Dirichlet L-Series

1. UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI TORINO
FACOLTA' DI SCIENZE M.F.N.
Corso di Laurea in Matematica
Funzioni L di Dirichlet e alcune
generalizzazioni
Candidato:
Francesco Giordano
Relatore:
Prof.ssa Lea Terracini
Sessione di aprile 2012
Anno Accademico 2010-2011

2. ii

3. Introduzione e ringraziamenti
In questa tesi si introduce in modo elementare l'argomento delle funzioni L
di Dirichlet, strumenti di fondamentale importanza nella Teoria Analitica
dei Numeri e in generale nella matematica.
Il loro studio e strettamente correlato e generalizza la celebre funzione
Zeta di Riemann
(s) =
+1
X
n=1
1
n
s
Per introdurre l'argomento e stato necessario studiare prima le fonda-
mentali proprieta delle funzioni aritmetiche e inne introdurre il concetto
dicarattere di Dirichlet
L'attenzione si e poi focalizzata sulle funzioni aritmetiche periodiche,
di cui i caratteri sono un caso particolare.
Sotto determinate ipotesi strutturali, i caratteri di Dirichlet risultano
essere generatori di tutte le funzioni aritmetiche periodiche, pertanto a que-
st'ultime e soprattutto alle rispettive serie di Dirichlet si possono estendere
molti risultati concernenti le funzioni L.
Desidero ringraziare i miei genitori per il sostegno e la pazienza durante
questi anni, mia sorella per avermi supportato durante i momenti dicili
e inne la Prof.ssa Lea Terracini per avermi guidato con professionalita e
gentilezza nella stesura della relazione.
iii

4. iv INTRODUZIONE E RINGRAZIAMENTI
No discovery of mine has made, or is likely to make, directly
or indirectly, for good or ill, the least dierence to the
amenity of the world.
G. H. Hardy

5. Notazioni usate
(m; n) =MCD(m; n)
fm; ng=mcm(m; n)
N:=f1;2; : : :g
;
q
Carattere di Dirichlet, moduloqse necessario evidenziarlo
;
m
Carattere primitivo di Dirichlet, modulomse necessario evi-
denziarlo
Um=Z

mGruppo moltiplicativo degli invertibili diZm
C

=Cn f0gGruppo moltiplicativo diC.
f
q
Funzione aritmetica periodica, di periodoq, se necessario eviden-
ziarlo.
pkFunzione aritmetica polinomio, di gradok, se necessario eviden-
ziarlo.
v

6. vi NOTAZIONI USATE

7. Indice
Introduzione e ringraziamenti iii
Notazioni usate v
1 Funzioni aritmetiche 1
1.1 Funzioni aritmetiche classiche . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Funzioni aritmetiche periodiche . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Funzioni aritmetiche moltiplicative e convoluzione . . 6
1.4 Funzioni polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 L'anello di Dirichlet 9
2.1 Proprieta dell'anello di Dirichlet . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Sottospazi e generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 I caratteri di Dirichlet 17
3.1 Caratteri primitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Serie di Dirichlet e Identita di Eulero 27
4.1 Funzioni L di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Caratteri come generatori diS 31
vii

8. viii INDICE

9. Capitolo 1
Funzioni aritmetiche
Di qui in seguito a ogni numero naturalene associata la sua fattorizzazione
standard
n=
k
Y
i=1
p
ei
i
(1.1)
Si dicefunzione aritmeticauna funzionef:N!C.
Una funzione aritmetica si dicemoltiplicativase
f(mn) =f(m)f(n) per ognim; n2Ntali che (m; n) = 1 (1.2)
completamente moltiplicativase
f(mn) =f(m)f(n) per ognim; n2N (1.3)
additivase
f(mn) =f(m) +f(n) per ognim; n2Ntali che (m; n) = 1 (1.4)
completamente additivase
f(mn) =f(m)f(n) per ognim; n2N (1.5)
Data la (1.1) si deduce immediatamente chee suciente deni-
re una funzione moltiplicativa/additiva (completamente moltiplicati-
va/completamente additiva)sulle potenze di numeri primi(sui numeri
primi) per estenderla a tutto l'insiemeN. Inoltre per ogni funzione molti-
plicativa/completamente moltiplicativa (additiva/completamente additiva)
risultaf(1) = 1 (f(1) = 0).
1

10. 2 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE
1.1 Funzioni aritmetiche classiche
Elenchiamo nel classico alcune funzioni aritmetiche di rilevante importanza.
Lafunzione0()
0(n) := 0 (1.6)
costantemente uguale a 0per ognin2N.
Lafunzione1()
1(n) := 1 (1.7)
costantemente uguale a 1per ognin2Ne completamente mol-
tiplicativa.
Lafunzione identitaI()
I(n) :=n (1.8)
e completamente moltiplicativa.
Lafunzione potenza-esimaI

()
I

(n) :=n

(1.9)
e completamente moltiplicativa.
La funzionee()
e(n) :=

1 sen= 1
0 altrimenti
(1.10)
e completamente moltiplicativa.
Lafunzione di Mobius() denita da
(n) :=
8
<
:
1 se n= 1
(1)
k
sen=p1 pkconpidistinti
0 altrimenti
(1.11)
(n) e moltiplicativa.

11. 1.1. FUNZIONI ARITMETICHE CLASSICHE 3
Lafunzione di Eulero'() denita da
'(n) := #fa2N: 1an;(a; n) = 1g (1.12)
che conta i numeri minori dine primi con esso, e moltiplicativa. Vale
la formula
'(n) =
k
Y
i=1
p
ei1
i
(pi1) =n
k
Y
i=1

1
1
pi

(1.13)
Lafunzione dei divisori() denita da
(n) := #fd2N:djng=
X
djn
1 (1.14)
che conta i divisori dine moltiplicativa. Vale la formula
(n) =
k
Y
i=1
(ei+ 1) (1.15)
Lafunzione della somma dei divisori() denita da
(n) :=
X
djn
d (1.16)
e moltiplicativa. Vale la formula
(n) =
k
Y
i=1
p
ei+1
i
1
pi1
(1.17)
Lafunzione di Mangoldt() denita da
(n) :=

logpsen=p
m
conm1
0 altrimenti
(1.18)
none moltiplicativa.
Lafunzione dei fattori primi!() denita da (ricordando la (1.1))
!(n) :=

0 sen= 1
kaltrimenti
(1.19)
conta i fattori primidistintidi un numeroned e additiva.

