Diseño de puentes con AASHTO-LRFD 2010.pdf

PUENTES

Con AASHTO-LRFD 2010
(Fifth Edition)

Por
MC Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Perú- 2012
[email protected]

PUENTES
MC Ing. Arturo Rodríguez Serquén
E-mail: [email protected]

Derechos Reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier método,
total o parcialmente, sin permiso expreso del autor.

Perú- Abril 2012

Contenido

1
Consideraciones Generales

2 Cargas

3 Superestructuras de Puentes

4 Dispositivos de Apoyo

5 Estribos

6 Pilares

7 Líneas de Influencia

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
I-1
CAP I:CAP I:CAP I:CAP I:     CONSIDERACIONES GENERALESCONSIDERACIONES GENERALESCONSIDERACIONES GENERALESCONSIDERACIONES GENERALES

1. DEFINICIÓN1. DEFINICIÓN1. DEFINICIÓN1. DEFINICIÓN
Un puente es una obra que se construye para salvar un obstáculo dando así
continuidad a una vía. Suele sustentar un camino, una carretera o una vía férrea,
pero también puede transportar tuberías y líneas de distribución de energía.
Los puentes que soportan un canal o conductos de agua se llaman
acueductos.
Aquellos construidos sobre terreno seco o en un valle,
viaductos. Los que cruzan
autopistas y vías de tren se llaman
pasos elevados.
Constan fundamentalmente de dos partes:
a)   La
superestructura conformada por: tablero que soporta directamente las
cargas; vigas, armaduras, cables, bóvedas, arcos, quienes transmiten las
cargas del tablero a los apoyos.
b) La
infraestructura conformada por: pilares (apoyos centrales); estribos (apoyos
extremos) que soportan directamente la superestructura; y
cimientos,
encargados de transmitir al terreno los esfuerzos.

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I-2
2. CLASIFICACIÓN2. CLASIFICACIÓN2. CLASIFICACIÓN2. CLASIFICACIÓN
A los puentes podemos clasificarlos:

a) Según su función:
− Peatonales
− Carreteros
− Ferroviarios
b) Por los materiales de construcción
− Madera
− Mampostería
− Acero Estructural
− Sección Compuesta
− Concreto Armado
− Concreto Presforzado
c) Por el tipo de estructura
− Simplemente apoyados
− Continuos
− Simples de tramos múltiples
− Cantilever (brazos voladizos)
− En Arco
− Atirantado (utilizan cables rectos que atirantan el tablero)
− Colgantes
− Levadizos (basculantes)
− Pontones (puentes flotantes permanentes)

3. UBICACIÓN Y ELECCIÓN DEL TIPO DE PUENTE3. UBICACIÓN Y ELECCIÓN DEL TIPO DE PUENTE3. UBICACIÓN Y ELECCIÓN DEL TIPO DE PUENTE3. UBICACIÓN Y ELECCIÓN DEL TIPO DE PUENTE

Los puentes son obras que requieren para su proyecto definitivo estudiar los
siguientes aspectos:
a. Localización de la estructura o ubicación en cuanto a sitio, alineamiento,
pendiente y rasante.
b. Tipo de puente que resulte más adecuado para el sitio escogido, teniendo en
cuenta su estética, economía, seguridad y funcionalidad.
c. Forma geométrica y dimensiones, analizando sus accesos, superestructura,
infraestructura, cauce de la corriente y fundaciones.
d. Obras complementarias tales como: barandas, drenaje de la calzada y de los
accesos, protección de las márgenes y rectificación del cauce, si fuera
necesario forestación de taludes e iluminación.
e. En caso de obras especiales conviene recomendar sistemas constructivos,
equipos, etapas de construcción y todo aquello que se considere necesario
para la buena ejecución y estabilidad de la obra.

4. ESTUDIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA PARA EL DISEÑO DE PUENTES4. ESTUDIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA PARA EL DISEÑO DE PUENTES4. ESTUDIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA PARA EL DISEÑO DE PUENTES4. ESTUDIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA PARA EL DISEÑO DE PUENTES


a.a.a.a. Estudios topográficosEstudios topográficosEstudios topográficosEstudios topográficos
Posibilitan la definición precisa de la ubicación y dimensiones de los elementos
estructurales, así como información básica para los otros estudios.
b.b.b.b. Estudios de hidrología e hidráulicosEstudios de hidrología e hidráulicosEstudios de hidrología e hidráulicosEstudios de hidrología e hidráulicos
Establecen las características hidrológicas de los regímenes de avenidas
máximas y extraordinarias y los factores hidráulicos que conllevan a una real
apreciación del comportamiento hidráulico del río.

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I-3
c.c.c.c. Estudios geológicos y geotécnicosEstudios geológicos y geotécnicosEstudios geológicos y geotécnicosEstudios geológicos y geotécnicos
Establecen las características geológicas, tanto locales como generales de las
diferentes formaciones geológicas que se encuentran, identificando tanto su
distribución como sus características geotécnicas correspondientes.
d.d.d.d. Estudios de riesgo sísmicoEstudios de riesgo sísmicoEstudios de riesgo sísmicoEstudios de riesgo sísmico
Tienen como finalidad determinar los espectros de diseño que definen las
componentes horizontal y vertical del sismo a nivel de la cota de cimentación.
e.e.e.e. Estudios de impacto ambientalEstudios de impacto ambientalEstudios de impacto ambientalEstudios de impacto ambiental
Identifican el problema ambiental, para diseñar proyectos con mejoras
ambientales y evitar, atenuar o compensar los impactos adversos.
f.f.f.f. Estudios de tráficoEstudios de tráficoEstudios de tráficoEstudios de tráfico
Cuando la magnitud de la obra lo requiera, será necesario efectuar los estudios
de tráfico correspondiente a volumen y clasificación de tránsito en puntos
establecidos, para determinar las características de la infraestructura vial y la
superestructura del puente.
g.g.g.g. Estudios complementariosEstudios complementariosEstudios complementariosEstudios complementarios
Son estudios complementarios a los estudios básicos como: instalaciones
eléctricas, instalaciones sanitarias, señalización, coordinación con terceros y
cualquier otro que sea necesario al proyecto.
h.h.h.h. Estudios de trazo y diseño vial de los accesosEstudios de trazo y diseño vial de los accesosEstudios de trazo y diseño vial de los accesosEstudios de trazo y diseño vial de los accesos
Definen las características geométricas y técnicas del tramo de carretera que
enlaza el puente en su nueva ubicación con la carretera existente.
i.i.i.i. Estudio de alternativas a nivel de anteproyectoEstudio de alternativas a nivel de anteproyectoEstudio de alternativas a nivel de anteproyectoEstudio de alternativas a nivel de anteproyecto
Propuesta de diversas soluciones técnicamente factibles, para luego de una
evaluación técnica-económica, elegir la solución más conveniente.

5. GEOMETRÍA5. GEOMETRÍA5. GEOMETRÍA5. GEOMETRÍA


a.a.a.a. Sección transversalSección transversalSección transversalSección transversal
El ancho de la sección transversal de un puente no será menor que el ancho del
acceso, y podrá contener: vías de tráfico, vías de seguridad (bermas), veredas,
ciclovía, barreras y barandas, elementos de drenaje.

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I-4
b.b.b.b. Ancho de vía (calzada)Ancho de vía (calzada)Ancho de vía (calzada)Ancho de vía (calzada)
Siempre que sea posible, los puentes se deben construir de manera de poder
acomodar el carril de diseño estándar y las bermas adecuadas.
El número de carriles de diseño se determina tomando la parte entera de la
relación w/3.6, siendo w el ancho libre de calzada (m).
Los anchos de calzada entre 6.00 y 7.20 m tendrán dos carriles de diseño,
cada uno de ellos de ancho igual a la mitad del ancho de calzada.
c.c.c.c. BermasBermasBermasBermas
Una berma es la porción contigua al carril que sirve de apoyo a los vehículos que
se estacionan por emergencias. Su ancho varía desde un mínimo de 0.60 m en
carreteras rurales menores, siendo preferible 1.8 a 2.4 m, hasta al menos 3.0
m, y preferentemente 3.6 m, en carreteras mayores. Sin embargo debe tenerse
en cuenta que anchos superiores a 3.0 m predisponen a su uso no autorizado
como vía de tráfico.
d.d.d.d. VeredasVeredasVeredasVeredas
Utilizadas con fines de flujo peatonal o mantenimiento. Están separadas de la
calzada adyacente mediante un cordón barrera, una barrera (baranda para tráfico
vehicular) o una baranda combinada. El ancho mínimo de las veredas es 0.75 m.

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I-5
e.e.e.e. Cordón barreraCordón barreraCordón barreraCordón barrera
Tiene entre otros propósitos el control del drenaje y delinear el borde de la vía
de tráfico. Su altura varía en el rango de 15 a 20 cm, y no son adecuados para
prevenir que un vehículo deje el carril.
f.f.f.f. BarandasBarandasBarandasBarandas
Se instalan a lo largo del borde de las estructuras de puente cuando existen
pases peatonales, o en puentes peatonales, para protección de los usuarios. La
altura de las barandas será no menor que 1.10 m, en ciclovías será no menor
que 1.40 m.
Una baranda puede ser diseñada para usos múltiples (caso de barandas
combinadas para peatones y vehículos) y resistir al choque con o sin la acera.
Sin embargo su uso se debe limitar a carreteras donde la velocidad máxima
permitida es 70 km/h. Para velocidades mayores o iguales a 80 km/h, para
proteger a los peatones es preferible utilizar una barrera.

g.g.g.g. Barreras de concreto (o barandas para tráfico vehicular)Barreras de concreto (o barandas para tráfico vehicular)Barreras de concreto (o barandas para tráfico vehicular)Barreras de concreto (o barandas para tráfico vehicular)
Su propósito principal es contener y corregir la dirección de desplazamiento de
los vehículos desviados que utilizan la estructura, por lo que deben estructural y
geométricamente resistir al choque. Brindan además seguridad al tráfico
peatonal, ciclista y bienes situados en las carreteras y otras áreas debajo de la
estructura. Deben ubicarse como mínimo a 0.60 m del borde de una vía y como
máximo a 1.20 m. En puentes de dos vías de tráfico puede disponerse de una
barrera como elemento separador entre las vías.
No debe colocarse barandas peatonales (excepto barandas diseñadas para usos
múltiples) en lugar de las barreras, pues tienen diferente función. Mientras las
barandas evitan que los peatones caigan del puente, las barreras contienen y
protegen el tránsito vehicular.

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h.h.h.h. PavimentoPavimentoPavimentoPavimento
Puede ser rígido o flexible y se dispone en la superficie superior del puente y
accesos. El espesor del pavimento se define en función al tráfico esperado en la
vía.
i.i.i.i. Losas de transiciónLosas de transiciónLosas de transiciónLosas de transición
Son losas de transición con la vía o carretera, apoyadas en el terraplén de
acceso. Se diseñan con un espesor mínimo de 0.20 m.

j.j.j.j. DrenajeDrenajeDrenajeDrenaje
La pendiente de drenaje longitudinal debe ser la mayor posible,
recomendándose un mínimo de 0.5%.
La pendiente de drenaje transversal mínima es de 2% para las superficies de
rodadura.
En caso de rasante horizontal, se utilizan también sumideros o lloraderos, de
diámetro suficiente y número adecuado. Son típicos drenes de material
anticorrosivo, ∅ 0.10 m cada 0.40 m, sobresaliendo debajo de la placa 0.05
m como mínimo. El agua drenada no debe caer sobre las partes de la estructura.

k.k.k.k. GálibosGálibosGálibosGálibos
Los gálibos horizontal y vertical para puentes urbanos serán el ancho y la altura
necesarios para el paso del tráfico vehicular. El gálibo vertical no será menor
que 5.00 m.
En zonas rurales, el gálibo vertical sobre autopistas principales será al menos de
5.50 m. En zonas altamente desarrolladas puede reducirse, previa justificación
técnica.
Los gálibos especificados pueden ser incrementados si el asentamiento pre-
calculado de la superestructura excede los 2.5 cm.

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En puentes sobre cursos de agua, se debe considerar como mínimo una altura
libre de 1.50 m a 2.50 m sobre el nivel máximo de las aguas.
Los puentes construidos sobre vías navegables deben considerar los gálibos de
navegación de esas vías; a falta de información precisa, el gálibo horizontal
podrá ser, por lo menos, dos veces el ancho máximo de las embarcaciones, más
un metro.

l.l.l.l. Juntas de dilataciónJuntas de dilataciónJuntas de dilataciónJuntas de dilatación
Para permitir la expansión o la contracción de la estructura por efecto de los
cambios de temperatura, se colocan juntas en sus extremos y otras secciones
intermedias en que se requieran. Las juntas deben sellarse con materiales
flexibles, capaces de tomar las expansiones y contracciones que se produzcan y
ser impermeables.



6. NORMATIVIDAD6. NORMATIVIDAD6. NORMATIVIDAD6. NORMATIVIDAD

• AASHTO LRFD Bridge Design Specifications, American Association of State
Highway and Transportation Officials, Washington, D.C., 2010.
•
Manual de Diseño de Puentes, Dirección General de Caminos y Ferrocarriles,
Ministerio de Transportes y Comunicaciones, Lima, Perú, 2003.

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APÉNDICE IAPÉNDICE IAPÉNDICE IAPÉNDICE I----AAAA

EQUIVALENCIA DE UNIDADESEQUIVALENCIA DE UNIDADESEQUIVALENCIA DE UNIDADESEQUIVALENCIA DE UNIDADES

1 kgf   = 9.807 N
1 N   = 0.10197 kgf

1 N-mm   = 1.0197 x 10
-2
  kgf-cm
1 kgf-cm = 98.07 N-mm

1 N/mm = 1.0197 x 10
2
kgf/m
1 kgf/m = 9.807 x 10
-3
N/mm

1 kgf/cm
2
   = 0.09807 MPa
1 MPa    = 10.197 kgf/cm
2
= 1.0197 x 10
5
kgf/m
2

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II-1
CAP II:CAP II:CAP II:CAP II:     CARGASCARGASCARGASCARGAS

1. CARGAS PERMANENTES  (DC, DW y EV)1. CARGAS PERMANENTES  (DC, DW y EV)1. CARGAS PERMANENTES  (DC, DW y EV)1. CARGAS PERMANENTES  (DC, DW y EV)

DC= Peso propio de los componentes estructurales y accesorios no
estructurales
DW= Peso propio de las superficies de rodamiento e instalaciones para servicios
públicos
EV= Presión vertical del peso propio del suelo de relleno

Tabla 3.5.1Tabla 3.5.1Tabla 3.5.1Tabla 3.5.1----1 1 1 1 DensidadesDensidadesDensidadesDensidades     MaterialMaterialMaterialMaterial     Densidad (kg/mDensidad (kg/mDensidad (kg/mDensidad (kg/m
3333
))))
Concreto
  Agregados de baja densidad y arena
  Normal, con f’c ≤ 357 kg/cm
2

  Normal, con 357 < f’c ≤ 1071 kg/cm
2

  Armado

1925
2320
2240+2.29f’c
Densidad Concreto Simple+ 72 kg/m
3

Superficies de rodamiento bituminosas 2250
Acero 7850
Hierro fundido 7200
Aleaciones de aluminio   2800
Arena, limo o arcilla compactados
Arena, limo o grava sueltos
Arcilla blanda
Grava, macadan o balasto compactado a rodillo
1925
1600
1600
2250
Madera dura
Madera blanda
960
800
Rieles para tránsito, durmientes y fijadores por vía 300 kg/m

2. SOBRECARGAS VIVAS (LL y PL)2. SOBRECARGAS VIVAS (LL y PL)2. SOBRECARGAS VIVAS (LL y PL)2. SOBRECARGAS VIVAS (LL y PL) (Art. 3.6.1.2)
LL= sobrecarga vehicular
PL= sobrecarga peatonal

Carga HLCarga HLCarga HLCarga HL----93:93:93:93:

1.-Camión de diseño:

La distancia entre los dos ejes más pesados se toma como aquella que, estando
entre los límites de 4.30m y 9.00m., resulta en los mayores efectos.

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0.96 T/m
3.0 m
CARGA DE CARRIL
2.-Tandem de diseño:

3.-Carga de carril de diseño:

NOTAS

a) La sobrecarga vehicular de diseño es considerada como una combinación de:
Camión de diseño o tandem de diseño + Carga de carril de diseño .
b)   Para momento negativo entre puntos de contraflexión bajo carga uniforme,
así como en la reacción de pilares interiores se considera: 90 por ciento
de la solicitación debida a dos camiones de diseño separados como mínimo
15 m entre el eje delantero de un camión y el eje trasero del otro,
combinada con 90 por ciento de la solicitación debida a la carga del carril
de diseño.

Presencia de Múltiples Sobrecargas (Art. 3.6.1.1.2)

La solicitación extrema correspondiente a sobrecargas se determinará
considerando las posibles combinaciones de carriles cargados, multiplicando por
un factor de presencia múltiple. No es aplicable al estado límite de fatiga.

Tabla 3.6.1.Tabla 3.6.1.Tabla 3.6.1.Tabla 3.6.1.1.21.21.21.2----1 1 1 1 Factor de Presencia MúltipleFactor de Presencia MúltipleFactor de Presencia MúltipleFactor de Presencia Múltiple
Número de carriles
cargados
Factor de presencia
múltiple, m
1 1.20
2 1.00
3 0.85
>3 0.65

Para el estado de Fatiga, se utiliza un camión de diseño, y las
solicitaciones de los Art. 4.6.2.2 y 4.6.2.3 se deberán dividir por 1.20

Incremento por Carga Dinámica: IM (Art. 3.6.2)

Los efectos estáticos del camión o tandem de diseño, a excepción de
las fuerzas centrífugas y de frenado, se deberán mayorar en los siguientes
porcentajes:

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                        Tabla 3.6.2.1Tabla 3.6.2.1Tabla 3.6.2.1Tabla 3.6.2.1----1 Incremento por 1 Incremento por 1 Incremento por 1 Incremento por Carga Dinámica, IMCarga Dinámica, IMCarga Dinámica, IMCarga Dinámica, IM
ComponenteComponenteComponenteComponente     IMIMIMIM
Juntas del tablero – Todos los Estados Límites 75%
Todos los demás componentes
    Estado Límite de fatiga y fractura
    Todos los demás Estados Límites

15%
33%
Nota.- No se aplica a cargas peatonales ni a cargas de carril de diseño.
Tampoco en muros de sostenimiento no solicitados por reacciones verticales de
la superestructura ni en componentes de fundaciones que estén completamente
por debajo del nivel del terreno.

En caso de componentes enterrados como en el caso de alcantarillas, el
porcentaje se deberá tomar como:

IM = 33(1.0 – 4.1D
E) P 0%

Siendo D
E = profundidad mínima de la cubierta de tierra sobre la estructura (m).

3. FUERZAS CENTRÍFUGAS: CE3. FUERZAS CENTRÍFUGAS: CE3. FUERZAS CENTRÍFUGAS: CE3. FUERZAS CENTRÍFUGAS: CE
(Art. 3.6.3)

Se toman como el producto entre los pesos por eje del camión o tandem de
diseño y el factor C, dado por:
R
V
0.0105C
2
= (3.6.3-1)
Siendo:
V = velocidad de diseño de la carretera (km/h)
R = radio de curvatura del carril de circulación (m)

Las fuerzas centrífugas se aplican horizontalmente a una distancia de 1.80
m sobre la calzada. Se deben aplicar además los factores de presencia
múltiple.

4. FUERZA DE FRENADO: BR4. FUERZA DE FRENADO: BR4. FUERZA DE FRENADO: BR4. FUERZA DE FRENADO: BR
(Art. 3.6.4)
Se toma como el mayor valor de:
• 25 por ciento de los pesos por eje del camión o tandem de diseño
• 5 por ciento del camión o tandem de diseño más la carga de carril

La fuerza de frenado se debe ubicar en todos los carriles de diseño que se
consideren cargados y que transporten tráfico en la misma dirección. Se aplicarán
los factores de presencia múltiple. Se asumirá que estas fuerzas actúan
horizontalmente a una distancia de 1.80 m sobre la superficie de la calzada.

5. CARGA SOBRE VEREDAS, BARANDAS Y SARDINELES5. CARGA SOBRE VEREDAS, BARANDAS Y SARDINELES5. CARGA SOBRE VEREDAS, BARANDAS Y SARDINELES5. CARGA SOBRE VEREDAS, BARANDAS Y SARDINELES
Sobrecargas en Veredas  (Art. 3.6.1.6)
Se deberá aplicar una carga peatonal de 367 kg/m
2
en todas las aceras de más de
0.60m de ancho, y esta carga se deberá considerar simultáneamente con la
sobrecarga vehicular de diseño. Cuando la condición de carga incluya cargas
peatonales combinadas con uno o más carriles con sobrecarga vehicular, las cargas
peatonales se pueden considerar como un carril cargado (Art. 3.6.1.1.2).
Los puentes peatonales se diseñarán para una sobrecarga de 418 kg/m
2
.

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Nota.Nota.Nota.Nota.---- El Manual de Diseño de Puentes – Perú (Art. 2.4.3.7), señala al respecto
que los puentes para uso peatonal y para el tráfico de bicicletas se diseñan para
una carga viva de 510 kg/m². Así mismo, refiere:

Fuerzas sobre Sardineles
(Art. 2.4.3.6.2)
Los sardineles se diseñarán para resistir una fuerza lateral no menor que 760 kg
por metro de sardinel, aplicada en el tope del sardinel o a una elevación de 0.25 m
sobre el tablero si el sardinel tuviera mayor altura.

Fuerza sobre Barandas (Art. 2.4.3.6.3)
PL-1 Primer nivel de importancia
Usado en estructuras cortas y de bajo nivel sobre puentes rurales y áreas
donde el número de vehículos pesados es pequeño y las velocidades son
reducidas.
PL-2 Segundo nivel de importancia
Usado en estructuras grandes y velocidades importantes en puentes urbanos
y en áreas donde hay variedad de vehículos pesados y las velocidades son las
máximas tolerables.
PL-3 Tercer nivel de importancia
Usado para autopistas con radios de curvatura reducidos, pendientes
variables fuertes, un volumen alto de vehículos pesados y con velocidades
máximas tolerables. Justificación específica de este tipo de lugar será hecho
para usar este nivel de importancia.

Fuerzas de Diseño para BarandasFuerzas de Diseño para BarandasFuerzas de Diseño para BarandasFuerzas de Diseño para Barandas    (Tabla 2.4.3.6.3(Tabla 2.4.3.6.3(Tabla 2.4.3.6.3(Tabla 2.4.3.6.3----1, Manual de Diseño de Puentes1, Manual de Diseño de Puentes1, Manual de Diseño de Puentes1, Manual de Diseño de Puentes----    Perú)Perú)Perú)Perú)

Designación de Fuerzas
y Designaciones
Por niveles de importancia de Puentes
PL-1 PL-2 PL-3
F
t transversal (t) 12.3 24.5 52.6
F
l longitudinal (t) 4.1 8.2 17.6
F
v vertical abajo (t) 2.05 8.2 22.64
L
t y L
l (m) 1.22 1.07 2.44
L
v (m) 5.50 5.50 12.2
H
e mín (m) 0.51 0.81 1.02
Mínima altura del pasamano (m) 0.51 0.81 1.02

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6. FUERZA DE COLISIÓN 6. FUERZA DE COLISIÓN 6. FUERZA DE COLISIÓN 6. FUERZA DE COLISIÓN DE UN VEHÍCULO: CTDE UN VEHÍCULO: CTDE UN VEHÍCULO: CTDE UN VEHÍCULO: CT (Art. 3.6.5)

Los estribos y pilas de puentes ubicados a 9.0 m o menos del borde de la
calzada, o a 15.0 m o menos de la línea de centro de una vía ferroviaria, se
deberán diseñar para una fuerza estática equivalente de 183.5 t, la cual se asume
actúa en cualquier dirección en un plano horizontal, a una altura de 1.2 m sobre el
nivel del terreno.
No es necesario aplicar esta fuerza, en el caso de estructuras protegidas por
terraplenes o barreras antichoques.

7. CARGAS HIDRÁULICAS: WA7. CARGAS HIDRÁULICAS: WA7. CARGAS HIDRÁULICAS: WA7. CARGAS HIDRÁULICAS: WA (Art. 3.7)

Presión HidrostáticaPresión HidrostáticaPresión HidrostáticaPresión Hidrostática....---- Actúa de forma perpendicular a la superficie, y se calcula
como el producto entre la altura de la columna de agua sobre el punto considerado,
la densidad del agua y
g (aceleración de la gravedad).

FlotabilidadFlotabilidadFlotabilidadFlotabilidad
....---- Fuerza de levantamiento tomada como la sumatoria de las
componentes verticales de las presiones hidrostáticas. Actúa sobre todos los
componentes debajo del nivel de agua.

Presión de FlujoPresión de FlujoPresión de FlujoPresión de Flujo....---- La presión de flujo de agua, actuando en la dirección longitudinal
de las subestructuras, se tomará como:

p = 52.4C
DV
2
     (3.7.3.1-1)
Donde:
p  =   presión del agua (kg/m
2
)
v =   velocidad del agua para la inundación de diseño (resistencia y servicio) y
para la inundación de control (evento extremo), en m/s
C
D =    coeficiente de arrastre para pilas

Tabla 3.7.3.1Tabla 3.7.3.1Tabla 3.7.3.1Tabla 3.7.3.1----1 1 1 1 Coeficiente de ArrastreCoeficiente de ArrastreCoeficiente de ArrastreCoeficiente de Arrastre
Tipo C
D
Pila con borde de ataque semicircular 0.7
Pila de extremo cuadrado 1.4
Arrastres acumulados contra la pila 1.4
Pila con borde de ataque en forma de
cuña, ángulo del borde de ataque ≤ 90°

0.8

La fuerza de arrastre longitudinal será el producto entre la presión de flujo
longitudinal y la proyección de la superficie expuesta a dicha presión.

Carga LateralCarga LateralCarga LateralCarga Lateral....---- La presión lateral uniformemente distribuida que actúa sobre una
subestructura debido a un caudal de agua que fluye formando un ángulo θ respecto
del eje longitudinal de la pila será:

p = 52.4C
LV
2
      (3.7.3.2-1)
Donde:
p = presión lateral (kg/m
2
)
C
L = coeficiente de arrastre lateral

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II-6
Tabla 3.7.3.2Tabla 3.7.3.2Tabla 3.7.3.2Tabla 3.7.3.2----1 1 1 1 Coeficiente de Arrastre LateCoeficiente de Arrastre LateCoeficiente de Arrastre LateCoeficiente de Arrastre Lateralralralral
Ángulo θ C
L
0° 0
5° 0.5
10° 0.7
20° 0.9
P 30° 1.0

Carga del OleajeCarga del OleajeCarga del OleajeCarga del Oleaje....----    Se deberá considerar si se anticipa que se pueden desarrollar
fuerzas de oleaje significativas.
SocavaciónSocavaciónSocavaciónSocavación....---- Se deberá considerar en los estados límites de resistencia y servicio.

8. CARGA DE VIENTO: WL y WS8. CARGA DE VIENTO: WL y WS8. CARGA DE VIENTO: WL y WS8. CARGA DE VIENTO: WL y WS (Art. 3.8)

Presión Horizontal del VientoPresión Horizontal del VientoPresión Horizontal del VientoPresión Horizontal del Viento....----     La carga de viento se asume está uniformemente
distribuida sobre el área expuesta al viento. Para puentes a más de 10 m sobre el
nivel del terreno o del agua, la velocidad de viento de diseño se deberá ajustar
con:
)
Z
Z
ln()
V
V
(V5.2=V
0B
10
0DZ
(3.8.1.1-1)
Donde:
V
DZ =  velocidad del viento de diseño a la altura de diseño Z (km/h)
V
0  =  velocidad friccional (km/h)
V
10 = velocidad del viento a 10 m sobre el nivel del terreno o agua de diseño
(km/h). En ausencia de datos V
10 = V
B =160 km/h
V
B  =  velocidad básica del viento igual a 160 km/h a una altura de 10 m
Z
0   =  longitud de fricción del fetch o campo de viento aguas arriba (m)
Z    =  altura de la estructura > 10 m

Tabla 3.Tabla 3.Tabla 3.Tabla 3.8.1.18.1.18.1.18.1.1----1 1 1 1 Valores de VValores de VValores de VValores de V
0000    y Zy Zy Zy Z
0000
CONDICIÓN TERRENO
ABIERTO
ÁREA
SUBURBANA
ÁREA
URBANA
V
0 (km/h) 13.2 17.6 19.3
Z
0 (m) 0.07 1.00 2.50

Presión de Viento sobre las Estructuras: WSPresión de Viento sobre las Estructuras: WSPresión de Viento sobre las Estructuras: WSPresión de Viento sobre las Estructuras: WS

)
25600
V
(P=)
V
V
(P=P
2
DZ
B
2
B
DZ
BD
(3.8.1.2.1-1)

P
D = presión del viento de diseño
P
B = presión básica del viento

Tabla 3.8.1.2.1-1 Presiones básicas P
B  correspondientes a V
B = 160 km/h
COMPONENTE DE
LA SUPERESTRUCTURA
CARGA A
BARLOVENTO
(kg/m
2
)
CARGA A
SOTAVENTO
(kg/m
2
)
Reticulados, columnas y arcos 245 122
Vigas 245 No Aplicable
Grandes superficies planas 194 No Aplicable

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II-7
La carga de viento total no se deberá tomar menor que 449 kg/m en el plano de un
cordón a barlovento ni 224 kg/m en el plano de un cordón a sotavento de un
componente reticulado o en arco, ni se deberá tomar menor que 449 kg/m en
componentes de vigas o vigas cajón.

Cargas de las SuperestructurasCargas de las SuperestructurasCargas de las SuperestructurasCargas de las Superestructuras....---- Si el viento no se considera normal a la
estructura, la presión básica del viento P
B para diferentes ángulos de dirección del
viento se puede tomar según la Tabla. El ángulo de oblicuidad se deberá medir a
partir de una perpendicular al eje longitudinal. Las presiones transversal y
longitudinal se deberán aplicar simultáneamente.

Tabla 3.8.1.2.2-1 P
B para diferentes ángulos de ataque (V
B = 160 km/h)
Ángulo de
oblicuidad
del viento
(°)
Reticulados,
columnas y arcos
Vigas
Carga
lateral
Kg/m
2

Carga
longitudinal
Kg/m
2

Carga
lateral
Kg/m
2

Carga
longitudinal
Kg/m
2

0 367 0 245 0
15 347 61 214 31
30 316 133 204 61
45 235 204 163 82
60 112 245 82 92

Fuerzas Aplicadas DireFuerzas Aplicadas DireFuerzas Aplicadas DireFuerzas Aplicadas Directamente a la Subestructuractamente a la Subestructuractamente a la Subestructuractamente a la Subestructura....---- Las fuerzas transversales y
longitudinales a aplicar directamente a la subestructura se deberán calcular en base
a una presión básica del viento supuesta de 194 Kg/m
2
. Para direcciones del viento
oblicuas respecto de la estructura, esta fuerza se deberá resolver en componentes
perpendiculares a las elevaciones posterior y frontal de la subestructura.

Presión de Viento sobre los Vehículos: WLPresión de Viento sobre los Vehículos: WLPresión de Viento sobre los Vehículos: WLPresión de Viento sobre los Vehículos: WL
Si hay vehículos presentes, la presión del viento de diseño se aplicará tanto a la
estructura como a los vehículos. La presión del viento sobre los vehículos se debe
representar como una fuerza interrumpible y móvil de 149 kg/m actuando normal a la
calzada y 1.80m sobre la misma, y se deberá transmitir a la estructura.
Si el viento sobre los vehículos no es normal a la estructura, las componentes de
fuerza normal y paralela aplicadas a la sobrecarga viva se pueden tomar como:

Tabla 3.8.1.3-1 Componentes del viento sobre la sobrecarga viva
Ángulo de oblicuidad
respecto a la normal
a la superficie (°)
Componente
normal
(kg/m)
Componente
Paralela
(kg/m)
0 149 0
15 131 18
30 122 36
45 98 48
60 51 56

Presión Vertical del VientoPresión Vertical del VientoPresión Vertical del VientoPresión Vertical del Viento....---- En el diseño de puentes y componentes estructurales
que pueden ser sensibles al viento, se debe considerar una fuerza de viento vertical
ascendente de 100 kg/m
2
por el ancho del tablero, incluyendo los parapetos y
aceras, como una carga lineal longitudinal. Se debe aplicar sólo para los estados

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II-8
límites que no involucran viento actuando sobre la sobrecarga, y sólo cuando la
dirección del viento se toma perpendicular al eje longitudinal del puente. Se aplicará
en el punto correspondiente a un cuarto del ancho del tablero a barlovento
juntamente con las cargas de viento horizontales especificadas.

Inestabilidad AeroeInestabilidad AeroeInestabilidad AeroeInestabilidad Aeroelásticalásticalásticalástica....---- Todos los puentes y componentes estructurales de
ello, cuya relación longitud de tramo / ancho o profundidad sea superior a 30, se
deberán considerar sensibles al viento, y por lo tanto deberán considerar en su
diseño, solicitaciones aeroelásticas.

