Diseño factorial

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1. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES

2. 2 Diseños Factoriales El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés en todos los factores Los factores pueden ser cualitativos, cuantitativos o mixtos Es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada factor. En el diseño factorial completo se corren aleatoriamente todas las posibles combinaciones

3. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES

4. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Conceptos básicos

5. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Conceptos básicos

6. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Conceptos básicos

7. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Conceptos básicos

8. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Conceptos básicos

9. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Conceptos básicos

10. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Conceptos básicos

11. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Conceptos básicos En el tema anterior se analizaron la posible influencia de un factor sobre la variable respuesta , aleatorizando las observaciones para eliminar el efecto de otros factores (DCA). En este modulo analizaremos modelos en los cuales dos o más factores pueden influir en la variable respuesta.

12. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Conceptos básicos La metodología utilizada en este tipo de diseños es la siguiente: Identificar los factores que pueden influir en la variable respuesta y proponer un modelo Realizar el experimento, tomando las observaciones necesarias Estimar los parámetros del modelo Contrastar si los factores influyen en la respuesta Si los factores influyen en la respuesta, detectar dónde radican las diferencias Si algún factor no influye, simplificar el modelo y repetir los pasos anteriores Realizar la diagnosis del modelo mediante el análisis de los residuos

13. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Conceptos de interacción Un diseño factorial es aquél en el que se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada ensayo completo. En este caso se dicen que están cruzados , apareciendo el concepto de interacción. Para ilustrar de forma intuitiva lo que es la interacción vamos a tomar dos conjuntos de datos. Consideramos dos factores: α (niveles α1 y α2) y β (niveles β1 y β2).

14. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Concepto de interacción Primer caso : dos factores sin interacción. Los datos son: β1 β2 α1 10 20 α2 30 40 El efecto principal del factor α es la diferencia entre la respuesta promedio de α 1 y α 2 : y el efecto principal del factor β es:

15. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Concepto de interacción Ahora bien, para el nivel β1, el efecto del factor α es: y para el nivel β2 es: De forma similar, los efectos del factor β para los niveles α1 y α2 son, respectivamente : β1 β2 α1 10 20 α2 30 40

16. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Concepto de interacción Entonces, el efecto de uno de los factores no depende de los niveles del otro factor, lo cual indica que no hay interacción entre los factores. Cuando ambos factores tienen dos niveles , el efecto de la interacción es la diferencia entre los promedios de las diagonales, que es en este caso: β1 β2 α1 10 20 α2 30 40

17. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Concepto de interacción β1 β2 α1 10 20 α2 30 40 De forma gráfica podemos observar: Líneas paralelas indican que no hay interacción:

18. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Concepto de interacción Segundo caso : dos factores con interacción. Los datos son: β1 β2 α1 10 20 α2 30 El efecto principal del factor α lo que indicaría que el factor α no tendría ningún efecto en la respuesta. Sin embargo,para el nivel β1, el efecto del factor α es: Para β2 es

19. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Concepto de interacción Entonces, aunque el efecto principal indique que el factor α no influye en la respuesta, el efecto que produce α depende del nivel seleccionado del factor β y se concluye que hay interacción entre α y β El efecto de la interacción es en este caso: lo que indica que hay interacción. Los siguientes gráficos de perfil muestran la existencia de interacción ya que las rectas que aparecen se cruzan entre sí.

20. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Concepto de interacción

21. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Se consideran dos factores A y B con a y b niveles respectivamente. Se tienen a · b combinaciones o posibles tratamientos y n observaciones para cada tratamiento, esto es, un diseño balanceado . Modelo Estadístico Supondremos además que: Se obtiene una tabla con esta forma

22. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Estimación de los parámetros Se calcula sujeto a Se tiene Para i fijado

23. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Estimación de los parámetros Análogamente para j fijado Para ( i, j ) fijado, se deriva respecto de ( αβ ) ij

24. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Estimación de los parámetros Análogamente para j fijado Para ( i, j ) fijado, se deriva respecto de ( αβ ) ij

25. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Descomposición de la varianza La técnica de análisis de la varianza se utilizará en los siguientes contrastes de hipótesis:

26. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Descomposición de la varianza Para contrastar estas hipótesis, descomponemos la suma de cuadrados total en la siguiente suma de cuadrados:

27. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Descomposición de la varianza

28. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Descomposición de la varianza Tabla ANOVA para un diseño bifactorial . 1. Rechazamos H : α 1 = · · · = α a = 0 al nivel α cuando 2. Rechazamos H : β 1 = · · · = β b = 0 al nivel α cuando 3. Rechazamos H : ( αβ ) 11 = · · · = ( αβ ) ab = 0 al nivel α cuando

29. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Comparación de medias Si se rechaza la igualdad entre los efectos del factor A ó B se pueden considerar tests de recorrido studentizado (para el factor correspondiente), pero no son recomendables cuando aparece interacción significativa. Se puede hacer fijando un nivel concreto de uno de los factores. Si se rechaza la igualdad entre las interacciones, se pueden contrastar las medias que aparecen en todos los posibles tratamientos.  

30. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Comparación de medias     Rechazamos la igualdad de medias cuando:  

31. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Comparación de medias tomando en cuenta la interacción En este caso las comparaciones del factor A por ejemplo se realizan dentro de cada nivel del factor B y de esa manera se puede tener en cuenta el efecto de interacción, y por ende, se tiene una interpretación más cercana a la realidad del proceso.   n es el número de replicas de los tratamiento a comparar.

32. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Verificación de supuestos Los supuestos de normalidad, varianza constante e independencia se verifican con los métodos presentados para el DCA. Pueden ser métodos analíticos o métodos gráficos.

33. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Modelo de efectos aleatorios Hasta aquí los modelos de efectos que se han utilizado son de factores fijos, es decir, que todos los niveles de prueba en cada factor son todos los disponibles o son sólo los de interés. Pero supongamos que los a niveles del factor A y los b niveles del factor B son una muestra aleatoria de poblaciones de niveles. De este modo, la inferencia se puede extender a todos los posibles niveles mediante el cálculo sobre la muestra anterior.

34. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Modelo de efectos aleatorios La aplicación de un modelo de efectos aleatorios conlleva la necesidad de considerar la incertidumbre asociada con la elección aleatoria de los niveles de prueba. Es decir, ya no tiene sentido, para un factor A, preocuparse por el efecto a, del nivel i como con efectos fijos. L o que ahora tiene sentido es hablar de la varianza con la que el factor aleatorio contribuye a la variación total ; es decir, es preciso estimar dicha varianza y probar si su contribución a la variabilidad total es significativa.

35. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Modelo de efectos aleatorios Las hipótesis que se tienen que contrastar son El modelo estadístico es el mismo y las sumas de cuadrados se calculan de la misma forma que en un diseño de efectos fijos, sin embargo, las medias de cuadrados esperadas se obtiene de la siguiente forma:

36. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc Diseño bifactorial con replicas Modelo de efectos aleatorios En caso de rechazar alguna de las hipótesis sobre las varianzas , se concluye que el efecto correspondiente contribuye de manera significativa a la variación de la respuesta- La conclusión práctica no consiste en determinar el mejor tratamiento, sino que generalmente se traduce en tomar medidas para que la contribución del componente de varianza se reduzca.

37. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc DISEÑOS FACTORIALES 2 k

38. En diseños industriales es frecuente considerar dos niveles para cada uno de los factores que pueden intervenir en el diseño experimental. Un diseño con k factores que tienen dos niveles requiere un número de replicaciones igual a 2 observaciones. En este tipo de modelos se asume que los efectos son fijos y la aleatorización completa y se consideran las mismas restricciones que en el caso de los diseños factoriales típicos. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc

39. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc DISEÑOS FACTORIALES 2 k A B BAJO ALTO ALTO BAJO A B 1 - - 2 + - 3 - + 4 + + Representación Gráfica RepresentaciónTabular . Cada vértice representa un punto de diseño o tratamiento. El área limitada por este cuadrado se conoce como región experimental y en principio las conclusiones que se obtengan del ex- perimento sólo tienen validez sobre esta región.

40. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc DISEÑOS FACTORIALES 2 k A B BAJO ALTO ALTO BAJO A B 1 - - 2 + - 3 - + 4 + + Representación Tabular (-1,1) (-1,-1) (1,1) (1,-1) (a) (1) (ab) (b) Notación de yates La notación de Yates representa los totales o sumas de las observaciones en cada tratamiento

41. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc DISEÑOS FACTORIALES 2 k

42. Javier de la Hoz Maestre. M.Sc DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS

43. DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS. El número de combinaciones de tratamientos para llevar a cabo un experimento factorial de k factores a dos niveles cada uno, es 2 k . Si k , disponer de 2 k combinaciones de tratamientos es sumamente costoso . Factores Experimentos 2 2 2 = 4 3 2 3 = 8 4 2 4 = 16 5 2 5 = 32 6 2 6 = 64 7 2 7 = 128

44. DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS. Se habla de un Experimento Factorial Fraccionario cuando es posible realizar el experimento con menos combinaciones de tratamientos. FRACCIÓN : Es el número de combinaciones de tratamientos que quedan al dividir el número total de combinaciones de tratamientos por una potencia de 2. También se le denomina Bloque . EXPERIMENTO FRACCIONADO BALANCEADO : Es lo que resulta al escoger un bloque que sea fracción de 1/p del total de combinaciones de tratamientos (p<k) y procurando, además, que los niveles de todos los tratamientos aparezcan el mismo número de veces.

45. Los diseños factoriales fraccionados usan fracciones (1/2, 1/4,1/8, etc ) de un diseño factorial completo para obtener información en relación a efectos principales y a bajas ordenes de interacción.  El número de tratamientos excede a los recursos. Sólo se requiere información sobre efectos principales y las interacciones de bajo orden. Se necesitan estudios exploratorios para muchos factores. Se supone que unos cuantos efectos son importantes Razones DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS.

46. NOTACIÓN: 2 k-p , experimento a una fracción 1/2 p . Diseño 2 2 fraccionado en dos bloques parciales: Diseño 2 3 fraccionado en dos bloques parciales: Diseño 2 3 fraccionado en cuatro bloques: DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS.

47. Simulación/2002 Héctor Allende 47 EFECTOS CONFUNDIDOS Observe la siguiente matriz de diseño 2 3 , agrupadas en dos bloques según el diseño 2 3-1 : En cualquiera de los bloques es lo mismo probar el efecto A que el efecto de la interacción BC. Por lo tanto, al querer medir uno de los efectos se estará midiendo ambos a la vez. Se dice que los efecto A y BC están confundidos. También lo está B con AC, C con AB y ABC con 1. 47

48. Simulación/2002 Héctor Allende 48 Una forma de determinar cuáles grupos de efectos están confundidos entre sí, sin tener que construír la matriz de diseño completa, consiste en identificar el o los efectos que aparezcan confundidos con la identidad 1, dentro de cada bloque (y por lo tanto, están confundidos con los bloques). Al multiplicar ABC por cada uno de los efectos, se obtienen los siguientes resultados: ABC  1 = ABC ABC  A = A 2 BC = BC ABC  B = AB 2 C = AC ABC  AB = A 2 B 2 C = C ABC  C = ABC 2 = AB ABC  AC = A 2 BC 2 = B ABC  BC = AB 2 C 2 = A ABC  ABC = A 2 B 2 C 2 = 1 48 EFECTOS CONFUNDIDOS

49. Simulación/2002 Héctor Allende 49 En resumen, podemos concluir que:   1 está confundido con ABC A está confundido con BC B está confundido con AC C está confundido con AB CONSTRUCCIÓN DE BLOQUES EN DISEÑOS 2 K . INTERACCIONES GENERALIZADAS : Una interacción generalizada de dos o más efectos, es la que resulta de "multiplicar" esos efectos. Por ejemplo, si los efectos son AB y ACD, en un diseño 2 4 , su interacción generalizada es el efecto AB x ACD = A 2 BCD = BCD; La interacción generalizada de B y BC es C; etc. 49 EFECTOS CONFUNDIDOS