12. 4 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE
Lafunzione dei fattori primi() denita da (ricordando la (1.1))
(n) :=

0 sen= 1
P
eialtrimenti
(1.20)
conta i fattori primi di un numeroned e completamente additiva.
Lafunzione di Liouville() denita da
(n) := (1)
(n)
(1.21)
e completamente moltiplicativa.
Lafunziones-esima dei divisoris(), (s2N) denita da
s(n) :=
X
d1ds=n
1 (1.22)
conta il numero di decomposizioni dincome prodotto disfattori
positivi. Per ognis,se moltiplicativa e in particolare si ha11 e
2.
Vale la formula
s(n) =
k
Y
i=1

ei+s1
ei

(1.23)
Lafunzione somma delle-esime potenze dei divisori(n),
(2R) denita da
(n) :=
X
djn
d

(1.24)
Per ogni,e moltiplicativa e in particolare si ha0e1.
Vale la formula
(n) =
k
Y
i=1
p
(ei+1)
i
1
pi1
(1.25)
La funzione che assegna a ogni interon2Nil minimo comune
multiplo degli interi da 1 an
dn:=f1;2; : : : ; ng (1.26)

13. 1.2. FUNZIONI ARITMETICHE PERIODICHE 5
1.2 Funzioni aritmetiche periodiche
Siafuna funzione aritmetica,q2N. Se
f(n) =f(m)() nm(modq)
allorafsi dice funzione aritmeticaperiodicaeqe un suo periodo.
Si noti chef(n+q) =f(n) per ognin2Ne che se q=1 allorafe
costante.
Si diceperiodo minimodife si indica conper(f) il piu' piccolo intero
positivo che sia un periodo dif.
Si nota immediatamente che seqe un periodo difalloraper(f)jq.
Nel seguito quando diremo chefha periodoqindicheremo che
per(f)jq
.
Denoteremo conSl'insieme delle funzioni aritmetiche periodiche e con
Sql'insieme di quelle con periodoq.
Sef2 Sqper indicarla potremo usare la notazione
(f(1); : : : ; f(q))

14. 6 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE
1.3 Funzioni aritmetiche moltiplicative e con-
voluzione
Teorema 1.Sef()e una funzione moltiplicativa, allora anche
g(n) :=
X
djn
f(d) (1.27)
e moltiplicativa.
Dimostrazione.Osserviamo che se (m; n) = 1 allora per ognidjmnesistono
unicid1; d2tali ched1d2=d,d1jm,d2jne (d1; d2) = 1. Pertanto
g(mn) =
X
d1d2jmn
f(d1d2) =
X
d1jm
d2jn
f(d1)f(d2) =
X
d1jm
f(d1)
X
d2jn
f(d2) =g(m)g(n)
Teorema 2.
X
djn
(d) = 0;per ognin >1 (1.28)
Dimostrazione.Poiche() e moltiplicativa, anche (n) :=
P
(d) e mol-
tiplicativa. Possiamo allora provare l'asserto solo sulle potenze dei primi.
Risulta (e >0)
(p
e
) =(1) +(p) +
=0
z}|{
+p
e
= 11 = 0
Teorema 3(Formula di convoluzione di Mobius:).Seg()e denita come
nella (1.27) allora
f(n) =
X
djn
(d)g(
n
d
) (1.29)
Dimostrazione.
X
djn
(d)g(
n
d
) =
X
djn
(d)
X
cj
n
d
f(
n
cd
) =
X
cdjn
(d)f(
n
cd
)
Denendo il nuovo indicek:=cd, riscriviamo
X
kjn
f(
n
k
)
6=0 ssek=1
z}|{
X
djk
(d) =f(n)

15. 1.4. FUNZIONI POLINOMIO 7
Teorema 4.Seg()e denita come nella (1.27) ed e moltiplicativa, allora
anchef()e moltiplicativa.
Dimostrazione.Dalla (1.29) si ha, per (m; n) = 1, procedendo analoga-
mente alla dimostrazione del Teorema 1
f(mn) =
X
d1d2jmn
(d1d2)g(
mn
d1d2
) =
X
d1jm
d2jn
(d1)g(
m
d1
)(d2)g(
n
d2
) =
=
X
d1jm
(d1)g(
m
d1
)
X
d2jn
(d2)g(
n
d2
) =f(m)f(n)
1.4 Funzioni polinomio
p2 Asi dicepolinomiosep(n) = 0 per ognin2Ntranne un numero
nito.
Si noti che le funzioni aritmeticheee 0, elementi neutri rispettivamente
della somma e del prodotto di convoluzione in=A, sono polinomi.
Si dice grado dip6= 0 il piu' grande2Ntale chep()6= 0 Indicheremo
conpkuna successione aritmetica polinomio di gradok.
Denotiamo conPl'insieme dei polinomi e conPakl'insieme dei poli-
nomi di grado al massimok(i.e.pk(n) = 0 sen > k).
Si ha
P=
[
k1
Pk

16. 8 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE

17. Capitolo 2
L'anello di Dirichlet
Indichiamo conAl'insieme delle funzioni aritmetiche. Deniamo l'opera-
zione disomma:
(f+g)(n) :=f(n) +g(n) (2.1)
e l'importanteprodotto di Dirichlet(oconvoluzione):
(fg)(n) :=
X
djn
f(d)g(
n
d
) (2.2)
Quest'ultimo puo essere iterato nel modo seguente:
(f1 fr)(n) :=
X
d1dr=n
f1(d1): : : fr(dr) (2.3)
Possiamo quindi considerare le potenze alla Dirichlet, denotandole con
f
k
=
kvolte
z}|{
f f (2.4)
f
k
(n) :=
X
d1dk=n
f(d1) f(dk) (2.5)
e grazie a questa notazione si deduce immediatamente che * e un'ope-
razione commutativa e associativa.
Inoltre il prodotto alla Dirichlet si distribuisce sulla somma.
Inne e immediato osservare che le funzioni 0(n) ee(n) (denita dal-
la (1.10)) fungono da elemento neutro rispettivamente della somma e del
prodotto.
Arisulta quindi unanello commutativo con identitae prende il nome
diAnello di Dirichlet.
Se introduciamo l'operazione diprodotto per scalare:
(f)(n) :=f(n) (2.6)
con2C,Adiviene uno spazio vettoriale suC.
9

18. 10 CAPITOLO 2. L'ANELLO DI DIRICHLET
2.1 Proprieta dell'anello di Dirichlet
Possiamo denire unavalutazioneperAconf6= 0 :
jjfjj=minfn2N:f(n)6= 0g (2.7)
e ponendojj0jj=1.
La notazione,jj jjnon e una norma, ma e facile dimostrare che lo e
jj jj

