es perpendicular a la
placa (vea la figura). Calcule el momento de
torsión neto alrededor de este eje debido a
las tres fuerzas mostradas en la figura. Si sus
magnitudes son F
1
= 18,0 N , F
2
= 26,0 N ,
F
3
= 14,0 N (la placa y todas las fuerzas se
encuentran en el plano)
1(0,0900 ) (180,0 ) 1,62 m N N mt= - ´ = - ×
( )3 2 (0,0900 ) (14,0 ) 1,78 . m N N mt= =
2,50 .N mt=
Sentido antihorario
2
(0,0900 )(26,0 ) 2,34 m N N mt= = ×

8. 16/04/09 8Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
•El torque sobre una partícula es igual a su
momento de inercia alrededor del eje de
rotación por su aceleración angular
instantánea.
•Podemos extender esta propiedad a todos
los cuerpos rígidos que giran alrededor de un
eje, siempre y cuando el eje de rotación sea
un eje de simetría del sólido.
Torque y aceleración angular de un cuerpo rígido
•Supóngase una partícula girando en una
trayectoria circular bajo la acción de la fuerza
tangencial F
T
y una fuerza centrípeta que
asegura el movimiento circular
r
r
( )
C T
r F r F Ft= ´ = ´ +
r r rr r r

T
r Ft= ´
rr r
ω
r
a
r
ˆ

T
r F kt=
r
2ˆ ˆ
( ) ( ) r m r k mr kt a a= =
r
2
( ) mrt a=
rr

R
It a=
rr
CF
®
TF
®

9. 16/04/09 9Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Ejemplo 10.2 Pág. 367
•Se enrolla un cable varias veces en un
cilindro sólido uniforme de 50 kg con
diámetro de 0,12 m, que puede girar sobre su
eje. Se tira del cable con una fuerza de 9,0 N.
Suponiendo que el cable se desenrolla sin
estirarse ni resbalar, ¿qué aceleración tiene? I
= MR
2
/2.
•DCL
2
2
2
2
0,36 /
FR F
a R R R
MRI M
a m s
t
a= = = =
=

10. 16/04/09 10Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Ejercicio 10.7 Pág. 394
•Un casco esférico uniforme de 8,40 kg y 50,0
cm de diámetro tiene cuatro masas pequeñas
de 2,00 kg pegadas a su superficie exterior, a
distancias equidistantes. Esta combinación
gira respecto a un eje que pasa por el centro
de la esfera y dos de las masas pequeñas
(observe la figura) ¿Qué momento de torsión
por fricción se requiere para reducir la
rapidez angular del sistema, de 75,0 rpm a
50,0 rpm en 30,0 s?
3
5,24 10 .Nmt
-
= ´
2
mkg 600,0 ×=I
2 22
3
2I MR mR= +
0
75,0 rpm 7,854 rad s
50,0 rpm 5,236 rad s;
ω
ω
= =
= =
0
2

0,08726 rad s
,
0,0524 N m
f
ω ω αt
α
τ Iα
τ
= +
=-
S =
=- ×

11. 16/04/09 11Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Ejercicio 10.13
•Una piedra de afilar en forma de disco
sólido de 0,520 m de diámetro y masa de
50,0 kg gira a 850 rpm. Usted presiona un
hacha contra el borde de la piedra con una
fuerza normal de 160 N (observe la figura) y
la piedra se detiene en 7,50 s . Calcule el
coeficiente de fricción entre el hacha y la
piedra. Ignore la fricción de los cojinetes.
•La magnitud de F = N
•La fuerza que produce torque es la fuerza de
fricción
å=atI
Nf
k
m=
fR=t /a Ra=
( )
N
tMR
RN
I
N
R
N
f
2
0
k
wat
m ====
rad s
30 rev min
50,0 kg 0,260 m 850 rev min
0,482
2 7,50 s 160 N
K
p
m
´ ´ ´
= =
´ ´
2
I MR=

12. 16/04/09 12Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Resumen: Dinámica de la traslación y la rotación combinadas del CR
•Si un cuerpo rígido gira y se traslada,
después de dibujar el DCL del sólido,
como se mencionó ya, deberá aplicarse
las leyes de Newton en el caso de la
traslación del centro de masas y la
rotación respecto al centro de masas.
•Para la traslación:
•Para la rotación:
å =
CMextaMF
rr
a
CM
F
z
CMz
Iå=at
En el caso del movimiento de la moneda, se
puede apreciar que ésta tiene un CM que
acelera, pero que también posee una
aceleración angular producto de la rotación
de la moneda respecto al CM.

13. 16/04/09 13Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Dinámica de la esfera rodante
•Una bola de bolos rueda sin resbalar por la
rampa de retorno junto a la mesa. La rampa
forma un ángulo b con la horizontal. ¿qué
aceleración tiene la bola?
2
5
f Ma=
sinMg f Mab- =
.
CM
f R Ia=
22
5
CM
I MR=
22
.
5
f R MRa=
(1)
(2)
(1) y (2)
2
sin
5
Mg Ma Mab- =
5
7
a g senb=

14. 16/04/09 14Y Milachay, A Macedo, S Tinoco
Dinámica del yo-yo
•Se fabrica un yo-yo enrollando un cordel
varias veces alrededor de un cilindro sólido
de masa M y radio R. Se sostiene el extremo
del cordel fijo mientras se suelta el yoyo
desde el reposo. El cordel se desenrolla sin
resbalar ni estirarse al caer y girar.
Considerando al yoyo como un cilindro
calcule la aceleración lineal y la tensión del
cordel
T
Mg
å -=-+=
ycmy MaTMgF )(
21
2
z cm z z
TR I MRt a a= = =å
ga
ycm
3
2
=
-
MgT
3
1
=