Diseno de Vigas de madera, con carculo..

diseño de viga de madera

1. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

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CAPITULO 3
DISEÑO DE VIGAS
Una viga es un elemento estructural que resiste cargas transversales. Generalmente, las
cargas actúan en ángulo recto con respecto al eje longitudinal de la viga. Las cargas
aplicadas sobre una viga tienden a flexionarla y se dice que el elemento se encuentra a
flexión. Por lo común, los apoyos de las vigas se encuentran en los extremos o cerca de
ellos y las fuerzas de apoyo hacia arriba se denominan reacciones.

3.1 PROPIEDADES DE LAS SECCIONES
Además de la resistencia de la madera, caracterizada por los esfuerzos unitarios admisibles,
el comportamiento de un miembro estructural también depende de las dimensiones y la
forma de su sección transversal, estos dos factores se consideran dentro de las propiedades
de la sección.
3.1.1 Centroides.- El centro de gravedad de un sólido es un punto imaginario en el cual
se considera que todo su peso está concentrado o el punto a través del cual pasa la
resultante de su peso. El punto en un área plana que corresponde al centro de
gravedad de una placa muy delgada que tiene las mismas áreas y forma se conoce
como el centroide del área.
Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por encima de
un cierto plano en la viga trabajan en compresión y aquellas por debajo de este
plano, a tensión. Este plano se conoce como la superficie neutra. La intersección de
la superficie neutra y la sección transversal de la viga se conoce como el eje neutro.
3.1.2 Momento de inercia
En la figura 3-1 se ilustra una sección rectangular de ancho b y alto h con el eje
horizontal X-X que pasa por su centroide a una distancia c =h/2 a partir de la cara
superior. En la sección, a representa un área infinitamente pequeña a una distancia z
del eje X-X. Si se multiplica esta área infinitesimal por el cuadrado de su distancia
al eje, se obtiene la cantidad ( a x z
2
). El área completa de la sección estará
constituida por un número infinito de estas pequeñas áreas elementales a diferentes
distancias por arriba y por debajo del eje X-X.

2. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

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Entonces, el momento de inercia se define como la suma de los productos que se
obtienen al multiplicar todas las áreas infinitamente pequeñas por el cuadrado de sus
distancias a un eje.
c
X
Y
a
z
Y
b
X
h


Los dos ejes principales de la figura son X-X y Y-Y, pasan por el centroide de la
sección rectangular, con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo a la
base es IX-X = bh
3
/12, con respecto al eje vertical, la expresión sería IY-Y = hb
3
/12.

3.1.3 Radio de Giro.-
Esta propiedad de la sección transversal de un miembro estructural está relacionada
con el diseño de miembros sujetos a compresión. Depende de las dimensiones y de
la forma geométrica de la sección y es un índice de la rigidez de la sección cuando
se usa como columna. El radio de giro se define matemáticamente como r=AI/ ,
Donde I es el momento de inercia y A el área de la sección. Se expresa en
centímetros porque el momento de inercia está en centímetros a la cuarta potencia y
el área de la sección transversal está en centímetros cuadrados. El radio de giro no
se usa tan ampliamente en el diseño de madera estructural como en el diseño de
acero estructural. Para las secciones rectangulares que se emplean comúnmente en
las columnas de madera, es más conveniente sustituir el radio de giro por la
dimensión lateral mínima en los procesos de diseño de columnas.


FIGURA 3.1
Ref.: Elaboración Propia

3. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

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3.2 DEFLEXIONES ADMISIBLES
Se llama flecha o deflexión a la deformación que acompaña a la flexión de una viga,
vigueta o entablado. La flecha se presenta en algún grado en todas las vigas, y el ingeniero
debe cuidar que la flecha no exceda ciertos límites establecidos. Es importante entender
que una viga puede ser adecuada para soportar la carga impuesta sin exceder el esfuerzo
flexionante admisible, pero al mismo tiempo la curvatura puede ser tan grande que
aparezcan grietas en los cielos rasos suspendidos revestidos, que acumule agua en las
depresiones de las azoteas, dificulte la colocación de paneles prefabricados, puertas o
ventanas, o bien impida el buen funcionamiento de estos elementos.
Las deflexiones deben calcularse para los siguientes casos:
a.- Combinación más desfavorable de cargas permanentes y sobrecargas de servicio.
b.- Sobrecargas de servicio actuando solas.
Se recomienda que para construcciones residenciales estas no excedan los límites indicados
en la siguiente Tabla:

Carga Actuante (a) con cielo (b) sin cielo
raso de yeso raso de yeso
Cargas permanentes + sobrecargas L/300 L/250
Sobrecarga L/350 L/350