Nota.Nota.Nota.Nota.----
El Manual de Diseño de Puentes – Perú (Art. 2.4.3.10), refiere que para
puentes con una altura de 10m o menos, medida desde el nivel del agua  o desde
la parte más baja del terreno, se supondrá velocidad del viento constante. Para
alturas mayores se determina con:

10
o
10z V
z
z
LnVCV ≥








=

donde:
V
Z   =  velocidad del viento a la altura z (km/h)
V
10  =  velocidad de referencia, correspondiente a z=10m.
z     =  altura por encima del nivel del terreno o del agua (m).
C, z
0=  constantes dadas en la Tabla 2.4.3.10.1

Tabla Tabla Tabla Tabla 2222....4444....3333.1.1.1.10.10.10.10.1----1 Valores de 1 Valores de 1 Valores de 1 Valores de las constantes C,las constantes C,las constantes C,las constantes C,    zzzz
0000
CONDICIÓN PUEBLOS
ABIERTOS
SUBURBANOS CIUDAD
C (km/h) 0.330 0.380 0.485
z
0 (m) 0.070 0.300 0.800

La presión de viento se calcula con:

2
DZ
B
100
V
PP 





=

donde:
P   =  presión del viento (kg/m²)
V
z  =  velocidad de viento (km/h) a la altura z
P
B =  presión básica correspondiente a una velocidad de 100 km/h, dada en la
Tabla 2.4.3.10.2-1

Tabla 2.4.3.10.2Tabla 2.4.3.10.2Tabla 2.4.3.10.2Tabla 2.4.3.10.2----1 Presiones básicas correspondientes a una velocidad de 1 Presiones básicas correspondientes a una velocidad de 1 Presiones básicas correspondientes a una velocidad de 1 Presiones básicas correspondientes a una velocidad de
100km/h100km/h100km/h100km/h
ComponenComponenComponenComponente Estructuralte Estructuralte Estructuralte Estructural

Presión por Presión por Presión por Presión por
Barlovento Barlovento Barlovento Barlovento
(kg/m(kg/m(kg/m(kg/m
2222
))))
Presión por Presión por Presión por Presión por
Sotavento (kg/mSotavento (kg/mSotavento (kg/mSotavento (kg/m
2222
))))
Armaduras, columnas y arcos 153 76.5
Vigas 153 No Aplicable
Superficies de pisos largos 122 No Aplicable

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II-9
9. EFECTOS SÍSMICOS: EQ9. EFECTOS SÍSMICOS: EQ9. EFECTOS SÍSMICOS: EQ9. EFECTOS SÍSMICOS: EQ (Art. 3.10)

Las fuerzas sísmicas serán evaluadas por cualquier procedimiento racional de
análisis. Se supondrá que las acciones sísmicas horizontales actúan en cualquier
dirección. Cuando sólo se analiza en dos direcciones ortogonales , los efectos
máximos serán estimados como la suma de los valores absolutos obtenidos para el
100% de la fuerza sísmica en una dirección y 30% de la fuerza sísmica en dirección
perpendicular.

Coeficiente de AceleraciónCoeficiente de AceleraciónCoeficiente de AceleraciónCoeficiente de Aceleración....---- El coeficiente A se determina en base a los mapas de
iso-aceleración con un 10% de nivel de excedencia para 50 años de vida útil.





Categorización de las EstructurasCategorización de las EstructurasCategorización de las EstructurasCategorización de las Estructuras....----
Los puentes se clasifican en tres categorías de importancia:
• Puentes críticos: deben quedar operativos después de la ocurrencia de un gran
sismo
• Puentes esenciales: deben quedar operativos después de la ocurrencia de un
sismo
• Otros puentes

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II-10
Zonas de Comportamiento SísmicoZonas de Comportamiento SísmicoZonas de Comportamiento SísmicoZonas de Comportamiento Sísmico....----

                    Tabla 3.10.4Tabla 3.10.4Tabla 3.10.4Tabla 3.10.4----1 Zonas Sísmicas1 Zonas Sísmicas1 Zonas Sísmicas1 Zonas Sísmicas
Coeficiente de
Aceleración
Zona Sísmica
A ≤ 0.09 1
0.09 < A ≤ 0.19 2
0.19 < A ≤ 0.29 3
0.29 < A 4

Condiciones LocalesCondiciones LocalesCondiciones LocalesCondiciones Locales....----

Tabla 3.10.5.1Tabla 3.10.5.1Tabla 3.10.5.1Tabla 3.10.5.1----1 Coeficientes de Sitio1 Coeficientes de Sitio1 Coeficientes de Sitio1 Coeficientes de Sitio
Coeficiente de Sitio Tipo de Perfil de Suelo
I II III IV
S 1.0 1.2 1.5 2.0

Suelo Perfil Tipo ISuelo Perfil Tipo ISuelo Perfil Tipo ISuelo Perfil Tipo I
Roca de cualquier característica, o arcilla esquistosa o cristalizada en estado
natural. Condiciones de suelo rígido donde la profundidad del suelo es menor a
60 m y los tipos de suelos sobre la roca son depósitos estables de arenas,
gravas o arcillas rígidas.
Suelo Perfil Tipo IISuelo Perfil Tipo IISuelo Perfil Tipo IISuelo Perfil Tipo II
Es un perfil compuesto de arcilla rígida o estratos profundos de suelos no
cohesivos donde la altura del suelo excede los 60 m, y los suelos sobre las
rocas son depósitos estables de arenas, gravas o arcillas rígidas.
Suelo Perfil Tipo IIISuelo Perfil Tipo IIISuelo Perfil Tipo IIISuelo Perfil Tipo III
Es un perfil con arcillas blandas a medianamente rígidas y arenas, caracterizado
por 9 m o más de arcillas blandas o medianamente rígidas con o sin capas
intermedias de arena u otros suelos cohesivos.
Suelo Perfil Tipo IVSuelo Perfil Tipo IVSuelo Perfil Tipo IVSuelo Perfil Tipo IV
Es un perfil con arcillas blandas o limos cuya profundidad es mayor a los 12 m.

Coeficiente de Respuesta SísmicCoeficiente de Respuesta SísmicCoeficiente de Respuesta SísmicCoeficiente de Respuesta Sísmica Elástica Ca Elástica Ca Elástica Ca Elástica C
snsnsnsn

3/2
n
sn
T
AS2.1
=C ≤ 2.5A (3.10.6-1)

T
n = periodo de vibración del enésimo modo
A = coeficiente de aceleración
S = coeficiente de sitio

Para puentes sobre perfiles de suelo tipo III o IV y en áreas donde el coeficiente A
es mayor o igual a 0.30, C
sn debe ser menor o igual a 2.0A.
Para suelos tipo III y IV, y para otros modos distintos al modo fundamental el cual
tenga periodos menores a 0.3s, C
sn deberá tomarse como:

C
sn = A(0.8 + 4.0 T
n ) (3.10.6.2-1)

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
II-11
Si el periodo de vibración para cualquier modo excede 4.0s, el valor de C
sn para
ese modo deberá tomarse como:

C
sn = 3AS T
n
0.75
         (3.10.6.2-2)

Factor de Modificación de RespuestaFactor de Modificación de RespuestaFactor de Modificación de RespuestaFactor de Modificación de Respuesta
Las fuerzas de diseño sísmico para sub-estructuras y las conexiones entre las
partes de la estructura, se determinarán dividiendo las fuerzas resultantes de un
análisis elástico por el factor de modificación de respuesta R apropiado. Si un
método de análisis tiempo-historia inelástico es usado, el factor de modificación de
respuesta R será tomado como 1.0 para toda la sub-estructura y conexiones.

Tabla 3.10.7.1-1 Factores de Modificación de Respuesta R – Subestructura
SUB-ESTRUCTURA IMPORTANCIA
CRÍTICA ESENCIAL OTROS
Pilar tipo placa de gran dimensión 1.5 1.5 2.0
Pilotes de concreto armado
• Sólo pilotes verticales
• Grupo de pilotes incluyendo pilotes inclinados

1.5
1.5

2.0
1.5

3.0
2.0
Columnas individuales 1.5 2.0 3.0
Pilotes de acero o acero compuesto con concreto
• Sólo pilotes verticales
• Grupo de pilotes incluyendo pilotes inclinados

1.5
1.5

3.5
2.0

5.0
3.0
Columnas múltiples 1.5 3.5 5.0

         Tabla 3.10.7.1-2 Factores de Modificación de Respuesta R – Conexiones
CONEXIONES PARA TODAS LAS
CATEGORÍAS DE
IMPORTANCIA
Superestructura a estribo 0.8
Juntas de expansión dentro de la
superestructura
0.8

Columnas, pilares o pilotes a las vigas
cabezal o superestructura
1.0

Columnas o pilares a la cimentación 1.0




10. VARIACIONES DE TEMPERATURA: TU10. VARIACIONES DE TEMPERATURA: TU10. VARIACIONES DE TEMPERATURA: TU10. VARIACIONES DE TEMPERATURA: TU, TG, TG, TG, TG  (Art. 2.4.3.9 Manual de Diseño de
Puentes - Perú)

TU: temperatura uniforme
     TG: gradiente de temperatura

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
II-12
Tabla 2.4.3.9.1-1 (Manual de Diseño de Puentes – Perú)
Rangos de Temperatura (°C)

Material Costa Sierra Selva
Concreto armado o
presforzado
10° a 40°C -10° a +35°C 10° a 50°C
Acero 5° a 50°C -20° a +50°C 10° a 60°C
Madera 10° a 40°C -10° a +35°C 10° a 50°C

La temperatura de referencia será la temperatura ambiente promedio durante las 48
horas antes del vaciado del concreto o antes de la colocación de aquellos
elementos que determinan la hiperestaticidad de la estructura.

Gradiente de Temperatura
En superestructuras de concreto o de acero con tablero de concreto, se supondrá
un gradiente de temperatura, adicionalmente a los cambios de temperatura
especificados.
Las diferencias de temperatura T
1 y T
2 corresponderán a los valores positivos
dados en la tabla, o a valores negativos obtenidos multiplicando aquellos de la Tabla
por –0.5.

(Tabla 2.4.3.9.2-1 (Manual de Diseño de Puentes – Perú)
Temperaturas que definen los Gradientes (°C)
Región Sin Asfalto 5 cm Asfalto 10 cm Asfalto
T
1 T
2 T
1 T
2 T
1 T
2
Costa 40 15 35 15 30 15
Sierra 40 5 35 5 30 5
Selva 50 20 45 20 40 20

11. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD11. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD11. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD11. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD (Art. 3.11)
EH: Empuje horizontal del suelo
ES: sobrecarga de suelo
LS: sobrecarga viva
DD: fricción negativa

(Se trata con más detalle en el CAPV: ESTRIBOS).

Debida consideración se tomará también por las siguientes solicitaciones sobre la
estructura de puente, en caso de ocurrencia:
12. CARGAS DE HIELO: IC12. CARGAS DE HIELO: IC12. CARGAS DE HIELO: IC12. CARGAS DE HIELO: IC
13. SOLICITACIONES PROVOCADAS POR DEFORMACIONES SUPER PUESTAS:13. SOLICITACIONES PROVOCADAS POR DEFORMACIONES SUPER PUESTAS:13. SOLICITACIONES PROVOCADAS POR DEFORMACIONES SUPER PUESTAS:13. SOLICITACIONES PROVOCADAS POR DEFORMACIONES SUPER PUESTAS:
SH, CR, SESH, CR, SESH, CR, SESH, CR, SE
     SH: contracción
     CR: fluencia lenta
     SE: asentamiento
14. FUERZAS FRICCI0NALES: FR14. FUERZAS FRICCI0NALES: FR14. FUERZAS FRICCI0NALES: FR14. FUERZAS FRICCI0NALES: FR
15. COLISIÓN DE EMBARCACIONES: CV15. COLISIÓN DE EMBARCACIONES: CV15. COLISIÓN DE EMBARCACIONES: CV15. COLISIÓN DE EMBARCACIONES: CV

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II-13
FACTORES DE CARGA Y COMBINACIONES DE FACTORES DE CARGA Y COMBINACIONES DE FACTORES DE CARGA Y COMBINACIONES DE FACTORES DE CARGA Y COMBINACIONES DE
CARGASCARGASCARGASCARGAS (Art. 3.4)

La solicitación mayorada total se tomará como:

iiiQnQ γΣ= (3.4.1-1)
η
i  = modificador de las cargas
Q
i = solicitación
γ
ii  = factor de carga

Estados Límites:Estados Límites:Estados Límites:Estados Límites:

• RESISTENCIA I – Combinación básica de cargas que representa el uso vehicular
normal del puente, sin viento.
• RESISTENCIA II – Combinación de cargas que representa el uso del puente por
parte de vehículos de diseño especiales especificados por el propietario, vehículos
de circulación restringida, o ambos, sin viento.
• RESISTENCIA III – Combinación de cargas que representa el puente expuesto a
vientos de velocidades superiores a 90 km/h.
• RESISTENCIA IV – Combinación de cargas que representa relaciones muy elevadas
entre las solicitaciones provocadas por las cargas permanentes y las provocadas
por las sobrecargas.
• RESISTENCIA V – Combinación de cargas que representa el uso del puente por
parte de vehículos normales con una velocidad del viento de 90 km/h.
• EVENTO EXTREMO I – Combinación de cargas que incluye sismos.
• EVENTO EXTREMO II – Combinación de cargas que incluye carga de hielo, colisión
de embarcaciones y vehículos, y ciertos eventos hidráulicos con una sobrecarga
reducida diferente a la que forma parte de la carga de colisión de vehículos, CT.
• SERVICIO I – Combinación de cargas que representa la operación normal del puente
con un viento de 90 km/h, tomando todas las cargas a sus valores normales.
• SERVICIO II – Combinación de cargas cuya intención es controlar la fluencia de las
estructuras de acero y el resbalamiento que provoca la sobrecarga vehicular en las
conexiones de resbalamiento crítico.
• SERVICIO III – Combinación de cargas relacionada exclusivamente con la tracción en
superestructuras de hormigón pretensado, cuyo objetivo es controlar la fisuración.
• SERVICIO IV – Combinación de cargas relacionada exclusivamente con la tracción en
subestructuras de hormigón pretensado, cuyo objetivo es controlar la fisuración.
• FATIGA – Combinación de cargas de fatiga y fractura que se relacionan con la
sobrecarga gravitatoria vehicular respectiva y las respuestas dinámicas bajo un
único camión de diseño.

El Diseño por Factores de Carga y Resistencia (LRFD) requiere satisfacer la siguiente
ecuación:
Σηγ
iQ
i  E φR
n = R
r

Para cargas para las cuales un valor máximo de γ
i es apropiado:

η
= η
D η
R η
I P 0.95

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
II-14
Para cargas para las cuales un valor mínimo de γ
i es apropiado:
IRD
1
=
ηηη
η ≤ 1.0
siendo:
γ
i = factor de carga
φ = factor de resistencia
η
  = factor de modificación de las cargas
η
D = factor relacionado con la ductilidad
η
R = factor relacionado con la redundancia
η
I = factor relacionado con la importancia operativa
Q
i = solicitación
R
n = resistencia nominal
R
r = resistencia mayorada =  φR
n

Ductilidad.Ductilidad.Ductilidad.Ductilidad.----
El sistema estructural de un puente se debe dimensionar y detallar de manera de
asegurar el desarrollo de deformaciones inelásticas significativas y visibles en los
estados límites de resistencia y correspondientes a eventos extremos antes de la falla.
Para el estado límite de resistencia:
n
D  N 1.05 para elementos y conexiones no dúctiles
     = 1.00 para diseños y detalles convencionales
N 0.95 para elementos y conexiones para los cuales se han especificado medidas
adicionales para mejorar la ductilidad más allá de lo requerido por las
Especificaciones.

Para todos los demás estados límites: n
D = 1.00
Redundancia.Redundancia.Redundancia.Redundancia.----
A menos que existan motivos justificados para evitarlas se deben usar
estructuras continuas y con múltiples recorridos de cargas.
Los principales elementos y componentes cuya falla se anticipa provocará el
colapso del puente se deben diseñar como elementos de falla crítica y el sistema
estructural asociado como sistema no redundante.
Los elementos y componentes cuya falla se anticipa no provocará el colapso del
puente se deben diseñar como elementos de falla no crítica y el sistema estructural
asociado como sistema redundante.

Para el estado límite de resistencia:
n
R N 1.05 para elementos no redundantes
    = 1.00 para niveles convencionales de redundancia
    N 0.95 para niveles excepcionales de redundancia

Para todos los demás estados límites: n
R = 1.00
Importancia Operativa.Importancia Operativa.Importancia Operativa.Importancia Operativa.----
Aplicable exclusivamente a los estados límites de resistencia y correspondientes
a eventos extremos.
Para el estado límite de resistencia:
n
I N 1.05 para puentes importantes
   = 1.00 para puentes típicos
   N 0.95 para puentes de relativamente poca importancia

Para todos los demás estados límites: n
I = 1.00

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
II-15

Notas.-
- El mayor de los dos valores especificados para los factores de carga a aplicar a
TU, CR y SH se deberá utilizar para las deformaciones, y el menor valor se deberá
utilizar para todas las demás solicitaciones.
- El factor de carga para sobrecarga
EQγen la combinación de Evento Extremo I se
deberá determinar en base a las características específicas de cada proyecto. En
ediciones anteriores de AASHTO se usaba
0
EQ
=γ , y aunque este tema no ha
sido resuelto, se debería considerar la posibilidad de sobrecarga parcial con

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
II-16
sismos, es decir 0.1
EQ<γ , siendo razonable 5.0
EQ=γ para un amplio rango de
valores de tráfico.
- Los factores de carga
TGγ y
SEγse deben adoptar en base a las características
específicas de cada proyecto.
TGγ se puede tomar si no hay información: 0.0 en
estados límites de resistencia y evento extremo, 1.0 en estado límite de servicio
cuando no se considera la sobrecarga, y 0.50 en el estado límite de servicio
cuando se considera la sobrecarga.

Denominación de las CargasDenominación de las CargasDenominación de las CargasDenominación de las Cargas

Cargas Permanentes:Cargas Permanentes:Cargas Permanentes:Cargas Permanentes:

DD = fricción negativa (downdrag)
DC = peso propio de los componentes estructurales y accesorios no estructurales
DW= peso propio de las superficies de rodamiento e instalaciones para servicios
públicos
EH = empuje horizontal del suelo
EL =   tensiones residuales acumuladas resultantes del proceso constructivo,
incluyendo las fuerzas secundarias del postensado
ES = sobrecarga de suelo
EV = presión vertical del peso propio del suelo de relleno

Cargas Transitorias:Cargas Transitorias:Cargas Transitorias:Cargas Transitorias:

BR = fuerza de frenado de los vehículos
CE = fuerza centrífuga de los vehículos
CR = fluencia lenta
CT = fuerza de colisión de un vehículo
CV = fuerza de colisión de una embarcación
EQ = sismo
FR = fricción
IC = carga de hielo
IM = incremento por carga vehicular dinámica
LL = sobrecarga vehicular
LS = sobrecarga de la carga viva
PL = sobrecarga peatonal
SE = asentamiento
SH = contracción
TG = gradiente de temperatura
TU = temperatura uniforme
WA = carga hidráulica y presión del flujo de agua
WL = viento sobre la sobrecarga
WS = viento sobre la estructura

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II-17
P
x
L
A
R    R(L-x-e)
      L
e (L-x-e)=
A B
R=P
P
12
P
3
P
1
bb
2
P
54
=
e/2
R    R(L-x-e)
      LA
x=(L-e)/2
P
45
P
2
bb
1
P
3
P
21
P
R= P
BA
L
e/2
x=(L-e)/2
Mmáx
L/2 L/2
APÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE II----AAAA

MÁXIMO MOMENTO DE FLEXIÓN EN UNA VIGA SIMPLEMENTE A POYADA PARA UN MÁXIMO MOMENTO DE FLEXIÓN EN UNA VIGA SIMPLEMENTE A POYADA PARA UN MÁXIMO MOMENTO DE FLEXIÓN EN UNA VIGA SIMPLEMENTE A POYADA PARA UN MÁXIMO MOMENTO DE FLEXIÓN EN UNA VIGA SIMPLEMENTE A POYADA PARA UN
TREN DE CARGAS (Teorema de Barré)TREN DE CARGAS (Teorema de Barré)TREN DE CARGAS (Teorema de Barré)TREN DE CARGAS (Teorema de Barré)

Bisecando la distancia entre la resultante de un tren de cargas y la carga más próxima a
ella, por un eje que pasa por el centro de luz, el máximo momento de flexión en una viga
simplemente apoyada se encuentra casi siempre bajo la carga más próxima a la
resultante. En caso de igualdad de distancias, se ubica bajo la carga más pesada.

En efecto, en el tren de cargas mostrado, tomando momentos en el punto donde
incide la carga P
3 tenemos:

222113P bP)b+b(Px
L
)exL(R
=M

Para  0
dx
dM
,máxM
3P
3P ==

[ ] 0=)exL(+)x(1
L
R

2
eL
=x

Es decir:

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II-18
APÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE II----BBBB

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II-19
APÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE II----CCCC

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II-20
m
E A B
L
F
0.4L
L
G
L
C
n
D
APÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE II----DDDD

LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS DE TRES TRAMOS IGUALESLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS DE TRES TRAMOS IGUALESLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS DE TRES TRAMOS IGUALESLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS DE TRES TRAMOS IGUALES



















)0xm(EATramo ≤≤− x
15
4
M
B−=

)Lx0(ABTramo ≤≤ x
15
4
x
L15
4
M
3
2B
−=

)L2xL(BCTramo ≤≤
5
L8
x
15
46
x
L5
9
x
L3
1
M
23
2B
+−+−=

)L3xL2(CDTramo ≤≤
5
L8
x
15
26
x
L5
3
x
L15
1
M
23
2B
−+−=

)nL3xL3(DGTramo +≤≤
5
L
x
15
1
M
B +−=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
II-21

)0xm(EATramo ≤≤− x
75
37
M
F=

)L4.0x0(AFTramo ≤≤ x
75
37
x
L75
8
M
3
2F +=

)LxL4.0(FBTramo ≤≤
5
L2
x
75
38
x
L75
8
M
3
2F +−=

)L2xL(BCTramo ≤≤
75
L48
x
75
92
x
L75
54
x
L15
2
M
23
2F
+−+−=

)L3xL2(CDTramo ≤≤
75
L48
x
75
52
x
L25
6
x
L75
2
M
23
2F
−+−=

)nL3xL3(DGTramo +≤≤
75
L6
x
75
2
M
F +−=

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II-22

)0xm(EATramo ≤≤− x
L5
8
R
B=

)Lx0(ABTramo ≤≤ x
L5
8
x
L5
3
R
3
3B
+−=

)L2xL(BCTramo ≤≤
5
8
x
L5
32
x
L5
24
x
L
1
R
2
2
3
3B
−+−=

)L3xL2(CDTramo ≤≤
5
48
x
L5
52
x
L5
18
x
L5
2
R
2
2
3
3B
+−+−=

)nL3xL3(DGTramo +≤≤
5
6
x
L5
2
R
B −=

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II-23
APÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE II----EEEE

VEHÍCULOS VEHÍCULOS VEHÍCULOS VEHÍCULOS DE DE DE DE CIRCULACICIRCULACICIRCULACICIRCULACIÓÓÓÓN N N N NACIONAL NACIONAL NACIONAL NACIONAL ----    PESOS Y MEDIDAS MÁXIMAS PERMITIDASPESOS Y MEDIDAS MÁXIMAS PERMITIDASPESOS Y MEDIDAS MÁXIMAS PERMITIDASPESOS Y MEDIDAS MÁXIMAS PERMITIDAS

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II-24

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II-25

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II-26

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II-27

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II-28

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II-29

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II-30

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II-31
LC
C.L.
LI de M
5.65m
12.5 m
A
12.5 m
B
11.2 T11.2 T
1.20
6.25m
4.304.30
3.6 T14.8 T 14.8 T
B
12.5 m
A
=6.25m
12.5 m
4.10m
4.10m
25m
12.5m x12.5m
LI de M
C.L.
CL
PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS

PROBLEMA II.1PROBLEMA II.1PROBLEMA II.1PROBLEMA II.1
    Utilizando la carga HLUtilizando la carga HLUtilizando la carga HLUtilizando la carga HL----93 calcular en un puente simplemente apoyado 93 calcular en un puente simplemente apoyado 93 calcular en un puente simplemente apoyado 93 calcular en un puente simplemente apoyado
de 25.0 m de longitud para el estado limite de Resistencia:de 25.0 m de longitud para el estado limite de Resistencia:de 25.0 m de longitud para el estado limite de Resistencia:de 25.0 m de longitud para el estado limite de Resistencia:     1) el mo1) el mo1) el mo1) el momento por mento por mento por mento por
sobrecarga que ocurre en el centro de luz; 2) el momento máximo por sobrecarga.sobrecarga que ocurre en el centro de luz; 2) el momento máximo por sobrecarga.sobrecarga que ocurre en el centro de luz; 2) el momento máximo por sobrecarga.sobrecarga que ocurre en el centro de luz; 2) el momento máximo por sobrecarga.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


1)1)1)1) Momento por sobrecarga que ocurre en el centro de luzMomento por sobrecarga que ocurre en el centro de luzMomento por sobrecarga que ocurre en el centro de luzMomento por sobrecarga que ocurre en el centro de luz

1.A) Camión de Diseño

Utilizando la línea de influencia de momento flector para la sección central del
puente, posicionamos el camión HL-93 de manera que se generen los máximos
valores como se muestra:

El momento flector por camión en el centro de luz es:

mT94.167)m10.4(T8.14)m25.6(T8.14)m10.4(T6.3M
.L.C
−=++=

1.B) Tandem de Diseño

De modo similar se tiene para el tándem:

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II-32
14.8 T
R=33.2 T
14.8 T
4.30 4.30
3.6 T
1.45Z=2.85
6.25m
12.5 m 12.5 m
LI de M
C.L.
CL
B
960 kg/m
A
mT28.133)m65.5(T2.11)m25.6(T2.11M
.L.C
−=+=

1.C) Carga de carril

En este caso hallamos el momento en el centro de luz multiplicando el valor de la
carga distribuida por el área respectiva en la línea de influencia:

mT75)m25.6xm25x(½m/T96.0M
.L.C
−==

Debemos combinar ahora el camión o tándem de diseño con la carga de carril. En este
caso escogemos, por ser crítica, la combinación: camión de diseño con carga de carril
considerando además el incremento por carga dinámica del 33% para la carga de
camión.
M
máx(LL+IM) = 167.94T-m(1.33)+75 T-m=
298.298.298.298.36363636    TTTT----mmmm

2)2)2)2) Momento máximo por sobrecargaMomento máximo por sobrecargaMomento máximo por sobrecargaMomento máximo por sobrecarga

2.A) Camión de Diseño

Ubicamos en el camión HL-93 la posición de la resultante tomando momentos en el
tercer eje:

Z(33.2T)= 4.30m(14.8T)+8.60m(3.6T)
        Z= 2.85m

Luego, la distancia de 1.45m se dispone en partes iguales con respecto al centro
de luz.

Se tendrá la siguiente disposición de cargas:

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II-33
12.5 m12.5 m
A
Mmáx
R=22.4 T
.60
Lc
11.2 T11.2 T
B
0.30
0.30
R=10.93 T
A
B
12.5 m
A
A
R=15.64 T
12.5 m
cL
0.725 0.725
Mmáx
X=11.775 m R
4.304.30
3.6 T14.8 T 14.8 T
Mcarril
A
0.96 T/m
B
R=12 T
A
12.5 m 12.5 m
X=11.775 m

El momento máximo ocurre bajo la carga más cercana a la resultante, a x=11.775m
del apoyo izquierdo:

)m30.4(T6.3)m775.11(T64.15M
máx −= = 168.68 T-m

2.B) Tandem de Diseño

Se muestra la posición de momento máximo:

)m30.0m5.12(T93.10M
máx = = 133.35 T-m

2.C) Carga de carril

Debemos combinar ahora el camión o tándem de diseño con la carga de carril. En
este caso escogemos, por ser crítica, la combinación: camión de diseño con carga
de carril, en la posición X= 11.775m del apoyo izquierdo:

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II-34
R=29.42 T
A
A
25 m
B
14.8 T14.8 T 3.6 T
4.30 4.30
25 m
A
1.20
11.2 T11.2 T
B
R=21.86 T
A
A
960 kg/m
B
25 m
R=12 T
A
2
)m775.11(m/T96.0
)m775.11(T12M
2
carril
−=
M
carril = 74.75 t-m

Considerando el incremento por carga dinámica para la carga de camión tenemos:

M
máx(LL+IM) = 168.68(1.33)+74.75 = 299.03 T299.03 T299.03 T299.03 T----mmmm

(En el Apéndice II-B, para L=25.00 m se obtiene M
máx(LL+IM) = 299.299.299.299.05050505    TTTT----mmmm
, en
X=11.78m )


PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.2222
     Calcular en el problema anterior, la reacción máxima por sobrecarga Calcular en el problema anterior, la reacción máxima por sobrecarga Calcular en el problema anterior, la reacción máxima por sobrecarga Calcular en el problema anterior, la reacción máxima por sobrecarga
provprovprovprovocada por una carga HLocada por una carga HLocada por una carga HLocada por una carga HL----93939393

Solución.Solución.Solución.Solución.----


A) Camión de Diseño

B) Tandem de Diseño

C) Carga de carril

Luego R
A máx (LL+IM) = 29.42(1.33)+12 = 51.13 T51.13 T51.13 T51.13 T----mmmm

(En el Apéndice II-B, para L=25.00 m se obtiene R
A máx (LL+IM) = 51.1251.1251.1251.12    TTTT----mmmm
)

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II-35
8.33 T
8.33 T8.33 T9 T9 T
1.201.204.25
2.401.85
7 T
1.203.50
R=50 T
A B
A
R=21.70 T
0.925
CL
M
máx
7.00 7.00
1.2751.375
0.925
X = 4.80 m
R=50 T
3.50 1.20
7 T
4.25 1.20 1.20
9 T9 T 8.33 T 8.33 T
8.33 T
11.35 m
PROBLEMA II.3PROBLEMA II.3PROBLEMA II.3PROBLEMA II.3     Comparar en un puente simplemente apoyado de 14 m. de Comparar en un puente simplemente apoyado de 14 m. de Comparar en un puente simplemente apoyado de 14 m. de Comparar en un puente simplemente apoyado de 14 m. de
longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por el longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por el longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por el longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por el
vehículo T3S3 y por la carga HLvehículo T3S3 y por la carga HLvehículo T3S3 y por la carga HLvehículo T3S3 y por la carga HL----93.93.93.93.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


a)a)a)a) Momento por sobrecargaMomento por sobrecargaMomento por sobrecargaMomento por sobrecarga

a.1) a.1) a.1) a.1) Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3

• Determinamos la ubicación de la resultante del tren de cargas suponiendo
que los 6 ejes se encuentran sobre el puente:

m80.4
T50
Tm94.239
X ==

Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay
entre la resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga:

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II-36
7.85 m
8.33 T
8.33 T8.33 T9 T9 T
1.201.204.251.20
R=43 T
6.334m
0.666
7.007.00
máxM
L
C
0.666
R=23.55 T
A
BA
R=43 T
1.20 4.25 1.20 1.20
9 T9 T 8.33 T 8.33 T
8.33 T
R=19.45 T
B
2.216
El momento por sobrecarga máximo será:

M
s/c = 21.70T(6.075m) - 7T(4.70m) - 9T(1.2m) = 88.106 T-m

• Determinamos la ubicación de la resultante del tren de cargas suponiendo
ahora que sólo 5 ejes se encuentran sobre el puente:

m732.3
T43
Tm488.160
X ==

Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay
entre la resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga:

El momento por sobrecarga máximo será:

M
s/c = 19.45T(6.334m) – 8.33T(1.20m) - 8.33T(2.40m) = 93.21 T-m

Tomando el mayor de los momentos e incrementando por carga dinámica para el
estado límite de Resistencia con IM=0.33, tenemos:

M
s/c+IM = 93.21 T-m x 1.33 = 111123.9723.9723.9723.97    TTTT----mmmm

aaaa....2222) ) ) ) Carga HLCarga HLCarga HLCarga HL----93939393

De la Tabla del Apéndice II-B, para L=14.00 m:

M
S/C+IM = 121212126666....87878787    TTTT----mmmm

En este caso el momento provocado por la carga HL-93, es mayor que el
producido por el vehículo T3S3.

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II-37
14.00
R=32.85 T
A
A
3.501.20
7 T
4.251.201.20
9 T9 T8.33 T 8.33 T
8.33 T
B
2.65
b)b)b)b) Reacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecarga

bbbb.1) .1) .1) .1) Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3

La máxima reacción ocurre posicionando el vehículo de la siguiente manera:

Luego, R
A máx =    32.85 T

Incrementando por carga dinámica para el estado límite de Resistencia con
IM=0.33, tenemos:

R
s/c+IM = 32.85 T x 1.33 = 43.6943.6943.6943.69    TTTT

a.a.a.a.2222) ) ) ) Carga HLCarga HLCarga HLCarga HL----93939393

De la Tabla del Apéndice II-B, para L=14.00 m:

          R
A máx = 41.8941.8941.8941.89    TTTT

En este caso la reacción provocada por la carga HL-93, es menor que la producida
por el vehículo T3S3.