:=
1
jjjj
.
La valutazione e moltiplicativa rispetto al prodotto di Dirichlet.
Proprieta 1.
jjfgjj=jjfjjjjgjj 8f; g2 A
Dimostrazione.Sef= 0 oppureg= 0 la proprieta e ovvia. Altrimenti
(fg)(n) =
X
hk=n
f(h)g(k) =
X
hk=n
hjjfjj
kjjgjj
f(h)g(k)
Pertanto (fg)(n) = 0 sen <jjfjjjjgjje (fg)(n) =f(jjfjj)g(jjgjj)6= 0
sen=jjfjjjjgjj.
Dalla proprieta 1 segue cheAe undominio d'integrita, infatti
fg= 0 =) jjfjjjjgjj=1=)f= 0_g= 0
Indichiamo conUil gruppo delle unita diA(con l'operazione di pro-
dotto di convoluzione).
Proprieta 2.
f2 U () jj fjj= 1
Dimostrazione.Sef2 Uesistef
1
2 Utale cheff
1
=epertanto
jjfjjjjf
1
jj= 1. Poiche la valutazione e a valori interi positivi, risulta
jjfjj= 1.
Se invecejjfjj= 1 (cioef(1)6= 0), deniamo per ricorrenza
f
1
(n) :=
8
>
>
>
<
>
>
>
:
1
f(1)
sen= 1

1
f(1)
X
djn; d>1
f(d)f
1
(
n
d
) sen >1
(2.8)

19. 2.1. PROPRIET

A DELL'ANELLO DI DIRICHLET 11
In tal modo (ff
1
)(1) = 1 e
(ff
1
)(n) =
X
djn
f(d)f
1
(
n
d
) =f(1)f
1
(n) +
X
djn;d>1
f(d)f
1
(
n
d
) =
=f(1)f
1
(n)f(1)f
1
(n) = 0
La (2.8) permette di calcolare operativamente l'inversa di una funzione
aritmetica data.
Denotiamo conMl'insieme delle funzioni moltiplicative e ricordando
che sef2 Malloraf(1) = 1 possiamo ovviamente concludere cheM U.
Ma vale anche l'inclusione come sottogruppo.
Teorema 5.
M U
Dimostrazione.Dobbiamo dimostrare chef; g2 M, allorafg2 Me
f
1
2 M.
Per il primo asserto procediamo similmente alla dimostrazione dei Teo-
remi 1 e 4.
Per (m; n) = 1 risulta
(fg)(mn) =
X
d1d2jmn
f(d1d2)g(
mn
d1d2
) =
X
d1jm
d2jn
f(d1)g(
m
d1
)f(d2)g(
n
d2
) =
=
X
d1jm
f(d1)g(
m
d1
)
X
d2jn
f(d2)g(
n
d2
) = (fg)(m)(fg)(n)
Per la seconda aermazione si puo ragionare per induzione. Dalla 2.8 si
ha chef
1
(1) = 1, pertantof
1
(mn) =f
1
(m)f
1
(n) sem= 1_n= 1.
Supponiamo ora chef
1
(ab) =f
1
(a)f
1
(b) per ognia; b2Ncon
(a; b) = 1 eab < mncon (m; n) = 1 em; n >1. Sempre dalla 2.8
otteniamo
f
1
(mn) =

X
1<d1d2jmn
f(d1d2)f
1
(
mn
d1d2
) =
X
1<d1d2jmn
f(d1)f(d2)f
1
(
m
d1
)f
1
(
n
d2
) =

20. 12 CAPITOLO 2. L'ANELLO DI DIRICHLET
=
X
1<d1jm
1<d2jn
f(d1)f(d2)f
1
(
m
d1
)f
1
(
n
d2
)+

X
1<d1jm
f(d1)f
1
(
m
d1
)f
1
(n)
X
1<d2jn
f(d2)f
1
(
n
d2
)f
1
(m) =
=
0
@
X
1<d1jm
f(d1)f
1
(
m
d1
)
1
A
0
@
X
1<d2jn
f(d2)f
1
(
n
d2
)
1
A+
+f
1
(m)f
1
(n) +f
1
(n)f
1
(m) =
=f
1
(m)f
1
(n) + 2f
1
(m)f
1
(n) =f
1
(m)f
1
(n)
Teorema 6.Sef2 M, allora risultaf
1
=fse e solo sefe comple-
tamente moltiplicativa.
Dimostrazione.Se f e completamente moltiplicativa, per la 1.28
(ff)(n) =
X
djn
(d)f(d)f(
n
d
) =
=
X
djn
(d)f(n) =f(n)
X
djn
(d) =e(n)
Viceversa sef
1
=fdobbiamo dimostrare chefe completamente mol-
tiplicativa sui primi (i.e.f(p

) =f(p)

).
0 = (ff)(p

) =

X
k=0
(p
k
)f(p
k
)f(p
k
) =f(p

)f(p)f(p
1
)
cosicchef(p

) =f(p)f(p
1
) e la tesi segue per induzione su.
Si noti che sef; gsono completamente moltiplicative, in generalef
1
; f
gnon sono completamente moltiplicative.

21. 2.1. PROPRIET

A DELL'ANELLO DI DIRICHLET 13
Grazie alle notazioni introdotte possiamo intendere i teoremi del Capi-
tolo 1 come casi particolari di alcuni prodotti di convoluzione.
Valgono le seguenti formule:
1=e (2.9)
cioe=1
1
11= (2.10)
cioe1
2
=
E in generale vale
s
z}|{
1 1=s (2.11)
cioe1
s
=s
'1=I (2.12)
e pertanto'=I
Inne si ha
I1= (2.13)
e in generale
I

1= (2.14)

22. 14 CAPITOLO 2. L'ANELLO DI DIRICHLET
2.2 Sottospazi e generatori
La (2.6) ci consente di vedereAcome spazio vettoriale.
E' chiaro cheAha dimensione innita, ma non e banale determinare
una base (la cui esistenza e garantita dal Lemma di Zorn, si veda ad esempio
[5])
Ricordiamo cheSe l'insieme delle funzioni aritmetiche periodiche eSq
l'insieme di quelle con periodoq.
Teorema 7.L'insiemeSdelle funzioni aritmetiche periodiche e sottospa-
zio vettoriale diA.
Dimostrazione.Siaf2 Sdi periodoq.
i) Per ogni2C,f(n) :=f(n) e periodica di periodoq.
ii)gdi periodoq
0
. per ognim; n2Ntali chemn(modfq; q
0
g) risulta
mn

(modq)
(modq
0
)
pertanto (f+g)(n) =f(n) +g(n) =f(m) +g(m) = (f+g)(m), cioe
(f+g)2 S.
Corollario 1.
per(f
q
+g
q
0
)j fq; q
0
g (2.15)
Corollario 2.L'insiemeSqdelle funzioni periodiche di periodoqe sotto-
spazio vettoriale diS
Possiamo facilmente osservare cheSqha dimensioneqe che una sua
base, che chiameremo canonica, eBq=fsigi; i= 1; : : : ; q
si(n) :=