L es la luz entre caras de apoyos o la distancia de la cara del apoyo al extremo, en el caso
de volados. Los valores indicados en la columna (a) deben ser utilizados cuando se tengan
cielos rasos de yeso u otros acabados que pudieran ser afectados por las deformaciones: en
otros casos deben utilizarse los valores de la columna (b).
Aunque las consideraciones para definir la flecha pueden ser importantes, la determinación
precisa de la flecha es un objetivo inalcanzable por las siguientes razones:
 La determinación de las cargas siempre incluye algún grado de aproximación.
 El módulo de elasticidad de cualquier pieza individual de madera siempre es un
valor aproximado.
 Existen diferentes restricciones en la deformación estructural debido a la
Ref.: TABLA 8.1 de Pág. 8-3 del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”
TABLA 3.1: DEFLEXIONES MAXIMAS ADMISIBLES

4. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

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distribución de cargas, resistencias en las uniones, rigidez debida a elementos no
estructurales de la construcción, etc.
Las deflexiones en vigas deben ser calculadas con el módulo de elasticidad Emin del grupo
de la madera estructural especificado.
Para entablados debe utilizarse el Epromedio, las deflexiones en viguetas y elementos
similares pueden también determinarse con el Epromedio, siempre y cuando se tengan por lo
menos cuatro elementos similares, y sea posible una redistribución de la carga.
Los módulos de elasticidad para los tres grupos de maderas estructurales considerados se
indican en la tabla 3.2.:

GRUPO A GRUPO B GRUPO C
Emínimo 95,000 75,000 55,000
Epromedio 130,000 100,000 90,000


3.3 REQUISITOS DE RESISTENCIA
3.3.1 Flexión.- El momento flexionante es una medida de la tendencia de las fuerzas
externas que actúan sobre una viga, para deformarla. Ahora se considerará la acción
dentro de la viga que resiste flexión y que se llama momento resistente.
Para cualquier tipo de viga se puede calcular el momento flexionante máximo
generado por la carga. Si se desea diseñar una viga para resistir esta carga, se debe
seleccionar un miembro con una sección transversal de forma, área y material tales,
que sea capaz de producir un momento resistente igual momento flexionante
máximo; lo anterior se logra usando la fórmula de la flexión.
Por lo común la fórmula de la flexión se escribe como:
I
yM


Donde el tamaño y la forma de la sección transversal están representados por la
inercia (I) y el material del cual está hecha la viga está representado por σ, la
distancia del plano neutro a cualquier fibra de la sección esta representa por “y”, el
esfuerzo en la fibra más alejada del eje neutro se le llama esfuerzo de la fibra
extrema (c).
TABLA 3.2: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm
2
)
Ref.: TABLA 8.2 de Pág. 8-3 del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

5. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

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Para vigas rectangulares:
b
y
EJE NEUTRO
c=
h
2
c=
h
2
Mc
My
I
I


Sustituyendo los datos para una viga rectangular y para obtener el esfuerzo de la
fibra extrema tendremos: 12
hb
2
h
M

I
cM
3









Los esfuerzos de compresión y de tensión producidos por flexión (σ), que actúan
sobre la sección transversal de la viga, no deben exceder el esfuerzo admisible, fm,
para el grupo de madera especificado.

GRUPO A 210
GRUPO B 150
GRUPO C 100
]
Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si
hay una acción de conjunto garantizada.

3.3.2 Corte.- Como mencionamos en el capítulo anterior, se produce un esfuerzo
cortante cuando dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario tienden a hacer 2
max
f
hb
M6
σ




TABLA 3.3: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE EN FLEXION, fm(kg/cm
2
)
Ref.: TABLA 8.3 de Pág. 8-4 del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”
FIGURA 3.2 SECCION TRANSVERSAL, DISTRIBUCION DE ESFUERZOS
NORMALES PRODUCIDOS POR FLEXION


Ref.: Elaboración Propia

6. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

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resbalar, una sobre otra, las superficies contiguas de un miembro. En la figura 3.3a
se representa una viga con una carga uniformemente distribuida. Existe una
tendencia en la viga a fallar colapsándose entre apoyos, como se indica en la figura
3.3b. éste es un ejemplo de cortante vertical. En la figura 3.3c se muestra, en forma
exagerada, la flexión de una viga y la falla de partes de la viga por deslizamiento
horizontal, este es un ejemplo de cortante horizontal. Las fallas por cortante en las
vigas de madera se deben al esfuerzo cortante horizontal, no al vertical. Esto es
verdad debido que la resistencia al esfuerzo cortante de la madera es mucho menor
en el sentido paralelo a las fibras que en el transversal a éstas.