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II-38
8.33 T
8.33 T8.33 T9 T9 T
1.201.204.25
7 T
1.203.50
R=57 T
7 T
9.00
20.35
PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.4444     Comparar en un puente simplemente apoyado de 25 m. deComparar en un puente simplemente apoyado de 25 m. deComparar en un puente simplemente apoyado de 25 m. deComparar en un puente simplemente apoyado de 25 m. de
longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por dos longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por dos longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por dos longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por dos
vehículos T3S3 distanciados 9.00m como se muestra, y por la carga HLvehículos T3S3 distanciados 9.00m como se muestra, y por la carga HLvehículos T3S3 distanciados 9.00m como se muestra, y por la carga HLvehículos T3S3 distanciados 9.00m como se muestra, y por la carga HL----93.93.93.93.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


a)a)a)a) Momento por sobrecargaMomento por sobrecargaMomento por sobrecargaMomento por sobrecarga

a.1) a.1) a.1) a.1) Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3

Determinamos primero la ubicación de la resultante del tren de cargas que puede
posicionarse en la longitud de 25 m.:

Tomando momentos en el último eje, tenemos:

57T(X) = 8.33T(9.0m)+8.33T(10.20m)+8.33T(11.40m)+9T (15.65m)+
        9T(16.85m) + 7T(20.35m)

Con lo que la resultante se ubica en:

m10.12
T57
Tm85.689
X ==

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II-39
3.90 0.75
12.5012.50
máxM
LC
R=29.30 T
A
BA
9.00
7 T
R=57 T
3.501.2
7 T
4.251.21.2
9 T9 T 8.33 T 8.33 T
8.33 T
.35.35
Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay entre la
resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga:

El momento por sobrecarga máximo será:

M
s/c = 29.30T(12.85m) - 9T(4.25m) - 9T(5.45m) – 7T(8.95m)

M
s/c = 226.56 T-m

Considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de
Resistencia, IM=0.33, tenemos:

M
s/c+IM = 226.56 T-m x 1.33 = 301301301301....32323232    TTTT----mmmm


a.a.a.a.2222) ) ) ) Carga HLCarga HLCarga HLCarga HL----93939393

De la Tabla del Apéndice II-B, para L=25.00 m:

M
S/C+IM = 222299999999....00005555    TTTT----mmmm

En este caso el momento provocado por el vehículo T3S3, es mayor que el
producido por la carga HL-93.

b)b)b)b) Reacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecarga

bbbb.1) .1) .1) .1) Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3

La máxima reacción ocurre posicionando el vehículo de la siguiente manera:

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II-40
2.25
B
8.33 T
8.33 T8.33 T 9 T9 T
1.201.20 4.25
7 T
1.20 3.50
A
A
R=43.84 T
25.00
8.33 T
9.00 1.20
8.33 T
8.33 T
1.20

Luego, R
A máx = 43.84 T

Incrementando por carga dinámica para el estado límite de Resistencia con
IM=0.33, tenemos:

R
s/c+IM = 43.84 T x 1.33 = 58.3158.3158.3158.31    TTTT

bbbb....2222) ) ) ) Carga HLCarga HLCarga HLCarga HL----93939393

De la Tabla del Apéndice II-B, para L=25.00 m:

          R
A máx = 51.1251.1251.1251.12    TTTT

En este caso la reacción provocada por dos vehículos T3S3, es mayor que la
producida por la carga HL-93.

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II-41
10 m
B CA
10 m
PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.5555     En un puente continuo de dos tramos iguales de 10 m. de En un puente continuo de dos tramos iguales de 10 m. de En un puente continuo de dos tramos iguales de 10 m. de En un puente continuo de dos tramos iguales de 10 m. de
longitud calongitud calongitud calongitud cada uno, calcular el máximo momento da uno, calcular el máximo momento da uno, calcular el máximo momento da uno, calcular el máximo momento positivo positivo positivo positivo y negativo por y negativo por y negativo por y negativo por
sobrecarga provocados por la carga HLsobrecarga provocados por la carga HLsobrecarga provocados por la carga HLsobrecarga provocados por la carga HL----93.93.93.93.







Solución.Solución.Solución.Solución.----


a)a)a)a) Máximo momento positivoMáximo momento positivoMáximo momento positivoMáximo momento positivo
Observando los gráficos del Apéndice II-C determinamos que el máximo momento
positivo en todo el puente ocurre a 0.4L de un apoyo exterior. Utilizando tal línea
de influencia se puede comprobar que la combinación crítica es de tándem y
sobrecarga distribuida. Buscando provocar el máximo esfuerzo, posicionamos el
tándem como se muestra en la figura. La sobrecarga distribuida la aplicamos sólo en
el área positiva del gráfico. La combinación de camión y sobrecarga distribuida, por
provocar esfuerzos menores, no es considerada.

El momento por tándem de diseño es:

(+)M
tándem = 11.2T(2.064m) + 11.2T(1.541m) = 40.38 T-m

El momento por la sobrecarga distribuida en el primer tramo es:

(+)M
s/c distrib = 0.96 T/m (9.525 m²) = 9.14 T-m

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II-42
El momento positivo por sobrecarga máximo, considerando el incremento por carga
dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(+)M
s/c+IM = 40.38 T-m x 1.33 + 9.14 T-m = 62.85 T62.85 T62.85 T62.85 T----mmmm

b)b)b)b) Máximo momento negativoMáximo momento negativoMáximo momento negativoMáximo momento negativo
El máximo momento negativo en todo el puente ocurre en el apoyo central.
Utilizando la línea de influencia para momento en dicho apoyo se comprueba que la
combinación crítica es de camión y sobrecarga distribuida. Buscando provocar el
máximo esfuerzo, posicionamos el camión de diseño con los ejes posteriores en las
ordenadas máximas, tal como se muestra en la figura. Quedarán estos ejes
separados 8.452 m. La sobrecarga distribuida la aplicamos en ambos tramos. La
combinación de tándem y sobrecarga distribuida, por provocar esfuerzos menores,
no es considerada.

El momento por camión de diseño es:

(-) M
camión= 3.6T(-0.360m)+14.8T(-0.962m) +14.8T(-0.962m) = -29.77 T-m

El momento por sobrecarga distribuida es:

(-)M
s/c distrib = 0.96 T/m (-12.375 m²) = -11.88 T-m

El momento negativo por sobrecarga máximo, considerando el incremento por
carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(-)M
s/c+IM = -29.77 T-m x 1.33 – 11.88 T-m = ----51.47 T51.47 T51.47 T51.47 T----mmmm

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II-43
NOTA.NOTA.NOTA.NOTA.---- Utilizando el programa de cómputo QConBridgeQConBridgeQConBridgeQConBridge, se obtiene la envolvente de
momentos por carga viva de manera gráfica y tabularmente. Como se aprecia,
dividiendo cada tramo en diez secciones, el máximo momento positivo por carga viva
ocurre en la sección x= 0.4 L, con un valor de +616.289x10³ N+616.289x10³ N+616.289x10³ N+616.289x10³ N----mmmm (+62.82 T(+62.82 T(+62.82 T(+62.82 T----mmmm). El
máximo momento negativo ocurre en el apoyo central, con un valor de ----504.489x10³ 504.489x10³ 504.489x10³ 504.489x10³
NNNN----mmmm ((((----51.43 T51.43 T51.43 T51.43 T----mmmm). Los resultados son similares a +62.85 T+62.85 T+62.85 T+62.85 T----mmmm y ----51.47 T51.47 T51.47 T51.47 T----mmmm, valores
obtenidos analíticamente.

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II-44
20 m
DA B C
20 m 20 m
PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.6666        En un puente continuo de tres tramos iguales de 20 m. de En un puente continuo de tres tramos iguales de 20 m. de En un puente continuo de tres tramos iguales de 20 m. de En un puente continuo de tres tramos iguales de 20 m. de
longitud cada uno, calcular en un apoyo interior los momentos de dlongitud cada uno, calcular en un apoyo interior los momentos de dlongitud cada uno, calcular en un apoyo interior los momentos de dlongitud cada uno, calcular en un apoyo interior los momentos de diseño por iseño por iseño por iseño por
sobrecarga provocados por la carga HLsobrecarga provocados por la carga HLsobrecarga provocados por la carga HLsobrecarga provocados por la carga HL----93.93.93.93.







Solución.Solución.Solución.Solución.----


a)a)a)a) Línea de Influencia de momento flector en Línea de Influencia de momento flector en Línea de Influencia de momento flector en Línea de Influencia de momento flector en BBBB
Graficamos la línea de influencia (ver APÉNDICE II-D) haciendo uso de las siguientes
expresiones:

)20x0(ABTramo ≤≤
( )x400x
1500
1
y
3
−=

)40x20(BCTramo ≤≤
( )40038x3680x108x
1200
1
y
23
+−+−=

)60x40(CDTramo ≤≤
( )000192x40010x180x
6000
1
y
23
−+−=

b)b)b)b) Máximo momento negativoMáximo momento negativoMáximo momento negativoMáximo momento negativo
Utilizando tal línea de influencia, después de realizar las combinaciones de carga viva
aplicables, encontramos que el máximo momento negativo ocurre con el
posicionamiento de dos camiones* y la sobrecarga distribuida tal como se muestra,
considerando de acuerdo a las especificaciones el 90 por ciento de dicha
solicitación. Los dos camiones en este caso están distanciados 15 m entre el eje
delantero de un camión y el eje posterior del otro.

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II-45
El momento por dos camiones de diseño es:

(-)M
2 camiones = 3.6T(-0.880m) + 14.8T(-1.749m-2.048m) +3.6T(-1.593m) +
                   14.8T(-1.368m-0.709m)

       = -95.838 T-m

El momento por la sobrecarga distribuida es:

(-)M
s/c distrib = 0.96 T/m (-46.2 m²) = -44.35 T-m

El momento máximo negativo por sobrecarga, considerando el incremento por
carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(-)M
s/c+IM = 0.90 [(-95.838 T-m ) x 1.33 + (-44.35 T-m)] = ----154.63 T154.63 T154.63 T154.63 T----mmmm

NOTANOTANOTANOTA....----
* La utilización del 90 por ciento de la solicitación de dos camiones y la carga de carril
se emplea en el caso de momentos negativos entre puntos de contraflexión debido a
una carga uniforme en todos los tramos (Artículo 3.6.1.3.1). En este caso como se
aprecia en el gráfico, el apoyo interior B se encuentra en el tramo de contraflexión de
9.53m, ámbito para el cual es aplicable lo indicado. Los puntos de contraflexión  para
una viga contínua de tres tramos iguales quedan definidos por:

.m20Lcon,m94.8L4472.0L,m53.9L4764.0L,m16L8.0L
321
=======

c)c)c)c) Máximo momento positivoMáximo momento positivoMáximo momento positivoMáximo momento positivo

El máximo momento positivo, después de realizar las combinaciones de carga viva
aplicables, se encuentra posicionando en la línea de influencia el camión de diseño
con un eje posterior en la ordenada máxima, tal como se muestra en la figura. La
sobrecarga distribuida la aplicamos únicamente en el área positiva.

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II-46
El momento por camión de diseño es:

(+) M
camión= 3.6T(0.365m)+14.8T(0.512m) +14.8T(0.437m) = 15.36 T-m

El momento por sobrecarga distribuida es:

(+)M
s/c distrib = 0.96 T/m (6.60 m²) = 6.34 T-m

El momento positivo máximo por sobrecarga, considerando el incremento por carga
dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(+)M
s/c+IM = 15.36 T-m x 1.33 + 6.34 T-m = 26.77 T26.77 T26.77 T26.77 T----mmmm

NOTANOTANOTANOTA    1111....----

Utilizando el programa de cómputo
QConBridgeQConBridgeQConBridgeQConBridge, se obtiene la envolvente de momentos
por carga viva de manera gráfica y tabularmente. Como se aprecia dividiendo cada
tramo en diez secciones, en el apoyo 2 el máximo momento negativo es ----1111....513513513513    x10x10x10x10
6666

NNNN----mmmm ((((----111155554444....28282828    TTTT----mmmm))))  y  el máximo momento positivo es ++++263263263263....533533533533x10³ Nx10³ Nx10³ Nx10³ N----mmmm (+2(+2(+2(+26666.8.8.8.87777
TTTT----mmmm)))). Los resultados son similares a ----154.63154.63154.63154.63    TTTT----mmmm y +26+26+26+26....77777 T7 T7 T7 T----mmmm, valores obtenidos
analíticamente.

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II-47





NOTANOTANOTANOTA    2222....----

Tal como se señala en C3.6.1.3.1 AASHTO-LRFD, las cargas ideales de diseño
están basadas en la información descrita en C3.6.1.2.1 AASHTO-LRFD que contiene
datos sobre vehículos de tipo “low boy” con pesos de hasta 50 T. Si se considera
probable que haya múltiples carriles con versiones más pesadas de este tipo de
vehículo, se debe investigar el momento negativo y las reacciones en los apoyos
interiores para pares de tandems de diseño separados entre 8.00 m y 12.00 m, en
combinación con la carga de carril. Se debe usar el 100 por ciento de tal
solicitación.

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II-48
30 m
A
30 m
B C
F  = 16.6 T
BR
1.80 m
30 m
B CA
30 m
PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.7777    Calcular la fuerza de frenado y la fuerza de viento que actúan Calcular la fuerza de frenado y la fuerza de viento que actúan Calcular la fuerza de frenado y la fuerza de viento que actúan Calcular la fuerza de frenado y la fuerza de viento que actúan
sobre el pilar central del puente mostrado, de dos vías. Elsobre el pilar central del puente mostrado, de dos vías. Elsobre el pilar central del puente mostrado, de dos vías. Elsobre el pilar central del puente mostrado, de dos vías. El     viento incide viento incide viento incide viento incide
perpendicularmente al eje longitudinal del puente. Utilizar vehículo HLperpendicularmente al eje longitudinal del puente. Utilizar vehículo HLperpendicularmente al eje longitudinal del puente. Utilizar vehículo HLperpendicularmente al eje longitudinal del puente. Utilizar vehículo HL----93 y 93 y 93 y 93 y
Especificaciones AASHTO LRFD.Especificaciones AASHTO LRFD.Especificaciones AASHTO LRFD.Especificaciones AASHTO LRFD.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


a)a)a)a) Fuerza de FrenadoFuerza de FrenadoFuerza de FrenadoFuerza de Frenado

De acuerdo con las Especificaciones, la fuerza de frenado será la mayor de:
- 25% de los pesos por eje de camión o tandem de diseño
- 5% del camión o tandem de diseño más la carga de carril

En este caso el peso del vehículo HL-93 es 33.2 T, peso del tandem: 22.4 T, carga
de carril: 0.96 T/m.

La fuerza de frenado se calcula con los carriles que transportan tráfico en la misma
dirección. Asumiendo que a futuro los dos carriles transportan tráfico en la misma
dirección y considerando el factor de presencia múltiple m=1.00, tendremos:

BR
1 = 0.25 x 33.2 T x 2vías x 1.00 / 1 apoyo           = 16.60 T
BR
2 = 0.25 x 22.4 T x 2 x 1.00           = 11.20 T
BR
3 = 0.05 [33.2 T+(30m + 30m) 0.96 T/m]x2x1.0 =   9.08 T
BR
4 = 0.05 [22.4 T+(30m + 30m) 0.96 T/m]x2x1.0 =   8.00 T

Luego, la fuerza de frenado será: 16.60 T, aplicada a 1.80 m sobre la superficie de
calzada.

NOTA.NOTA.NOTA.NOTA.----

Un vehículo T3S3 circulando por dicho puente a una velocidad de 60 km/h,  que al
frenar tarda en detenerse 10 segundos, provocará según las leyes de la física una
fuerza de frenado igual a:

F = m.a

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II-49
donde:

F  = fuerza

m
segT
10.5
seg/m8.9
T50
g
W
masam
2
2
−
====

2
seg/m67.1
seg10
seg/m67.16
seg10
h/km60
t
v
aceleraca =====

Luego:

T52.8seg/m67.1x
m
segT
10.5F
2
2
=







 −
=

En 2 vías se tendrá:
F = 2x8.52T = 17.04 T

Comparar este resultado con el valor obtenido para la carga HL-93 de las normas
AASHTO LRFD.

b)b)b)b) Carga de VientoCarga de VientoCarga de VientoCarga de Viento


b.1) b.1) b.1) b.1)      Sobre la supereSobre la supereSobre la supereSobre la superestructurastructurastructurastructura

La carga de viento se asume actúa uniformemente sobre el área expuesta al viento.
El área expuesta se toma perpendicular a la dirección del viento. La velocidad del
viento básica varía según la localidad y se tomará como V
B = 160 km/h









=








=
25600
V
P
V
V
PP
2
DZ
B
2
B
DZ
BD
(3.8.1.2.1-1)

Donde:
P
B = presión básica del viento = 245 kg/m
2
(Tabla 3.8.1.2.1-1)
P
D  = presión del viento de diseño
V
DZ = velocidad del viento a la altura de diseño z

Asumiendo que la altura de los componentes del puente son menores a 10 m sobre
la línea de tierra (z T 10 m), V
DZ =V
B = V
10 =160 km/h.

2
2
2
B
DZ
BD m/kg245
160
160
245
V
V
PP =





=








=

La carga será:

F
W
Sup = 245 kg/m
2
x 3 m x (30m + 30m) / 2 = 22.05 T

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II-50
1.20 m
1.20 m
1.00 m
2.50 m
F  = 0.97 T
W Sub 2
F  = 0.28 T
W Sub 1
2.50 m
3.00 m
1.50 m
W Sup
F  = 22.05 T
1.50 m
1.80 m
F  = 4.50 T
WL

b.2) b.2) b.2) b.2) Sobre la subestructuraSobre la subestructuraSobre la subestructuraSobre la subestructura

Se calcula en base a una presión del viento de 194 kg/m
2
(Tabla 3.8.1.2.1-1):

F
W
Sub1 = 194 kg/m
2
x 1.20m x 1.20m = 0.28 T
F
W
Sub2 = 194 kg/m
2
x 1.00m x 5.00m = 0.97 T

b.3) b.3) b.3) b.3) Sobre la carga vivaSobre la carga vivaSobre la carga vivaSobre la carga viva

La presión del viento sobre los vehículos se representa como un fuerza
interrumpible y móvil de 150 kg/m (Tabla 3.8.1.3-1) actuando normal a la calzada
y a 1.80 m sobre la misma.

F
W
L = 150 kg/m (30m + 30m) / 2 = 4.50 T

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II-51
0.50 m
Nivel
Freatico
4.00 m
B
PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.8888     Determinar el empuje por flotación por la presencia del nivel Determinar el empuje por flotación por la presencia del nivel Determinar el empuje por flotación por la presencia del nivel Determinar el empuje por flotación por la presencia del nivel
freático en la zapata de la columna mostrafreático en la zapata de la columna mostrafreático en la zapata de la columna mostrafreático en la zapata de la columna mostrada que corresponde al pilar de un da que corresponde al pilar de un da que corresponde al pilar de un da que corresponde al pilar de un
puente. La zapata tiene como dimensiones en planta 4.00m x 4.00m.puente. La zapata tiene como dimensiones en planta 4.00m x 4.00m.puente. La zapata tiene como dimensiones en planta 4.00m x 4.00m.puente. La zapata tiene como dimensiones en planta 4.00m x 4.00m.


Solución.Solución.Solución.Solución.----


La fuerza de empuje por flotación B es:

B = γV = 1 T/m³ (4m x 4m x 0.50m)
B = 8 T

donde:

V = volumen de agua que desplaza la zapata
γ = peso específico del agua

! ! ! !

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&
-07/-0
@(&#&%&&# 7/727/
@(&#$&1* 7/727/
&
B/-/B/
@(&#)&%(&&# 0-/0
&
-07/-0
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∑
∑
([ ] /0--/007-H
---
=+==Ι∑
∑
∑
3&%8( F9+F-/%
∑
∑
∑

∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
9-∑
9

7

-

,
HF70%
-/-/-/%
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Y-Y-
/2/ A/
F-/
HF70
HF/0
F
-/ A//2/
Y- Y-
-
F0/

F
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∑
00/
/0--
"07?/-
9

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





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) !=-+'&&)$&#$&()$&&"
∑
70/
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"/0?/-
9

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



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∑
0/
/0--
"/0?/-
9

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




−= ∑
∑
/0/
/0--
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9

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9
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

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−= ∑
∑∑
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PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
IV-1
SOLICITACIONES EN DISPOSITIVOS DE APOYOS
Apoyo semicubierto Apoyo recubierto
CAP IV:CAP IV:CAP IV:CAP IV:     DISPOSITIVOS DE APOYODISPOSITIVOS DE APOYODISPOSITIVOS DE APOYODISPOSITIVOS DE APOYO

1.1.1.1. DEFINICIÓNDEFINICIÓNDEFINICIÓNDEFINICIÓN
Son dispositivos ubicados entre la superestructura y la infraestructura de un puente
cuya función es transmitir cargas y posibilitar desplazamientos y rotaciones.
Las cargas incluyen el peso propio de la superestructura, cargas vehiculares, de
viento, sismo, frenado, fuerza centrífuga, entre otras. Los desplazamientos
transversales y longitudinales, y las rotaciones, resultan de la acción de estas cargas
así como de variaciones de temperatura, flujo plástico, retracción, fatiga, etc.

2. TIPOS DE DISPOSITIVOS2. TIPOS DE DISPOSITIVOS2. TIPOS DE DISPOSITIVOS2. TIPOS DE DISPOSITIVOS

Pueden ser clasificados como fijos y de expansión. Los fijos permiten rotaciones
pero restringen los movimientos translacionales. Los de expansión permiten
movimientos translacionales y rotaciones.

3333. APOYOS DE ELASTÓMERO. APOYOS DE ELASTÓMERO. APOYOS DE ELASTÓMERO. APOYOS DE ELASTÓMERO
Utilizan caucho natural o sintético (neopreno) que posibilita translaciones y
rotaciones, sustituyendo los complicados dispositivos tradicionales de rótulas y
péndulos de concreto armado o metálicos.
Son flexibles en cortante pero a la vez muy rígidos para los cambios volumétricos;
en compresión, se expanden lateralmente.
En puentes de tramos medio a corto, donde las cargas son bajas, es posible utilizar
elastómeros simples. Para cargas sustanciales es posible reforzar el elastómero con
acero (zunchos) o fibra de vidrio.
Los dispositivos de elastómero zunchados están conformados por capas de
neopreno y láminas de acero alternadas adheridas al caucho por vulcanización.

Dispositivos de elastómero Freyssinet
Los dispositivos de apoyo de elastómero zunchado Freyssinet poseen capas externas
de elastómero cuyo espesor es la mitad del espesor de las capas internas. Pueden
ser:

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IV-2
5
10
10
10
5
40 mm de
elastómero
4 zunchos de 3 mm
400 mm
400 mm
a)  Semi-recubiertos

Se realizan por cortes de placas madres de grandes dimensiones. Los cantos de
los zunchos son aparentes en las caras laterales y están protegidos contra la corrosión
con la ayuda de un revestimiento especial a base de resinas epóxicas.
Se designan por sus dimensiones en planta (mm) seguidas por el número de láminas
de elastómero y zunchos metálicos así como su espesor respectivo (mm).

Ej: Neopreno 400x400x4(10+3)

- Mide en planta 400 mm por 400 mm
- Contiene 3 capas de elastómero de 10 mm de espesor y 2 semielásticas externas
de 5 mm. El espesor total de elastómero es 40 mm.
- Contiene 4 zunchos metálicos de 3 mm. El espesor total del dispositivo es 52 mm.

b)   Recubiertos

Se realizan por moldeado individual. Los cantos no aparentes de los zunchos están
protegidos contra la corrosión por una capa de elastómero de 5 mm de espesor
medio, vulcanizado en la fabricación.
Se designan por sus dimensiones en planta (mm) seguidas por el espesor total
(mm). La denominación de un apoyo recubierto de la misma constitución y dimensiones
en planta que el ejemplo anterior, es 400x400x52.

Espesores de placas de elastómero y de zunchos (acero dulce) usuales:

t
elastóm (mm) t
zuncho (mm)
8 2
10 3
12 3
15 4

Se brinda a continuación datos técnicos de dispositivos de apoyo standard
Freyssinet semirecubiertos:

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IV-3

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IV-4

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IV-6

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IV-7
4. ESPECIFICACIONES AASHTO LRFD4. ESPECIFICACIONES AASHTO LRFD4. ESPECIFICACIONES AASHTO LRFD4. ESPECIFICACIONES AASHTO LRFD
De los métodos A y B propuestos por las Especificaciones, el Método A brinda
por limitaciones de esfuerzo, apoyos de menor capacidad que los diseñados con el
Método B. Sin embargo, aquellos diseñados por el Método B requieren de pruebas y
control de calidad adicionales).

Apoyos de Elastómero Reforzados con Acero – MÉTODO B (Art. 14.7.5 AASHTO
LRFD)

Los apoyos de elastómero reforzados con acero contendrán capas alternadas de
elastómero y acero de refuerzo. Estos apoyos podrán así mismo agregar a éstas,
placas externas de acero en la parte superior e inferior.
Las capas superior e inferior de elastómero tendrán grosores no mayores que el
70% del grosor de las capas internas.
El factor de forma de una capa S
i, resulta de dividir el área plana del elastómero
por el área del perímetro. Para apoyos rectangulares sin agujeros, el factor de forma
de una capa es:

)WL(h2
LW
S
ri
i
+
= (14.7.5.1-1)
donde:
L = longitud del apoyo de elastómero rectangular (paralelo al eje longitudinal del
puente)
W = ancho del apoyo, en dirección transversal
h
ri = grosor de la capa i-ésima de elastómero en el apoyo

Para apoyos circulares sin agujeros, el factor de forma de una capa es:
ri
i
h4
D
S= (14.7.5.1-2)

Propiedades del Material (Art. 14.7.6.2)
La escala de dureza puede usarse para especificar el material de apoyo. El
módulo de corte G varía entre 6.12 y 17.84 kg/cm
2
y la dureza nominal entre 50 y
70. Si el material se especifica por su dureza, el módulo de corte se toma como el
menos favorable del rango dado en la Tabla 14.7.6.2-1; valores intermedios pueden
tomarse por interpolación. Se precisan también valores de deflexión por escurrimiento
plástico (creep).
Para apoyos de elastómero reforzado con acero, el módulo de corte G varía
entre 6.12  y 13.26 kg/cm
2
y dureza nominal en la escala Shore A, entre 50 y 60. Se
usa como base la temperatura de 23º C.

Tabla 14.7.6.2Tabla 14.7.6.2Tabla 14.7.6.2Tabla 14.7.6.2----1 Propiedades del Material1 Propiedades del Material1 Propiedades del Material1 Propiedades del Material
Dureza (Shore A)
50 60 70
1

Módulo de Corte  G (kg/cm
2
)
a 23ºC
6.73-9.18 9.18-14.07 14.07-21.11
Escurrimiento plástico (creep)
a 25 años dividido por la
deflexión inicial
0.25 0.35 0.45
1
Solo para PEP (apoyos de elastómero simples) y FGP (apoyos reforzados con capas discretas de fibra
de vidrio).

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IV-8
Deflexiones por Compresión
La Fig. siguiente permite determinar la deformación en una capa de elastómero
en dispositivos con refuerzo de acero, basados en la dureza y el factor de forma.


Fig. C14.7.6.3.3Fig. C14.7.6.3.3Fig. C14.7.6.3.3Fig. C14.7.6.3.3----1 Curvas Esfuerzo 1 Curvas Esfuerzo 1 Curvas Esfuerzo 1 Curvas Esfuerzo ----    DeformaciónDeformaciónDeformaciónDeformación

Requerimientos de Diseño
Esfuerzo de Compresión
En cualquier capa de elastómero, el esfuerzo de compresión promedio en el
estado límite de servicio cumplirá:
• Para apoyos sujetos a deformación por cortante:

2
s
cm/kg112GS66.1 ≤≤σ (14.7.5.3.2-1)
GS66.0
L≤σ (14.7.5.3.2-2)

• Para apoyos fijados contra la deformación por cortante:
2
s
cm/kg122GS2 ≤≤σ (14.7.5.3.2-3)
GS
L
≤σ    (14.7.5.3.2-4)
donde:
=σ
s
esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga total
=
Lσesfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga viva
G  = módulo de cortante del elastómero
S  = factor de forma de la capa más gruesa del elastómero

Deformación por Cortante
El desplazamiento horizontal máximo de la superestructura de puente
o∆, será
tomado como 65% del rango de movimiento termal de diseño
T∆, incluyendo los
movimientos causados por escurrimiento plástico del concreto (creep), acortamiento y
postensado.
La deformación máxima por cortante del apoyo en el estado límite de servicio
s∆, se tomará como
o∆, modificado para tener en cuenta la rigidez de la sub-
estructura y el proceso constructivo. Si una superficie deslizante de baja fricción está

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IV-9
instalada,
s∆ no será mayor que la deformación correspondiente al primer
deslizamiento.
El apoyo cumplirá con:

srt
2h ∆≥     (14.7.5.3.4-1)

donde:
=
rth   grosor total del elastómero
=
s∆ deformación por cortante total máxima del elastómero en estado límite de
servicio

Compresión y Rotación Combinados
En el estado límite de servicio, las rotaciones se toman como la suma de
efectos máximos de la pérdida inicial de paralelismo y la subsiguiente rotación de
extremo de la viga debido a las cargas y movimientos actuantes.
Los apoyos se diseñan para la no ocurrencia de levantamientos bajo cualquier
combinación de carga y las rotaciones correspondientes.
Los apoyos rectangulares satisfacen requerimientos de levantamiento si:

2
ri
s
s
h
B
n
GS













θ
>σ    (14.7.5.3.5-1)

Apoyos rectangulares con deformación por cortante cumplirán:























−<
2
ri
s
s
h
B
n
20.01GS875.1
θ
σ
(14.7.5.3.5-2)

Apoyos rectangulares fijos contra la deformación por cortante cumplirán:























−<
2
ri
s
s
h
B
n
167.01GS25.2
θ
σ

(14.7.5.3.5-3)
donde:
n =   número de capas interiores del elastómero. Se definen capas exteriores  como
aquellas que están ligadas sólo por una cara. Cuando el grosor de una capa
exterior es mayor que la mitad de una interior, n se incrementará en ½ por cada
capa exterior.
rih =   grosor de la capa i-ésima del elastómero
sσ =   esfuerzo en el elastómero
B   = longitud del elastómero si la rotación es alrededor de su eje transversal o
ancho del mismo si la rotación es alrededor de su eje longitudinal
sθ =   rotación de servicio máxima debido a la carga total (radianes)

Los apoyos circulares serán satisfactorios a los requerimientos de
levantamiento si cumplen:

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IV-10

2
ri
s
s
h
D
n
GS75.0














>
θ
σ (14.7.5.3.5-4)

Los apoyos circulares sujetos a deformación por cortante cumplirán:























−<
2
ri
s
s
h
D
n
15.01GS5.2
θ
σ

(14.7.5.3.5-5)

Los apoyos circulares fijados contra la deformación por cortante cumplirán:























−<
2
ri
s
s
h
D
n
125.01GS3
θ
σ

(14.7.5.3.5-6)
donde:

sθ=   rotación de servicio máxima debido a la carga total (radianes)
D  =   diámetro del elastómero

Estabilidad del Apoyo de Elastómero

Los apoyos serán investigados por inestabilidad en el estado límite de servicio,
con combinaciones de carga como lo especificado en la Tabla 3.4.1-1.
Los apoyos se considerarán estables si satisfacen:

BA2≤ (14.7.5.3.6-1)
donde:

W
L2
1
L
h
92.1
A
rt
+
=    (14.7.5.3.6-2)







++
=
W4
L
1)2S(
67.2
B (14.7.5.3.6-3)

G  =   módulo de cortante del elastómero
L  =    longitud del apoyo de elastómero rectangular (paralelo al eje longitudinal del
puente)
W =   ancho del apoyo en la dirección transversal

Para un apoyo rectangular donde L es mayor que W, la estabilidad se investigará
intercambiando L y W en las Ecuaciones 2 y 3.
Para apoyos circulares, la estabilidad se investigará usando las ecuaciones de un
apoyo cuadrado, con W = L = 0.8D.
Para apoyos rectangulares que no cumplen la Ecuación 1, el esfuerzo debido a la
carga total cumplirá con las Ecuaciones 4 ó 5:

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IV-11
• Si la cubierta de puente es libre para desplazarse horizontalmente:
BA2
GS
s
−
≤σ (14.7.5.3.6-4)

• Si la cubierta del puente es fija al desplazamiento horizontal:
BA
GS
s
−
≤σ (14.7.5.3.6-5)
Un valor negativo o infinito de la Ecuación 5 indica que el apoyo es estable y no
depende de σ
S .
Si   0BA ≤− , el apoyo es estable y no depende de σ
S .

Refuerzo
El grosor del refuerzo de acero, h
s, cumplirá:
• En el estado límite de servicio:

y
Smáx
s
F
h3
h
σ
≥ (14.7.5.3.7-1)
• En el estado límite de fatiga:

TH
Lmáx
s
F
h2
h
∆
≥
σ (14.7.5.3.7-2)
donde:
TH
F∆= constante de amplitud de fatiga crítica para Categoría A, como se especifica
en Artículo 6.6
h
máx  = grosor de la capa de elastómero más gruesa en el apoyo
σ
L    = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga viva
σ
S    = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga total
F
y     = resistencia de fluencia del acero de refuerzo
Si existen agujeros en el refuerzo, el grosor mínimo se incrementará por un
factor igual a dos veces el ancho grueso dividido por el ancho neto.