1 seni(modq)
0 altrimenti
i= 1; : : : q
Dimostrazione.Segue facilmente dall'isomorsmo
C
q
=Sq
(a1; : : : ; aq)7!(a1; : : : ; aq)

23. 2.2. SOTTOSPAZI E GENERATORI 15
Dall'isomorsmo conC
q
segue cheSqe uno spazio hermitiano con forma
hermitiana:
fg=
X
n= 1
q
f(n)g(n) (2.16)
Poiche
S=
[
q1
Sq
un sistema di generatori diSe dato da
BS:=
[
q1
Bq=fsi;qgi;qi= 1; : : : ; q; q1
si;q(n) :=

1 seni(modq)
0 altrimenti
i= 1; : : : q(2.17)
BSnon e una base, infatti i suoi elementi non sono linearmente indi-
pendenti. Ad esempio
s2;3=s2;6+s5;6
Teorema 8.Pe sottoanello diA.
Dimostrazione.E' chiaro che sepk; ph2 P, (kh) allora
i)
(pkph)(n) = 0
sen > k, ovvero (pkph)2 P
ii)
(pkph)(n) =
X
djn
pk(d)ph(n=d) =
X
djn
n=hdk
pk(d)q(n=d) = 0
sen > khperche l'ultima somma e vuota, ovvero(pkph)2 P.
iii)
e2 P

24. 16 CAPITOLO 2. L'ANELLO DI DIRICHLET
Teorema 9.PkePsono sottospazi vettoriali diA
Dimostrazione.Sianopk;~pk2 Pk Peph2 Ph P, (kh).
i) E' chiaro che per ogni2C,pk(n) = 0 sen > k, ovveropk2 Pk
P
ii)
(pk+ ~pk)(n) = 0
(pk+ph)(n) = 0
sen > k, ovvero (pk+ ~pk)2 Pk, (pk+ph),2 P.
E' evidente chePke isomorfo aC
k
(cos comeSk) e chePe isomorfo
allo spazio vettoriale libero suC.
La base canonica diPe formata dagli inniti
ei(n) =

1 sen=i
0 altrimenti
(2.18)
E la base canonica diPke formata daik,
ei(n) =

1 sen=i
0 altrimenti
i= 1; : : : ; k (2.19)

25. Capitolo 3
I caratteri di Dirichlet
Denizione 1.SiaGun gruppo abeliano, si dicecaratteredi G un
omomorsmo
:G!C

doveC

:=Cn f0ge il gruppo moltiplicativo diC
Ci interessa particolarmente il caso in cuiG=Uq=Z

qe il gruppo
moltiplicativo delle classi di resto invertibili moduloq.
In questo caso possiamo estendere la denizione diprima aZqpo-
nendo per ognia2ZqnUq
(a) = 0 (3.1)
e inne aNponendo
(n) =(n) (3.2)
cosicche
:N!C

e una funzione aritmetica
prende il nome dicarattere di Dirichlet modulo q, sia come
omomorsmo fraUqeC

(e talvolta daZq2C

) sia come funzione
aritmetica.
Nel seguito, se non diversamente indicato, intenderemo icome fun-
zioni aritmetiche.
17

26. 18 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET
Teorema 10.Siaun carattere di Dirichlet moduloq.
1.(n) = 0 se (q; n)>1
2.(n) =(m) senm(modq)
3.(n+q) =(n) per ognin2N
4.(mn) =(m)(n) per ognim; n2N
5.(1) = 1
6.(n
1
) =(n)
1
doven
1
e inteso come inverso moduloq, se esiste.
7.(n
k
) =(n)
k
8.(n)
'(q)
= 1 se (n; q) = 1
9.k(n)k= 1 per ognin2N.
10.(n) =(n)
1
Dimostrazione.
La 1) e diretta conseguenza della denizione, cos come la 2) e la 3), le quali
evidenziano che i caratteri di Dirichlet moduloqsono funzioni aritmetiche
periodiche di periodoq.
La 4) Segue ricordando chee estensione di un omomorsmo inUqe
chef(n) = 0 se (n; q)>1 Siano alloram; n2N. Allora
(mn) =(mn) =(mn) =(m)(n) =(m)(n)
ovveroe completamente moltiplicativa.
la 5), 6) e la 7) diventano ovvie non appena si osservi che
i)(1) =(1)
ii)(n
1
) =(n
1
) =(n
1
)
iii)(n
k
) =(n
k
) =(n
k
)
La 8) si dimostra osservando che poicheUqha ordine'(q), per ogni
(n; q) = 1 risulta
(n)
'(q)
=(n
'(q)
) =(n
'(q)
) =(n
'(q)
) =(1) = 1
cioemappa gli interi coprimi conqsulle radici'(q)-esime dell'unita.
La 9) discende dalla 8) e dalla moltiplicativita della norma inC
La 10) segue dalla 9) e dal fatto che(n)(n) =k(n)k
2

27. 19
e pertanto una funzione aritmetica periodica, di periodo q, comple-
tamente moltiplicativa.
Denotiamo conKql'insieme dei caratteri di Dirichlet moduloq, e de-
niamo un'operazione fra;2Kq:
(n) :=(n)(n) (3.3)
Teorema 11.Siaq2N. L'insieme dei caratteri di DirichletKq, dotato
del prodotto denito dalla (3.3) e un gruppo abeliano isomorfo aUq
Dimostrazione.Dimostriamo innanzitutto che dati due caratteri, il loro
prodotto e ancora un carattere.
Dati;2Kq, deve essere un'estensione di un omomorsmo da
UqaCPer ognia; b2Uq
(ab) =(ab)(ab) =(a)(b)(a)(b) =(a)(b)
E l'asserto segue dalla costruzione dicome funzione aritmetica.
Inoltre il prodotto eredita l'associativita e la commutativita daC
La funzione
0(n) :=

1 se (n; q) = 1
0 altrimenti
(3.4)
e un carattere, dettoprincipalee funge da elemento neutro.
Infatti e estensione dell'omomorsmo banale:
0:Uq!C:a7!1
e per ogni2Kq
0(n) =(n)0(n) =(n)
Dato2Kq, la funzione
(n) :=(n) =(n)
1
(3.5)
e ancora un carattere e funge da elemento inverso.
E' infatti estensione dell'omomorsmo:
:Uq!C:a7!(a)
1
Per dimostrare l'ultima aermazione, partiamo prima dal caso in cuiUq
sia ciclico (ovveroq= 2;4; p