50. Simulación/2002 Héctor Allende 50 EFECTOS INDEPENDIENTES : Un conjunto de efectos son independientes si ninguno de ellos es interacción generalizada de algunos de los restantes. Por ejemplo, el conjunto { A, AC, ABC } es un conjunto de efectos independientes, pues ninguno es interacción generalizada de los demás. Sin embargo { A, AC, ABC, C } no lo es, pues el producto de A por AC es C. Para definir su estructura de diseño experimental fraccionado, el experimentador debe tomar las siguientes decisiones: Debe decidir qué fracción del diseño completo va a utilizar, sea 1/2, 1/4, 1/8, etc. Es decir, va a utilizar un diseño 2 k-p y tiene que decidir cuál va a ser el valor de p. Debe decidir qué efectos independientes va a confundir con 1. Es decir, qué efectos está dispuesto a no poder cuantificar. Se prefiere confundir interacciones de alto orden, siguiendo la regla de que, en la práctica, mientras más alto es el orden de la interacción, probablemente su efecto sobre la respuesta será menos significativo. 50

51. Simulación/2002 Héctor Allende 51 Una vez tomadas sus decisiones, el siguiente procedimiento le permitirá construir los bloques, que ya quedan totalmente determinados. EJEMPLO : Se trata de un diseño 2 3 , y se va a fraccionar a ½, es decir, dos bloques de cuatro combinaciones cada uno . Se debe definir un un sólo efecto a confundir con 1, en este caso AB. Se construye la ecuación definioria del tipo: L =  1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 en que a 1 es igual a 1 si A está presente en el efecto a confundir, 0 si no lo está; a 2 es 1 si B está, 0 en caso contrario, y lo mismo para a 3 . Si se desea confundir ABC, a 1 = 1, a 2 = 1 y a 3 = 1. 51

52. Simulación/2002 Héctor Allende 52 En nuestro caso queremos confundir AB, luego a 1 = 1, a 2 = 1 y a 3 = 0, y la ecuación definitoria es  L = x 1 + x 2 Los términos x 1 , x 2 y x 3 toman el valor del subíndice de a, b y c, respectivamente, de cada combinación de tratamientos . Luego de calculado el valor de L, para cada combinación de tratamientos, se forma un bloque con todas aquellas para las cuáles L resultó ser un número par, y el otro bloque con todas aquellas para las que L resultó ser impar. La siguiente tabla muestra los cálculos que habría que hacer : 52

53. Simulación/2002 Héctor Allende 53 CONSTRUCCIÓN DE BLOQUES. Los bloques definidos en la última columna, quedan estructurados de la siguiente forma: 53

54. Simulación/2002 Héctor Allende 54 Si aplicamos la regla vista anteriormente, para determinar qué efectos están confundidos con cuáles otros, nos encontramos con lo siguiente: AB  1 = AB AB  A = A 2 B = B AB  B = AB 2 = A AB  AB = A 2 B 2 = 1 AB  C = ABC = ABC AB  AC = A 2 BC = BC AB  BC = AB 2 C = AC AB  ABC = A 2 B 2 C = C   Recordemos que ahora AB está confundido con 1, por eso se "multiplican" los efectos por AB. Podemos concluir que:   1 está confundido con AB, que era la condición bajo la cual se construyó el diseño. A está confundido con B C está confundido con ABC AC está confundido con BC 54

55. Simulación/2002 Héctor Allende 55 RESOLUCIÓN DE UN DISEÑO FRACCIONADO. Un diseño fraccionado es de resolución R si, dado cualquier par de efectos confundidos entre sí, el número total de factores contenidos en ellos es a lo menos R. NOTACIÓN : 2 R k-p . Para el ejemplo anterior, el diseño se expresa como 2 II 3-1 . Las características de los diseños con resoluciones III, IV y V son: RESOLUCIÓN III : No hay efectos principales confundidos entre s í , pero si efectos principales con interacciones dobles. . RESOLUCIÓN IV : No hay efectos principales confundidos entre s í , ni efectos principales con interacciones dobles. Si hay interacciones dobles confundidas entre s í . . RESOLUCIÓN V : No hay efectos principales ni interacciones dobles confundidos entre ellos. Si hay interacciones dobles confundidas con triples. . 55