Constante de Amplitud de Fatiga Crítica (∆F)
TH

Tabla 6.6.1.2.5-3 AASHTO LRFD
Categoría (∆F)
TH
(kg/cm
2
)
A 1683
B 1122
B’ 843
C 704
C’ 843
D 493
E 316
E’ 183
Pernos en Tensión Axial
M 164M(A 325M)
2182
Pernos en Tensión Axial
M 253M(A 490M)
2672



La
Categoría A
corresponde a miembros
planos laminados con
bordes cortados con llama
de gas y 0.025 mm de
alisamiento o menos, según
AASHTO/AWS D1.5M/D1.5
(Sección 3.2.2)

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IV-12
PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS

PROBLEMA IV.1PROBLEMA IV.1PROBLEMA IV.1PROBLEMA IV.1
    Diseñar un dispositivo de apoyo de elastómero reforzado con acero Diseñar un dispositivo de apoyo de elastómero reforzado con acero Diseñar un dispositivo de apoyo de elastómero reforzado con acero Diseñar un dispositivo de apoyo de elastómero reforzado con acero
para un apoyo fijo de un puente sobre el que inciden 72 T por carga muerta y 58 T por para un apoyo fijo de un puente sobre el que inciden 72 T por carga muerta y 58 T por para un apoyo fijo de un puente sobre el que inciden 72 T por carga muerta y 58 T por para un apoyo fijo de un puente sobre el que inciden 72 T por carga muerta y 58 T por
carga viva. El ancho de viga es de 0.50 m carga viva. El ancho de viga es de 0.50 m carga viva. El ancho de viga es de 0.50 m carga viva. El ancho de viga es de 0.50 m y la rotación máxima del extremo de viga en y la rotación máxima del extremo de viga en y la rotación máxima del extremo de viga en y la rotación máxima del extremo de viga en
carga de servicio es 0.007 radianes. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcarga de servicio es 0.007 radianes. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcarga de servicio es 0.007 radianes. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcarga de servicio es 0.007 radianes. El elastómero tiene G = 12 kg/cm
2 2 2 2
y placas de y placas de y placas de y placas de
refuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (F
yyyy    = 2531 kg/cm= 2531 kg/cm= 2531 kg/cm= 2531 kg/cm
2222
). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


a) Área del Elastómero

P
D =  72,000 kg
P
L =  58,000 kg
P
T = 130,000 kg

Esfuerzo de compresión por carga total en servicio en apoyos fijos:

2
s
cm/kg122GS2 ≤≤σ (14.7.5.3.2-3)

Luego:
2
2
S
T
req
cm1066
cm/kg122
kg000,130P
A ===
σ

Para el ancho de viga b= 50 cm, escogemos W = 50 cm

cm21
cm50
cm1066
L
2
== (a lo largo de la longitud de viga)
El apoyo a lo largo de la longitud de viga debe ser tan corto como sea práctico para
permitir la rotación alrededor del eje transversal, y lo suficiente como para estabilizar la
viga durante su erección.

Adoptado L = 25 cm y W = 50 cm (Área = 1250 cm
2
> 1066 cm
2
)

b) Factor de Forma S Mínimo

Carga Total

Con
2
s
cm/kg122GS2 ≤≤σ (14.7.5.3.2-3)

33.4
cm/kg12x2
cm/kg104
G2
S
2
2
S
T
==
σ
≥ (1)
siendo:

G = 12 kg/cm
2
(Art. 14.7.6.2)

2
2
T
s cm/kg104
cm25x50
kg000,130
A
P
===σ

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IV-13
Carga Viva

Con GS
L
≤σ    (14.7.5.3.2-4)

87.3
cm/kg12
cm/kg40.46
G
S
2
2
L
L
==
σ
≥ (2)

siendo:

G = 12 kg/cm
2
(Art. 14.7.5.2)

2
2
req
L
L
cm/kg40.46
cm25x50
kg000,58
A
P
===σ

De (1) y (2) el factor de forma mínimo es: S = 4.33

c) Grosor de una capa interior del elastómero (h
ri)

Como
)WL(h2
LW
S
ri
i
+
≥
)WL(S2
LW
h
i
ri
+
≤→ (14.7.5.1-1)

Para carga total:

cm92.1
)cm50cm25)(33.4(2
)cm50(cm25
h
ri =
+
≤

Para carga viva:

cm15.2
)cm50cm25)(87.3(2
)cm50(cm25
h
ri =
+
≤

Grosor de capa interior adoptado:  h
ri = 1.50 cm ( 15 mm)

Con este grosor de capa interior, el factor de forma es:

33.456.5
)cm50cm25)(50.1(2
)cm50)(cm25(
S >=
+
= OK!

d) Número de capas interiores de elastómero (n)

Compresión y rotación combinados:

2
ri
s
s
h
B
n
GS













θ
>σ
2
ris
s
h
BGS
n
















>→
σ
θ
(14.7.5.3.5-1)

Con rad007.0
S
=θ

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
IV-14
25.1
50.1
25
cm/kg104
007.0x56.5xcm/kg12
n
2
2
2
=












>























−<
2
ri
s
s
h
B
n
167.01GS25.2
θ
σ

(14.7.5.3.5-3)







−
σ








−>
1
GS25.2
h
B
167.0n
S
2
ri
sθ

06.1
1
)56.5)(12(25.2
104
50.1
25
)007.0(167.0n
2
=






−






−>

Luego, adoptamos n = 2. Se usarán 2 capas interiores de 15 mm c/u. Así mismo,
capas exteriores de 8 mm (8 mm < 70% 15 mm, Art. 14.7.5.1)
El grosor total es mm46)mm8(2)mm15(2h
rt
=+= de elastómero.

e) Estabilidad del Elastómero

W
L2
1
L
h
92.1
A
rt
+
=
(14.7.5.3.6-2)

25.0
cm50
)cm25(2
1
cm25
cm60.4
92.1
A =
+
=







++
=
W4
L
1)2S(
67.2
B (14.7.5.3.6-3)

31.0
)cm50(4
cm25
1)256.5(
67.2
B =








++
=

El apoyo será estable si:

BA2≤ (14.7.5.3.6-1)

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
IV-15
8
15
15
8
52 mm
3 zunchos de 2 mm
500 mm
250 mm
Dirección del tráfico
2(0.25) = 0.50 > 0.31 N.S.

Sin embargo, si   0BA ≤− , el apoyo es estable y no depende de σ
S :

A – B = 0.25 – 0.31 = -0.06 < 0, luego el apoyo es estable.

f) Cálculo de placas de refuerzo en el elastómero

En el estado límite de servicio:

y
Smáx
s
F
h3
h
σ
≥    (14.7.5.3.7-1)

cm185.0
cm/kg2531
)cm/kg104)(cm50.1(3
h
2
2
s
=≥

En el estado límite de fatiga:

TH
Lmáx
s
F
h2
h
∆
≥
σ
   (14.7.5.3.7-2)

∆F
TH = 1683 kg/cm
2
  (Categoría A) (Tabla 6.6.1.2.5-3)

cm083.0
cm/kg1683
)cm/kg40.46)(cm50.1(2
h
2
2
s
=≥

Adoptamos h
s = 2 mm > 1.85 mm

Se usarán 3 placas de 2 mm, y el espesor total del apoyo será:

46 mm + 3 (2 mm) = 52 mm

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IV-16
PROBLEMA IV.I1PROBLEMA IV.I1PROBLEMA IV.I1PROBLEMA IV.I1     Diseñar un dispositivo de elastómero de expansión reforzado con Diseñar un dispositivo de elastómero de expansión reforzado con Diseñar un dispositivo de elastómero de expansión reforzado con Diseñar un dispositivo de elastómero de expansión reforzado con
acero para un apoyo de puente sobre el que inciden 70 T por carga muerta y 22 Tacero para un apoyo de puente sobre el que inciden 70 T por carga muerta y 22 Tacero para un apoyo de puente sobre el que inciden 70 T por carga muerta y 22 Tacero para un apoyo de puente sobre el que inciden 70 T por carga muerta y 22 T    por por por por
carga viva. La longitud de viga es 30 m, su ancho 0.45 m y la rotación máxima del carga viva. La longitud de viga es 30 m, su ancho 0.45 m y la rotación máxima del carga viva. La longitud de viga es 30 m, su ancho 0.45 m y la rotación máxima del carga viva. La longitud de viga es 30 m, su ancho 0.45 m y la rotación máxima del
extremo de viga en carga de servicio es 0.010 radianes. Así mismo, la variación máxima extremo de viga en carga de servicio es 0.010 radianes. Así mismo, la variación máxima extremo de viga en carga de servicio es 0.010 radianes. Así mismo, la variación máxima extremo de viga en carga de servicio es 0.010 radianes. Así mismo, la variación máxima
por temperatura es 20º C, el acortamiento por postensado 1.0 cm, y el debido a la por temperatura es 20º C, el acortamiento por postensado 1.0 cm, y el debido a la por temperatura es 20º C, el acortamiento por postensado 1.0 cm, y el debido a la por temperatura es 20º C, el acortamiento por postensado 1.0 cm, y el debido a la
contracción del concreto 0.2 cm. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcontracción del concreto 0.2 cm. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcontracción del concreto 0.2 cm. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcontracción del concreto 0.2 cm. El elastómero tiene G = 12 kg/cm
2 2 2 2
y placas de y placas de y placas de y placas de
refuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (F
yyyy    = 2531 kg/cm= 2531 kg/cm= 2531 kg/cm= 2531 kg/cm
2222
). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


a) Área del Elastómero

P
D = 70,000 kg
P
L = 22,000 kg
P
T = 92,000 kg

Esfuerzo de compresión por carga total en servicio en apoyos de expansión

2
s
cm/kg112GS66.1 ≤≤σ (14.7.5.3.2-1)

Luego:
2
2
S
T
req cm821
cm/kg112
kg000,92P
A ===
σ

Para el ancho de viga b= 45 cm, escogemos W = 45 cm

cm2.18
cm45
cm821
L
2
== (a lo largo de la longitud de viga)

Adoptado L = 20 cm y W = 45 cm (Área = 900 cm
2
> 821 cm
2
)

b) Factor de Forma S Mínimo

Carga Total

Con
2
s
cm/kg112GS66.1 ≤≤σ    (14.7.5.3.2-1)

13.5
cm/kg12x66.1
cm/kg22.102
G66.1
S
2
2
S
T
==
σ
≥ (1)

siendo:

G = 12 kg/cm
2
(Art. 14.7.6.2)

2
2
T
s cm/kg22.102
cm45x20
kg000,92
A
P
===σ

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IV-17
Carga Viva

Con GS66.0
L
≤σ (14.7.5.3.2-2)

04.2
cm/kg12
cm/kg44.24
G
S
2
2
L
L
==
σ
≥ (2)

siendo:

G = 12 kg/cm
2
(Art. 14.7.5.2)

2
2
L
L cm/kg44.24
cm45x20
kg000,22
A
P
===σ

De (1) y (2) el factor de forma mínimo es: S = 5.13

c) Grosor de una capa interior del elastómero (h
ri)

Como
)WL(h2
LW
S
ri
i
+
≥
)WL(S2
LW
h
i
ri
+
≤→ (14.7.5.1-1)

Para carga total:

cm35.1
)cm45cm20)(13.5(2
)cm45(cm20
h
ri =
+
≤

Para carga viva:

cm39.3
)cm45cm20)(04.2(2
)cm45(cm20
h
ri =
+
≤

Grosor de capa interior adoptado:  h
ri = 1.20 cm  (12 mm)

Con este grosor de capa interior, el factor de forma es:

13.577.5
)cm45cm20)(20.1(2
)cm45)(cm20(
S >=
+
= OK!

d) Número de capas interiores de elastómero (n)

Compresión y rotación combinados:

2
ri
s
s
h
B
n
GS













θ
>σ
2
ris
s
h
BGS
n
















>→
σ
θ
(14.7.5.3.5-1)

Con rad010.0
S
=θ

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IV-18
88.1
20.1
20
cm/kg22.102
010.0x77.5xcm/kg12
n
2
2
2
=













>























−<
2
ri
s
s
h
B
n
20.01GS875.1
θ
σ

(14.7.5.3.5-2)







−
σ








−>
1
GS875.1
h
B
20.0n
S
2
ri
sθ

61.2
1
)77.5)(12(875.1
22.102
20.1
20
)010.0(20.0n
2
=






−






−>

Luego, adoptamos n = 3. Se usarán 3 capas interiores de 12 mm c/u y capas
exteriores de 6 mm (6 mm < 70% 12 mm, Art. 14.7.5.1).

e) Grosor total del Elastómero

El grosor total del elastómero es mm48)mm6(2)mm12(3h
rt
=+=

Acortamiento de viga

Por temperatura
α = 10.8x10
-6
/ º C (concreto)
∆t = 20º C
L = 30 m

cm65.0cm3000xC20x
C
10
x8.10
o
o
6
temp
==∆
−

Por postensado

cm0.1
post
=∆

Por contracción de fragua

cm2.0
contrac=∆

Con γ = 1.2 (Tabla 3.4.1-1)
Acortamiento total de viga:

)(
contracposttempT
∆+∆+∆γ=∆ = 1.2(0.65 cm + 1.0 cm + 0.2 cm) = 2.22 cm

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IV-19
L/2
Como
srt
2h ∆≥     (14.7.5.3.4-1)

!OKcm44.4)cm22.2(22cm80.4h
srt
==∆≥=

f) Capacidad Rotacional del Apoyo

Deflexión instantánea por compresión

Con 77.5S),MPa02.10(cm/kg22.102
2
s
==σ

De la Fig.:  ε
i = 0.062

Como ∑ε=δ
rii
h (14.7.5.3.3-1)

= 4(0.062)(1.20 cm) = 0.298 cm

Capacidad rotacional del apoyo

!OKrad010.0rad0298.0
cm20
)cm298.0(2
L
2
2/L
máx =θ>==
δ
=
δ
=θ

h) Estabilidad del Elastómero

W
L2
1
L
h
92.1
A
rt
+
=    (14.7.5.3.6-2)

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IV-20
34.0
cm45
)cm20(2
1
cm20
cm80.4
92.1
A =
+
=







++
=
W4
L
1)2S(
67.2
B (14.7.5.3.6-3)

31.0
)cm45(4
cm20
1)277.5(
67.2
B =








++
=

El apoyo será estable si:

BA2≤ (14.7.5.3.6-1)

2(0.34) = 0.68 > 0.31 N.S.

Los apoyos rectangulares que no cumplen la ecuación anterior, deben cumplir:

BA2
GS
s
−
≤σ (14.7.5.3.6-4)

2
2
2
s
cm/kg14.187
)31.0()34.0(2
)77.5)(cm/kg12(
cm/kg22.102 =
−
≤=σ OK!

g) Cálculo de placas de refuerzo en el elastómero

En el estado límite de servicio:

y
Smáx
s
F
h3
h
σ
≥    (14.7.5.3.7-1)

cm145.0
cm/kg2531
)cm/kg22.102)(cm20.1(3
h
2
2
s =≥

En el estado límite de fatiga:

TH
Lmáx
s
F
h2
h
∆
≥
σ
   (14.7.5.3.7-2)

∆F
TH = 1683 kg/cm
2
       (Tabla 6.6.1.2.5-3)

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IV-21
Dirección del tráfico
56 mm
12
4 zunchos de 2 mm
12
6
200 mm
6
450 mm
12
cm035.0
cm/kg1683
)cm/kg44.24)(cm20.1(2
h
2
2
s =≥

Adoptamos h
s = 2 mm = 0.2 cm > 0.145 cm

Se usarán 4 placas de 2 mm, y el espesor total del apoyo será:

48 mm + 4(2 mm) = 56 mm

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V-1
H/12 ~ H/6
(mín 0.20 m)
H/12 (mín 0.30 m)
B = (
1
2)H ~ (
2
3)H
H/6 ~ H/8
H
N
Estribo de gravedad
  (concreto simple)
Punta Talón
Cajuela
Pantalla
verticalContrafuerte
Zapata
Estribo en voladizo
(concreto armado)
Estribo con pantalla y contrafuerte
         (concreto armado)
CajuelaCajuela
CAP V:CAP V:CAP V:CAP V:     ESTRIBOSESTRIBOSESTRIBOSESTRIBOS

1.1.1.1.     ESTRIBOSESTRIBOSESTRIBOSESTRIBOS
Son estructuras que sirven de apoyo extremo al puente y que además de soportar
la carga de la superestructura, sirven de contención de los terraplenes de acceso y
por consiguiente están sometidos al empuje de tierra.
Los estribos, como son muros de contención, pueden ser de concreto simple
(estribos de gravedad), concreto armado (muros en voladizo o con pantalla y
contrafuertes), etc.

2.2.2.2.     PREPREPREPRE----DIMENSIONAMIENTO DE ESTRIBOSDIMENSIONAMIENTO DE ESTRIBOSDIMENSIONAMIENTO DE ESTRIBOSDIMENSIONAMIENTO DE ESTRIBOS


a) De gravedad (concreto simple)

Los estribos de gravedad son macizos que utilizan su propio peso para resistir las
fuerzas laterales debido al empuje del terreno y otras cargas. No necesitan
refuerzo y son adecuados cuando el terreno es de buena capacidad portante y la
altura a cubrir no es superior a 6 metros. No son admitidas tracciones en cualquier
sección del estribo.

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V-2
H
B = (
1
2)H ~ (
2
3)H
B/3H/12
H/12
H/24 (mín 0.30 m)
mín 0.20 m
N
Los anchos mínimos de cajuelas (2.11.2, Manual de Diseño de Puentes, Ministerio
de Transportes y Comunicaciones, Perú) se determinan eligiendo el mayor de los
valores obtenidos entre calcular los máximos desplazamientos o como un porcentaje
del ancho empírico de la cajuela N determinado por la ecuación:

)S000125.01)('H0067.0L0017.0200(N
2
+++=

donde:
N = longitud mínima (empírica) de la cajuela, medida normalmente a la línea central
del apoyo (mm).
L =  distancia del tablero del puente a la junta de expansión adyacente ó al final del
tablero del puente (mm). Para articulaciones entre luces, L debe tomarse como
la suma de la distancia a ambos lados de la articulación. Para puentes de un
solo tramo L es igual a la longitud del tablero del puente (mm).
H’ = para estribos, la altura promedio de las columnas que soportan al tablero del
puente hasta la próxima junta de expansión. Para columnas y/o pilares, la altura
del pilar o de la columna. Para articulaciones dentro de un tramo, la altura
promedio entre dos columnas ó pilares adyacentes (mm).
   = 0, para puentes simplemente apoyados.
S = desviación del apoyo medido desde la línea normal al tramo (°).

b) En voladizo (concreto armado)
Son económicos cuando su altura está entre 4 y 10 metros. Adecuados en
la presencia de terreno de baja capacidad portante y cuando los agregados
son escasos o el transporte de los mismos no es económico.

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V-3
B = (
1
2
)H ~ (
2
3
)H
H/12B/3
H/24 (mín 0.30 m)
mín 0.20 m
H
H/12
Contrafuertes, e=0.20 (mín)
separación: H/3~2H/3
N
c)   Estribos con pantalla y contrafuertes (concreto armado)
En este caso la pantalla vertical no se encuentra en voladizo sino mas bien
apoyada en los contrafuertes y el cimiento.

3. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD3. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD3. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD3. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD

EH: Empuje horizontal del suelo
ES: sobrecarga de suelo
LS: sobrecarga viva
DD: fricción negativa

El empuje del suelo se deberá considerar en función de los siguientes factores:
tipo y densidad del suelo, contenido de agua, características de fluencia lenta del
suelo, grado de compactación, ubicación del nivel freático, interacción suelo-
estructura, cantidad de sobrecarga, efectos sísmicos, pendiente del relleno, e
inclinación del muro.

Empuje lateral del sueloEmpuje lateral del sueloEmpuje lateral del sueloEmpuje lateral del suelo....----
Se asumirá como:
p = kγ
sgz (10
-6
)
donde:
p =   empuje lateral del suelo (MPa)
k =   coeficiente de empuje lateral, tomado como k
o para muros que no se
deforman ni se mueven, k
a para muros que se deforman o mueven lo suficiente
para alcanzar la condición mínima activa, o k
p para muros que se deforman o
mueven lo suficiente para alcanzar una condición pasiva.
γ
s =  densidad del suelo (kg/m
3
)
z =   profundidad del suelo debajo de la superficie (m)
g =  aceleración de la gravedad (m/s
2
)

Se asumirá que la carga del suelo lateral resultante debida al peso del relleno
actúa a una altura igual a H/3 desde la base del muro, siendo H la altura total del
muro.

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V-4
[ ] )(sen.sen
)'(sen
k
2
f
2
a
δ−θθΓ
φ+θ
=
2
ff
)(sen).(sen
)'(sen).'(sen
1 





β+θδ−θ
β−φδ+φ
+=Γ
)
2
Ø
45(tgk
2
a −=
Coeficiente de Empuje Lateral en Reposo, kCoeficiente de Empuje Lateral en Reposo, kCoeficiente de Empuje Lateral en Reposo, kCoeficiente de Empuje Lateral en Reposo, k
oooo

Para suelos normalmente consolidados, muro vertical y terreno nivelado, el
coeficiente de empuje lateral en reposo se puede tomar como:

k
o = 1 - senφ '
f

Para suelos sobreconsolidados:

k
o = (1 - senφ'
f)
f'sen
)OCR(
φ

donde:
φ'
f    = ángulo efectivo de fricción del suelo
k
o     = coeficiente de empuje lateral del suelo en reposo
OCR = relación de sobreconsolidación

Coeficiente de Empuje Coeficiente de Empuje Coeficiente de Empuje Coeficiente de Empuje Lateral Activo, kLateral Activo, kLateral Activo, kLateral Activo, k
aaaa

(3.11.5.3-1)

donde:

(3.11.5.3-2)

δ  = ángulo de fricción entre relleno y muro (ver Tabla 3.11.5.3-1)
β  = ángulo que forma la superficie del relleno respecto de la horizontal
θ  = ángulo que forma el respaldo del muro respecto de la horizontal
φ'
f    = ángulo efectivo de fricción interna

Notar que para δ = β = 0, θ  =90°, el valor k
a de las expresiones anteriores
(teoría de de Coulumb) es:

                         (teoría de Rankine)

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V-5
 

 

δ+θθΓ
φ−θ
=
)(sen.
2
sen'
)
f
'(
2
sen
p
k
2
ff
)(sen).(sen
)'(sen).'(sen
1 





β+θδ+θ
β+φδ+φ
−=Γ
































Coeficiente de Empuje Lateral Pasivo, kCoeficiente de Empuje Lateral Pasivo, kCoeficiente de Empuje Lateral Pasivo, kCoeficiente de Empuje Lateral Pasivo, k
pppp

El coeficiente de presión activa de Coulomb es:

                                               con

Sin embargo, conforme el valor de
d crece, el método de cálculo de Coulomb da
valores erróneos crecientes de P
p .

El Reglamento AASHTO adopta el siguiente método introducido por Caquot y Kerisel:

-
Para suelos no cohesivos, los valores del coeficiente de empuje lateral pasivo se
pueden tomar de la Figuras 3.11.5.4-1.
-
Para suelos cohesivos, los empujes pasivos se pueden estimar con:

p
6
spp
kc2)10(gzkP +=
−
γ

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V-6
donde:

P
p = empuje lateral pasivo del suelo (MPa)
γ
s = densidad del suelo (kg/m
3
)
z  = profundidad debajo del suelo (m)
c  = cohesión del suelo (MPa)
g  = aceleración de la gravedad (m/s
2
)
k
p = coeficiente de empuje lateral pasivo del suelo (ver Fig. 3.11.5.4-1)

Método del Fluido Equivalente para Estimar Empujes Laterales de Rankine.Método del Fluido Equivalente para Estimar Empujes Laterales de Rankine.Método del Fluido Equivalente para Estimar Empujes Laterales de Rankine.Método del Fluido Equivalente para Estimar Empujes Laterales de Rankine.----


El empuje básico del suelo p (kg/m
2
) se puede tomar como:

)10(gzp
6
eq
−
=γ
γ
eq = densidad de fluido equivalente del suelo, no inferior a 480 kg/m
3

z   = profundidad debajo de la superficie del suelo (m)
g  = aceleración de la gravedad (m/s
2
)

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V-7
Se asume que la carga lateral del suelo resultante debida al peso del relleno
actúa a una altura igual a H/3 de la base del muro, siendo H la altura total del muro
medida desde la superficie del terreno hasta el fondo de la zapata.
Los valores típicos para densidades de fluido equivalente en muros de altura no
mayor a 6.0 m se pueden tomar:

Valores típicos para las densidades de fluido equivalente de los suelosValores típicos para las densidades de fluido equivalente de los suelosValores típicos para las densidades de fluido equivalente de los suelosValores típicos para las densidades de fluido equivalente de los suelos
(Tabla 3.11.5.5(Tabla 3.11.5.5(Tabla 3.11.5.5(Tabla 3.11.5.5----1)1)1)1)
Tipo de suelo Relleno de superficie
horizontal
Relleno con β=25°

En reposo
γ
eq (kg/m
3
)
Activo
U/H=1/240
γ
eq (kg/m
3
)

En reposo
γ
eq (kg/m
3
)
Activo
U/H=1/240
γ
eq (kg/m
3
)
Arena o grava suelta 880 640 1040 800
Arena o grava de densidad media 800 560 960 720
Arena o grava densa 720 480 880 640

siendo:

∆  = movimiento de la parte superior del muro requerido para llegar al mínimo empuje
activo o máximo empuje pasivo por rotación o traslación lateral (mm)
H  = altura del muro (m)
β  = ángulo del relleno respecto de la horizontal.

La magnitud de la componente vertical del empuje del suelo resultante P
v (N/m) para el
caso de relleno de superficie inclinada se puede determinar como:

β=tanPP
hv

donde:
2
eqh
gH5.0=P γ

Sobrecarga Viva (LS)Sobrecarga Viva (LS)Sobrecarga Viva (LS)Sobrecarga Viva (LS)
....----
Se deberá aplicar una sobrecarga viva si se anticipa que habrá cargas vehiculares
actuando sobre la superficie del relleno en una distancia igual a la mitad de la altura del
muro detrás del paramento posterior del muro.

Altura de suelo equivalente para carga vehicular sobre estribos perpendiculares al tráficoAltura de suelo equivalente para carga vehicular sobre estribos perpendiculares al tráficoAltura de suelo equivalente para carga vehicular sobre estribos perpendiculares al tráficoAltura de suelo equivalente para carga vehicular sobre estribos perpendiculares al tráfico
Tabla 3.11.6.4Tabla 3.11.6.4Tabla 3.11.6.4Tabla 3.11.6.4----1111
Altura del estribo (m) h
eq (m)
1.5 1.2
3.0 0.9
≥6.0 0.6

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V-8
4444....     CARGAS DE DISEÑOCARGAS DE DISEÑOCARGAS DE DISEÑOCARGAS DE DISEÑO

Las cargas a considerar, en general son:
a)
Cargas verticales de la superestructura, correspondiente a las reacciones de la
carga muerta y viva. No se toma en cuenta el efecto de impacto.
b)
El peso propio del estribo y del relleno.
c)
El empuje del terreno más el efecto de sobrecarga sobre el terreno
d)
Viento ejercido sobre la estructura y sobre la carga viva, que se transmite a
través del apoyo fijo.
e)
Fuerza por el empuje dinámico de las aguas y la fuerza de flotación.
f)
Fuerza longitudinal que se transmiten a través del apoyo fijo debido al frenado
de vehículos
g)
Fuerza centrífuga, en el caso de puentes curvos
h)
Fuerza sísmica de la superestructura y de la infraestructura.

5555....     CONSIDERACIONES PARA LA ESTABILIDADCONSIDERACIONES PARA LA ESTABILIDADCONSIDERACIONES PARA LA ESTABILIDADCONSIDERACIONES PARA LA ESTABILIDAD

Los estribos y muros de sostenimiento se deben dimensionar de manera de
asegurar su estabilidad contra las fallas por vuelco, deslizamiento y presiones en la
base (11.6.3.1).

A.A.A.A.
Vuelco – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo

Se debe calcular la excentricidad de la resultante alrededor del punto A en la base
del estribo. Las fuerzas y momentos que resisten el vuelco se usan con factores de
carga
γ mínimos (caso de cargas tipo DC, DW, EV, etc.). Las fuerzas y momentos

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V-9
que causan vuelco se usan con factores de carga γ máximos (caso de cargas EH y
otras).

Para el estado límite de Resistencia, se debe mantener la resultante en la base del
cimiento dentro de la mitad central (e
≤ B/4) excepto el caso de suelo rocoso en
que se mantendrá en los ¾ centrales (e
≤ 3/8 B) (Art. 11.6.3.3). Para el estado
límite de evento extremo y con
γ
EQ = 0, mantener la fuerza resultante en la base del
cimiento dentro de los 2/3 centrales (e
≤ 1/3 B)  de las dimensiones del cimiento
para cualquier suelo. Si en cambio
γ
EQ = 1, mantener la resultante en la base del
cimiento dentro de los 8/10 centrales (e
≤ 2/5 B). Para valores de γ
EQ entre 0 y
1.0, interpolar linealmente entre los valores especificados para definir las
restricciones referidas a la ubicación de la resultante (Art. 11.6.5). En caso de
cimientos cargados biaxialmente, estos requerimientos deben aplicarse en ambas
direcciones.

B.B.B.B.
Deslizamiento – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo (10.6.3.3)

El valor de la resistencia factorada al deslizamiento corresponde a una componente
friccional (Ø
τQτ) actuando a lo largo de la base del estribo y una componente
debido a la presión pasiva del terreno (Ø
epQ
ep) actuando en la cara vertical
correspondiente. Esto es:

Q
R = ØτQτ+ Ø
epQ
ep (10.6.3.3-1)

Donde:

Q
τ   = (V) tan δ   (10.6.3.3-2)
δ     = ángulo de fricción entre la base del cimiento y el suelo
tan
δ = tan Ø
f para concreto vaceado directamente al suelo (10.6.3.3)
tan
δ = (0.8)tan Ø
f para concreto pre-fabricado (10.6.3.3)
V    = fuerza vertical total sobre el cimiento
Ø
f   = ángulo de fricción interna del suelo.

Los valores Ø
τ y Ø
ep se determinan de la Tabla 10.5.5.2.2-1. Para el estado límite
de Evento Extremo, Ø
τ= 1.0 y Ø
ep = 1.0. Si la resistencia pasiva no está
asegurada debido a erosiones, socavaciones potenciales, o futuras excavaciones,
se debe usar Ø
ep = 0 para los estados límites de Resistencia y Evento Extremo.

La resistencia factorada al deslizamiento debe ser mayor o igual a las cargas
horizontales factoradas aplicadas.

C.C.C.C.
Presiones en la base – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo


Se calculan los esfuerzos basados en una distribución uniforme; en estribos
cargados excéntricamente cimentados sobre roca, se supone una distribución de
presiones triangular o trapezoidal.

Método de Meyerhof:

1.
Hallar la excentricidad e con respecto al punto central de la base del cimiento,
con las cargas aplicables factoradas:

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V-10
actuantesfactoradasverticalesfuerzas
actuantesfactoradosmomentos
e
Σ
Σ
=

2.
Determinar los esfuerzos verticales factorados. Si la estructura está cargada bi-
axialmente, el cálculo se realiza en ambas direcciones.

Basados en una distribución de presión uniforme actuando en la base (suelo no
rocoso), el valor de q es:

e2B
longituddeunidad/actuantesfactoradasverticalesfuerzas
q
−
Σ
= (11.6.3.2-1)

Donde:
B  = ancho del cimiento en el plano de cargas
B – 2e = ancho efectivo de cimiento
V
u = suma de las fuerzas verticales factoradas.

Para suelo rocoso la distribución de presiones es trapezoidal o triangular:









+=
B
e6
1
B
V
q
u
máx
(11.6.3.2-2)









−=
B
e6
1
B
V
q
u
mín
(11.6.3.2-2)

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V-11
3.  Comparar q ó q
máx, que incluyen factores de carga, con la capacidad portante
del terreno (capacidad última de apoyo para el suelo, multiplicado por el factor
de resistencia apropiado). La capacidad de apoyo factorada (resistencia) debe
ser mayor o igual que el esfuerzo de apoyo factorado:

q
R ≤ Ø
b q
n (10.6.3.1.1-1)

Donde:
q
n = q
u =capacidad portante última no factorada para el estado límite apropiado
Ø
b = factor de resistencia (Tabla 10.5.5.2.2-1 y Art. 11.6.5)

Notar que q
u es el mismo para los estados límites de Resistencia y
Evento Extremo. Un factor de resistencia de 1.0 se usa en el cálculo de
presiones sobre el terreno en el estado límite de Evento Extremo según Art.
11.6.5. (Ver Tabla 10.5.5.2.2-1 para factores de resistencia en el estado
límite de Resistencia).
La capacidad de apoyo para los estados límites de Resistencia y Evento
Extremo deben ser calculados considerando los efectos de resistencia cohesiva
y friccional del suelo, forma y dimensiones de la cimentación, profundidad de
desplante y la inclinación del suelo que presiona sobre el estribo. Los estudios
geotécnicos determinarán la capacidad portante. Los factores de inclinación de
carga en general no se consideran en la determinación de la capacidad
portante.


6666. . . .     CONSIDERACIONES SÍSMICASCONSIDERACIONES SÍSMICASCONSIDERACIONES SÍSMICASCONSIDERACIONES SÍSMICAS

La presión lateral del terreno en estructuras de retención, es amplificada en caso
de sismos debido a la aceleración horizontal de la masa retenida de terreno. En
caso de estructuras de retención altas (H>10 m) como es el caso de estribos,  las
cargas sísmicas deben contemplarse, usándose a menudo la solución de Mononobe-
Okabe.

El método de Mononobe-Okabe es un método pseudo-estático que desarrolla una
presión de fluido estática equivalente para modelar la presión sísmica del terreno
sobre el muro. Es aplicable cuando:

•
El muro no está restringido y es capaz de deformar lo suficiente para accionar la
presión activa del terreno retenido.
•
El terreno de relleno es no cohesivo y no saturado

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V-12
• La cuña activa de suelo que define la superficie de falla y carga el muro, es
plana.
•
Las aceleraciones son uniformes a través de la masa de suelo retenido.