;2p

;pdispari). In questo caso, siag2Uqtale
che cheUq=< g >. E' evidente che il carattere, essendo un omomorsmo,
e completamente determinato dal valore assegnato a(g) che deve essere
scelto fra le'(q) diverse radici'(q)-esime dell'unita. Abbiamo quindi
innanzitutto cheKqe nito di ordine'(q)

28. 20 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET
A questo punto basta osservare che il carattere denito da
(g) =e
2i
'(q)
Risulta

k
(g) =e
2ki
'(q)
pertanto generaKqche quindi e ciclico e isomorfo aUq.
Nel caso generale, ci basta pensare cheUqe abeliano per ogniq2N, e
ricordare che ogni gruppo abeliano e prodotto diretto di gruppi ciclici.
Uq=C1: : : Cr
ConCiciclico di ordinehie generato dagi, peri= 1; : : : ; r.
Inoltreh1 hr=jUqj='(q).
Allora ognia2Uqsi scrive in mod unico come
a=g
x1
1: : : g
xr
r (3.6)
con 1x1hiSegue allora che
(a) =(g1)
x1
: : : (gr)
xr
(3.7)
Cioe il carattere e determinato dai valori assegnati ai(gi) Di nuovo si ha
che(gi) deve essere una radicehi-esima dell'unita per ognii= 1; : : : ; re
le possibilih1 hr='(q) determinano tutti e i soli caratteri di Dirichlet
moduloq.
Inne, i caratteri itali che
i(gj) =
(
e
2i
h
isej=i
1 sej6=i
(3.8)
generanorgruppi ciclici di ordinehiisomor aiCiche generanoKq. Segue
quindi
Kq'Uq
Vale inoltre la seguente proprieta
Teorema 12.Seq >2, per ognia2Uq; a6=1, esiste2Kqtale che
(a)6= 1

29. 21
Dimostrazione.Ricordando che valgono sempre la (3.6) e la (3.7) e suf-
ciente osservare che poichea6=1, per almeno uno degligideve essere
xi6= 1, diciamoi= 1 senza perdita di generalita.
Allora e suciente notare che per 1come denita nella (3.8) vale
1(a) =e
2x
1

h
16= 1
Valgono quindi i seguenti risultati:
Teorema 13(Formule di ortogonalita).Siaq1,a2Uq,2Kq.
X
a2Uq
(a) =

'(q) se=0
0 altrimenti
(3.9)
X
2Kq
(a) =

'(q) sea=1
0 altrimenti
(3.10)
Dimostrazione.Occupiamoci prima della (3.9).
Se=0e ovvia. Altrimenti, deve esistereb2Uqtale che(b)6= 1.
Poiche per ognia2Umesiste un unicoa
0
tale chea
0
=ab, postoS=
P
a
(a) otteniamo:
(b)S=(b)
X
a2Uq
(a) =
X
a2Uq
(ab) =
X
a
0
2Uq
(a
0
) =S
E per la scelta dib, dev'essereS= 0
La (3.10) si dimostra analogamente (in eetti dipende dall'isomorsmo
traUqeKq): sea=1 e ovvia, altrimenti, per il teorema 12, esiste 2Kq
tale che (a)6= 1 e per ogni2Kqesiste un unico
0
tale che
0
=.
Pertanto, chiamatoS
0
=
P

(a), risulta
(a)S
0
= (a)
X
2Kq
(a) =
X
2Kq
(a) =
X

0
2Uq

0
(a
0
) =S
0
E, ancora, per la scelta di , deve essereS
0
= 0
Poichee una funzione periodica di periodoq, ricordando la forma
hermitiana suSqdenita dalla (2.16) otteniamo

30. 22 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET
=

'(q) se=
0 altrimenti
(3.11)
Dimostrazione.Osserviamo che se2Kqe (n; q) = 1 allora(n) = 0.
Allora, dalla (3.9)
=
q
X
n=1
(n)(n) =
q
X
n=1
(n)(n) =
q
X
n=1
(n) =

'(q) se =0
0 altrimenti
E la tesi segue notando che condizione nella prima riga e equivalente a
= .
Anche in questo caso, grazie all'isomorsmo traUqeKqotteniamo
anche la seguente formula, per ogni2Kq, per ognim; n2N, (m; q) = 1
X
2Kq
(n)(m) =

'(q) senm(modq)
0 altrimenti
(3.12)
Dimostrazione.Se (n; q) = 0 la somma e vuota emennon possono essere
nella stessa classe di resto (modq), pertanto la formula e provata.
Altrimenti, osserviamo che poiche (m; q) = 1, risulta
06=(m) =(m)
1
=(m
1
)
Dovem
1
2Ne un intero coprimo con 1 inverso dim(modq). Os-
serviamo che (nm
1
; q) = 1 cioe esistea2Uqtale chenm
1
2a(i.e.
(nm
1
) =(a)). Pertanto:
X
2Kq
(n)(m
1
) =
X
2Kq
(nm
1
) =
X
2Kq
(a)
E la tesi segue dalla (3.10) osservando che la condizionea=1 e
equivalente anm(modq).

31. 23
Vale inne il seguente
Teorema 14.Siaq1efuna funzione aritmetica non identicamente
nulla
1. completamente moltiplicativa
2. periodica di periodoq
3. tale chef(n) = 0se(n; q) = 1
Alloraf2Kq
Dimostrazione.Per ognia2Ntale che (a; q) = 1 e per ogni2Kqsi ha
f=
q
X
n=1
f(an)(an) =f(a)(a)
q
X
n=1
f(n)(n) =f(a)(a)f
Alloraf(a) =(a) per ognia2Na meno chef= 0 per ogni2Kq,
nel qual caso
0 =
X
2Kq
(a)f=
X
2Kq

(a)
q
X
n=1
f(n)(n)
!
=
=
q
X
n=1
0
@f(n)
X
2Kq
(a)(n)
1
A=f(a)'(q)
osservando che per la (3.12) l'ultima sommatoria e nulla quandon6a
(modq)
Ma allora sarebbef(a) = 0 per ognia2Ntale che (a; q) = 1, cioe
sarebbe identicamente nulla, contro l'ipotesi iniziale.
Pertantof(a) =(a) per ognia2N, cioef2Kq