(a) (b) (c)


Los esfuerzos cortantes unitarios horizontales no están uniformemente distribuidos
sobre la sección transversal de una viga. El esfuerzo de corte en una sección
transversal de un elemento a una cierta distancia del plano neutro puede obtenerse
mediante: Ib
SV




En esta expresión se tiene:
τ= esfuerzo cortante unitario horizontal, en cualquier punto específico de la sección.
V= fuerza cortante vertical total en la sección elegida
S= momento estático con respecto al eje neutro del área de la sección transversal.
I= momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto a su eje
neutro.
b= ancho de la viga en el punto en el que se calcula τ.
Para una viga de sección rectangular el máximo esfuerzo de corte resulta al sustituir:
12
hb
I ;
8
hb
4
h
2
h
bS
32










b12/bh
8/bhV
bI
SV
3
2







hb
Q
2
3
τ
max



FIGURA 3.3 GENERACION DEL ESFUERZO CORTANTE


Ref.: Elaboración Propia

7. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

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h
2
b
h
4
xh
V
bh
3
2


Los esfuerzos cortantes, τ, no deben exceder el esfuerzo máximo admisible para
corte paralelo a las fibras, fv, del grupo de madera estructura especificado.


GRUPO A 15
GRUPO B 12
GRUPO C 8

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si
hay una acción de conjunto garantizada.

3.4 ESCUADRÍA ÓPTIMA
x x
y
y
h
b
y
x
R
R
R : Radio promedio de tronco

FIGURA 3.4 GENERACION DEL ESFUERZO CORTANTE EN UNA VIGA


Ref.: Elaboración Propia
TABLA 3.4: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE PARA CORTE
PARALELO A LAS FIBRAS, fv(kg/cm
2
)
Ref.: TABLA 8.4 de Pág. 8-5 del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”
FIGURA 3.5


Ref.: Elaboración Propia

8. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 32
Se desea establecer una relación entre la base y la altura de una viga de sección rectangular,
de tal manera que la capacidad resistente de esta viga sea la mayor posible, de esta forma se
puede utilizar un tronco de madera con el menor desperdicio.
Como la deformación gobierna el diseño, entonces debe encontrarse dimensiones que
generen el mayor momento de inercia posible. 12
hb
I
3


222
yxR 

)1......(..........xRy
22

12
(2y)2x
I
3


322
)xR(x
3
4
I 
322
)x(Rx
3
4
I 
3222
)x(Rx
3
4
I 

Derivando la inercia en función de x:      (2x))x(R2x)())x(R(3x)x(Rx
2
1
3
4
I'
3222222
2
1
3222
x









Simplificando la expresión:    
3222
3222222
x
)x(Rx2
(2x))x(R2x)())x(R(3x
3
4
I'




Ahora se iguala a cero la expresión derivada, esto con el fin de encontrar el punto crítico, o
sea para maximizar la inercia:    
0
)x(Rx2
(2x))x(R2x)())x(R(3x
3
4
I'
3222
3222222
x 





222
xRy 

9. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

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Simplificando la expresión: 0)x(R))x(R(3x' I
3222222
x 
0)x(R3x' I
222
x 
22
4xR
2
R
x
Rb

Reemplazando x en ecuación (1): 4
R
Ry
2
2

2
R
4
3
y 
4
3
Ry
R866.0y

Ahora como 2yh entonces: 1.73Rh

Y también como b = R:
73.1
b
h








Toda vez que se asume una escuadría para el diseño de una viga
se debe procurar que la altura sea 1.73 veces de la base.

10. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

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3.5 VIGAS COMPUESTAS
3.5.1 Vigas reforzadas lateralmente con perfiles de acero
h
b
Madera
1
h
Madera
b
2
Planchas
Pernos
Pernos

Cuando las cargas que actúan sobre las vigas de madera son grandes, y fundamentalmente
cuando la longitud de las vigas es de 7.5 a 8 metros (esto ocurre en los puentes), es
necesario reforzar la escuadría de la viga con perfiles de acero colocados lateralmente en
ambas caras tal como se observa en la figura. Algunas veces las condiciones arquitectónicas
de una estructura, obligan también a utilizar este procedimiento de refuerzo.
Lo más importante del método constructivo es el aumento de la rigidez y la mejoría de la
estabilidad dimensional, en especial con respecto a la flecha producida por cargas de larga
duración, que son posiblemente las más significativas.
Los componentes de una viga reforzada con acero se sujetan firmemente entre si con pernos
que los atraviesan, de modo que los elementos actúen como una sola unidad.
Espesores de las planchas:



 e

 1/4’’
 1/8’’
 1/16”
 1/32”

FIGURA 3.6


Ref.: Elaboración Propia

11. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 35
No es conveniente usar mayores espesores de plancha, debido a su mayor peso propio.
Principio: “La deformación vertical de ambos materiales debe ser la misma”.
Cuando las vigas de madera se refuerzan por medio de perfiles de acero dispuestos
lateralmente, habrá que tener en cuenta para efectos de cálculo, los distintos módulos de
elasticidad, del acero Ea y de la madera Em. Bajo la hipótesis de que tanto los perfiles de
acero como la viga de madera experimentan la misma deformación vertical, esto ocurre
siempre y cuando el elemento de unión (perno) este adecuadamente apretado.
Entonces siguiendo el principio, y para una viga simplemente apoyada con una carga q
uniformemente distribuida se tiene:
Flecha para la madera: mm
4
m
mad
IE384
Lq5
f



Flecha para el acero: aa
4
a
ac
IE384
Lq5
f



Entonces por el principio: acmad
ff

Entonces: aa
a
mm
m
IE
q
IE
q





aa
mm
a
m
IE
IE
q
q


 , donde amTOTAL
qqq 

3.5.2 Vigas acopladas mediante cuña horizontal de madera
La figura 3.7. muestra el acoplamiento de 2 vigas mediante un grupo de cuña-perno. Estos
acoplamientos se utilizan especialmente en la construcción de puentes. Con el acoplamiento
se pretende construir grandes basas de altura “h” comprendidas entre 60 cm y 80 cm:
60<h<80 cm.

12. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 36 T
3
t
e
a
CUÑA
PERNO
h
2
b
2T
T
1
Ø

a
h
2
h


10
[cm] b
;1"
20-15
[cm]h
e t;5d ;
20-12
[cm]h
t  

El estudio de estos acoplamientos no obedece a desarrollos teóricos (teoremas, etc.), Estos
valores referenciales han sido determinados experimentalmente (Norma Alemana DIN)
La separación “e” se deja para permitir aireación entre las vigas evitando de esta forma la
putrefacción de ellas, sin embargo debe procederse a su mantenimiento y limpieza cuando
sea necesario.
La madera de la cuña debe ser por lo menos del mismo grupo que la madera de las vigas y
el acero del perno no debe ser corrugado.
Ante la acción de las cargas, las vigas que intervienen en el acoplamiento tienden a
deslizarse las unas respecto a las otras. Entonces se origina la fuerza “T1” de aplastamiento
sobre la penetración de la cuña en la madera. tbT
a1 

Donde: σa = Esfuerzo de aplastamiento de la madera en la cuña, (30 k/cm
2
- 50 k/cm
2
).
Cuando se apretan los pernos se generan las fuerzas “T2” sobre la cabeza de las cuñas,
experimentalmente se ha determinado que “T2” depende del diámetro () del perno: 0.6)-(0.5 ; f
4
;AfT
s
2
ps2


 



Ante la acción de cargas los pernos presionan sobre el hueco que se ha hecho en la madera
para introducir los pernos, está presión esta representada por “T3”. cm.en Donde ; 170)-(150T
2
3 

Entonces la capacidad de carga (de resistencia) del grupo cuña-perno será:
T=T1+T2+T3
En esta suma T1 es dominante y muchas veces solamente se toma éste, dejando T2 y T3
FIGURA 3.7


Ref.: Elaboración Propia

13. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 37
como factores de seguridad.
Ahora determinaremos el número de cuñas:
b
h
h
2
h
2


estático) (Momento Q
escuadría) la todade inercia de Momento(I
Z
cg


h
3
2
4
h
2
h
b
12
hb
Z
3





Con este valor es posible calcular la fuerza horizontal que origina el deslizamiento entre
vigas: Z
M
H
MAX


Entonces el número de cuñas será: T
H
n

Es conveniente, para estar del lado de la seguridad sustituir T por T1.
Finalmente en el punto medio entre 2 cuñas adyacentes se ubicará un perno.








FIGURA 3.8


Ref.: Elaboración Propia

14. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 38
Ejemplo 1: Encontrar la escuadría de una viga de 6.5 metros de longitud, que se encuentra
simplemente apoyada, y soporta una carga uniformemente distribuida de 0.3 toneladas por
metro.
El esquema es el siguiente: 6.5m
q = 0.3 t/m
A B

Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en este caso se usará madera
del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO.



 Grupo A (Almendrillo)



Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de
la madera; para asumir una sección aproximada se debe recurrir a las siguientes ecuaciones:
 b73.1h 
 Z
M
ad
f
Donde la primera ecuación es la relación de escuadría óptima, y la segunda ecuación es la
ecuación de flexión, donde M es el momento por carga viva y Z es el módulo de la sección,
entonces: 22f
hb
M6
6
hb
M
Z
M
ad





Sustituyendo la el valor de la altura de la escudaría óptima: 32f
b
M2
)b73.1(b
M6
ad




f
ad
 210 k/cm
2 τad
 15 k/cm
2
E  95000 k/cm
2 fad
 275
(cm) L
  800 k/m
3

15. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 39
Entonces: 3
fad
M2
b




Ahora se halla el momento producido por la carga viva: mk38.1584
8
5.6300
8
LC
M
22
T






Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor
de 2).Entonces la base será: cm45.14
2
210
1584382
b
3



cm2545.1473.1h 

Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por
conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido
a que no se tomó en cuenta el peso propio:



El peso propio será: hb
p
P

Pp = 800 k/m
3

.
0.15 m
.
0.25 m = 30 k/m
La carga total será: PpqC
T
CT = 330 k/m

Las reacciones serán: 2
Lq
R
A


k5.1072
2
5.6650
R
A 


k5.1072R
B

 b =15 cm

 h =25 cm
ESCUADRÍA:

16. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 40
Los esfuerzos internos serán los que se presentan en el siguiente diagrama; el momento
máximo se calcula con: mk81.1742
8
5.6330
8
LC
M
22
T
MAX 





Diagrama de esfuerzos internos: Mmax=1742.81 k.m.
6.5m
Mmax
3.25m
1072.5 k
1072.5 k
A
MOMENTOS
CORTANTES
1072.5 k
1072.5 k
q = 0.3 t/m
Pp
B

FLEXIÓN : 2
max
f
hb
M6
σ


 2
2
f cm/k54.111
2515
1742816
σ 




Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.

17. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 41
El coeficiente de seguridad a la flexión será: 88.1
54.111
210
C.Seg
f
f
f
ad




Este coeficiente es muy bajo, debe salir mayor o igual a 2, entonces se sospecha que se
deberá cambiar de escuadría, pero por razones académicas se continuara el ejercicio.
CORTE: hb
Q
2
3
τ
max


2
cm/k29.4
25152
5.10723





Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.
El coeficiente de seguridad al corte será: 50.3
29.4
15
C.Seg
ad





Este coeficiente es un valor aceptable.
DEFORMACION:
La deformación admisible será:
fad =cm36.2
275
650
275
(cm) L

La flecha que produce la carga será: cm13.4
12
2515
95000384
6503.35
IE384
lq5
f
3
44









Como este valor es mayor al admisible, entonces falla, ESCUADRIA!CAMBIAR
Los tres fenómenos (flexión, corte y deformación) no son aislados, se presentan
simultáneamente. En general en las maderas la deformación es el fenómeno más
peligroso, mas que la flexión, mas que el corte. Por eso se exige en las maderas un
coeficiente de seguridad para la deformación entre 1.5 a 2.
Como la escuadría asumida es insuficiente:
AFINAMIENTO Para el afinamiento se va añadiendo de pulgada en pulgada.

18. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 42



El peso propio será: hbP
p 

Pp = 800 k/m
3

.
0.15 m
.
0.35 m = 42 k/m
La carga total será: PpqC
T

CT = 342 k/m
DEFORMACION :
La flecha que produce la carga será: cm56.1
12
3515
95000384
65042.35
3
4








IE384
lq5
f
4

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.
El coeficiente de seguridad a la deformación será: 51.1
56.1
36.2
f
f
f 
ad
C.Seg

Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado
de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple.
Nota.- La deformación gobierna el diseño (es el efecto más desfavorable para maderas).
Los coeficientes de seguridad sirven para asegurar la estructura ante cargas que no
hubiesen sido consideradas, o algunos defectos de la madera que se va a emplear.
Otra alternativa del ejercicio anterior hubiese sido modificar las condiciones de apoyo,
como por ejemplo en vez de ser simplemente apoyado, que fuese empotrado-empotrado
para así disminuir la deformación.




 b =15 cm

 h =35 cm
ESCUADRÍA:

19. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 43
Ejemplo 2: Se dispone de madera del grupo A para construir una viga de puente, por el
puente transita el tren que se observa en la figura. Determine la escuadría de la viga.
El esquema es el siguiente: 6.0 [m]
A
Pp
B
0.2 t
1.5 [m]
0.2 t

Se asumirá los siguientes datos del GRUPO A.



o Grupo A


Para predimensionar la sección (lo explicado en el anterior ejemplo): 3
fad
M2
b




Ahora se halla el momento producido por la carga viva, para esto se ubica la carga en la
posición más desfavorable (análisis de línea de influencia): A
0.2 t 0.2 t
B
2.25m

De los formularios de los anexos del capitulo 3: mk45025.2200aPM 
Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor
de 2).Entonces la base será: cm50.9
2
210
450002
b
3



cm435.1650.973.1h 
f
ad
 210 k/cm
2 τad
 15 k/cm
2
E  95000 k/cm
2 fad
 275
(cm) L
  750 k/m
3

20. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 44
Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por
conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido
a que no se tomó en cuenta el peso propio:



El peso propio será:
Pp = 750 k/m
3

.
0.125 m
.
0.25 m = 23.44 k/m  Pp=25 k/m
ESTÁTICA: Debe posicionarse el tren de tal manera que esa posición genere los
esfuerzos máximos (Flexión, cortante y deformación).Se colocan las dos cargas simétricas
respecto el centro de la viga (análisis de línea de influencia).
FLEXIÓN : La sección crítica para el momento máximo es el centro del tramo por
tanto debe situarse el tren de manera compartida respecto al centro. x
275 k
A
275 k
0.2 t 0.2 t
B
  03150V62003.752.25 0M
BA

k275VV k 275V
BAB 


2
x
25-x275
2
2.25x0
M




 25.2200
2
x
25-x275
2
3x2.25
M


x
2
max
f
hb
M6
σ




555.46 k۰m
0 k۰m
562.50 k۰m
555.46 k۰m
 b =12.5 cm

 h =25 cm
ESCUADRÍA:

21. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 45 BIENadk/cm2.43
2512.5
625056
σ
f
2
2f 


 

CORTE:
La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier extremo),
por tanto el tren de cargas debe situarse: 0.2 t
A
425 k
0.2 t
B
125 k
0V63150200.51 0M
BA

k 125V
B
01503-2004.5-2006-V6
A 
MAXA Qk 425V 
hb
Q
2
3
τ
max


→ BIENadk/cm04.2
2512.5
425
2
3
2


 
DEFORMACIÓN:
La flecha que produce la carga será:
A AB B A B
0.2 t 0.2 t 0.2 t 0.2 t


cm 27.0
12
255.12
95000384
60025.05
IE384
Lq5
f
3
44
1








;   cm 06.122546003
12
2512.5
0005924
225200
)a4L(3
IE24
aP
f
22
3
22
2









22. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 46 cm 33.106.127.0ff f
21T 
BIENadff cm 2.4
250
600
250
L(cm)
adf
T 

COEFICIENTES DE SEGURIDAD (HOLGURA):
Flexión: 86.4
2.43
210
C.Seg
f
f
f
ad




Cortante: 35.7
04.2
15
C.Seg
ad





Deformación 81.1
33.1
40.2
C.Seg
ad

f
f
f

La escuadría encontrada se encuentra dentro lo aceptable dentro del marco de la
seguridad(pero es antieconómico, en lo posible procurar afinar lo mas cercano al
coeficiente de seguridad de 1.5), los coeficientes de seguridad respecto a la flexión y el
cortante son mayores que el coeficiente de seguridad de la deformación, eso prueba una vez
más que la deformación en las maderas es el fenómeno más peligroso (Esto no ocurre en el
concreto ni en el acero).

23. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 47
Ejemplo 3: DINTEL DE VENTANA
Madera Grupo: B Luz Libre = 2m
2.30 m
30 cm
2.70 m
Piso Superior
Entrega o Descanso
(minimo 30 cm)
Dintel de Madera
Mamposteria de Ladrillo
Gambote de Carga
A diferencia de los anteriores ejercicios ahora la carga no esta dada, debe el ingeniero
procurar estimar la carga con la mayor precisión posible. De nada servirá cualquier
afinamiento aritmético o algebraico si la carga no ha sido adecuadamente estimada.
Existen dos posibilidades para estimar la carga: 
X
1 m
2.30 m
2.0 m

Se considerará el efecto arco con:  6550

24. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 48
Cálculo de h:
Con un  = 60º: 2/30.2
)º60tan(
h

m0.2m99.1h 
Cálculo del área:






 215.1
2
1
2A
2
m3.2A
Cálculo de x: x
1
15.1
2

m0575.x

Para el ladrillo:
2
m
.und
130Ladrillos#  kg5.2Ladrillocada/pPeso 
kg748kg5.7473.25.2130LadrillodetotalPeso 

Para el mortero: 3
m006.016.125.002.0morterodehileraunadeVolumen 
30Hileras# 
3
m18.0006.030morterodetotalVolumen 
3
m
kg
2200morterodelespecificoPeso 
kg396220018.0morterodeltotalPeso 

Peso total: kg1144396748PPP
mortladT

Ahora, distribuyendo el Peso total en la longitud: m
k
4.497
30.2
1144
L
P
q
T
T 

25. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 49
Ahora, lo que falta es asumir la escuadría del dintel:
Entonces: 3
fad
M2
b




Ahora se halla el momento producido por la sobrecarga: mk91.328
8
3.240.497
8
LC
M
22
T






Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor
de 2).Entonces la base será: cm57.9
2
150
328912
b
3



cm55.1657.973.1h 

Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por
conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido
a que no se tomó en cuenta el peso propio:




Peso propio de la madera: m
k
25.12700175.010.0P
mad


Carga total: m
kg
65.50925.124.497q
Total 
FLECHA:
La flecha que produce la carga será: cm52.0
12
5.1710
75000384
230097.55
3
4








IE384
Lq5
f
4

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.
 b =10 cm

 h =17.5 cm
cmccmcm
ESCUADRÍA:

26. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 50
El coeficiente de seguridad a la deformación será: 77.1
52.0
92.0
C.Seg
f
fad
f 

Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado
de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple (se puede afinar aun más, en busca
de bajar los costos).
DETALLE CONSTRUCTIVO:
 Por razones constructivas : base de dintel = 7.5cm
 Por razones teóricas : base de dintel = 5cm
 Profundidad de clavo : prof. = 18 cm
7.5
17.5
CLAVO


Ejemplo 4: Determinar la escuadría de madera para la viga AB, y determinar si
corresponde reforzar la escuadría con perfiles de acero. En el sitio los troncos son jóvenes y
por consiguiente de poco diámetro. A
q =1 t/m
B
7.0 m


Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en este caso se usará madera
del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO.

27. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 51



 Grupo A (Almendrillo)



Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de
la madera, la máxima escuadría que se puede encontrar en un bosque joven:




El peso propio será: hb
p
P

Pp = 800 k/m
3

.
0.175 m
.
0.30 m ≈ 42 k/m
La carga total será (sin acero): Ppqq
T

qT = 1000 k/m +42 k/m = 1042 k/m
Ahora se desea saber cuanto de la carga total puede asumir la escuadría de madera:
DEFORMACION:
La deformación admisible será:
fad =cm54.2
275
700
275
(cm) L

El coeficiente de seguridad de deformación es de 1.5 a 2, por lo se asume un valor de 1.6,
por lo tanto: cm 59.1
6.1
54.2
C.Seg
f
f
f
f
C.Seg
adad

f
f


f
ad
 210 k/cm
2 τad
 15 k/cm
2
E  95000 k/cm
2 fad
 275
(cm) L
  800 k/m
3

 b =17.5 cm

 h =30 cm
ESCUADRÍA:

28. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 52
La flecha que produce la carga será: k/cm 90.1q
12
305.71
50009384
700q5
59.1
IE384
Lq5
f
m3
4
m
m
4
m 








qT > qm  REFORZAR
qa= 1042 – 190 = 852 k/m
Necesariamente debe reforzarse la escuadría, pues ella sola no es capaz de resistir a la carga
total. Continuaremos el ejercicio solamente por motivos académicos, pues que es tan
grande la carga que debe asumir el acero en proporción a la madera (relación aproximada
de 4 a 1) que sería preferible construir la viga de otro material (Concreto puro o acero
puro). Generalmente un buen refuerzo de acero debe cubrir como máximo el 50% de la
carga total.
Elegimos el uso de planchas para el refuerzo: Madera
Pernos
Planchas
30
17.5

Ahora se debe elegir espesor de plancha: cm64.0"
4
1
e 
El momento de inercia es afectado por cada una de las planchas de acero. cm30hcm53h
12
h64.0
2101.2384
70052.85
59.1
IE384
Lq5
f
ma3
a6
4
a
4
a
a









La altura del acero supera a la altura de la madera e imposibilita o por lo menos dificulta el
proceso constructivo, además de que todavía no esta considerado el peso del acero. 3
ACERO k/m 7850

29. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 53
Pp = 2
.
0.0064 m
.
0.53 m
.
7850 k/m
3
= 53.25 k/m
qTOTAL≈ 1100 k/m
Entonces nos vemos en la necesidad de cambiar de escuadría de la viga de madera, para eso
diremos inicialmente que la madera soportará el 50% de la anterior carga total y con esta
aproximación sacaremos los valores de la base y la altura de la viga. 4
3
3
a
4
m
4
m
m
cm 24.113834
12
hb
12
hb
95000384
70050.55
59.1
IE384
Lq5
f 










Sustituyendo la relación de escuadría óptima: cm 22.66bcm 24.113834
12
b)(1.73b
4
3



Entonces:




Pp = 800 k/m
3

.
0.25 m
.
0.45 m = 90 k/m
La carga total será (sin acero): Ppqq
T

qT = 1000 k/m +90 k/m = 1090 k/m

La flecha que produce la carga será: k/cm 17.9q
12
4525
50009384
700q5
59.1
IE384
Lq5
f
m3
4
m
m
4
m 








qT > qm  REFORZAR
qa= 1090 – 917 = 173 k/m
Para la escuadría de la basa la madera resiste el 84.12% de la carga total sin tomar en
cuenta todavía el peso del acero.
 b =25 cm

 h =45 cm
ESCUADRÍA
:

30. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 54 cm35hUsar cm7.32h
12
h64.0
2101.2384
70073.115.15
59.1
IE384
Lq5
f
aa3
a6
4
a
4
a
a









En la anterior ecuación se esta mayorando en un 15% la carga del acero con objeto de
tomar en cuenta el peso propio del mismo.
Aunque los elementos del detalle constructivo se estudiarán de forma más profunda en los
próximos capítulos, a manera de introducción se presenta los detalles de unión de viga
reforzada.
Se usarán:
Pernos


La plancha de acero se extenderá una distancia “d” a cada lado del centro línea de la viga,
esta distancia puede calcularse exactamente de la teoría de las deformaciones, sin embargo
se tiene: cm. 12067.116
2
700
3
1
2
L
3
1
d 













Se puede determinar exactamente esta distancia por la teoría de las deformaciones:
Donde: M
x
y
IE
2
2





Para la condición de carga, el momento en función de x será: 2
xq
2
xLq
M
2





Entonces: 2
xq
2
xLq
x
y
IE
2
2
2








Integrando: 1
32
C
6
xq
4
xLq
x
y
IE 









Longitud perno = 30 cm.