La presión del terreno incluyendo la acción sísmica, se determina con:

2
vtAEAE
H)k1((k 2
1
E −γ=         (A.11.1.1.1-1)

siendo el coeficiente de presión activa sísmica del terreno:

2
.
.
2
2
AE
)Icos()cos(
)I(sen)(sen
1)cos(coscos
)(cos
k










β−θ+β+δ
−θ−φδ+φ
+θ+β+δβθ
β−θ−φ
=
     (A.11.1.1.1-2)

donde:

γ
t = peso unitario del terreno
H = altura del terreno retenida por el muro
k
v = coeficiente de aceleración vertical
k
h = coeficiente de aceleración horizontal
φ = ángulo de fricción interna del suelo
β= arc tan [k
h /(1- k
v)]
β = ángulo de inclinación del muro con la vertical (sentido negativo como se ilustra)
δ = ángulo de fricción entre el suelo y el estribo
i  = ángulo de inclinación del material de relleno con la horizontal

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V-13
El valor de h
a, la altura a la cual la resultante del empuje del suelo actúa sobre el
estribo, se puede tomar igual a H/3 para un caso estático que no involucre efectos
sísmicos. Sin embargo este valor aumenta a medida que aumentan las solicitaciones
de origen sísmico. Seed y Whitman han sugerido que h se podría obtener
suponiendo que la componente estática del esfuerzo del suelo actúa a H/3 de la
base del estribo, mientras que se podría considerar que el esfuerzo dinámico
adicional actúa a una altura h=0.6H. Sin embargo, para la mayoría de las
aplicaciones será suficiente asumir h=0.5H con un empuje uniformemente
distribuido (A.11.11.1.1).

La expresión para la fuerza pasivafuerza pasivafuerza pasivafuerza pasiva actuando cuando el muro sufre el empuje del suelo
es:

2
vtPEPE H)k1((k
2
1
E −γ=
        (A.11.1.1.1-3)

siendo el coeficiente de presión pasiva sísmica del terreno:

2
.
.
2
2
PE
)Icos()cos(
)I(sen)(sen
1)cos(coscos
)(cos
k










β−θ+β−δ
+θ−φδ+φ
−θ+β−δβθ
β+θ−φ
=
           (A.11.1.1.1-4)

Para estimar la presión lateral del terreno por la acción sísmica, el coeficiente de
aceleración vertical, k
v, se asume por lo general igual a cero y el coeficiente de
aceleración horizontal, k
h, se toma como:

k
h = 0.5A, para muros donde es posible movimientos horizontales de hasta
aproximadamente 250A mm. (p.e.: muros de gravedad, en voladizo, etc.), y

k
h = 1.5A, para muros en que el desplazamiento horizontal es cero (p.e.: estribos
integrales, muros anclados, etc.)

Siendo:

A  = coeficiente sísmico de aceleración horizontal (% g)

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V-14
P
H/3=3.33m
A
0.5H=5m
EQ    AE      A
P   =P   - P
H=10m
PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS

PROBLEMA V.1PROBLEMA V.1PROBLEMA V.1PROBLEMA V.1    En el muro de contención mostrado de 10m de altura deterEn el muro de contención mostrado de 10m de altura deterEn el muro de contención mostrado de 10m de altura deterEn el muro de contención mostrado de 10m de altura determinar la minar la minar la minar la
presión lateral del terreno y la carga sísmica presión lateral del terreno y la carga sísmica presión lateral del terreno y la carga sísmica presión lateral del terreno y la carga sísmica que actúaque actúaque actúaque actúa    sobre el muro.sobre el muro.sobre el muro.sobre el muro.
    Considerar Considerar Considerar Considerar para para para para
el terreno el terreno el terreno el terreno ∅∅∅∅    = 35°= 35°= 35°= 35°, , , , δδδδ        = 0°= 0°= 0°= 0°, , , , γγγγ
tttt    = 1925 kg/m= 1925 kg/m= 1925 kg/m= 1925 kg/m
3333
    ,,,,    coeficiente sísmico de aceleración coeficiente sísmico de aceleración coeficiente sísmico de aceleración coeficiente sísmico de aceleración
horizontal horizontal horizontal horizontal A A A A = 0.20= 0.20= 0.20= 0.20....











Solución.Solución.Solución.Solución.----

Se tiene:

∅ = ángulo de fricción interna = 35°
δ  = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 0°
i  = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0°
β = ángulo de inclinación del muro con la vertical = 0°
H  = altura del terreno = 10m
γ
t = peso unitario del terreno= 1925 kg/m
3

A = coeficiente sísmico de aceleración horizontal = 0.20
k
h = coeficiente de aceleración horizontal=0.5A= 0.5(0.20)= 0.10
k
v = coeficiente de aceleración vertical =0
°=








−
=θ 71.5
k1
k
tanarc
v
h

A)
Cálculo del coeficiente de empuje activo k
a

Con (3.11.5.3-1) y (3.11.5.3-2) para los valores dados:

271.0)
2
35
45(tg)
2
45(tgk
22
a =−=
φ
−=

B)   Cálculo de la presión lateral del terreno

Considerando una longitud del estribo de 1.0m se tiene:

kg084,26)271.0)(m0.1()m10)(m/kg1925(
2
1
kH
2
1
P
23
a
2
tA ==γ=

Aplicada en h=H/3 = 10m/3 = 3.33m, desde la base.

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V-15
C)   Cálculo de la fuerza sísmica

El coeficiente de presión activa sísmica del terreno es:

2
.
.
2
2
AE
)Icos()cos(
)I(sen)(sen
1)cos(coscos
)(cos
k










β−θ+β+δ
−θ−φδ+φ
+θ+β+δβθ
β−θ−φ
=
     (A.11.1.1.1-2)


328.0k
AE
=

Luego la fuerza de acción sísmica es:

)kk(H
2
1
PPP
aAE
2
tAAEEQ −γ=−=

kg486,5)271.0328.0)(m0.1()m10)(m/kg1925(
2
1
P
23
EQ =−=

Aplicada en h=0.6H = 0.6(10m) = 0.60m desde la base, aunque es suficiente:

   h=0.5H = 0.5(10m) = 0.50m (A.11.11.1.1)

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V-16
B
a
b
h
.15
.80
H = 4.00 m
.30
P  = 800 kg/m
P  =  9,000 kg/m
WS = 150 kg/m
BR =  300 kg/m
CR+SH+TU = 900 kg/m
DW
LL+IM
Losa de transición
Terreno
Superestructura
Estribo de
gravedad
Ø = 31°
õ = 24°
  = 1600 kg/m³
  = 2320 kg/m³
1.80
.40
1.00
P  = 7,000 kg/m
DC
t
c
f
s°
PROBLPROBLPROBLPROBLEMA V.EMA V.EMA V.EMA V.2222        Diseñar un estribo de gravedad para las condiciones mostradas.Diseñar un estribo de gravedad para las condiciones mostradas.Diseñar un estribo de gravedad para las condiciones mostradas.Diseñar un estribo de gravedad para las condiciones mostradas.    El El El El
terreno de cimentación posee una capacidad terreno de cimentación posee una capacidad terreno de cimentación posee una capacidad terreno de cimentación posee una capacidad última última última última para el estado para el estado para el estado para el estado límite límite límite límite de de de de resistencia resistencia resistencia resistencia
qqqq
RRRR====    2222....00000 kg/cm0 kg/cm0 kg/cm0 kg/cm
2222
    y las propiedades que se detallan. La estructura está en una zona no y las propiedades que se detallan. La estructura está en una zona no y las propiedades que se detallan. La estructura está en una zona no y las propiedades que se detallan. La estructura está en una zona no
sísmica psísmica psísmica psísmica pero expuesta a velocidades de viento superiores a 90 km/h.ero expuesta a velocidades de viento superiores a 90 km/h.ero expuesta a velocidades de viento superiores a 90 km/h.ero expuesta a velocidades de viento superiores a 90 km/h.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


PREPREPREPRE----DIMENSIONADODIMENSIONADODIMENSIONADODIMENSIONADO

Para la altura H=4.00m, probamos una sección preliminar de estribo con:

B= ancho del cimiento = ½H ~
2/3H = 2.00m~2.67m = 2.50m (adoptado)

h = altura del cimiento = H/6 ~ H/8  = 0.67m~0.50m = 0.50m (adoptado)

a = longitud de punta  = H/12~ H/6 = 0.33m~0.67m = 0.30m (adoptado)

b = longitud de talón  = H/12~ H/6 = 0.33m~0.67m = 0.30m (adoptado)

N = 0.50m (adoptado) > N
mín = 0.23m

N
mín= longitud mínima de cajuela (2.11.2, Manual de Diseño de Puentes, MTC Perú)
    = (200+0.0017L+0.0067H)(1+0.000125S²)
    = (200+0.0017x12,000)(1+0.000125x18.43²)mm
con L=12m (dato), H’=0, S=18.43°
    = 0.23m.

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V-17
0.90
B = 2.50 m
0.50
A
H = 4.00 m
.80
õ = 24°
EH = 0.5 x 3.7m x 1687 kg/m²
      = 3121 kg/m
k  x 3.70m x 1600 kg/m³ = 1687 kg/m²
k  x 0.30m x 2320 kg/m³ = 198 kg/m²
k  x 0.80m x 1600 kg/m³ = 365 kg/m²
EV
.30
altura equivalente de suelo por S/C
S/C por carga viva (LS)
EH  = 3.70m x 198 kg/m²= 734 kg/m
LS  = 3.70m x 365 kg/m² =1350 kg/m
.25.250.50
5
.15
DC
h' = 0.80
LS
.30
P  = 7,000 kg/m
LL+IM
BR =  300 kg/m
P  =  9,000 kg/m
P  = 800 kg/m
DC
1.80
DW
.40
WS = 150 kg/m
CR+SH+TU = 900 kg/m
0.50
.30.17
1
EV
2
3
EV
2
2
1
1
a
a
a
DC
1
2
DC
DC
3
4
DC
s=18.43°


























CASO I CASO I CASO I CASO I ––––    ESTRIBESTRIBESTRIBESTRIBO CON PUENTEO CON PUENTEO CON PUENTEO CON PUENTE

A)   Coeficiente de empuje activo Ka

∅ = ángulo de fricción interna = 31°
δ  = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 24° (Tabla 3.11.5.3-1)
β  = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0°
  = ángulo de inclinación del muro del lado del terreno = 90°

Luego:

2
)(sen)(sen
)(sen)(sen
1








β+θδ−θ
β−φδ+φ
+=Γ    (3.11.5.3-2)

Para
β = 0° y  = 90° :

821.2
cos
sen)(sen
1
2=








δ
φδ+φ
+=Γ
[ ]
)(sensen
)(sen
k
2
2
aδ−θθΓ
φ+θ
= (3.11.5.3-1)

Para
= 90° :
285.0
cos
cos
k
2
a
=
δΓ
φ
=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-18
B)  Altura equivalente de suelo por S/C

Por cargas vehiculares actuando sobre el terreno, agregamos una porción
equivalente de suelo. De la Tabla 3.11.6.4-1, por interpolación para H = 4.00 m,
h’ = 0.80 m.

C) Metrado de Cargas

CARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALES....----

Cargas DC (peso propio)

Estribo:
DC
1 = 0.5(.90 m x 2.70m) x 2,320 kg/m
3
= 2,819 kg/m
DC
2 = 0.50 m x 2.70m x 2,320 kg/m
3
= 3,132 kg/m

DC
3 = 0.50 m x 3.50m x 2,320 kg/m
3
= 4,060 kg/m

DC
4 = 0.50 m x 2.50m x 2,320 kg/m
3
= 2,900 kg/m

Losa de Acercamiento:

DC
5 = 0.30 m x 0.30 m x 2,320 kg/m
3
= 209 kg/m

Carga muerta de la superestructura del puente:

P
DC = 7,000 kg/m

Cargas DW (peso de superficie de rodamiento)

P
DW = 800 kg/m

Cargas EV (presión vertical por carga muerta del terreno)

EV
1 = 0.30 m x 3.20 m x 1,600 kg/m
3
= 1,536 kg/m

EV
2 = 0.30 m x 0.50 m x 1,600 kg/m
3
= 240 kg/m

EV
3 = ½ x 0.50 m x 0.17 m x 1,600 kg/m
3
= 68 kg/m

Cargas EH (presión lateral del terreno)

Por 3.70 m de terreno:

EH
1y = EH
1 sen δ = 3,121kg/m (sen 24°) = 1,269 kg/m

Por losa de acercamiento:

EH
2y = EH
2 sen δ = 734 kg/m (sen 24°) = 299 kg/m

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V-19
Cargas LL (carga viva de la superestructura de puente)

P
L = 9,000 kg/m

Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno)

Terreno equivalente extendido en 0.30 m del estribo:
LS
1 = 0.80 m x 0.30m x 1,600 kg/m
3
= 384 kg/m

Componente vertical de la sobrecarga por carga viva:

LS
2y = LS
2 (sen δ) = 1,350 kg/m (sen 24°) = 549 kg/m

Resumen Cargas VerticalesResumen Cargas VerticalesResumen Cargas VerticalesResumen Cargas Verticales
CARGACARGACARGACARGA    TIPOTIPOTIPOTIPO    V (Kg/m)V (Kg/m)V (Kg/m)V (Kg/m)    dddd
AAAA    (m)(m)(m)(m)    MMMM
VVVV(kg(kg(kg(kg----m/m)m/m)m/m)m/m)
DC
1 DC 2,819 0.90 2,537
DC
2 DC 3,132 1.45 4,541
DC
3 DC 4,060 1.95 7,917
DC
4 DC 2,900 1.25 3,625
DC
5 DC 209 2.35 491
P
DC DC 7,000 1.45 10,150
P
DW DW 800 1.45 1,160
E
V1 EV 1,536 2.35 3,610
E
V2 EV 240 0.15 36
E
V3 EV 68 0.36 24
EH
1y EH 1,269 2.50 3,173
EH
2y EH 299 2.50 748
P
L LL 9,000 1.45 13,050
LS
1 LS 384 2.35 902
LS
2y LS 549 2.50 1,373
Σ 34,265 53,337

CARGAS HORIZONTALESCARGAS HORIZONTALESCARGAS HORIZONTALESCARGAS HORIZONTALES....----

Cargas EH (presión lateral del terreno)

Por 3.70 m de terreno:

EH
1x = EH
1 cos δ = 3,121kg/m (cos 24º) = 2,851 kg/m

Por losa de acercamiento:

EH
2x = EH
2 cos δ = 734 kg/m (cos 24º) = 671 kg/m

Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno)

Componente horizontal de la sobrecarga por carga viva:

LS
2x = LS
2 (cos δ) = 1,350 kg/m (cos 24º) = 1,233 kg/m

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V-20
Cargas WS (viento sobre la estructura)

WS = 150 kg/m

Cargas BR (fuerza de frenado)

BR = 300 kg/m

Cargas CR, SH y TU (Deformación del concreto por carga sostenida en el tiempo,
acortamiento por presforzado, y temperatura uniforme)

CR + SH + TU = 900 kg/m

Resumen Cargas HorizontalesResumen Cargas HorizontalesResumen Cargas HorizontalesResumen Cargas Horizontales
CARGACARGACARGACARGA     TIPOTIPOTIPOTIPO     H (kg/m)H (kg/m)H (kg/m)H (kg/m)    dddd
AAAA    (m)(m)(m)(m)    MMMM
HHHH    (kg(kg(kg(kg----m/m)m/m)m/m)m/m)
EH
1x EH 2,851 1.23 3,507
EH
2x EH 671 1.85 1,241
LS
2x LS 1,233 1.85 2,281
WS WS 150 3.60 540
BR BR 300 5.80 1,740
CR+SH+TU CR+SH+TU 900 3.60 3,240
Σ 6,105   12,549

D)  Estados límites aplicables y combinaciones de cargas

Tomaremos en cuenta los Estados Límites de Resistencia I y III aplicables en este caso
y con un valor n=n
Dn
Rn
I=1.
Observamos que existen numerosas combinaciones de factores de carga
γ para cada
estado límite como puede deducirse de las Tablas 3.4.1-1 y 3.4.1-2. Incluso en un
solo estado límite encontramos que pueden establecerse numerosas combinaciones
distintas. El diseñador en este caso apelando a su responsabilidad y buen juicio debe
seleccionar los factores de carga apropiados en cada tipo de carga.
Para el chequeo de estabilidad al vuelco y deslizamiento, observando en el gráfico las
cargas actuantes, utilizaremos los factores
γ máximos para las cargas horizontales que
generan vuelco alrededor del punto A y deslizamiento en la base (EH, LS, WS, BR,
CR+SH+TU) y los factores de carga
γ mínimos en las cargas verticales que generan
estabilidad (DC, DW, EV, LL+IM) para de esta manera maximizar las condiciones críticas
en la estructura. Estos casos serán denominados Ia y IIIa, respectivamente.
Para el chequeo de presiones en la base utilizaremos los factores
γ máximos en las
cargas verticales y horizontales para maximizar efectos. A estos casos los
denominaremos Ib y IIIb, respectivamente.

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-21

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-22
V
u
M
HU
M
u
V
B/2 B/2
e=B/2-xx
CL
o
o
=
B
Estable si:
A
eB/4 (fundación en suelo)
e 3B/8 (fundación en suelo rocoso)
VU
u
V
f
F  =μ(ØV )
u
u
H
F > H
f u
Estable si:
E)   CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS

a)a)a)a)
Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”


b)b)b)b)
Deslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estribo


Con:
μ = tg
d = tg 24° = 0.445 (Tabla 3.11.5.3-1)
Øτ = 0.80 (Tabla 10.5.5.2.2-1)

Estados V
u
(Kg/m)
RESISTENTE (Kg/m)
F
f =μ (ØτV
u)
ACTUANTE (Kg/m)
H
u

Resistencia Ia 24,457 8,707 8,416   OK!
Resistencia Ib 48,574 17,292 8,416   OK!
Resistencia IIIa 22,824 8,125 5,943   OK!
Resistencia IIIb 31,191 11,104 5,943   OK!

Estado V
u
(Kg/m)
M
vu
(Kg-m/m)
M
hu
(Kg-m/m)
u
huvu
o
V
MM
x
−
=
(m)
)
o
x
2
B
(e −=
(m)

e
max=B/4
(m)
Resistencia Ia 24,457 40,622 15,779 1.016 0.234 0.625 OK!
Resistencia Ib 48,574 75,971 15,779 1.239 0.011 0.625 OK!
Resistencia IIIa 22,824 36,640 9,498 1.189 0.061 0.625 OK!
Resistencia IIIb 31,191 49,152 9,498 1.271 0.021 0.625 OK!

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V-23
o
VU
M
x
=
e=B/2-x
o
LC
q
máx
q
mín
q q
R máx
q
B/2B/2
q
B-2e
Fundación en roca
Fundación en suelo
Estable si:
R
q qEstable si:
B
HU
M
V
V
u
c)c)c)c) Presiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estribo



CASO ICASO ICASO ICASO IIIII    ––––    ESTRIBO ESTRIBO ESTRIBO ESTRIBO SISISISIN PUENTEN PUENTEN PUENTEN PUENTE

Estados límites aplicables y combinaciones de cargas

Estado V
u
(Kg/m)
M
vu
(Kg-m/m)
M
hu
(Kg-m/m) u
huvu
o
V
MM
x
−
=
(m)
)
o
x
2
B
(e −=

(m)

e2B
V
q
U
−
=

(kg/cm
2
)
Resistencia Ia 24,457 40,622 15,779 1.016 0.234 1.20<2  OK!
Resistencia Ib 48,574 75,971 15,779 1.239 0.011 1.96<2  OK!
Resistencia IIIa 22,824 36,640 9,498 1.189 0.061 0.96<2 OK!
Resistencia IIIb 31,191 49,152 9,498 1.271 0.021 1.27<2 OK!

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-24
V
u
M
HU
M
u
V
B/2 B/2
e=B/2-xx
CL
o
o
=
B
Estable si:
A
eB/4 (fundación en suelo)
e 3B/8 (fundación en suelo rocoso)
VU


CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS

a)a)a)a)
Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”



Estado V
u
(Kg/m)
M
vu
(Kg-m/m)
M
hu
(Kg-m/m)
u
huvu
o
V
MM
x
−
=
(m)
)
o
x
2
B
(e −=
(m)

e
max=B/4
(m)
Resistencia Ia 17,637 30,733 11,114 1.112 0.138 0.625 OK!
Resistencia Ib 22,874 38,706 11,114 1.206 0.044 0.625 OK!
Resistencia IIIa 16,004 26,751 7,122 1.227 0.023 0.625 OK!
Resistencia IIIb 21,241 34,725 7,122 1.299 0.049 0.625 OK!

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-25
0.5
k  x1600x1.30=12,688kg
p
0.30
k  x1600x1.00=9,760kg
p
E =3,367kg
0.5
0.3
põ = 24°
u
V
f
F  =μ(ØV )
u
u
H
F > H
f u
Estable si:
b)b)b)b) Deslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estribo

Con:
μ = tg
d = tg 24° = 0.445
      (Tabla 3.11.5.3-1)

Øτ = 0.80 (Tabla 10.5.5.2.2-1)

Estados V
u
(Kg/m)
RESISTENTE (Kg/m)
F
f =μ (ØτV
u)
ACTUANTE (Kg/m)
H
u

Resistencia Ia 17,637 6,279 7,441   N.S.
Resistencia Ib 22,874 8,143 7,441   OK!
Resistencia IIIa 16,004 5,697 5,283   OK!
Resistencia IIIb 21,241 7,562 5,283   OK!

El estado límite de
Resistencia Ia no es satisfactorio por lo que colocamos un
diente de concreto de sección 0.30mx0.30m. en la base tal como se muestra en
la figura; consideramos además la resistencia pasiva del suelo sólo en el ámbito del
diente.

De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es k
p=7 (con Ø
f=31° y
β=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación, R=0.870 (con
õ/Ø
f=0.774).

Luego:
k
p = R k
p(õ=Ø)

k
p = 0.870(7) = 6.10

La resistencia pasiva es:

E
pcos24°=½(9,760kg/m+12,688kg/m) x 0.30m x cos24° = 3,076kg

Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se tiene:

Q
R = ØτQτ+ Ø
epQ
ep (10.6.3.3-1)

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-26
o
VU
M
x
=
e=B/2-x
o
LC
q
máx
q
mín
q q
R máx
q
B/2B/2
q
B-2e
Fundación en roca
Fundación en suelo
Estable si:
R
q qEstable si:
B
HU
M
V
V
u
Con:

Ø
τQτ = 6,279kg
Ø
ep    = 0.50 (Tabla 10.5.5.2.2-1)
Q
ep    =3,076kg

Q
R = 6,279kg+ 0.50(3,076kg)=7,7,7,7,817817817817kg > 7,441kg OK!kg > 7,441kg OK!kg > 7,441kg OK!kg > 7,441kg OK!


c)c)c)c)
Presiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estribo



















Estado V
u
(Kg/m)
M
vu
(Kg-m/m)
M
hu
(Kg-m/m)
u
huvu
o
V
MM
x
−
=
(m)
)
o
x
2
B
(e −=

(m)

e2B
V
q
U
−
=

(kg/cm
2
)
Resistencia I 17,637 30,733 11,114 1.112 0.138 0.79<2   OK!
Resistencia Ia 22,874 38,706 11,114 1.206 0.044 0.95<2   OK!
Resistencia III 16,004 26,751 7,122 1.227 0.023 0.65<2   OK!
Resistencia IIIa 21,241 34,725 7,122 1.299 0.049 0.88<2   OK!

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-27
Ltalón punta
s°
N
Lt
inf
sup
t
t
2t
2
e
e
parap
h   =1.50
parap
b
H=7.00m
D
h=1.50m
B
0.75
1.80m
BR=1.99T/m
EQ
f
t
  = 1925 kg/m³
õ = 0°
Ø = 30°
Prop. de terreno:
  q  = 2.67 kg/cm²
adm
  A  = 0.3
0.75
1
1
P   =12T/m
DC
P   =1.80T/m
DW
LL+IMP   =9.494T/m
P
  S  = 1.2
PROBLEMA V.3PROBLEMA V.3PROBLEMA V.3PROBLEMA V.3          Diseñar el estribo de concreto armado mostrado para un puente Diseñar el estribo de concreto armado mostrado para un puente Diseñar el estribo de concreto armado mostrado para un puente Diseñar el estribo de concreto armado mostrado para un puente
simplemente apoyadsimplemente apoyadsimplemente apoyadsimplemente apoyado de una sola vía. Las cargas verticales provenientes de la o de una sola vía. Las cargas verticales provenientes de la o de una sola vía. Las cargas verticales provenientes de la o de una sola vía. Las cargas verticales provenientes de la
superestructura que inciden sobre el estribo son: Psuperestructura que inciden sobre el estribo son: Psuperestructura que inciden sobre el estribo son: Psuperestructura que inciden sobre el estribo son: P
DCDCDCDC====12121212    Ton/m y PTon/m y PTon/m y PTon/m y P
DWDWDWDW====1.81.81.81.8    Ton/m. Ton/m. Ton/m. Ton/m. La La La La
fuerza de frenado BR=1.99 ton/m. fuerza de frenado BR=1.99 ton/m. fuerza de frenado BR=1.99 ton/m. fuerza de frenado BR=1.99 ton/m. El relleno es de 7.00m de altura, el suelo es no El relleno es de 7.00m de altura, el suelo es no El relleno es de 7.00m de altura, el suelo es no El relleno es de 7.00m de altura, el suelo es no
cohesivo de peso unitario cohesivo de peso unitario cohesivo de peso unitario cohesivo de peso unitario γγγγ
tttt=1925 kg/m³, capacidad admisible q=1925 kg/m³, capacidad admisible q=1925 kg/m³, capacidad admisible q=1925 kg/m³, capacidad admisible q
admadmadmadm=2.67 kg/cm² =2.67 kg/cm² =2.67 kg/cm² =2.67 kg/cm²
(FS=3), ángulo de fricción interna Ø(FS=3), ángulo de fricción interna Ø(FS=3), ángulo de fricción interna Ø(FS=3), ángulo de fricción interna Ø
ffff=30°=30°=30°=30°....     Considerar un Considerar un Considerar un Considerar un coeficiente sísmico de coeficiente sísmico de coeficiente sísmico de coeficiente sísmico de
aceleración horizontal A=0.3 y coeficiente de sitio=1.2.aceleración horizontal A=0.3 y coeficiente de sitio=1.2.aceleración horizontal A=0.3 y coeficiente de sitio=1.2.aceleración horizontal A=0.3 y coeficiente de sitio=1.2.


Solución.Solución.Solución.Solución.----


PREPREPREPRE----DIMENSIONADODIMENSIONADODIMENSIONADODIMENSIONADO

Para la altura H=7.00m, probamos una sección preliminar de estribo con:

B= ancho del cimiento = ½H ~
2/3H = 3.50m~4.67m (adoptado B=5.10m)

D = altura del cimiento = 0.1H = 0.70m (adoptado D=1.10m)

L
punta = longitud de punta  = B/3 = 1.67m (adoptado L
punta=1.10m)

t
sup=grosor menor de pantalla = H/24 = 0.29m (adoptado t
sup mín=0.30m)

t
inf =grosor mayor de pantalla = 0.1H = 0.70m (adoptado t
inf=0.90m)

  N = 0.70m (adoptado) > N
mín = 0.24m

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-28
.30
.70 .25
1.50
.40
1.10
   3.10 .90
B=5.10m
h=1.50m
1.10
H=7.00m
5.90
.60
s°=10.01°
.30.35
1
2
35
9
410
7
11
12EV
A
8
LS
y
P
DC, DW, LL+IM
EQ
P
6
EV
0.75
1.80m
0.75
BR
LSEQ
EH
p p' p''
3.50
2.33
Terreno equiv. por s/c
h'=0.60
X
Talón
1.40
EQ
estrib
y
CG
terr
N
mín = longitud mínima de cajuela (2.11.2, Manual de Diseño de Puentes, MTC Perú)

     = (200+0.0017L+0.0067H’)(1+0.000125S²)
     = (200+0.0017x20,000)(1+0.000125x10.01²)mm
   con L=20,000mm, H’=0, S°=10.01°

     = 0.24m.

Otras medidas tomadas se muestran en el gráfico siguiente:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-29
CASO I CASO I CASO I CASO I ––––    ESTRIBO CON PUENTEESTRIBO CON PUENTEESTRIBO CON PUENTEESTRIBO CON PUENTE

CARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALES    (considerando franjas de 1m de longitud de estribo)

Cargas DC

Peso propio estribo de concreto armado (DC):

Elemento Volumen
(m³)
DC
(Ton/m)
X
A (m) Y
A (m) X
A.DC
(Ton-m/m)
Y
A.DC
(Ton-m/m)
1 0.375 0.900 2.225 6.250 2.00 5.63
2 0.380 0.912 1.875 5.300 1.71 4.83
3 0.105 0.252 2.117 4.900 0.53 1.23
4 1.200 2.880 1.850 3.100 5.33 8.93
5 0.090 0.216 1.600 4.900 0.35 1.06
6 1.020 2.448 1.500 2.233 3.67 5.47
7 5.610 13.464 2.550 0.550 34.33 7.41
∑= 21.072 47.92 34.55

DC=21.07 Ton/m
m274.2
07.21
92.47
X
A == , m640.1
07.21
55.34
Y
A ==

Peso propio superestructura:

P
DC= 12.00 Ton/m
X
A = 1.75m

Cargas DW

Peso asfalto en superestructura:

P
DW= 1.80 Ton/m
X
A = 1.75m

Cargas EV (peso del terreno)

Elemento Volumen
(m³)
EV
(Ton/m)
X
A
(m)
Y
A
(m)
X
A.EV
(Ton-m/m)
Y
A.EV
(Ton-m/m)
8 16.225 31.233 3.725 4.050 116.34 126.49
9 0.105 0.202 2.233 4.700 0.45 0.95
10 1.190 2.291 2.175 2.800 4.98 6.41
11 0.014 0.027 1.124 1.367 0.03 0.04
12 0.440 0.847 0.550 1.300 0.47 1.10
∑= 34.60 122.27 135.00

EV=34.60 Ton/m

m534.3
60.34
27.122
X
A == , m902.3
60.34
00.135
Y
A ==

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-30
Cargas LL+IM

Carga viva e impacto desde la superestructura:

P
LL+IM= 9.494 Ton/m
  X
A = 1.75m

Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno)

Altura equivalente de suelo por S/C (Tabla 3.11.6.4-1):

Por cargas vehiculares actuando sobre el terreno, agregamos una porción
equivalente de suelo. En este caso para H = 7.00 m, h’ = 0.60 m.

Terreno equivalente extendido en 2.75m del talón del estribo:

LS
y = 2.75m x 0.60m x 1.925Ton/m
3
= 3.18 Ton/m
X
A = 3.725m

Resumen Cargas VerticalesResumen Cargas VerticalesResumen Cargas VerticalesResumen Cargas Verticales
CARGACARGACARGACARGA    TIPOTIPOTIPOTIPO    V (Ton/m)V (Ton/m)V (Ton/m)V (Ton/m)    XXXX
AAAA    (m)(m)(m)(m)    MMMM
V V V V (Ton(Ton(Ton(Ton----m/m)m/m)m/m)m/m)
DC DC 21.07 2.274 47.92
P
DC DC 12.00 1.750 21.00
P
DW DW 1.80 1.750 3.15
EV EV 34.60 3.534 122.27
P
LL+IM LL+IM 9.49 1.750 16.61
LS
y LS 3.18 3.725 11.83
Σ= 82.14 222.79


CARGAS HORIZONTALESCARGAS HORIZONTALESCARGAS HORIZONTALESCARGAS HORIZONTALES    (considerando franjas de 1m de longitud de estribo)

Cálculo del coeficiente de empuje activo (K
a)

∅
f = ángulo de fricción interna = 30°
δ  = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 0°
β  = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0°
  = ángulo de inclinación del muro del lado del terreno = 90°

Para δ =β =0 y   =90°, las fórmulas AASHTO (3.11.5.3-1) y (3.11.5.3-2) se
convierten en:

333.0
2
30
45tg
2
Ø
45tgK
2f2
a =




 °
−°=





−°=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-31
Cargas actuantes:

Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno)

Componente horizontal de la sobrecarga por carga viva:

p”= K
a h’γ
t = (0.333)(0.60m)(1.925Ton/m³) = 0.385 Ton/m²

LS
x = H(p”)=7.00m(0.385Ton/m²)

LS
x = 2.70 Ton/m

Y
A = 3.50m

Cargas EH (presión lateral del terreno)

Por 7.00m de terreno:

p = K
a H γ
t = (0.333)(7.00m)(1.925Ton/m³) = 4.492 Ton/m²

EH = ½ H (p)=½(7.00m)(4.492 Ton/m²)

EH = 15.72 Ton/m

Y
A = 2.333m

Cargas EQ (acción sísmica)

a) Acción sísmica del terreno (EQ
terr):

∅ = ángulo de fricción interna = 30°
δ  = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 0°
i  = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0°
β = ángulo de inclinación del muro con la vertical = 0°
A = coeficiente sísmico de aceleración horizontal = 0.30
k
h = coeficiente de aceleración horizontal=0.5A= 0.5(0.30)= 0.15
k
v = coeficiente de aceleración vertical =0
°=








−
=θ 53.8
k1
k
tanarc
v
h

Luego:

2
.
.
2
2
AE
)Icos()cos(
)I(sen)(sen
1)cos(coscos
)(cos
K










β−θ+β+δ
−θ−φδ+φ
+θ+β+δβθ
β−θ−φ
=      (A.11.1.1.1-2)

433.0K
AE
=

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V-32
Entonces:

EQ
terr = ½ (K
AE-K
a) H² γ
t =½(0.433-0.333)(7m)²(1.925 Ton/m³)

EQ
terr = 4.70 Ton/m

Y
A = 3.50m

b) Carga sísmica por superestructura (P
EQ):

El Art. 3.10.9.1 AASHTO LRFD establece para los puentes de un solo tramo,
independientemente de la zona sísmica en que se encuentren, una solicitación
mínima de diseño en una unión restringida entre superestructura y subestructura
no menor al producto entre el coeficiente de sitio, el coeficiente de aceleración
y la carga permanente tributaria, es decir:

P
EQ=P
DC+DW.A.S=13.8Ton/m x 0.3 x 1.2

P
EQ=4.97 Ton/m

Y
A = 6.25m

c) Fuerza inercial del estribo:

De acuerdo a la Fig. A11.1.1.1-1 AASHTO LRFD:

W  = peso del estribo y terreno tributario=21.07 + 34.60= 55.67Ton/m
Y
A  = C.G. del estribo y terreno tributario

m045.3
m/T67.55
)m902.3(m/T60.34)m64.1(m/T07.21
Y
A
=
+
=

K
h=0.5A

EQ
estrib=K
h.W=0.15x55.67Ton/m

EQ
estrib=8.35 Ton/m

   Y
A  = 3.045m

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V-33
Cargas BR (frenado)
BR= 1.99 Ton/m

Y
A = 8.80m

Resumen Cargas HorizontalesResumen Cargas HorizontalesResumen Cargas HorizontalesResumen Cargas Horizontales
CARGACARGACARGACARGA     TIPOTIPOTIPOTIPO     H (Ton/m)H (Ton/m)H (Ton/m)H (Ton/m)    YYYY
AAAA    (m)(m)(m)(m)    MMMM
HHHH    (Ton(Ton(Ton(Ton----m/m)m/m)m/m)m/m)
LS
x LS 2.70 3.500 9.43
EH EH 15.72 2.333 36.68
EQ
terr EQ 4.70 3.500 16.44
P
EQ EQ 4.97 6.250 31.05
EQ
estrib EQ 8.35 3.045 25.43
BR BR 1.99 8.800 17.51
Σ= 38.42 136.55

A)   ESTADOS LÍMITES APLICABLES Y COMBINACIONES DE CARGAS

Tomamos en cuenta los estado límites de Resistencia I y Evento Extremo I aplicables en
este caso y con un valor n=n
Dn
Rn
I=1
Para el chequeo de estabilidad al vuelco y deslizamiento observando en el gráfico las
cargas actuantes, utilizamos los factores γ máximos para las cargas horizontales que
generan vuelco alrededor del punto A y deslizamiento en la base (EH y LS) y los
factores de carga γ mínimos en las cargas verticales que generan estabilidad (DC y EV)
para de esta manera maximizar las condiciones críticas de vuelco y deslizamiento en la
estructura. Este caso será denominado Ia.
Para el chequeo de presiones en la base empleamos los factores γ máximos en cargas
verticales y horizontales para maximizar efectos. A este caso lo denominaremos Ib.
El chequeo de agrietamiento por distribución de armadura en la pantalla se realizará
para el estado límite de Servicio I.