32. 24 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET
3.1 Caratteri primitivi
Sianod; q2Ntali che chedjq
Abbiamo bisogno inizialmente del seguente
Lemma 1.Siamduna classe invertibile modulod. Allora esistem
0
2N
tale chem
0
2mdem
0
de una classe invertibile moduloq
Alloramqe una classe invertibile moduloq
Dimostrazione.Vogliamo dimostrare che per ogni classe invertibile inZd
esiste una classe invertibile inZqche sia suo sottoinsieme.
Siam2Ntale che (m; d) = 1. Consideriamo (m+d; q) per=
1; : : : ; d
0
doved
0
=q=d
Secj(m+d; q) per qualche, allorace coprimo cond, altrimenti
risulterebbe (m; d)>1 contro l'ipotesi.
Alloracjr, dovere il piu' grande fattore diqcoprimo cond
Inoltrerd
0
, pertanto siasiam+dcoprono tutte le classi di resto
modulor, e deve esistere0tale che (m+0d; r) = 1.
Pertanto risulta (m+0; q) = 1
Dato un carattere
d
2Kd, possiamo costruire un carattere moduloq
ponendo

q
(n) :=


d
(n) se (n; q) = 1
0 altrimenti
(3.13)
In questo caso si dice che
d
induce
q
e si scrive

d
j
q
(3.14)
Si noti che, assegnato
d
come omomorsmo

d
:Ud!C

allora
q
come funzione aritmetica puo essere denita in modo equivalente
alla (3.13) estendendo secondo la (3.2) l'omomorsmo

q
:Uq!C

tale che

q
:=
d

0
q;d (3.15)
dove

0
q;d:Uq!Ud (3.16)
e la restrizione aUqdell'epimorsmo canonico

33. 3.1. CARATTERI PRIMITIVI 25
q;d:Zq!Zd aq7!ad (3.17)
Il lemma (1) ci assicura che anche
0
e epimorsmo ma, in generale
(n; d) = 16=)(n; q) = 1 (3.18)
cioe
d
e
q
sono funzioni aritmetiche distinte e coincidono se e solo se
deqhanno gli stessi fattori primi cioe se
pjq()pjd (3.19)
Ed in questo case vale l'implicazione (3.18)
Si osservi inne, che la (3.14) e giusticata dal fatto che risulta

q
=
d

q
0 (3.20)
Sed < qsi dice che
q
enon primitivo, mentre un carattere che non
sia indotto da nessun altro carattere si diceprimitivo.
Osserviamo che per ogniq2N

1
0j
q
0
Indicheremo di qui in poi conD
pr
ql'insieme dei caratteri primitivi che
generano caratteri moduloq. Useremo invece la notazioneD
pr
per indicare
'insieme di tutti i caratteri primitivi.
Si noti cheD
pr
qcontiene quindi tutti e i soli caratteri primitivi modulo
dper ogni divisoreddiq
Il piu piccolo interomtale che esiste un carattere modulomche induce
il carattere primitivo
q
si diceconduttoredi
q
Denizione 2.Si dice chedepseudo-periododi unaf2 Sqse per ogni
n2Ntale che(n; q) = 1risultaf(n+d) =f(n)
Teorema 15.Sia
q
un carattere emil suo conduttore.
Allora esiste un unico carattere primitivo modulom,
m
che induce
q
.
Inoltrem= 1se e solo se
q
=
q
0
Dimostrazione.E' evidente cheme uno pseudo-periodo di
q
.
Dalla dimostrazione del lemma (1) si ha che e possibile determinare
costruttivamente il carattere primitivo
f
imponendo per ogni (n; m) = 1

m
(n) =
q
(n+0f) (3.21)
per un opportuno0tale che (n+0m; q) = 1, e quindi
m
e determinato
univocamente.
La seconda aermazione si dimostra quindi osservano che
1
0si estende
a tutti e i soli caratteri principali modulo qualunqueq2N

34. 26 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET
Teorema 16.Chiamiamola funzione aritmetica che associa anil nu-
mero dei suoi caratteri primitivi. Allora
(n) =
X
djn
(d)'(
n
d
) =
Y
ei=1
(pi2)
Y
ei>1
p
ei2
i
(pi2)
2
(3.22)
Dimostrazione.Ogni carattere modulone estensione di uno e un solo
carattere primitivo modulo un qualche divisoreddin.
Inoltre, per ogni divisoreddin, ogni carattere primitivo modulodsi
estende a un carattere modulon.
Pertanto
'(n) =
X
djn
(d)
E la prima parte della (3.22) segue per inversione (ovvero'=1 e
pertanto=')
Inoltree moltiplicativa, quindi(1) = 1 e applicando la formula sui
primi e sulle potenze dei primi si ottiene
(p) =p2
(p

) =p
1
(p1)p
2
(p1) =p
2
(p1)
2
per >2.
L'ultimo membro della (3.22) segue per moltiplicativita
Corollario 3.Esistono caratteri primitivi modulonse e solo sene dispari
oppure multiplo di 4.
Inoltre per ognipprimo tutti i caratteri moduloptranne quello princi-
pale sono primitivi

35. Capitolo 4
Serie di Dirichlet e Identita di
Eulero
Deniamoserie di Dirichletla scrittura formale
+1
X
n=1
an
n
s
(4.1)
dove (an)2 A.
E' chiaro che esiste una corrispondenza 11 fra le funzioni aritmetiche
e le serie di Dirichlet.
Inoltre queste generalizzano laserie Zeta di Riemann
+1
X
n=1
1
n
s
(4.2)
ChiamiamoDl'insieme delle serie di Dirichlet formali.
La somma inDe data da
+1
X
n=1
an
n
s
+
+1
X
n=1
bn
n
s
:=
+1
X
n=1
an+bn
n
s
(4.3)
e il prodotto
+1
X
n=1
an
n
s
+1
X
n=1
bn
n
s
:=
+1
X
n=1
X
dd
0
=n
adbd
0
n
s
(4.4)
27

36. 28CAPITOLO 4. SERIE DI DIRICHLET E IDENTIT

A DI EULERO
Esso e un anello isomorfo aA
Teorema 17.
A ' D f$
+1
X
n=1
f(n)
n
s
(4.5)
Dimostrazione.E' immediato vericare le proprieta di omomorsmo per la
somma
Per quanto riguarda il prodotto si noti che
+1
X
n=1
f(n)
n
s
+1
X
n=1
g(n)
n
s
=
+1
X
n=1
1
n
s
X
dd
0
=n
f(d)g(d
0
) =
+1
X
n=1
(fg)(n)
n
s
Inne
e()7!1
Possiamo ricavare alcune interessanti identita:
(s) =
+1
X
n=1
1(n)
n
s
(4.6)
(s1) =
+1
X
n=1
I(n)
n
s
(4.7)
e in generale
(s) =
+1
X
n=1
I

(n)
n
s
(4.8)
1
(s)
=
+1
X
n=1
(n)
n
s
(4.9)
(s1)
(s)
=
+1
X
n=1
'(n)
n
s
(4.10)
(s)
k
=
+1
X
n=1
k(n)
n
s
(4.11)
(s)(s) =
+1
X
n=1
(n)
n
s
(4.12)

37. 29
Le serie di Dirichlet rivestono importanza in Teoria dei Numeri quando
sono interpretate come funzioni
F:C!C:s7!
+1
X
n=1
f(n)
n
s
(4.13)
In generale sef(n)2 O(n
k
) alloraFconverge assolutamente perRe(s)>
1+kma per le serie denite dai caratteri di Dirichlet possiamo dire qualcosa
di piu.
Ci servira innanzitutto l'importante
Teorema 18(Identita di Eulero).Siaf2 Acompletamente moltiplicativa.
Allora
F(s) =
+1
X
n=1
f(n)
n
s
=
Y
p2P

1
f(p)
p
s

1
(4.14)
nel suo insieme di convergenza.
Dimostrazione.Grazie alla fattorizzazione unica inNe alla completa mol-
tiplicativita dife alla convergenza assoluta diF, possiamo scrivere
+1
X
n=1
f(n)
n
s
=
Y
p2P
(1+
f(p)
p
s
+: : :
f(p)
k
p
ks
+: : :) =
Y
p2P
+1
X
i=1

f(p)
p
s

i
=
Y
p2P
1
1f(p)p
s

38. 30CAPITOLO 4. SERIE DI DIRICHLET E IDENTIT

A DI EULERO
4.1 Funzioni L di Dirichlet
Si chiamanofunzioni Lle serie di Dirichlet associate a caratteri.
L(s) :=
+1
X
n=1
(n)
n
s
(4.15)
Se
m
j
q
, allora, dall'identita di Eulero si ottiene
L(s) =L (s)
Y
pjq

1
(p)
p
s

Ovvero le due funzioni dieriscono per un fattore polinomiale, pertanto
si ha che il comportamento di una funzioneLe fortemente collegata a
quello dellaL .
Inoltre, se e un carattere primitivo,L soddisfa la seguente equazione
funzionale, che permette di estendere meromorcamenteLin tutto il piano
complesso.
La riportiamo senza dimostrazione:
L (s) =
( )
i
a
q
1=2


q

s1=2
(
1s+a
2
)
(
s+a
2
)
L

(1s) (4.16)
dove
a=

0 se (m1) = 1
1 se (m1) =1
(4.17)
e e la funzione Gamma di Eulero
(z) =
Z
+1
0
t
z1
e
t
dt (4.18)
Nel prossimo capitolo vedremo come possiamo legare i caratteri primi-
tivi alle funzioni aritmetiche periodiche.

39. Capitolo 5
Caratteri come generatori diS
Siaq >1. Sianodjq,d
0
=
q
d
(i.e.dd
0
=q).
Sia
d
0
un carattere modulod
0
. Deniamo
~
d
0
:=


d
0
(
n
d
) sedjn
0 altrimenti
(5.1)
Osserviamo che ~
d
0
2 Sq
Teorema 19.
i) Esistonoqfunzioni del tipo~
d
0
ii) Esse formano una base ortogonale diSqcon prodotto scalare
e1e2:=
1
'(q)
q
X
n=1
e1(n)e
2(n) (5.2)
Dimostrazione.
i) Segue dal fatto che per ognid
0
jqesistono'(d
0
) caratteri modulod
0
X
d
0
jn
'(d
0
) =q
e da ognisi ottiene unae
ii) Siano
d
0
e
e
0
due caratteri modulod
0
=
q
d
ee
0
=
q
e
.
e
e
=
1
'(q)
q
X
n=1
=e(n)
e
(n) =
1
'(q)
X
d;ejnq
(
n
d
)(
n
e
)
31

40. 32 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S
Poniamoh= (d; e)d=hd1,e=he1, (d1; e1) = 1
Introduciamo poi l'indicek:=
n
fd;eg
Otteniamo quindi
n
d
=ke1,
n
e
=kd1. Pertanto
e
e
=
1
'(q)
q=fd;eg
X
k=1
(ke1)(kd1) =
1
'(q)
(e1)(d1)
q=fd;eg
X
k=1
(k)(k) =
Ora osserviamo cheq=dd
0
=ee
0
=hd1d
0
=he1e
0
, ovverod1d
0
=e1e
0
.
Risulta quindie1jd
0
ed1je
0
e pertanto
d
0
(e1)
e
0
(d1) = 0 a meno che
d1=e1= 1.
Ma in questo casod=e(i.e.d
0
=e
0
,
q
fd;eg
=
q
d
=d
0
) e otteniamo
e
e
=
1
'(q)
d
0
X
k=1

d
0
(k)
d
0
(k) = =

1 se=
0 altrimenti
Pertanto risulta
Sq=
q
M
i=1
ei=
M
2D
pr
q
V ;q V ;q=<fe
d
0
; j
d
0
; d
0
jqg>(5.3)
Vedremo ora cosa succede se invece che come spazio vettoriale andiamo
a considerareSqcome modulo sui polinomi.
Dimostriamo innanzitutto che tale struttura sussiste.
Teorema 20.SeP-modulo
Dimostrazione.Ricordiamo chePe sottoanello diAeSe un gruppo abe-
liano. Dimostreremo cheP S=S, cioe che per ognip2 Pe ogni
f2 S,
pf2 S (5.4)
In virtu della natura diPeSe come spazi vettoriali, e suciente dimostrare
la (5.4) per i generatori.
Ricordando le (2.17) e la (2.18), otteniamo che per ognii; j; q2N; jq
eisj;q=sji;qi (5.5)
infatti

41. 33
eisj;q(n) =
X
djn
ei(d)sj;q(
n
d
) =

1 seijne
n
i
j(modq)
0 altrimenti
=
=

1 senji(modqi)
0 altrimenti
=sji;qi(n)
Quindi osserviamo che se
Pk3pk=x1e1+ +xkek
e
Sq3f
q
=y1s1;q+ +yqsq;q
conxj; yi2Crisulta
pkf
q
=

k
X
i=1
xiei
!
q
X
j=1
yjsj;q
!
=
X
1ik
1jq
xiyj(eisj;q) =
X
1ik
1jq
xiyjsji;qi
(5.6)
Teorema 21.Il prodotto (di convoluzione) di un polinomio di gradokcon
una funzione periodica di periodoqha periodoqdk
Dimostrazione.Osserviamo che l'ultimo membro della (5.6)e una somma
di funzioni aritmetiche periodiche di periodoq;2q; : : : ; kq. Pertanto per il
corollario (2.15) e ricordando la denizione (1.26)
per(pkf
q
)j fq;2q; : : : ; kqg=qf1;2; : : : ; kg=qdk (5.7)
Teorema 22.D
pr
generaS
Dimostrazione.
Siaq1,d
0
jqed=q=d
Consideriamo le serie di Dirichlet associate a una delle funzionie
d
0
denite secondo la (5.1) e al carattere primitivo
m
2 D
pr
qche induce
d
0
.