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-34

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-35
B)  CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS

a)a)a)a) Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”

Cálculo de e
máx:

- Estado límite de Resistencia (AASHTO, Art. 11.6.3.3):
Se debe mantener la resultante en la base del cimiento dentro de la mitad
central (e≤B/4), excepto el caso de suelo rocoso en que se mantendrá en
los ¾ centrales (e≤3/8B).

Es decir e
máx = B/4 = (0.25)5.10m = 1.28m

- Estado límite de Evento Extremo (AASHTO, Art. 11.6.5):
Cuando γ
EQ=0, se debe mantener la resultante en la base del cimiento
dentro de los 2/3 centrales del cimiento para cualquier suelo (e≤1/3B).

Cuando γ
EQ=1, mantener la resultante dentro de los 8/10 centrales del
cimiento para cualquier suelo (e≤2/5B).

Para valores de γ
EQ entre 0 y 1.0, interpolar linealmente entre los valores
especificados . En nuestro caso, utilizando γ
EQ=0.5, la interpolación señala
el límite e≤11/30B.

Es decir e
máx = (11/30)Bm = (0.367)5.10m = 1.87m



b)b)b)b) DeslizamiDeslizamiDeslizamiDeslizamiento en base del estriboento en base del estriboento en base del estriboento en base del estribo

Con:
μ = tg Ø
f = 0.577 (Art. 10.6.3.3)

Ø
τ= 0.80, estado límite de Resistencia (Tabla 10.5.5.2.2-1).
    =1.00, estado límite de Evento Extremo (Art. 11.6.5)

Estados V
u
(Ton/m)
RESISTENTE (Ton/m)
F
f =μ (Ø
τV
u)
ACTUANTE (Ton/m)
H
u

Resistencia Ia 71.09 32.82 31.78      O.K!
Resistencia Ib 112.92 52.13 31.78      O.K!
Evento Extremo Ia 67.12 38.73 43.94      N.S.
Evento Extremo Ib 97.09 56.02 43.94      O.K!

Estado V
u
(Ton/m)
M
vu
(Ton-m/m)
M
hu
(Ton-m/m)
u
huvu
oV
MM
x
−
=
(m)
)
o
x
2
B
(e −=

(m)

e
max(m)
Resistencia Ia 71.09 207.06 102.18 1.48 1.07 1.28  O.K!
Resistencia Ib 112.92 305.73 102.18 1.80 0.75 1.28  O.K!
Evento Extremo Ia 67.12 192.27 141.42 0.76 1.79 1.87  O.K!
Evento Extremo Ib 97.09 270.17 141.42 1.33 1.22 1.87  O.K!

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V-36
.70
p
pk  x1.925x1.50=8.49 Ton
p
1.50
.70
k  x1.925x2.20=12.45 Ton
E  =7.33 Ton
El estado límite de Evento Extremo Ia, no es satisfactorio por lo que colocamos
un diente de concreto de sección 0.70mx0.70m. en la base como se muestra
en la figura; consideramos la resistencia pasiva del suelo sólo en el ámbito del
diente.

De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es k
p=6.3 (con
Ø
f=30° y β=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación,
R=0.467 (con õ/Ø
f=0).

Luego:
k
p = R k
p(õ=Ø)

k
p = 0.467(6.3) = 2.94

La resistencia pasiva es:

E
p=½(8.49Ton/m + 12.45Ton/m) x 0.70m = 7.33Ton

Para el estado límite de Para el estado límite de Para el estado límite de Para el estado límite de Evento Extremo Evento Extremo Evento Extremo Evento Extremo Ia, agreIa, agreIa, agreIa, agregando el diente de concreto se gando el diente de concreto se gando el diente de concreto se gando el diente de concreto se
tiene:tiene:tiene:tiene:
Q
R = ØτQτ+ Ø
epQ
ep (10.6.3.3-1)
Con:
ØτQτ = 38.73Ton
Ø
ep    = 1.00 (Art. 11.6.5)
Q
ep    = 7.33Ton

Q
R = 38.73Ton + 1.00(7.33Ton)=46.06Ton46.06Ton46.06Ton46.06Ton    > > > > 43.94Ton43.94Ton43.94Ton43.94Ton    OK!OK!OK!OK!


c)c)c)c) Presiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estribo

Capacidad de carga factorada del terreno (q
R)

1) Estado límite de Resistencia, con Ø
b = 0.45 (Tabla 10.5.5.2.2-1):

q
R=Ø
b q
n   (10.6.3.1.1-1)

            q
R=Ø
b(FS.q
adm)=0.45(3x2.67kg/cm²) = 3.60kg/cm²

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V-37
2) Estado límite de Evento Extremo, con Ø
b = 1.00 (Art. 11.6.5):

q
R=Ø
b q
n   (10.6.3.1.1-1)

            q
R=Ø
b(FS.q
adm)=1.00(3x2.67kg/cm²) = 8.01kg/cm²

3) Estado límite de Servicio:

            q
adm= 2.67kg/cm²



CASO ICASO ICASO ICASO IIIII    ––––    ESTRIBO ESTRIBO ESTRIBO ESTRIBO SISISISIN PUENTEN PUENTEN PUENTEN PUENTE

A) ESTADOS LÍMITES APLICABLES Y COMBINACIONES DE CARGAS




























Estado V
u
(Ton/m)
M
vu
(Ton-m/m)
M
hu
(Ton-m/m)
u
huvu
oV
MM
x
−
=
(m)
)
o
x
2
B
(e −=
(m)

e2B
V
q
U
−
=

(kg/cm
2 )
Resistencia Ia 71.09 207.06 102.18 1.48 1.07 2.41<3.60 O.K!
Resistencia Ib 112.92 305.73 102.18 1.80 0.75 3.13<3.60 O.K!
Evento Extremo Ia 67.12 192.27 141.42 0.76 1.79 4.4 3<8.01 O.K!
Evento Extremo Ib 97.09 270.17 141.42 1.33 1.22 3.66<8.01 O.K!
Servicio I 82.14 222.79 63.63 1.94 0.61 2.12<2.67 O.K!

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-38
































B)  CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS

a)a)a)a) Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”



b)b)b)b) Deslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estribo

Con:
μ = tg Ø
f = 0.577 (Art. 10.6.3.3)

Ø
τ= 0.80, estado límite de Resistencia (Tabla 10.5.5.2.2-1).
    =1.00, estado límite de Evento Extremo (Art. 11.6.5)
Estado V
u
(Ton/m)
M
vu
(Ton-m/m)
M
hu
(Ton-m/m)
u
huvu
o
V
MM
x
−
=
(m)
)
o
x
2
B
(e −=

(m)

e
max=B/4
      (m)
Resistencia Ia 59.12 186.11 71.53 1.94 0.61 1.28  O.K!
Resistencia Ib 78.61 245.68 71.53 2.22 0.33 1.28  O.K!
Evento Extremo Ia 55.15 171.32 101.61 1.26 1.29 1.87  O.K!
Evento Extremo Ib 74.64 230.89 101.61 1.73 0.82 1.87  O.K!

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V-39
.70
p
pk  x1.925x1.50=8.49 Ton
p
1.50
.70
k  x1.925x2.20=12.45 Ton
E  =7.33 Ton
Estados V
u
(Ton/m)
RESISTENTE (Ton/m)
F
f =μ (Ø
τV
u)
ACTUANTE (Ton/m)
H
u

Resistencia Ia 59.12 27.29 28.30      N.S.
Resistencia Ib 78.61 36.29 28.30      O.K!
Evento Extremo Ia 55.15 31.82 37.98      N.S.
Evento Extremo Ib 74.64 43.07 37.98      O.K!


Los estados límites de
Resistencia Ia y Evento Extremo Ia, no son
satisfactorios. Luego, haciendo uso de la resistencia pasiva proporcionada por
el diente de concreto de sección 0.70mx0.70m. se tiene:

De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es k
p=6.3 (con
Ø
f=30° y β=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación,
R=0.467 (con õ/Ø
f=0).

Luego:
k
p = R k
p(õ=Ø)

k
p = 0.467(6.3) = 2.94

La resistencia pasiva es:

E
p=½(8.49Ton/m + 12.45Ton/m) x 0.70m = 7.33Ton

- Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se
tiene:tiene:tiene:tiene:
Q
R = ØτQτ+ Ø
epQ
ep (10.6.3.3-1)
Con:
ØτQτ = 27.29Ton
Ø
ep    = 0.50 (Tabla 10.5.5.2.2-1)
Q
ep    = 7.33Ton

Q
R = 27.29Ton + 0.50(7.33Ton)=30.9530.9530.9530.95Ton > 28.30 OK!Ton > 28.30 OK!Ton > 28.30 OK!Ton > 28.30 OK!

- Para el estado límite de Para el estado límite de Para el estado límite de Para el estado límite de Evento Extremo Evento Extremo Evento Extremo Evento Extremo Ia, agregando el diente de concreto se Ia, agregando el diente de concreto se Ia, agregando el diente de concreto se Ia, agregando el diente de concreto se
tiene:tiene:tiene:tiene:
Q
R = ØτQτ+ Ø
epQ
ep (10.6.3.3-1)

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-40
P
5.90
0.60
0.75
1.80m
Terreno equiv. por s/c
P
BR
EH
EQ
EQ
1.97
pp' p''
LS
2.95
0.75
2.80
EQ
estrib
Con:
ØτQτ = 31.82Ton
Ø
ep    = 1.00 (Art. 11.6.5)
Q
ep    = 7.33Ton

Q
R = 31.82Ton + 1.00(7.33Ton)=33339.159.159.159.15Ton > 3Ton > 3Ton > 3Ton > 37.98Ton7.98Ton7.98Ton7.98Ton    OK!OK!OK!OK!

c)c)c)c) Presiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estribo



CÁLCULO DEL ACEROCÁLCULO DEL ACEROCÁLCULO DEL ACEROCÁLCULO DEL ACERO

1) DISEÑO DE PANTALLA1) DISEÑO DE PANTALLA1) DISEÑO DE PANTALLA1) DISEÑO DE PANTALLA




Estado V
u
(Ton/m)
M
vu
(Ton-m/m)
M
hu
(Ton-m/m)
u
huvu
o
V
MM
x
−
=
(m)
)
o
x
2
B
(e −=
(m)

e2B
V
q
U
−
=

(kg/cm
2 )
Resistencia Ia 59.12 186.11 71.53 1.94 0.61 1.53<3.60 O.K!
Resistencia Ib 78.61 245.68 71.53 2.22 0.33 1.77<3.60 O.K!
Evento Extremo Ia 55.15 171.32 101.61 1.26 1.29 2.1 8<8.01 O.K!
Evento Extremo Ib 74.64 230.89 101.61 1.73 0.82 2.15<8.01 O.K!
Servicio I 58.85 182.03 46.11 2.31 0.24 1.27<2.67 O .K!

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-41
90cm
z d
CARGAS EN BASE DE PANTALLACARGAS EN BASE DE PANTALLACARGAS EN BASE DE PANTALLACARGAS EN BASE DE PANTALLA
CARGACARGACARGACARGA     CARGA DISTRIBUIDA (Ton/m)CARGA DISTRIBUIDA (Ton/m)CARGA DISTRIBUIDA (Ton/m)CARGA DISTRIBUIDA (Ton/m)     Carga(Ton)Carga(Ton)Carga(Ton)Carga(Ton)     Y YYY
PPPP(m)(m)(m)(m)     M(TM(TM(TM(T----m)m)m)m)
LS p”=0.333x0.60x1.925=0.385 0.385x5.90=2.27 2.95 6.70
EH p=0.333x5.90x1.925=3.786 0.5x5.90x3.786=11.17 1.97 21.96
EQ
terr p’=0.5(0.4330.333)5.9x1.925=0.566 0.566x5.90=3.34 2.95 9.84
P
EQ - 4.97 5.15 25.59
EQ
estri - 6.20 2.80 17.33
BR - 1.99 7.70 15.32

Donde para EQ
estr :

W  = peso estribo y terreno tributario sobre P =7.61 + 33.72= 41.33Ton/m
K
h=0.5A
EQ
estrib=K
h.W=0.15x41.33Ton/m = 6.20Ton/m
Y
P  = C.G. del estribo y terreno tributario sobre P = 2.80m

a)a)a)a) Acero Por FlexiónAcero Por FlexiónAcero Por FlexiónAcero Por Flexión

Momento de diseño en la base de la pantalla:

Estado límite de Resistencia I, con n= nEstado límite de Resistencia I, con n= nEstado límite de Resistencia I, con n= nEstado límite de Resistencia I, con n= n
DDDDnnnn
RRRRnnnn
IIII=1:=1:=1:=1:

M
u = n[1.75M
LS + 1.50M
EH + 1.75M
BR]  (Tabla 3.4.1-1)

    = 1.00[1.75(6.70T-m)+1.50(21.96T-m)+1.75(15.32T-m)]

    = 71.49T-m

Estado límite de Evento Extremo I, con n= nEstado límite de Evento Extremo I, con n= nEstado límite de Evento Extremo I, con n= nEstado límite de Evento Extremo I, con n= n
DDDDnnnn
RRRRnnnn
IIII=1:=1:=1:=1:

M
u = n[0.50M
LS + 1.50M
EH + 1.00M
EQ + 0.50M
BR]   (Tabla 3.4.1-1)

   =1.00[0.50(6.70T-m)+1.50(21.96T-m)+1.00(9.84+25. 59+17.33)T-m

      +0.50(15.32T-m)] = 96.72T-m


Con M
u= 96.72T-m, A
s= 1∅1”, recubrimiento r= 7.5cm    (Tabla 5.12.3-1)

cm77.8
2
54.2
5.7z =+=

d= 90cm – 8.77cm =81.23cm

cm97.6
100x210x85.0
4200xA
bf85.0
fA
a
s
'
c
ys
===

m17.0
62.29
10.5
s²,cm62.29
)
2
a
23.81(4200x0.1
10x00.96
)
2
a
d(fØ
M
A
"1Ø
5
yf
u
s ===
−
=
−
=

(Ø
f=1.0, según Art. 11.6.5 para estado límite de Evento Extremo)

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-42
As máximo   (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /d
e ≤ 0.42

c  = a / β
1 = 6.97cm / 0.85 = 8.20cm
d
e = 81.23cm
c /d
e = 0.10 ≤ 0.42 OK!

As mínimo   (Art. 5.7.3.3.2)

La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor
de1.2M
cr y 1.33M
u:

a) 1.2M
cr  = 1.2f
r S = 1.2(29.13kg/cm
2
)(135,000cm
3
) = 47.19T-m

Siendo:

22'
c
'
cr
cm/kg13.2921001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====
S = bh
2
/6 = 100(90)
2
/6 = 135,000cm
3


b) 1.33 M
u= 1.33(96.72T-m) = 128.64T-m

El menor valor es 47.19T-m y la cantidad de acero calculada (29.62cm
2
)
resiste M
u=96.72T-m >47.19T-m OK!

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1111” @ 0.” @ 0.” @ 0.” @ 0.11117777mmmm

b)b)b)b) As de temperaturaAs de temperaturaAs de temperaturaAs de temperatura

]SI[
F
A
756.0A
y
g
temps
= (5.10.8.2-1)
]cm/kg4200fcon,MKS[A0018.0A
2
ygtemps
==

Siendo la pantalla de sección variable, tomamos conservadoramente un grosor
de 0.80m:

2
temps
cm2.16)100x90(0018.0A ==

capa/cm10.82/cm2.16A
22
temps
==
Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: m24.0
10.8
00.2
s ==

s
máx = 3t = 3(0.90)= 2.70m (Art.5.10.8)
s
máx = 0.45m  OK! (Art.5.10.8)

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅5555////8888” @ 0.” @ 0.” @ 0.” @ 0.24242424    mmmm

Nota.- El acero de temperatura se colocará por no contar con ningún tipo de
acero en el sentido perpendicular al acero principal de la pantalla y también en
la cara de la pantalla opuesta al relleno, en ambos sentidos.

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V-43
1Ø1"@0.17
90 cm
17 cm
d
d
cc
b
c) Revisión Revisión Revisión Revisión dddde e e e ffffisuración isuración isuración isuración ppppor or or or ddddistribución istribución istribución istribución dddde e e e aaaarmadurarmadurarmadurarmadura (Art. 5.7.3.4)

Esfuerzo máximo del acero:

y3/1
c
sa f6.0
)Ad(
Z
f ≤= (5.7.3.4-1)

Para el acero principal:
2
Ø
ntorecubrimied
)4.3.7.5.Art(cm5
c +=
≤
44 344 21

cm
2
54.2
cm5d
c +=
d
c  = 6.27cm
b   = espac. del acero = 17cm

n
v  = número de varillas = 1

2
v
c
cm18.213
1
)cm17)(cm27.6x2(
n
b)d2(
A === (Art. 5.7.3.4)

Z = 30,000N/mm (considerando exposición moderada) (Art. 5.7.3.4)

   = 30,600Kg/cm

Luego:
2
3/12
sa
cm/kg778,2
)cm18.213xcm27.6(
cm/kg600,30
f ==

22
sa
cm/kg520,2)cm/kg4200(6.0f =≤

2
sa
cm/kg520,2f=

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

n
I
cM
f
s
s=

Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= n
Dn
Rn
I=1:

)M0.1M0.1M0.1(nM
BREHLSs
++= (Tabla 3.4.1-1)

M
s = 1.0(6.70T-m+21.96T-m+15.32T-m)

M
s = 43.99T-m/m

Para un ancho tributario de 0.17m:

M
s = (43.99T-m/m) (0.17m) = 7.48T-m

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V-44
c=81.23-y
1Ø1"@0.17
Ast=9x5.10cm²=45.90cm²
90 cm
y
81.23
(+)
(fs/n)
(-)
17 cm
8.77
E
s =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm
2
   (5.4.3.2)

'
cc
f344,15E= (5.4.2.4-1)
2
c
cm/kg356,222210344,15E ==

9
cm/kg356,222
cm/kg400,039'2
E
E
n
2
2
c
s
===

Área de acero transformada:

A
st = relación modular x área de acero
A
st = 9(5.10cm
2
) = 45.90cm
2

Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

17y (y/2) = 45.90(81.23-y)

y = 18.42cm,   c=81.23cm-y = 62.81cm

Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:
3
by
cAI
3
2
st
+=

3
)42.18(17
)81.62(90.45
3
2
+=

  =216,496cm
4

Luego:

2
5
s
s
cm/kg953,19x
496,216
81.62x10x48.7
n
I
cM
f ===

!OKcm/kg520,2fcm/kg953,1f
2
sa
2
s =<=

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V-45
d)d)d)d) RRRRevisión por cortevisión por cortevisión por cortevisión por corteeee

Típicamente el corte no gobierna el diseño de un muro de contención; sin
embargo revisaremos el grosor de la pantalla para confirmar que no se
requiere armadura transversal.

El cortante actuante en la base de la pantalla para el estado límite de
Resistencia I, con n= n
Dn
Rn
I=1, es:

V
u = n[1.75 V
LS+1.50 V
EH +1.75 V
BR]          (Tabla 3.4.1-1)

     = 1.00[1.75(2.27T) + 1.50(11.17T)+1.75(1.99T)]

     = 24.21T

El cortante actuante en la base de la pantalla para el estado límite de Evento
Extremo I, con n= n
Dn
Rn
I=1, es:

V
u = n[0.5 V
LS+1.50 V
EH +1.00 V
EQ +0.5 V
BR] (Tabla 3.4.1-1)

     =1.00[0.5(2.27T)+1.50(11.17T)+1.0(3.34+4.97+6.20)+0. 5(1.99T)]

     = 33.39T

Luego V
u = 33.39T

El cortante resistente del concreto es:

V
r = Ø V
n (5.8.2.1-2)
        Ø = 1.0             (Art. 11.6.5)

          V
n = V
c+V
s+ V
p (5.8.3.3.-1)
siendo V
n el menor de:
V
n = 0.25f’
cb
vd
v + V
p   (5.8.3.3-2)


]N[dbf083.0V
vv
'
cc
β= (5.8.3.3-3)

para
β=2 (Art. 5.8.3.4):
]kg[dbf53.0V
vv
'
cc
=

T71.59)75.77x100(21053.0dbf53.0V
vv
'
cc ===

donde:
b
v  = ancho de diseño de pantalla= 100 cm
d
e = 81.23cm
cm75.77
2
97.6
23.81
2
a
defectivocortedeperalted
ev =−=−== (Art.
5.8.2.9)
no menor que el 0.90d
e= 0.90(81.23 cm) = 73.11cm  OK!
mayor valor de 0.72h = 0.72(90 cm) = 64.80cm

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V-46
Talón
h'=0.60
Terreno equiv. por s/c
EV=33.73T
y
LS =2.75mx0.60mx1.0mx1.925T/m
.35
5.90
1.10
3.10
2.75
1.61
1.90
0.60
=3.18T
3
DC =3.10mx1.0mx1.10mx2.4T/m
3
=8.18T
B
B-2e
q
As superior
1.73
Con V
p=0 y V
s=0   V
n = 59.71T
el menor valor de     V
n = 0.25 x 210 x 100 x 77.75 = 408.19T

es:  V
n = 59.71T

La resistencia del concreto al corte es:

V
r = ØV
n = 1.0(59.72T) = 55559.79.79.79.71111T > T > T > T > 33333.393.393.393.39TTTT   OK!

2) DISEÑO DE CIMENTACIÓN2) DISEÑO DE CIMENTACIÓN2) DISEÑO DE CIMENTACIÓN2) DISEÑO DE CIMENTACIÓN


a)a)a)a)
Acero Acero Acero Acero parte superior de zapataparte superior de zapataparte superior de zapataparte superior de zapata


Momento de diseño en cara vertical de pantalla, estado límite de Resistencia
Ib, con n= n
Dn
Rn
I=1, despreciando del lado conservador la reacción del suelo:

M
u = n[1.25 M
DC +1.35 M
EV +1.75 M
LS]   (Tabla 3.4.1-1)

    = 1.00[1.25(8.18T x 1.55m) + 1.35(33.73T x 1.61m)
+ 1.75(3.18T x 1.73m)]

    = 98.78T-m

Omitimos el estado de Evento Extremo I, pues no es crítico en este caso.

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-47
Utilizando acero ∅1” y recubrimiento r= 7.5cm (Tabla 5.12.3-1)

cm77.8
2
54.2
5.7
2
Ø
recubz =+=+=
d= 110cm – 8.77cm = 101.23cm

2
y
u
s
cm64.26
)
2
a
d(f9.0
M
A =
−
= , (con Ø=0.9, según 5.5.4.2)
cm27.6
bf85.0
fAs
a
'
c
y
==
Utilizando varillas ∅1”, la separación será: m19.0
64.26
10.5
s ==

As máximo   (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /d
e ≤ 0.42

c  = a / β
1 = 6.27 / 0.85 = 7.37cm
d
e = 101.23cm
c /d
e = 0.07 ≤ 0.42 OK!

As mínimo   (Art. 5.7.3.3.2)
La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor
de1.2M
cr y 1.33M
u:

a) 1.2M
cr  = 1.2f
r S = 1.2(29.13kg/cm
2
)(201,667cm
3
) = 70.49T-m

Siendo:
22'
c
'
cr
cm/kg13.2921001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====
S = bh
2
/6 = 100(110)
2
/6 = 201,667cm
3


b) 1.33 M
u= 1.33(98.78T-m) = 131.38T-m

El menor valor es 70.49T-m y la cantidad de acero calculada (26.64cm
2
)
resiste M
u=98.78T-m >70.49T-m OK!

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1111” @ 0.1” @ 0.1” @ 0.1” @ 0.19999mmmm

b)b)b)b) As de temperaturaAs de temperaturaAs de temperaturaAs de temperatura


gtemps
A0015.0A
= (5.10.8.2-2)
2
temps
cm5.16)110x100(0015.0A ==
capa/cm25.82/cm5.16A
22
temps
==
Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: m24.0
25.8
00.2
s ==
s
máx = 0.30m  OK! (Art.5.10.8)

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅5/8” @ 0.24 m5/8” @ 0.24 m5/8” @ 0.24 m5/8” @ 0.24 m

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V-48
Nota.- El acero de temperatura se colocará por no contar con ningún tipo de
acero, perpendicular al acero de flexión, tanto en el talón como en la punta del
cimiento.

c)c)c)c) RRRRevisión evisión evisión evisión del talón del talón del talón del talón por cortepor cortepor cortepor corte

El cortante actuante en el talón para el estado límite de Resistencia I, con n=
n
Dn
Rn
I=1, es:

V
u = n[1.25 V
DC + 1.35 V
EV +1.75 V
LS]    (Tabla 3.4.1-1)

     = 1.00[1.25(8.18T) + 1.35(33.73T) +1.75(3.18T)]

     = 61.32T

Se omite el estado de Evento Extremo I, pues no gobierna el diseño.

El cortante resistente del concreto es:

V
r = Ø V
n (5.8.2.1-2)
        Ø = 0.9           (5.5.4.2)
            V
n = V
c+V
s+ V
p   (5.8.3.3.-1)
siendo V
n el menor de:
                                             V
n = 0.25f’
cb
vd
v +V
p (5.8.3.3-2)

      ]N[dbf083.0V
vv
'
cc
β= (5.8.3.3-3)

para β=2 (Art. 5.8.3.4): ]kg[dbf53.0V
vv
'
cc
=

T35.75)10.98x100(21053.0dbf53.0V
vv
'
cc
===

donde:

b
v  = ancho de diseño de zapata = 100 cm
d
e = 101.23cm
cm10.98
2
27.6
23.101
2
a
defectivocortedeperalted
ev =−=−== (Art.
5.8.2.9)
no menor que el 0.90d
e= 0.90(101.23cm) = 91.11cm  OK!
mayor valor de 0.72h = 0.72(110cm) = 79.20cm

Con V
p=0 y V
s=0   V
n = 75.35T
el menor valor de      V
n = 0.25 x 210 x 100 x 98.10 =515.03T

es:  V
n = 75.35T

La resistencia del concreto al corte es:

V
r = ØV
n = 0.9(75.18T) = 67.67.67.67.81818181T > T > T > T > 66661.321.321.321.32TTTT   OK!

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-49
B
=4.43kg/cm
B-2e
q
DC
As parte inferior zapata EV
d
flexión
corte
Talón Punta
d)d)d)d) Acero Acero Acero Acero en fondo de zapaen fondo de zapaen fondo de zapaen fondo de zapatatatata

Para el estado límite de Evento Extremo Ia, con q
u= 4.43kg/cm²,
despreciando del lado conservador el peso del terreno (EV) y de la punta de
zapata (DC), el momento actuante en cara de pantalla es:

mT80.26m1x
2
)m10.1(
x²m/T30.44M
2
u
−==

Utilizando 1∅5/8” @0.23m (A
s=2.00cm² / 0.23m = 8.70cm²/m)

siendo:

recubrimiento = 7.5cm (Tabla 5.12.3-1)

cm30.8
2
59.1
5.7
2
Ø
recubz =+=+=
d= 110cm – 8.30cm = 101.7cm

cm05.2
100x210x85.0
)4200(70.8
bf85.0
fA
a
'
c
ys
===

Ø
f=1.0, según Art. 11.6.5 para estado límite de Evento Extremo

mT80.26mT79.36)
2
05.2
7.101(70.8x4200x0.1)
2
a
d(AØfM
syu −>−=−=−=


As máximo   (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /d
e ≤ 0.42

c  = a / β
1 = 2.05 / 0.85 = 2.41cm
d
e = 101.7cm
c /d
e = 0.02 ≤ 0.42 OK!

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-50
As mínimo   (Art. 5.7.3.3.2)

La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor
de1.2M
cr y 1.33M
u:
a) 1.2M
cr  = 1.2f
r S = 1.2(29.13kg/cm
2
)(201,667 cm
3
) = 70.49T-m

Siendo:
22'
c
'
cr
cm/kg13.2921001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====
S = bh
2
/6 = 100(110)
2
/6 = 201,667cm
3


b) 1.33 M
u= 1.33(26.98T-m) = 35.88T-m

El menor valor es 35.88T-m y la cantidad de acero propuesta (8.70cm
2
)
resiste M
u=36.79T-m >35.88T-m OK!

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅5/85/85/85/8” @ 0.” @ 0.” @ 0.” @ 0.23232323mmmm

e)e)e)e) RRRRevisión evisión evisión evisión de la punta de la punta de la punta de la punta por cortpor cortpor cortpor corteeee


Cálculo de d
v (Art. 5.8.2.9):
cm68.100
2
05.2
7.101
2
a
defectivocortedeperalted
ev =−=−==
no menor que el 0.90d
e= 0.90(101.7cm) = 91.53cm  OK!
mayor valor de 0.72h = 0.72(110cm) = 79.20cm

Debiendo tomar el cortante actuante a una distancia d
v de la cara de la
pantalla, el cortante actuante es:

m/Ton11.4)m01.1m10.1(m/T3.44)dL(qV
2
vpuntauu
=−=−=

El cortante resistente del concreto es:

V
r = Ø V
n (5.8.2.1-2)

        Ø = 1.0           (Art. 11.6.5)

          V
n = V
c+V
s+ V
p (5.8.3.3.-1)
siendo V
n el menor de:
V
n = 0.25f’
cb
vd
v + V
p   (5.8.3.3-2)

      ]N[dbf083.0V
vv
'
cc β= (5.8.3.3-3)

para β=2 (Art. 5.8.3.4): ]kg[dbf53.0V
vv
'
cc=
T33.77)68.100x100(21053.0dbf53.0V
vv
'
cc
===

Con V
p=0 y V
s=0   V
n = 77.33T
el menor valor de      V
n = 0.25 x 210 x 100 x 100.68 =528.57T

es:  V
n = 77.33T

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
V-51
DISPOSICIÓN DE ARMADURA EN ESTRIBO
1φ1"@0.17
1φ1"@0.19
1φ5/8"@0.24
1φ5/8"@0.24
1φ5/8"@0.23
1φ5/8"@0.24
1φ5/8"@0.24
La resistencia del concreto al corte es:

V
r = ØV
n = 1.0(77.33T) = 77.77.77.77.33333T3T3T3T > > > > 4.4.4.4.11111111TTTT OK!

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-1
CAP VI:CAP VI:CAP VI:CAP VI:     PILARESPILARESPILARESPILARES

1. REFUERZO MÁXIMO Y MÍNIMO EN MIEMBROS A COMPRESIÓ N 1. REFUERZO MÁXIMO Y MÍNIMO EN MIEMBROS A COMPRESIÓ N 1. REFUERZO MÁXIMO Y MÍNIMO EN MIEMBROS A COMPRESIÓ N 1. REFUERZO MÁXIMO Y MÍNIMO EN MIEMBROS A COMPRESIÓ N
(Art.
5.7.4.2)

La máxima sección de armadura longitudinal pretensada y no pretensada deberá ser
tal que:

08.0
fA
fA
A
A
yg
pups
g
s
≤+    (5.7.4.2-1)
30.0
fA
fA
'
cg
peps
≤ (5.7.4.2-2)

La mínima sección de armadura longitudinal pretensada y no pretensada deberá ser
tal que:

135.0
fA
fA
fA
fA
'
cg
pups
'
cg
ys
≥+ (5.7.4.2-3)

donde:

A
ps =   área de acero del pretensado
A
s  =   área de la armadura de tracción no pretensada
A
g  =   área bruta de la sección
f
pu  =   resistencia a la tracción especificada del acero de pretensado
f
y   =   tensión de fluencia especificada de las barras de armadura
f’
c  =   resistencia a la compresión especificada del hormigón a 28 días
f
pe  =   tensión de pretensado efectiva

El mínimo número de barras de armadura longitudinal deberá ser seis para
disposiciones circulares y cuatro para disposiciones rectangulares. El tamaño mínimo de
barra será Nº 16.
Para puentes en Zonas Sísmicas 1 y 2 se puede utilizar una sección efectiva
reducida si la sección transversal es mayor que la requerida para resistir las cargas
aplicadas. El mínimo porcentaje de armadura longitudinal total (pretensada y no
pretensada) del área efectiva reducida será uno por ciento o el valor obtenido de la
Ecuación 3, cualquiera sea el valor que resulte mayor.

2. EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ2. EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ2. EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ2. EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ (Art. 5.7.4.3)

Para los elementos desplazables, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar
si:
22
r
KL
u
<
Para los elementos que no se desplazan, los efectos de la esbeltez se pueden
despreciar si:
2
1u
M
M
1234
r
KL
−<

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-2
siendo M1 y M2 el menor y mayor momento de extremo respectivamente, y el término
(M1/M2) positivo para flexión de curvatura única.

Para el diseño de elementos comprimidos no pretensados con Kl
u /r<100, se
puede utilizar el siguiente procedimiento aproximado:

- El diseño se basa en una carga axial mayorada P
u, determinada mediante análisis
elástico y un momento mayorado amplificado M
c, como se especifica en el Art.
4.5.3.2.2b.
- La longitud sin apoyo lateral L
u de un elemento comprimido se toma como la
distancia libre entre elementos capaces de proveer apoyo lateral a los elementos
comprimidos. Si hay acartelamientos, la longitud sin apoyo lateral se toma hasta el
extremo de cualquier acartelamiento en el plano considerado.
- El radio de giro r se calcula para la sección bruta del hormigón.
- Para los elementos sin desplazamiento, a menos que mediante un análisis se
demuestre que es posible utilizar un valor menor, K = 1.0.
- Para los elementos que se desplazan, K se determina considerando debidamente
los efectos de la fisuración y las armaduras sobre la rigidez relativa, y nunca se
tomará menor que 1.0.

En ausencia de cálculos más precisos, el valor EI para determinar P
e se toma como
el valor mayor entre:

d
ss
gc
1
IE
5
IE
EI
β+
+
= (5.7.4.3-1)

d
gc
1
5.2
IE
EI
β+
= (5.7.4.3-2)

donde:

E
c =   módulo de elasticidad del hormigón
I
g =   momento de inercia de la sección bruta de hormigón respecto del eje
baricéntrico
E
s =   módulo de elasticidad del acero longitudinal
I
s =   momento de inercia del acero longitudinal respecto del eje baricéntrico
β
d =   relación entre los máximos momentos debidos a la carga permanente mayorados
y el máximo momento debido a la carga total mayorado; siempre positivo.

3. RESISTENCIA AXIAL3. RESISTENCIA AXIAL3. RESISTENCIA AXIAL3. RESISTENCIA AXIAL (Art. 5.7.4.4)

La resistencia axial mayorada de los elementos comprimidos de hormigón armado
simétricos respecto de ambos ejes principales se deberá tomar como:

P
r = Ø P
n (5.7.4.4-1)

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VI-3
- Para elementos con armadura en espiral:

[ ]
stystg
'
cn
Af)AA(f85.085.0P +−= (5.7.4.4-2)

- Para elementos zunchados:

[ ]
stystg
'
cn
Af)AA(f85.080.0P +−= (5.7.4.4-3)

donde:

P
r = resistencia axial mayorada, con o sin flexión
P
n = resistencia axial nominal, con o sin flexión
f’
c = resistencia especificada del hormigón a 28 días
A
g = área bruta de la sección
A
st = área total de la armadura longitudinal
f
y  = tensión de fluencia especificada de la armadura
Ø  = factor de resistencia (Art. 5.5.4.2)

4. FLEXIÓN BIAXIAL4. FLEXIÓN BIAXIAL4. FLEXIÓN BIAXIAL4. FLEXIÓN BIAXIAL (Art. 5.7.4.5)

En vez de realizar un análisis en base a condiciones de equilibrio y compatibilidad de
deformaciones para flexión biaxial, los elementos no circulares solicitados a flexión
biaxial y compresión se pueden dimensionar utilizando las siguientes expresiones
aproximadas:

- Si la carga axial mayorada es mayor o igual que 0.10 Ø f’
cA
g :

0ryrxrsy
PØ
1
P
1
P
1
P
1
−+= (5.7.4.5-1)

siendo:

yststg
'
c0
fA)AA(f85.0P +−= (5.7.4.5-2)

- Si la carga axial mayorada es menor que 0.10 Ø f’cAg :

0.1
M
M
M
M
ry
uy
rx
ux
≤+ (5.7.4.5-3)

donde:

Ø   =  factor de resistencia para elementos solicitados a compresión axial
P
rxy =  resistencia axial mayorada en flexión biaxial
P
rx  =   resistencia axial mayorada determinada sobre la base de que la excentricidad ey
es la única presente
P
ry  =   resistencia axial mayorada determinada sobre la base de que la excentricidad ex
es la única presente
P
u  =   fuerza axial mayorada aplicada
M
ux  =  momento mayorado aplicado respecto del eje X

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-4
M
uy  =  momento mayorado aplicado respecto del eje Y
e
x  =   excentricidad de la fuerza axial mayorada aplicada en la dirección X, es decir =
M
uy / P
u
e
y  =   excentricidad de la fuerza axial mayorada aplicada en la dirección Y, es decir =
M
ux / P
u

La resistencia axial mayorada P
rx y P
ry no se deberá tomar mayor que el producto
entre el factor de resistencia Ø y la máxima resistencia nominal a la compresión dada
por las Ecuaciones 5.7.4.4-2 ó 5.7.4.4-3, según corresponda.

5. ESPIRALES Y ZUNCHOS5. ESPIRALES Y ZUNCHOS5. ESPIRALES Y ZUNCHOS5. ESPIRALES Y ZUNCHOS (Art. 5.7.4.6)

El área de acero de los espirales y zunchos en puentes ubicados en Zonas Sísmicas
2, 3 ó 4 deberá satisfacer los requisitos especificados en el Art. 5.10.11.
Si el área de armadura en espiral y zunchos no está determinada por: requisitos de
diseño sismorresistente, corte o torsión según Art. 5.8, ni requisitos mínimos según
Art. 5.10.6, la relación entre la armadura en espiral y el volumen total del núcleo de
hormigón, medido entre las partes exteriores de los espirales, deberá satisfacer:

yh
'
c
c
g
s
f
f
)1
A
A
(45.0 −≥ρ (5.7.4.6-1)
donde:

A
g = área bruta de la sección de hormigón
A
c = área del núcleo medida hasta el diámetro exterior del espiral
f’
c = resistencia especificada del hormigón a 28 días
f
yh  = tensión de fluencia especificada de la armadura espiral

6. ARMADURA TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COM PRESIÓN6. ARMADURA TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COM PRESIÓN6. ARMADURA TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COM PRESIÓN6. ARMADURA TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COM PRESIÓN
    (Art. 5.10.6)
La armadura transversal de los elementos comprimidos puede consistir en zunchos
o en estribos cerrados.

Zunchos.- Pueden ser barras o alambre liso o conformado de un diámetro mínimo de
9.5 mm. La separación libre entre las barras del zuncho no deberá ser menor que 25
mm ó 1.33 veces el tamaño máximo del agregado. La separación entre centros no
deberá ser mayor que 6 veces el diámetro de las barras longitudinales ó 150 mm.
El anclaje de las armaduras en forma de zuncho se provee mediante 1.5 vueltas
adicionales de barra o alambre en cada uno de los extremos del zuncho. Para las Zonas
Sísmicas 3 y 4 la prolongación de la armadura transversal hacia los elementos con que
se conecta deberá satisfacer los requisitos del Art. 5.10.11.4.3.

Estribos cerrados.-  Estarán constituidos por:

-  Barras Nº10 para Barras Nº 32 o menores,
-  Barras Nº 13 para Barras Nº 36 o mayores, y
-  Barras Nº 13 para paquetes de barras.

La separación de los estribos cerrados no deberá ser mayor que la menor
dimensión del elemento comprimido ó 30 cm. Si hay dos o más barras mayores que una

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-5
barra Nº 32 dispuestas de modo que forman un paquete, la separación no deberá ser
mayor que la mitad de la menor dimensión del elemento ó 15 cm.
En lugar de barras se puede utilizar alambre conformado o malla de alambre soldado
de área equivalente.
Cada barra longitudinal de esquina tendrá un apoyo lateral provisto por la esquina
de un estribo con un ángulo interno no mayor de 135°. Ninguna barra deberá estar a
una distancia mayor que 61 cm de una de estas barras con apoyo lateral. Si el diseño
de la columna se basa en la capacidad de rotulación plástica, ninguna barra longitudinal
estará a una distancia mayor que 15 cm de una de estas barras con apoyo lateral.
La distancia vertical entre el estribo cerrado inferior y la zapata u otro apoyo y la
distancia vertical entre el estribo cerrado superior y la armadura horizontal más baja del
elemento soportado no deberán ser menores que la mitad de la separación entre
estribos.

7. AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS V7. AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS V7. AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS V7. AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS VIGAS IGAS IGAS IGAS ––––    COLUMNACOLUMNACOLUMNACOLUMNA (Art. 4.5.3.2.2b)

Los momentos o tensiones mayorados se pueden incrementar para que reflejen los
efectos de las deformaciones de la siguiente manera:

s2sb2bc
MMM δ+δ=    (4.5.3.2.2b-1)

s2sb2bc fff δ+δ= (4.5.3.2.2b-2)

siendo:

0.1
ØP
P
1
C
e
u
m
b ≥
−
=δ (4.5.3.2.2b-3)

0.1
PØ
P
1
1
e
u
s ≥
Σ
Σ
−
=δ    (4.5.3.2.2b-4)

donde:

P
u = carga axial mayorada
P
e = carga de pandeo de Euler
Ø  = factor de resistencia para compresión axial (Art. 5.5.4.2)
M
2b= momento en el elemento comprimido debido a las cargas gravitatorias mayoradas
que no provoca desplazamiento lateral apreciable calculado mediante un análisis
de pórtico elástico convencional de primer orden, siempre positivo
f
2b = tensión correspondiente a M
2b
M
2s= momento en un elemento comprimido debido a cargas laterales o gravitatorias
mayoradas que provocan un desplazamiento lateral, P, mayor que L
u /1500,
calculado mediante un análisis de pórtico elástico convencional de primer orden,
siempre positivo
f
2s = tensión correspondiente a M
2s

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-6
Para columnas compuestas de acero/hormigón la carga de pandeo de Euler, P
e , se
deberá determinar como se especifica en Art. 6.9.5.1. Para todos los demás casos P
e
se deberá tomar como:

2
u
2
e
)KL(
EI
P
π
=
(4.5.3.2.2b-5)

donde:

L
u = longitud no apoyada de un elemento comprimido
K  = factor de longitud efectiva como se especifica en Art. 4.6.2.5
E  = módulo de elasticidad
I   = momento de inercia respecto del eje considerado

Para los elementos comprimidos de hormigón también se deberá aplicar los
requisitos del Art. 5.7.4.3.
Para los elementos arriostrados contra el desplazamiento lateral, δ
s se deberá
tomar como 1.0 a menos que un análisis indique que se puede utilizar un valor menor.
Para los elementos no arriostrados contra el desplazamiento lateral, δ
b se deberá
determinar como para un elemento arriostrado y δ
s como para un elemento no
arriostrado.
Para los elementos arriostrados contra el desplazamiento lateral y sin cargas
transversales entre apoyos, C
m se puede tomar como:

4.0
M
M
4.06.0C
b2
b1
m ≥+=    (4.5.3.2.2b-6)
donde:
M
1b = menor momento de extremo
M
2b = mayor momento de extremo

La relación M
1b / M
2b se considera positiva si el componente se flexiona con una
única curvatura y negativo si se flexiona en doble curvatura.
Para todos los demás casos C
m se deberá tomar como 1.0.
En las estructuras que no están arriostradas contra el desplazamiento lateral, los
elementos flexionados y unidades de la fundación que forman pórticos con el elemento
comprimido se deberán diseñar para la sumatoria de los momentos de extremo del
elemento comprimido en la unión.
Si los elementos comprimidos están sujetos a flexión respecto de ambos ejes
principales, el momento respecto de cada eje se deberá amplificar aplicando δ,
determinado a partir de las correspondientes condiciones de restricción respecto de
dicho eje.
Si un grupo de elementos comprimidos en un nivel comprende un caballete, o si
están conectados de manera integral a la misma superestructura, y resisten el
desplazamiento lateral de la estructura colectivamente, el valor de δ
s se deberá calcular
para el grupo de elementos con ΣP
u y ΣP
e igual a las sumatorias para todas las
columnas del grupo.

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-7
8. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K8. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K8. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K8. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K (Art. 4.6.2.5)

Las longitudes físicas de las columnas se deberán multiplicar por un factor de
longitud efectiva, K, para tomar en cuenta condiciones de borde rotacionales y
traslacionales diferentes a las correspondientes a extremos articulados.

En ausencia de un análisis más refinado, si hay estabilidad lateral por arriostramiento
diagonal u otros medios adecuados, el factor de longitud efectiva en el plano
arriostrado, K, para los elementos comprimidos de cerchas trianguladas, cerchas y
pórticos se puede tomar como:

- Para conexiones abulonados o soldadas en ambos extremos: K = 0.75
- Para conexiones articuladas en ambos extremos K = 0.875

Las cerchas vierendeel se deberán tratar como pórticos no arriostrados.

La estabilidad lateral de las columnas de pórticos continuos, no arriostrados por
unión a muros de cortante, arriostramiento diagonal o estructuras adyacentes, depende
de la rigidez flexional de las vigas rígidamente conectadas. Por lo tanto, el factor de
longitud efectiva, K, es función de la restricción flexional total que aportan las vigas en
los extremos de la columna. Si la rigidez de las vigas es pequeña en relación con la de
la columna, el valor de K podría ser mayor que 2.0.
Suponiendo que sólo hay acción elástica y que todas las columnas pandean
simultáneamente en un pórtico no arriostrado, se puede demostrar que:

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VI-8





π
π
=
+
−




π
K
tan
K
)GG(6
36
K
GG
ba
2
ba
   (C4.6.2.5-1)

Los subíndices a y b se refieren a los dos extremos de la columna, siendo:









Σ








Σ
=
g
g
c
c
L
I
L
I
G (C4.6.2.5-2)

donde:

Σ  = sumatoria de las propiedades de los componentes conectados rígidamente a un
extremo de la columna en el plano de flexión.
I
c   = momento de inercia de la columna
L
c  = longitud no arriostrada de la columna
I
g   = momento de inercia de la viga u otro elemento que provee restricción
L
g  = longitud no apoyada de la viga y otro elemento que provee restricción
K  =  factor de longitud efectiva para la columna considerada.

La Figura C1 es una representación gráfica de la relación entre K, G
a y G
b, y se
puede utilizar para obtener los valores de K en forma directa.
La Ecuación C1 y el nomograma de la Figura C1 se basan en la hipótesis de
condiciones idealizadas.

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-9

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-10
Viga 1.00m x1.00m
Columnas
Ø 0.90m
Zapatas
1.00
1.00
Ø 0.90m6.00m
9 Ø 1"
9 Ø 1"
1.00
1.00
Estribos Ø 5/8"
z
PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS

PROBLEMA VI.1PROBLEMA VI.1PROBLEMA VI.1PROBLEMA VI.1
    Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona no sísmica, no sísmica, no sísmica, no sísmica,
constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c= constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c= constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c= constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c=
210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos: 210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos: 210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos: 210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos:

VigaVigaVigaViga
MMMM
uuuu    = = = = ----145 T145 T145 T145 T----m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I)
MMMM
uuuu    = +138 T= +138 T= +138 T= +138 T----m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I)
MMMM
ssss    = = = = ----95 T95 T95 T95 T----m (estado de Servicio I)m (estado de Servicio I)m (estado de Servicio I)m (estado de Servicio I)
VVVV
uuuu    =  200 T (estado de Resistencia I)=  200 T (estado de Resistencia I)=  200 T (estado de Resistencia I)=  200 T (estado de Resistencia I)

ColumnaColumnaColumnaColumna
(estado de Resistencia V)(estado de Resistencia V)(estado de Resistencia V)(estado de Resistencia V)
PPPP
uuuu    =  =  =  =  ----350 T 350 T 350 T 350 T     Plano del PórticoPlano del PórticoPlano del PórticoPlano del Pórtico     Sentido TransversalSentido TransversalSentido TransversalSentido Transversal
MMMM
uuuu    =   90 T=   90 T=   90 T=   90 T----m m m m      MMMM
uuuu    =   =   =   =   35353535    TTTT----m m m m
MMMM
dudududu    =  13 T=  13 T=  13 T=  13 T----m m m m      MMMM
dudududu    =  1=  1=  1=  10000    TTTT----m m m m



















Solución.Solución.Solución.Solución.----

A) DISEÑO DE LA VIGA DEL PÓRTICO

A.1) Acero requerido en flexión

Sección propuesta
para M
u =-145 T-m
    y M
u =+138 T-m:

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VI-11
Luego:

z = rec + Ø est + Ø/2
      = 5.0 cm + 1.59 cm + (2.54/2) cm = 7.86 cm
     d = 100 cm – 7.86 cm = 92.14 cm
A
s = 9 Ø1” = 9 x 5.10 cm² = 45.90 cm²

Con
bf85.0
fA
a
'
c
ys
= (5.7.3.1.1-4)
cm80.10
100x210x85.0
4200x90.45
a ==
)
2
a
d(fØAM
ysu
−= (5.7.3.2.2-1)
mT50.150)
2
80.10
14.92)(4200)(90.45(9.0M
u
−=−=

Luego M
u = 150.50 T-m > M
u (-) =145 T-m   OK!
      > M
u (+)=138 T-m   OK!

A.2) As máximo   (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /d
e ≤ 0.42

Como:
c   = a / β
1 = 10.80 / 0.85 = 12.71 cm
d
e  = 92.14 cm
c /d
e = 0.14 ≤ 0.42 OK!

A.3) As mínimo   (Art. 5.7.3.3.2)

La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor
de1.2M
cr y 1.33M
u:

a)   1.2M
cr  = 1.2f
r S = 1.2(29.13 kg/cm
2
)(166,667 cm
3
) = 58.26 T-m

Siendo:
22'
c
'
cr cm/kg13.2921001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====
S = bh
2
/6 = 100(100)
2
/6 = 166,667 cm
3


b)  1.33 M
u= 1.33(145 T-m) = 192.85 T-m

El menor valor es 58.32 T-m y la cantidad de acero propuesta (45.90 cm
2
)
resiste M
u=150.50 T-m > 58.26 T-m OK!

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VI-12
100 cm
100 cm
b
d
dc
c
A.4) Limitación de la fisuración mediante distribución de la armadura (estado límite de
Servicio) (Art. 5.7.3.4)

Esfuerzo máximo del acero:

y3/1
c
sa f6.0
)Ad(
Z
f ≤= (5.7.3.4-1)

Para el acero negativo:
2
Ø
Øestriborecubd
)4.3.7.5.Art(cm5
c
++=
≤
444 3444 21

cm
2
54.2
cm59.1cm5d
cm5
c++=
≤
44 344 21

d
c  = 5cm + 1.27cm = 6.27cm

b   = ancho de la viga = 100 cm

n
b  = número de varillas = 9

2
b
c
cm33.139
9
)100)(cm27.6x2(
n
b)d2(
A === (Art. 5.7.3.4)

Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4)
   = 30,591 Kg/cm

Luego:

2
3/12sa cm/kg200,3
)cm33.139xcm27.6(
cm/kg591,30
f ==

22
sa
cm/kg520,2)cm/kg4200(6.0f =≤

2
sa
cm/kg520,2f=

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

n
I
cM
f
s
s=

Siendo:

M
s= 95x10
5
kg-cm

E
s =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm
2
   (5.4.3.2)

2'
cc cm/kg356,222210344,15f344,15E === (5.4.2.4-1)

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VI-13
100 cm
7.86
100 cm
92.14
c=92.14 - y
y
E.N.
(fs / n)
f 'c
(+)
(-)
A  = n As = 413.10 cm²
st
9
cm/kg356,222
cm/kg400,039'2
E
E
n
2
2
c
s
===

Área de acero transformada:

A
st = relación modular x área de acero
A
st = 9(45.90 cm
2
) = 413.10 cm
2

Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

100y (y/2) = 413.10 (92.14-y)

y = 23.77 cm

Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:
3
by
)yd(AI
3
2
sst
+−=

3
)77.23(100
)y14.92(10.413
3
2
+−=
  = 2’378,697 cm
4

c= 92.14 cm – 23.77 cm = 68.37 cm

Luego:
2
5
s
s cm/kg457,29x
697,378'2
37.68x10x95
n
I
cM
f ===
!OKcm/kg520,2fcm/kg457,2f
2
sa
2
s =<=

A.5) Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8)

]SI[
F
A
756.0A
y
g
temps
= (5.10.8.2-1)
]cm/kg4200fcon,MKS[A0018.0A
2
ygtemps
==

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VI-14
100 cm
100 cm
9Ø1"
   2Ø 3/4"
+ 2Ø 5/8"
9Ø1"
   2Ø 3/4"
+ 2Ø 5/8"
2
temps
cm0.18100x100x0018.0A ==
cara/cm0.9A
2
temps
=

Usaremos por cara: 2 Ø 3/4”+ 2 Ø 5/8” (9.68 cm
2
) , con la consideración:

cm45sycm300)100(3t3s
máxmáx
====     OK!

A.6) Armadura superficial para limitar la fisuración del alma  (Art. 5.7.3.4)

Para d
e > 90 cm :
1200
AA
)760d(001.0A
pss
esk
+
≤−≥ (5.7.3.4-4)
donde:
A
s = área de la armadura de tracción = 9x5.10cm² = 45.9cm² = 4590 mm²
A
p = área del acero de pre-esfuerzo = 0

mm1200
mm4590
)7604.921(001.0A
2
sk ≤−≥

mm
mm
825.3
alturademm
mm
161.0A
22
sk ≤≥

alturadecm
cm
0161.0A
2
sk≥

A
sk requerido por cara:

2
2
sk cm61.1cm100x
alturadecm
cm
0161.0A ==

Suministrado: 2 Ø 3/4”+ 2 Ø 5/8” =9.68 cm
2
> 1.61cm²   OK!

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VI-15
Estribos: 4 ramas Ø 5/8"
s
dfA
V
vyv
s=
A.7) Diseño por Corte

Cortante actuante   : V
u = 200,000 kg

Cortante resistente : V
r = Ø V
n (5.8.2.1-2)
   Ø = 0.9          (5.5.4.2)

   V
n = V
c+V
s+ V
p (5.8.3.3.-1)
siendo V
n el menor de:
   V
n = 0.25f’
cb
vd
b + V
p   (5.8.3.3-2)

    Donde:

Cortante resistente concreto  ]N[dbf083.0V
vv
'
cc β= (5.8.3.3-3)
      para β=2 (Art. 5.8.3.4): ]kg[dbf53.0V
vv
'
cc
=

Cortante resistente acero:
s
sen)cot(cotdfA
V
vyv
s ααθ
+
=   (5.8.3.3-4)

        con    N  =  45° (Art. 5.8.3.4)
α  =  90° (ángulo de inclinación del estribo)


Cortante resistente concreto (V
c)

)74.86x100(21053.0]kg[dbf53.0]N[dbf083.0V
vv
'
cvv
'
cc ==β=

V
c = 66,620 kg

siendo:
b
v  = ancho de la viga= 100 cm
cm74.86
2
80.10
14.92
2
a
dd
ev =−=−=
no menor que el mayor valor de   0.9d
e  = 0.9(92.14 cm) = 82.93 cm OK!
0.72h = 0.72(100 cm)  = 72 cm

Cortante resistente del acero

kg541,166
5.17
)74.86)(4200(8
s
dfA
s
sen)cot(cotdfA
V
vyvvyv
s
===
+
=
ααθ

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VI-16
donde:
A
v  =  4 x 2.00 cm² = 8 cm² (asumiendo 4 ramas Ø 5/8”)
s  = 17.5 cm (espaciamiento asumido de estribos)
N  =  45° (sección no presforzada)   (5.8.3.4)
α =  90° (ángulo de inclinación del estribo)

Cortante nominal resistente

El menor valor de    V
n = 66,620 kg + 166,541 kg + 0  = 233,161 kg
        V
n = 0.25 x 210 x 100 x 86.74 + 0 = 455,385 kg

Luego  V
n = 233,161 kg

Cortante resistente total

V
r = ØV
n = 0.9(233,161 kg) = 209,845 kg > 200,000 Kg   OK!

Refuerzo transversal mínimo

]mm[
f
sb
f083.0A
2
y
v'
cv≥ (5.8.2.5-1)
                         ]cm[
f
sb
f27.0A
2
y
v'
cv≥=
2
v cm
4200
)5.17(100
21027.0A≥

!OK²cm00.8²cm63.1A
mínv
<=

Espaciamiento máximo del refuerzo transversal   (Art. 5.8.2.7)

vv
pu
u
db
VV
v
φ
φ−
= (5.8.2.9-1)

²cm/kg62.25
)74.86)(100(9.0
000,200
db
V
v
vv
u
u ==
φ
=

También:
si v
u < 0.125f’
c   s
máx= 0.8d
v ≤ 60 cm   (5.8.2.7-1)
si v
u ≥ 0.125f’
c   s
máx= 0.4d
v ≤ 30 cm   (5.8.2.7-2)

Como v
u = 25.62 kg/cm² < 0.125(210 kg/cm²) = 26.25 kg/cm²

   s
máx= 0.8d
v = 0.8(86.74 cm)= 69.39 cm

s
máx= 60 cm

Luego  s = 17.5 cm < s
máx= 60 cm   OK!

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VI-17
0.90 m
12 Ø 1"
Estribos Ø3/8" @ 0.30 m
B) DISEÑO DE COLUMNA

Columna propuesta:

Diámetro de columna = 90 cm
2
2
g
cm362,6 4
)90(
A =
π
=
r = recubrimiento = 5 cm   (Tabla 5.12.3-1)
A
s = 12(5.10 cm²) = 61.2 cm²
Propuesta de estribos cerrados: Ø 3/8 @ 0.30 m   (Art. 5.10.6.3)

B.1) Refuerzo máximo de miembros a compresión

08.0
fA
fA
A
A
yg
pups
g
s
≤+    (5.7.4.2-1)

!OK08.00096.0
cm6362
cm2.61
08.0
A
A
2
2
g
s
<=→≤

B.2) Refuerzo mínimo de miembros a compresión

135.0
fA
fA
fA
fA
'
cg
pups
'
cg
ys
≥+ (5.7.4.2-3)

!OK135.0192.0
210x6362
4200x2.61
135.0
fA
fA
'
cg
ys
>=→≥

B.3) Esbeltez

En el plano del pórtico (no arriostrado)

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VI-18
esbeltacolumna2232
5.22
)600(2.1
r
KL
u
→>== (5.7.4.3)

donde:
K = 1.2 (Tabla C4.6.2.5-1)
L = 600 cm
r  =  d/4 = 90 cm/4 = 22.5 cm

En plano transversal al pórtico (no arriostrado)

esbeltacolumna2256
5.22
)600(1.2
r
KL
u
→>== (5.7.4.3)

donde:
K = 2.1   (Tabla C4.6.2.5-1)
L = 600 cm
r  =  d/4 = 90 cm/4 = 22.5 cm

B.4) Capacidad

a) En el plano del pórtico

s2sb2bcp
MMM δ+δ= (4.5.3.2.2b-1)
siendo:

0.1
ØP
P
1
C
e
u
m
b ≥
−
=δ (4.5.3.2.2b-3)

0.1
PØ
P
1
1
e
u
s ≥
Σ
Σ
−
=δ    (4.5.3.2.2b-4)

Cálculo de d
b
C
m = 1.0
P
u = 350 T
Ø  = 0.75 (Art. 5.5.4.2)

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VI-19
2
u
2
e
)KL(
EI
P
π
= (4.5.3.2.2b-5)

donde:
K  = 1.2
L
u  = 600cm
EI  = el mayor valor de:
d
ss
gc
1
IE
5
IE
EI
β+
+
= (5.7.4.3-1)

d
gc
1
5.2
IE
EI
β+
= (5.7.4.3-2)

Por simple inspección, despreciando E
sI
s , el mayor valor es:

211
d
gc
cmkg10x504.2
)144.01(5.2
)623,220'3(356,222
1
5.2
IE
EI −=
+
=
β+
=

2'
cc
cm/kg356,222210344,15f344,15E === (5.4.2.4-1)
4
44
cm623,220'3
64
)90(
64
d
I =
π
=
π
=

144.0
mT90
mT13
M
M
u
du
d =
−
−
==β

Luego:

T767,4
)600x2.1(
)10x504.2(
)KL(
EI
P
2
112
2
u
2
e =
π
=
π
=

0.111.1
)T767,4(75.0
T350
1
0.1
ØP
P
1
C
e
u
m
b
≥=
−
=
−
=δ

Cálculo de d
s
0.1
PØ
P
1
1
e
u
s ≥
Σ
Σ
−
=δ    (4.5.3.2.2b-4)

Usando P
u y P
e por simplicidad, en vez de ΣP
u y ΣP
e , tendremos:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-20
0.111.1
s ≥=δ
Luego:

mT9.99)T90(11.1)MM(11.1MMM
s2b2s2sb2bcp
−==+=δ+δ=

b) En plano transversal

s2sb2bcp
MMM δ+δ= (4.5.3.2.2b-1)
siendo:
0.1
ØP
P
1
C
e
u
m
b ≥
−
=δ (4.5.3.2.2b-3)

0.1
PØ
P
1
1
e
u
s ≥
Σ
Σ
−
=δ    (4.5.3.2.2b-4)
Cálculo de d
b
C
m = 1.0
P
u = 350 T
Ø  = 0.75
2
u
2
e
)KL(
EI
P
π
= (4.5.3.2.2b-5)

Donde:
K  = 2.1
L
u  = 600cm
EI  = el mayor valor de:
d
ss
gc
1
IE
5
IE
EI
β+
+
= (5.7.4.3-1)

d
gc1
5.2
IE
EI
β+
= (5.7.4.3-2)

Por simple inspección, despreciando E
sI
s , el mayor valor es:

211
d
gc
cmkg10x227.2
)286.01(5.2
)623,220'3(356,222
1
5.2
IE
EI −=
+
=
β+
=

2
c
cm/kg356,222E=
con
4
g
cm623,220'3I=
286.0
mT35
mT10
M
M
u
du
d
=
− −
==β

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-21
T384,1
)600x1.2(
)10x227.2(
)KL(
EI
P
2
112
2
u
2
e
=
π
=
π
=    (4.5.3.2.2b-5)

0.1
ØP
P
1
C
e
u
m
b
≥
−
=δ (4.5.3.2.2b-3)

0.151.1
)T384,1(75.0
T350
1
0.1
b ≥=
−
=δ

Cálculo de
d
s

0.1
PØ
P
1
1
e
u
s
≥
Σ
Σ
−
=δ    (4.5.3.2.2b-4)

Usando P
u y P
e por simplicidad, en vez de ΣP
u y ΣP
e , tendremos:

0.151.1
s
≥=δ

Luego:

s2sb2bct
MMM δ+δ= (4.5.3.2.2b-1)

mT85.52)T35(51.1)MM(51.1M
s2b2ct
−==+=

El momento combinado es:

mT02.11385.529.99MMM
222
ct
2
cpu
−=+=+=
T350P
u
=

Diagrama de interacción de la columna circular

Considerando que:

9.0
Af
P2
ØPAf1.0Si
g
'
c
u
ug
'
c
+−=→>−    (Art. 5.5.4.2)
75.0ØPAf1.0Si
ug
'
c
=→<−

donde :

0.1f’
cA
g = 0.1(210 kg/cm²)(6362 cm²) = 133.60 T

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VI-22
Se tienen los siguientes resultados en forma gráfica y tabulada:

P (T) M (T-m)
828.96 63.02
791.29 71.99
741.83 82.29
692.38 90.96
642.92 98.30
593.47 104.42
544.01 109.21
494.55 113.08
445.10 116.04
395.64 118.29

P (T) M (T-m)
346.19 118.18
296.73 116.14
247.28 112.17
197.82 106.46
148.37 99.01
0 79.03
-59.14 61.59
-118.29 42.32
-177.43 21.21
-231.37 0

Como se aprecia en el diagrama de interacción de la columna circular, T350P
u= , y
mT02.113M
u
−= , están dentro de la zona de resistencia por lo que la propuesta
de acero y geometría de la sección son adecuados.

Cálculo de estribos

Se utilizarán estribos cerrados Ø 3/8” @ 0.30 en forma de zuncho, distribución
que cumple con no ser mayor que la menor dimensión de la columna ni 30 cm.
(Art. 5.10.6.3).

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-1
R
C D
bLa
1X
BA
R
A B
BA
R
A B
-X
1
a L b
DC
R
CAP VCAP VCAP VCAP VIIIIIIII::::    LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGASLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGASLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGASLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS

DEFINICIDEFINICIDEFINICIDEFINICIÓNÓNÓNÓN
Una línea de influencia es la expresión gráfica de la variación de un esfuerzo en relación
a una carga móvil unitaria desplazándose sobre una estructura. En estructuras
isostáticas se expresan como líneas rectas; en estructuras hiperestáticas como curvas.
A continuación veremos un modo de construcción de líneas de influencia en vigas.