42. 34 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S
Si noti innanzitutto chemjd
0
e pertantomjq. Deniamo anche
m
0
:=d
0
=meq
0
:=q=mRisulta
Le(s) =
+1
X
n=1
e(n)
n
s
=
+1
X
k=1
e(kd)
(kd)
s
=
1
d
s
+1
X
k=1
(k)
k
s
=
L(s)
d
s
(5.8)
Pertanto:
Le(s)
L (s)
=
L(s)
d
s
L (s)
=
1
d
s
Y
p-m

1
(p)
p
s

Y
p-d
0

1
(p)
p
s
=
1
d
s
Y
pjm
0

1
(p)
p
s

=
1
d
s
X
cjm
0
(c) (c)
c
s
(5.9)
Pertanto, ponendok=cd,
Le(s) =L (s)
X
cjm
0
(c) (c)
(cd)
s
=L (s)
X
dkjq
0
(k=d) (k=d)
k
s
=L (s)P

q
0
;d
(s)
(5.10)
doveP

q
0
;d
(s) e un polinomio di Dirichlet di grado al piuq
0
, con termini
n-esimi nulli sen < don-q
0
e con termined-esimo uguale a 1 (=(1) (1)).
Consideriamo quindi
Pq
0
;d=<fed;djq
0
g> (5.11)
sottospazio vettoriale diPq
0, formato dai polinomi tali chep(n) = 0 sen-q.
Pertanto risulta
e
d
0
=
m
p

q
0
;d
(5.12)
e in generale, dalla (5.3)
V ;q=<f
m
p

q
0
;d
;djq
0
g> (5.13)
dovep

q
0
;d
e il corrispondente diP

q
0
;d
(s) nell'isomorsmo canonico traAe
D.
Ovviamente risulta:
i)
p

q
0
;d
2 Pq
0
;d
per ognidjq.
ii)
p

q
0
;d
(n) = 0
sen < don-q
0
.

43. 35
iii)
p

q
0
;d
(d) = 1
.
Osservando che
dim(Pq
0
;d) =(q
0
) =:
0
E grazie all'isomorsmo conC

0
possiamo immaginare gli elementi diPq
0
;d
come
0
-uple ordinate (si intende di aver ordinato la base in ordine crescente
degli indici).
Allora la matrice
A:= (p

q
0
;d
)djq
0
(dove ip

q
0
;d
sono vettori colonna) e
0

0
triangolare inferiore
A=
0
B
B
B
@
1 0 0
1
.
.
.
.
.
.
..
.0
1
1
C
C
C
A
(5.14)
Poichedet(A) = 1, glip

q
0
;d
sono linearmente indipendenti e risulta
quindi
<fp

q
0
;d
;djq
0
g>=Pq
0
;d (5.15)
e pertanto
V ;q= Pq
0
;d (5.16)
quindi,
Sq=
M
2D
pr
q

m
Pq
0
;d (5.17)
e inne
S=< D
pr
> (5.18)
comeP-modulo.
Vediamo di seguito ulteriori osservazioni su questo risultato e un diverso
approccio alle dimostrazioni dei due teoremi con l'obiettivo dimantenere
la notazione delle funzioni aritmetiche

44. 36 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S
Lemma 2.Siaf2 A,ekdenito come nella (2.18). Allora
(fek)(n) =
X
djn
ek(d)f(
n
d
) =

f(
n
k
)sekjn
0 altrimenti
inoltre sef
h
2 Shallora
f
h
ek2 Shk
Inne, seph2 Phallora
phek2 Pkh
Pertanto possiamo riscrivere la (5.1) come
e
d
0
=
d
0
ed (5.19)
che ha periododd
0
=q
Si noti che perk >1,eknon e moltiplicativa, e cos non e in generale
lae.
Lemma 3.Siaf2 Acompletamente moltiplicativa. Allora, per ogni
g; h2 A
f(gh) =fgfh (5.20)
Dimostrazione.
f(gh)(n) =f(n)
X
djn
g(d)h(
n
d
) =
X
djn
f(d)f(
n
d
)g(d)h(
n
d
) =fgfh(n)
Pertanto posso usare il teorema 22 usando solo funzioni aritmetiche e
notazioni e proprieta dell'anello di Dirichlet.
Dimostrazione.Siaq >1,d
0
jq. Siae
d
0
denita dalla (5.1) o dalla (5.19)
e
m
il carattere primitivo che induce
d
0
Allora, ricordando il teorema 6, l'equazione (3.20), il lemma 3 e che
m
e completamente moltiplicativa, otteniamo
e
d
0
(
m
)
1
=
d
0
ed
m
=
d
0
0
m
ed
m
=
m
(
d
0
0)ed
Per studiare l'ultimo membro osserviamo che che
d
0
0e moltiplicativa
perche lo sono i due fattori, pertanto (
d
0
0)(1) = 1 e
(
d
0
0)(p) =

1 sepjd
0
0 altrimenti

45. 37
(
d
0
0)(p

) = 0
se >1.
Pertanto
d
0
0e non nulla solo per un numero nito di interi, ovvero
e un polinomio. Il prodottoper
m
lascia non nulli solo i valori che
sono coprimi conm, cioe gli squarefree composti da primi divisibili per
m
0
=d
0
=me quindi
m
(
d
0
0) e ancora un polinomio di grado al pium
0
e moltiplicato (in convoluzione) coned, diventa un polinomio di grado al
piu'm
0
d=d
0
d=m=q=d=:q
0
.
Corollario 4.Dataf2 S, la serie di Dirichlet associata
F(s) =
+1
X
n=1
f(n)
n
s
ammette un prolungamento meromorfo inC
Dimostrazione.utilizzando la (4.16) e la (5.18) otteniamo :
F(s) =
X
2D
pr
L (s)P (s) =
X
2D
pr
( )
i
a
q
1=2


q

s1=2
(
1s+a
2
)
(
s+a
2
)
L

(1s)P (s)

46. 38 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S

47. Bibliograa
[1] Codeca, Dvornicich and ZannierTwo problem related to the non-
vanishing ofL(1). Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux 10
(1998), 49-64
[2] Eric Saias and Andreas WeingartnerZeros of Dirichlet series with
periodic coecients. http://arxiv.org/abs/0807.0783v1
[3] Harold N. ShapiroIntroduction to the Theory of NumbersDover
Publications
[4] Alberto PerelliFondamenti di Teoria Analitica dei Numeri
www.dima.unige.it/ perelli
[5] Mimmo Arezzo Ogni spazio vettoriale ha base
http://www.dima.unige.it/ arezzo
[6] Jobin LavasaniAlgebraic Number Theory - Lecture 11
http://www.maths.bris.ac.uk/ malab
39