1.1.1.1. CASO DE CASO DE CASO DE CASO DE VIGAS ISOSTÁTICASVIGAS ISOSTÁTICASVIGAS ISOSTÁTICASVIGAS ISOSTÁTICAS


a)a)a)a) Línea de Influencia de la reacción en el apoyo ALínea de Influencia de la reacción en el apoyo ALínea de Influencia de la reacción en el apoyo ALínea de Influencia de la reacción en el apoyo A

Tomando como origen cartesiano el punto A, posicionamos una carga móvil
unitaria sobre la viga para determinar las expresiones:

Carga en el tramo AB (0≤ X ≤ L)

Tomando momentos en B:

0)XL((1)L(R
A
=−−

Luego:
L
XL
R
A
−
=

Carga en el tramo CA (-a ≤ X ≤ 0)

Tomando momentos en B:

0)XL((1)L(R
A=−−

Luego:
L
XL
R
A
−
=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-2
R
C D
bLa
1
X
BA
R
A B
R
A
A B
X 1
a
+
+1
+1
+
L b
A B
BA
L+a
L
-b
L
L
L+b
L
-a
L.I. de R
A
B
L.I. de R
C
D
D
C D
C
R
B
Carga en el tramo BD (L ≤ X ≤ L+b)

Tomando momentos en B:

0)LX(1)L(R
A
=−+

Luego:
L
XL
R
A
−
=

La línea de influencia de la reacción en el apoyo A entonces se expresa como la
recta
L
XL
R
A
−
= , cuya gráfica se muestra:

b)b)b)b) Línea de Influencia de la reacción en el apoyo BLínea de Influencia de la reacción en el apoyo BLínea de Influencia de la reacción en el apoyo BLínea de Influencia de la reacción en el apoyo B

Del mismo modo, tomando como origen cartesiano el punto A, posicionamos la
carga móvil unitaria sobre la viga para determinar las expresiones:

Carga en el tramo AB (0≤ X ≤ L)

Tomando momentos en A:
L
X
R
B=

Carga en el tramo CA (-a ≤ X ≤ 0)

Tomando momentos en A:
L
X
R
B=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-3
D
D
C
E
L.I. de V
L
-b
L
+a
BA
bLa
1X
BA
A
R
E
m n
+
-m
L
L
+n
C
R
B
Carga en el tramo BD (L ≤ X ≤ L+b)

Tomando momentos en A:
L
X
R
B=

La línea de influencia de la reacción en el apoyo B se expresa como la recta
L
X
R
B=
, la misma que se muestra en el gráfico precedente.

c)c)c)c) Línea de Influencia del cortante en la sección ELínea de Influencia del cortante en la sección ELínea de Influencia del cortante en la sección ELínea de Influencia del cortante en la sección E


Carga en el tramo CE (-a ≤ X ≤ m)

L
X
1
L
XL
1RV
AE −=−
−
=−=

Carga en el tramo ED (m ≤ X ≤ L+b)

L
XL
RV
AE
−
==

La línea de influencia del cortante en la sección E se expresa como el área
delimitada por dos rectas paralelas escindidas en E que pasan por los apoyos A
y B como se muestra en el gráfico:

d)d)d)d) Línea de Influencia del momento flector en la sección ELínea de Influencia del momento flector en la sección ELínea de Influencia del momento flector en la sección ELínea de Influencia del momento flector en la sección E

Carga en el tramo CE (-a ≤ X ≤ m)

)n(R)xm(1)m(RM
BAE
=−−=

n.
L
X
M
E=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-4
L
+nm
+
nm
E
R
A
A
B
X1
a L b
A B
-an
L
-bm
L
L.I. de M
E
C
D
D
C
R
B
Carga en el tramo ED (m ≤ X ≤ L+b)

m).
L
XL
()m(RM
AE
−
==

La línea de influencia del momento flector en la sección E se expresa
gráficamente como:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-5
2T/m
9T
C
6m4m
E
A
B
3m 10m 2m
D
D
D
C
E
L.I. de M
10
-4(2)
10
-3(6)
BA
2m10m3m
B
A
A
R
E
4m 6m
+
+4(6)
10
C
=2.4m
=-1.8m
=-0.8m
9T
2T/m
EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.1    En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando su su su su
línea de influencia.línea de influencia.línea de influencia.línea de influencia.












Solución.Solución.Solución.Solución.----

Después de construir la línea de influencia del momento flector en la sección E, para las
cargas dadas tenemos:

[] )Ordenada(T9Áream/T2M
E +=

[ ] mT20.16)m4.2(T9m3xm8.1x½m/T2M
E −−=++−=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-6
C
6m
1X
BA
4m
4m
A B
X 1
6m
C
F
1
C
6m
1X
BA
4m 4m
A B
6m
C
1
a
1P
+
11
a
1
FP
2.2.2.2. CASO DE CASO DE CASO DE CASO DE VIGAS HIPERESTÁTICASVIGAS HIPERESTÁTICASVIGAS HIPERESTÁTICASVIGAS HIPERESTÁTICAS

Aplicamos el principio de Müller-Breslau que refiere si una reacción o fuerza interna
actúa a lo largo de un desplazamiento producido, el perfil deformado es, a cierta
escala, la línea de influencia para la reacción en particular o fuerza interna.


EJEMPLO VI1.2EJEMPLO VI1.2EJEMPLO VI1.2EJEMPLO VI1.2
    En la viga mostrada determine la línea de influencia dEn la viga mostrada determine la línea de influencia dEn la viga mostrada determine la línea de influencia dEn la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en el e la reacción en el e la reacción en el e la reacción en el
apoyo B.apoyo B.apoyo B.apoyo B.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


Procedimiento:

a) Expresamos la reacción en el apoyo B como una fuerza externa F
1 para obtener
el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

Podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa
111P1
=+

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-7
a
11
1
C
6m
BA
4m
A' C'
A'
R
R
C'
X
P1
a
P
2.4
(10-X)0.6
VIGA CONJUGADA:
(10-X)
2 8/3
+
7.2 4.8
0.4 0.6
0.4X
B'
Como:

1PP1
aa
= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
B1
RF
−=

Luego:
0)R(aa
B111P
=−+

11
1P
B
a
a
R=

Es decir la línea de influencia de la reacción en el apoyo B es proporcional a la
ecuación de la elástica a
P1 como lo señala el principio de Müller-Breslau.

c) Para obtener R
B calculamos la ecuación de la elástica a
P1 así como la deflexión
a
11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

Tomando momentos en C’:

R
A’(10) - 7.2(6) - 4.8(8/3) = 0

R
A’ = 5.6

Como R
A’ + R
C’ = 12
R
C’ = 6.4

Cálculo de a
11:

2.19)2(2.7)6(6.5M)EI(a
'B11 =−==

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-8
Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

3
X
)X4.0(X
2
1
XR)EI(a
'A1P
−=
3
1P X
3
2.0
X6.5)EI(a −=

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10)
:

Tomando momentos hacia la derecha:

3
)X10(
6.0)X10)(X10(
2
1
)X10(R)EI(a
'C1P
−
−−−−=
3
1P )X10(1.0)X10(4.6)EI(a −−−=

d) Para la construcción de R
B tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

)X
3
2.0
X6.5(
2.19
1
R
3
B −=

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10)
:

[ ]
3
B )X10(1.0)X10(4.6
2.19
1
R −−−=

Tabulación de valores:
X (m) R
B
0 0
1 0.289
2 0.556
3 0.781
4 0.944
5 1.024
6 1.000
7 0.859
8 0.625
9 0.328
10 0

Gráfica:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-9
C
6m
1X
BA
4m
1
F
C
6m
1X
BA
4m
4m
A B
X 1
6m
C
F
1
+
1
F
C
6m
BA
4m
1P
a
P
11
a
EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.3333        En la viga mostrada determineEn la viga mostrada determineEn la viga mostrada determineEn la viga mostrada determine    la línea de influencia de la reacción en el la línea de influencia de la reacción en el la línea de influencia de la reacción en el la línea de influencia de la reacción en el
apoyo C.apoyo C.apoyo C.apoyo C.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


Procedimiento:

a) Expresamos la reacción en el apoyo C como una fuerza externa F
1 para obtener
el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

Podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa
111P1
=+
Como:
1PP1
aa
= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
C1RF−=

Luego:      0)R(aa
C111P=−+

11
1P
C
a
a
R=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-10
a
11
4m
A B
6m
C
1
P1
a
P
812
8/32
(10-X)
VIGA CONJUGADA:
-(10-X)
X
C'
R
R
A'
C'A'
-2X
3
-4
M
C'
B'
c) Para obtener R
C calculamos la ecuación de la elástica a
P1 así como la deflexión
a
11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

Tomando momentos en la articulación B’:

R
A’(6) + 12(2) = 0

R
A’ = -4

Como R
A’ + R
C’ + 20 = 0
R
C’ = -16

También:

M
C’ = R
A’(10) + 12(6) + 8(8/3)

M
C’ = 53.33

Cálculo de a11:

33.53M)EI(a
'C11
==

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

3
X
)X
3
2
(X
2
1
)X(R)EI(a
'A1P
+=

3
1P X
9
1
X4)EI(a +−=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-11
Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

Tomando momentos a la derecha:

)X10(R
3
)X10()X10(
.
2
1
M)EI(a
'C
2
'C1P −+
−−
+=

)X10(16
6
)X10(
33.53)EI(a
3
1P −−
−
+=

d) Para la construcción de R
C tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):









+−=
9
X
X4
33.53
1
R
3
C

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):







−−−+= )X10(16)X10(
6
1
33.53
33.53
1
R
3
C

Tabulación de valores:
X (m) R
C
0 0
1 -0.073
2 -0.133
3 -0.169
4 -0.167
5 -0.115
6 0
7 0.184
8 0.425
9 0.703
10 1

Gráfica:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-12
1.5m1.5m
C
3m
1X
BA D
A B
X 1
3m
C
1.5m 1.5m
F
1
F
1
+
1
F
1.5m1.5m
C
3m
1X
BA
a
1P
11
a
A B
3m
C
1.5m 1.5m
D
11
P
EJEMPLO VI1.4EJEMPLO VI1.4EJEMPLO VI1.4EJEMPLO VI1.4          En la viga moEn la viga moEn la viga moEn la viga mostrada determine la línea de influencia del momento strada determine la línea de influencia del momento strada determine la línea de influencia del momento strada determine la línea de influencia del momento
flector en la sección D.flector en la sección D.flector en la sección D.flector en la sección D.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


Procedimiento:

a) Liberamos al punto D en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula
como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como
un momento externo F
1  para obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión D, podemos
plantear la siguiente ecuación:

0Faa
111P1=+
Como:
1PP1aa= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
D1
MF=

Luego:      0)M(aa
D111P=+
Es decir:
11
1P
D
a
a
M −=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-13
X
VIGA CONJUGADA:
11
1.5m1.5m
C
3m
BA
a
11
P1
a
3
+
1.5
(6-X)
2(6-X)2
X
C'
RR
A'
C'A'
3
3
2X
3
R
D'
1 2
1.53
B'
(4.5-X)
D'
c) Para obtener M
D calculamos la ecuación de la elástica a
P1 así como la deflexión
a
11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda:

R
A’(3) - 3(1) = 0

R
A’ = 1

Tomando momentos en el apoyo C’:

R
A’(6) + R
D’(1.5) - 3(4) - 3(2) = 0

R
D’ = 8

Como R
A’ + R
D’ + R
C’ = 6
R
C’ = -3

Cálculo de a11:

8R)EI(a
'D11
==

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

3
X
)X
3
2
(X
2
1
)X(R)EI(a
'A1P
−=
3
1P X
9
1
X)EI(a −=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-14
Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5):

Tomando momentos a la derecha:

)X6(
3
1
)X6(
3
2
)X6(
2
1
R)X6(R)X5.4()EI(a
'C'D1P
−−−−−+−=

9
)X6(
)X6(3)X5.4(8)EI(a
3
1P
−
−−−−=

Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6):

Tomando momentos a la derecha:

9
)X6(
)X6(R)EI(a
3
'C1P
−
−−=

9
)X6(
)X6(3)EI(a
3
1P
−
−−−=

d) Para la construcción de M
D tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):









−−=
9
X
X
8
1
M
3
D

Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5):







−−−−−−=
3
D )X6(
9
1
)X6(3)X5.4(8
8
1
M

Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6):







−+−=
3
D
)X6(
9
1
)X6(3
8
1
M
   Tabulación de valores:

X (m) M
D
0 0
0.75 -0.088
1.50 -0.141
2.25 -0.123
3.00 0
3.75 0.252
4.50 0.609
5.25 0.287
  6.00 0

Gráfica:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-15
A B
X 1
3m
C
3m
3m
1X
A B
3m1
F
1
F
C
F
1
+
B
3m 3m
11
B
C
3m
A
a
11
P
1P
aA
X 1
3m
C
EJEMPLO VI1.5EJEMPLO VI1.5EJEMPLO VI1.5EJEMPLO VI1.5          En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento
flector en el apoyo B.flector en el apoyo B.flector en el apoyo B.flector en el apoyo B.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


Procedimiento:

a) Liberamos al apoyo B en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula
como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como
un momento externo F
1  para obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión B, podemos
plantear la siguiente ecuación:

0Faa
111P1
=+

Como:

1PP1
aa
= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
B1MF=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-16
B'
3
1
B'
R
3
X
3
A' C'
A'
R R
C'
X +1
1(6-X)
(6-X)
+1.5
VIGA CONJUGADA:
11
a
A
3m
C
B
11
3m
X
P
P1
a
3
1.5
1
Luego:      0)M(aa
B111P
=+
Es decir:
11
1P
B
a
a
M −=

c) Para obtener M
B calculamos la ecuación de la elástica a
P1 así como la deflexión
a
11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda:

R
A’(3) – 1.5(1) = 0

R
A’ = 0.5

Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha:

R
C’ = 0.5

Como R
A’ + R
B’ + R
C’ = 3
R
B’ = 2

Cálculo de a11:

2'R)EI(a
B11
==

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

3
X
)X
3
1
(X
2
1
)X(R)EI(a
'A1P
−=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-17
3
1P X
18
1
X5.0)EI(a −=

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

Tomando momentos a la derecha:

)X6(
3
1
)X6(
3
1
)X6(
2
1
)X6(R)EI(a
'C1P
−−−−−=

18
)X6(
)X6(5.0)EI(a
3
1P
−
−−=

d) Para la construcción de M
B tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):







−−=
18
X
X5.0
2
1
M
3
B

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):







−−−−=
3
B
)X6(
18
1
)X6(5.0
2
1
M

   Tabulación de valores:

X (m) M
B
0 0
0.75 -0.176
1.50 -0.281
2.25 -0.246
3.00 0
3.75 -0.246
4.50 -0.281
5.25 -0.176
  6.00 0

Gráfica:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-18
3m
C
1.5m
1
X
BA
1.5m
E
BA
X1
C
F
1
F
1
1.5m1.5m 3m
E
+
1
F
C
A B BA
C
1
a
1P
1
1
a
11
3m1.5m 1.5m 3m1.5m 1.5m
E E
P
EJEMPLO VI1.6EJEMPLO VI1.6EJEMPLO VI1.6EJEMPLO VI1.6        En la viga mostrada determine la línEn la viga mostrada determine la línEn la viga mostrada determine la línEn la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la ea de influencia del cortante en la ea de influencia del cortante en la ea de influencia del cortante en la
sección E.sección E.sección E.sección E.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


Procedimiento:

a) En la viga liberamos a la sección E de su capacidad de corte para expresarla
como las fuerzas externas F
1  y así obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del desplazamiento entre puntos del corte en E, podemos plantear la
siguiente ecuación:

0Faa
111P1=+

Como:

1PP1
aa= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
E1VF=

Luego:      0)V(aa
E111P
=+

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-19
1
4.5
3m
a
P1
P
VIGA CONJUGADA:
4.5
+
(6-X)
(6-X)
M =+3X
C'
RR
A'
C'A'
X
1
1.5m
B'
11
a
1
1
C
A B
1.5
1.5
3m1.5m 1.5m
R =1
A
R
B C
R
1.5m
E'M
E'
B
Es decir:
11
1P
E
a
a
V−=

c) Para obtener V
E calculamos la ecuación de la elástica a
P1 así como la deflexión
a
11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha:

R
C’(3) – 4.5(1) = 0

R
C’ = 1.5

Haciendo sumatoria de fuerzas verticales:

R
A’ + R
C’ = 9

R
A’ = 7.5

Tomando momentos en el apoyo C’:

R
A’(6) - M
E’ – 4.5(4) – 4.5(2) = 0

M
E’ = 18

Cálculo de a11:

18M)EI(a
'E11 ==

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-20
Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

3
X
)X(X
2
1
)X(R)EI(a
'A1P
−=

3
1P X
6
1
X5.7)EI(a −=

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

'E
3
'A1P M
6
X
)X(R)EI(a −−=

18
6
X
X5.7)EI(a
3
1P −−=

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

Tomando momentos a la derecha:

3
)X6()X6(
2
1
)X6(R)EI(a
2
'C1P
−−
−−=

3
1P )X6(
6
1
)X6(5.1)EI(a −−−=

d) Para la construcción de V
E tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):









−−=
6
X
X5.7
18
1
V
3
E

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):









−−−= 18
6
X
X5.7
18
1
V
3
E

Tramo EB (3 ≤ X ≤ 6):







−−−−=
3
E
)X6(
6
1
)X6(5.1
18
1
V
   Tabulación de valores:

X (m) V
E
0 0
0.75 -0.309
1.50
-0.594/0.406
2.25 0.168
3.00 0
3.75 -0.082
4.50 -0.094
5.25 -0.059
  6.00 0

Gráfica:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-21
E
1.5m
A B
X
1
1.5m 3m 3m
DC
3m
1
F
1
F
C D
E
3m1.5m 1.5m
1X
A B
1.5m1.5m 3m
11
a
BA
D
F
1
+
C
3m
a
1P
3m
C D
A B
3m1.5m1.5m
E E11
1
P
EJEMPLO VI1.7EJEMPLO VI1.7EJEMPLO VI1.7EJEMPLO VI1.7          En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento
flector en la sección E.flector en la sección E.flector en la sección E.flector en la sección E.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


Procedimiento:

a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una
rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto
como un momento externo F
1  para obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E,
podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa
111P1
=+

Como:

1PP1aa= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
E1
MF=

Luego:      0)M(aa
E111P=+

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-22
E'
1.5m
B'
1.5m
3
A' D'
E'
R R
C'
X
(9-X)
+
VIGA CONJUGADA:
3m
11
E
1.5m1.5m 3m
BA
DC
3m
a
11
C'
3m
M
B
M
C
+
R
A
R
A'
B
3M 3M
C
M
     B
X
(X-3)(6-X)
             B(6-X)M
3
3
(X-3)M
             C
3
(9-X)M
             C
P
P1
a
Es decir:
11
1P
E
a
a
M −=

c) Para obtener M
E calculamos la ecuación de la elástica a
P1 así como la deflexión
a
11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones
estáticas:

:0F
V
=∑ 0M3M3RRR
CB'C'E'A
=−−++ (1)
:0M
izq,'B
=∑ 0M
2
3
R5.1R3
B'E'A =−+ (2)
:0M
der,'C
=∑ 0M
2
3
R3
C'C =− (3)
:0M
'A
=∑ 0R9R5.1M18M9
'C'ECB
=−−+ (4)

La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, tomando momentos en la
articulación E a la izquierda:

R
A(1.5) –1= 0

R
A = 1/1.5

Entonces:
M
B = R
A (3) = 2 (5)

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-23
Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

75.2R
'A−=     5.7R
'E=     25.0R
'C−=     2M
B=    5.0M
C−=

Cálculo de a11:

5.7R)EI(a
'E11
==

Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

)
3
X
(X)X.
3
M
(
2
1
)X(R)EI(a
B
'A1P −=

9
X
X75.2)EI(a
3
1P −−=

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

)5.1X(R
9
X
X75.2)EI(a
'E
3
1P −+−−=

)5.1X(5.7
9
X
X75.2)EI(a
3
1P −+−−=

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

)3X(
3
2
)3X(M
2
1
)2X(M)3(
2
1
)5.1X(R)X(R)EI(a
BB'E'A1P
−−−−−−+=


3
)3X(
3
M
)3X)(3X(
2
1
)3X(
3
1
.
3
M)X6(
)3X(
2
1
cB −
−−−−
−
−−

36
)3X(
9
)X6()3X(
)3X(
3
2
)2X(3)5.1X(5.7X75.2)EI(a
32
2
1P
−
+
−−
−−−−−−+−=

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

Tomando momentos a la derecha:

)X9(
3
1
.
3
M)X9(
).X9(
2
1
)X9(R)EI(a
c
'C1P −
−
−−−=

3
1P )X9(
36
1
)X9(
4
1
)EI(a −+−−=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-24
d) Para la construcción de M
E tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):







−−−=
3
E X
9
1
X75.2
5.7
1
M

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):







−+−−−= )5.1X(5.7
9
X
X75.2
5.7
1
M
3
E

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):






 −
+
−−
−−−−−−+−−=
36
)3X(
9
)X6()3X(
)3X(
3
2
)2X(3)5.1X(5.7X75.2
5.7
1
M
32
2
E

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):







−+−−−=
3
E )X9(
36
1
)X9(
4
1
5.7
1
M

Tabulación de valores:
X (m) M
E
0 0
0.75 0.281
1.50 0.600
2.25 0.244
3.00 0
3.75 -0.108
4.50 -0.113
5.25 -0.061
  6.00 0
6.75 0.033
7.50 0.038
8.25 0.023
9.00 0

Gráfica:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-25
E
1.5m
A B
X
1
1.5m 3m 3m
DC
DC
3m
BA
X1
1.5m1.5m 3m
E
1
F
1
F
3m
+
1
F
3m1.5m1.5m
P
E
1P
a
1
BA
DC C D
A B
a
E
1.5m1.5m 3m 3m
11
1
1
EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.8888        En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la
sección E.sección E.sección E.sección E.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


Procedimiento:

a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de corte para expresarla
como las fuerzas externas F
1 y así obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del desplazamiento entre los puntos de corte en E de la deformada,
podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa
111P1
=+

Como:

1PP1aa= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
E1
VF=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-26
             C(9-X)M
3
             C(X-3)M
3
3
(6-X)M
             B
(6-X)(X-3)
X
     B
M
C
3M3M
B
A'
R
+
C
M
B
M
3m
C'
3m
VIGA CONJUGADA:
+
(9-X)
X
C'
R
D'A'
3
1.5m
B'
1.5m
E'
1
1
11
3m3m1.5m1.5m
E
a
BA
DC
a
P1
P
M
E'
1.5
1.5
A
R
Luego:      0)V(aa
E111P
=+
Es decir:
11
1P
E
a
a
V−=

c) Para obtener V
E calculamos la ecuación de la elástica a
P1 así como la deflexión
a
11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones
estáticas:

:0F
V
=∑ 0M3M3RR
CB'D'A
=−−+ (1)
:0M
izq,'B
=∑ 0)1(M)3(
2
1
MR3
B'E'A=−− (2)
:0M
der,'C
=∑ 0)1(M)3(
2
1
R3
C'D=− (3)
:0M
izq,'D
=∑ 0)3(M3)6(M3MR9
CB'E'A =−−− (4)

La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, con el equilibrio vertical del
tramo AE:

:0F
V
=∑ R
A –1= 0 R
A =1

Entonces:   M
B = R
A (3) = 3 (5)

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-27
Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

125.7R
'A
=     375.0R
'D
−=     875.16M
'E
=     3M
B
=    75.0M
C
−=

Cálculo de a11:

875.16M)EI(a
'E11
==

Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

)
3
X
(X)X.
3
M
(
2
1
)X(R)EI(a
B
'A1P
−=

6
X
X125.7)EI(a
3
1P
−=

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

'E
3
1PM
6
X
X125.7)EI(a −−=

875.16
6
X
X125.7)EI(a
3
1P
−−=

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

)3X(
3
1
.
3
M)X6(
)3X(
2
1
)3X(
3
2
)3X(M
2
1
)2X(M)3(
2
1
M)X(R)EI(a
B
BB'E'A1P
−
−
−−−−−−−−=


3
)3X(
3
M
)3X)(3X(
2
1
c−
−−−

3
2
2
1P
)3X.( 18
75.0
6
)X6()3X(
)3X()2X(5.4875.16X125.7)EI(a −+
−−
−−−−−−=

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

Tomando momentos a la derecha:

)X9(
3
1
.
3
M)X9(
).X9(
2
1
)X9(R)EI(a
c
'D1P
−
−
−−−=
3
1P
)X9( 18
75.0
)X9(375.0)EI(a −+−−=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-28
d) Para la construcción de V
E tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):







−−=
3
E
X
6
1
X125.7
875.16
1
V

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):









−−−= 875.16
6
X
X125.7
875.16
1
V
3
E

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):










−+
−−
−−−−−−−=
2
2
2
E
)3X.(
18
75.0
6
)X6()3X(
)3X()2X(5.4875.16X125.7
875.16
1
V

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):







−+−−−=
3
E
)X9(
18
75.0
)X9(375.0
875.16
1
V

Tabulación de valores:
X (m) V
E
0 0
0.75 -0.3125
1.50 -0.6/+0.4
2.25 0.1625
3.00 0
3.75   -0.0719
4.50 -0.0750
5.25 -0.0410
  6.00 0
6.75 0.0219
7.50 0.0250
8.25 0.0156
9.00 0
Gráfica:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-29
C D
3m3m 1.5m
X
BA
1.5m
E
E
DC
F
1
F
1
3m
BA
X1
1.5m1.5m3m
E
1P
a
3m
C
+
1
F
D
A B
3m 1.5m1.5m 1.5m1.5m3m
BA
DC
3m
a
E
1
P
11
11
EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.9999          En la viga mostrada determine la líEn la viga mostrada determine la líEn la viga mostrada determine la líEn la viga mostrada determine la línea de influencia del momento nea de influencia del momento nea de influencia del momento nea de influencia del momento
flector en la sección E.flector en la sección E.flector en la sección E.flector en la sección E.

Solución.Solución.Solución.Solución.----


Procedimiento:

a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una
rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto
como un momento externo F
1  para obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E,
podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa
111P1
=+

Como:

1PP1
aa
= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
E1
MF
=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-30
             C(9-X)M
3
2
M
     B
X
     B
M
C
3M
3M
B
A'
R
+
C
M
B
M
3m
C'
3m
VIGA CONJUGADA:
+
(9-X)
X
C'
RR
D'A'
3
1.5m
B'
1.5m
E'
11
11E
a
3m
C D
A B
3m 1.5m1.5m
P
P1
a
E'
2
M
    C
(X-3)(6-X)
           B(6-X)M
3
3
(X-3)M
           C
Luego:      0)M(aa
E111P
=+
Es decir:
11
1P
Ea
a
M −=

c) Para obtener M
E calculamos la ecuación de la elástica a
P1 así como la deflexión
a
11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones
estáticas:

:0F
V
=∑ 0M3M3RRR
CB'D'E'A
=−−++ (1)
:0M
izq,'B
=∑ 0M
2
3
R3
B'A=− (2)
:0M
der,'C
=∑ 0M
2
3
R3
C'D=− (3)
:0M
'A
=∑ 0R9R5.4M18M9
'D'ECB =−−+ (4)

La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, conociendo que el
momento en ambos lados de la rótula E es 1. Con el diagrama de momentos se
tiene:
1
2
M
2
M
CB
=+

Es decir:
     M
B + M
C = 2 (5)

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-31
Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

5.0R
'A
=     5R
'E =    5.0R
'D =    1M
B=    1M
C=

Cálculo de a11:

5R)EI(a
'E11
==

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

)
3
X
(X)X.
3
M
(
2
1
)X(R)EI(a
B
'A1P
−=

18
X
X5.0)EI(a
3
1P
−=

Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5):

)3X(
3
1
.
3
M)X6(
)3X(
2
1
)3X(
3
2
)3X(M
2
1
)2X(M)3(
2
1
)X(R)EI(a
B
BB'A1P
−
−
−−−−−−−=

3
)3X(
3
M
)3X)(3X(
2
1
c−
−−−

18
)3X(
18
)X6()3X(
3
)3X(
)2X(5.1X5.0)EI(a
322
1P
−
−
−−
−
−
−−−=

Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6):

)5.4X(R
18
)3X(
18
)X6()3X(
3
)3X(
)2X(5.1X5.0)EI(a
'E
322
1P−+
−
−
−−
−
−
−−−=

)5.4X(5
18
)3X(
18
)X6()3X(
3
)3X(
)2X(5.1X5.0)EI(a
322
1P
−+
−
−
−−
−
−
−−−=

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

Tomando momentos a la derecha:

)X9(
3
1
.
3
M)X9(
).X9(
2
1
)X9(R)EI(a
c
'D1P
−
−
−−−=

18
)X9(
)X9(5.0)EI(a
3
1P
−
−−=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-32
d) Para la construcción de M
E tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):







−−=
3
E
X
18
1
X5.0
5
1
M

Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5):







−
−
−−
−
−
−−−−=
18
)3X(
18
)X6()3X(
3
)3X(
)2X(5.1X5.0
5
1
M
322
E

Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6):







−+
−
−
−−
−
−
−−−−= )5.4X(5
18
)3X(
18
)X6()3X(
3
)3X(
)2X(5.1X5.0
5
1
M
322
E

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):







−
−−−=
18
)X9(
)X9(5.0
5
1
M
3
E

Tabulación de valores:
X (m) M
E
0 0
0.75 -0.0703
1.50 -0.1125
2.25 -0.0984
3.00 0
3.75 0.2063
4.50 0.5250
5.25 0.2063
  6.00 0
6.75 -0.0984
7.50 -0.1125
8.25 -0.0703
9.00 0

Gráfica:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-33
A B
X1
6m
6m
1X
BA
F
1
+
1
F
A B
X1
6m
a
1P
P
11
a
6m
BA
1
EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.10101010        En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en
el apoyo Ael apoyo Ael apoyo Ael apoyo A    ....

Solución.Solución.Solución.Solución.----


Procedimiento:

a)
Liberamos la reacción A en la viga y la expresamos como una fuerza externa F
1
para obtener el siguiente modelo:

b)
El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En razón a que no existe desplazamiento vertical en el apoyo A, podemos
plantear la siguiente ecuación:

0Faa
111P1
=+

Como:

1PP1aa
= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
A1
RF−=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-34
VIGA CONJUGADA:
1
A
B
6m
a
11
A'
B'
6m
a
P1
P
M
A
M
B
M
A'
A
M
M
B
+
+
3M
A B
3M
(6-X)
X
6
M
     B
X6
(6-X)M

            A
Luego:      0)R(aa
A111P
=−+
Es decir:
11
1P
A
a
a
R=

c)
Para obtener R
A calculamos la ecuación de la elástica a
P1 así como la deflexión
a
11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones
estáticas:

:0F
V
=∑ 0M3M3
BA
=−− (1)
:0M
'B
=∑ 0)2(M3)4(M3M
BA'A
=−− (2)

La tercera ecuación la obtenemos de la viga superior:

:0M
B
=∑ 0M)6(1M
BA
=−− (3)

Resolviendo las tres ecuaciones se obtiene:

3M
A
=    3M
B−=    18M
'A=

Cálculo de a
11:

18M)EI(a
'A11
==

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-35
Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

)
3
X
)(X.
6
M
(X
2
1
)
3
X
(
6
M
)X6(X
2
1
)
3
X2
)(X(M
2
1
M)EI(a
BA
A'A1P
−−−−=

12
X
12
)X6(X
XX18)EI(a
32
2
1P
+
−
−−=

d)
Para la construcción de R
A tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6)
:






+
−
−−=
12
X
12
)X6(X
X18
18
1
R
32
2
A

Tabulación de valores:

X (m) R
A
0 0
0.50 0.9803
1.00 0.9259
1.50 0.8438
2.00 0.7407
2.50 0.6238
3.00 0.5000
3.50 0.3761
4.00 0.2592
4.50 0.1562
5.00 0.0741
5.50 0.0197
6.00 0

Gráfica:

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-36
A B
X1
6m
1
F
A B
X1
6m
F
1
+
6m
BA A B
6m
1
a
1P
11
a
1X
P
EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.11111          En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento
flector en el apoyo Aflector en el apoyo Aflector en el apoyo Aflector en el apoyo A    ....

Solución.Solución.Solución.Solución.----


Procedimiento:

a)
Liberamos el momento flector en el apoyo A y lo expresamos como una fuerza
externa F
1  para obtener el siguiente modelo:

b)
El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En razón que en A el giro es nulo, podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa
111P1
=+

Como:

1PP1
aa
= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
A1MF=

PUENTES Y OBRAS DE ARTE                                            Ing. Arturo Rodríguez Serquén
VII-37
VIGA CONJUGADA:
a
11
1
6m
BA
a
P1
         (6-X)
6
X
     B
M
6
X (6-X)
3M
B
3
+
+
B
M
6m
B'A'
R
A'
1
Luego:      0)M(aa
A111P
=+
Es decir:
11
1P
A
a
a
M −=

c)
Para obtener M
A calculamos la ecuación de la elástica a
P1 así como la deflexión
a
11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones
estáticas:

:0F
V
=∑ 0M33R
B'A
=−− (1)
:0M
'A
=∑ 0)4(M3)2(3
B
=+ (2)

Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene:

   5.0M
B
−=     5.1R
'A=

Cálculo de a
11:

5.1R)EI(a
'A11
==

Cálculo de a
P1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

)
3
X
)(X.
6
M
(X
2
1
)
3
X
)(
6
X6
.(X
2
1
)
3
X2
)(X)(1(
2
1
)X(R)EI(a
B
'A1P
−
−
−−=

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