Diámetro perno = ½”

31. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 55
Luego: 21
43
CxC
24
xq
12
xLq
yIE 





Hallamos C1 y C2 con las condiciones de borde:
C2=0 24
Lq
C
3
1



La ecuación general de la elástica será: 24
xLq
24
xq
12
xLq
yIE
343







Ahora se debe hallar a que distancia “x” la madera se deforma 1.59 cm. bajo la aplicación
de la carga total qTOTAL = 1090 k/m. L=7m
A
1.59cm 1.59cm
X
X
qt =1090 k/m
B

Entonces reemplazando en la ecuación de la elástica: 24
x70090.10
24
x90.10
12
x70090.10
)59.1(
12
4525
95000
3433








002867589844-x7.155779166x83.635x454.0
34


Resolviendo la ecuación polinomial: x1=221.35cm
x x2=478.55cm
x3=- 497.63cm
x4=1198.237cm

32. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 56
De las cuales se descartan las dos últimas por ser soluciones incoherentes. Entonces “d”
será igual: cm.6.128
2
221.35-478.55

2
xx
d
12




Usamos el mayor entre el calculado y el valor referencial dado anteriormente.
 d =128.6 ≈ 130 cm.
La separación entre pernos será de 10 cm.

33. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 57
ESQUEMA ESTRUCTURAL

700
350
10
L
C
d = 130



SECCION TRANSVERSAL:

45 35
7,5
25
Perno:
7,5
10
10
L =30cm
Ø =
1
2"

34. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 58
Ejemplo 5: Sobre la viga de puente transita un vehículo liviano. Representado por el tren
de cargas. Determinar la escuadría de la viga utilizando madera el grupo A.
El esquema es el siguiente: 8.0 [m]
A
2.5 [m]
B
Pp
0.5 t0.5 t
q=0.25 t/m

La escuadría máxima que se puede encontrar en los aserraderos es:



El peso propio será:
Pp = 800 k/m
3

.
0.225 m
.
0.45 m = 81 k/m  Pp=81 k/m
qTOTAL= (250+81) = 331 k/m
Entonces: 0.5 t
A
0.5 t
AB
0.5 t
B A
0.5 t
B 
cm 08.1
12
455.22
95000384
80031.35
IE384
Lq5
f
3
44
1








;   cm 57.027548003
12
45522.
0005924
275500
)a4L(3
IE24
aP
f
22
3
22
2








cm 65.157.008.1ff f
21T 
BIENadff cm 2.93
275
800
275
L(cm)
adf
T 
77.1
65.1
93.2
f
f
C.Seg
ad
f 

 b = 22.5 cm

 h = 45 cm
ESCUADRÍA:

35. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 59
Ya que el fenómeno más desfavorable para la madera es la deformación, y estando su
coeficiente de seguridad en un buen margen, suponemos que cumplirá los requisitos de
flexión y corte, sin embargo se recomienda hacer la verificación de estos.
La escuadría de la basa seleccionada es muy difícil de conseguir en el aserradero, por tanto
la construiremos utilizando un acoplamiento de dos vigas de sección cuadrangular:
Sustituyendo los valores referenciales obtenemos: cm. 3
15
45
20-15
h
e cm; 475.3
12
45
20-12
h
t 
SIEMPRE! e tcm; 2045t5a 
cm. 54.2"1φ cm 25.2
10
5.22
10
b
φ
pp 
k 6003422.540tbT ; k/cm )5030(
a1
2
maderaaplast
 
f
4
;AfT
s
2
ps2





dulce) (Acero k/cm )1200800(f 0.6);-(0.5
2
s 
k 1964008
4
54.2
5.0T
2
2




k 8.109654.2170170T
22
3 
8.7110TTTT
321 

Como dijimos antes es preferible usar la fuerza T1 para sacar el número de cuñas: cm 3054
3
2
h
3
2
Z 

Ahora necesitamos determinar el momento máximo, para esto tomaremos la posición más
desfavorable del tren de carga:   042648V850025.52.75 0M
BA

k 1824VV k 1824V
BAB 


2
x
331-x8241
2
2.75x0
M



3764.41 k۰m
0 k۰m

36. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 60

 75.2500
2
x
331-x8241
2
25.5x2.75
M


x

El momento máximo lo tendremos al centro del tramo:
 75.24500
2
(4)
331-)4(8241M
2
MAX

Entonces la fuerza horizontal será: k 13410
30
1004023M
H
MAX



Z
4n 73.3
3600
13410
T
H
n
1


Colocado de cuñas: 1824 k
2414 k·m
1824 k
8.0 [m]
1609 k·m
805 k·m
1824 k
A
413.75 k
913.75 k
413.75 k
913.75 k
3218 k·m
0.5 t
4023 k·m
0.5 t
MOMENTO
CORTANTE
B
1824 k
q=0.25 t/m


3764.41 k۰m
3764.41 k۰m
4023 k۰m

37. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 61
La ordenada correspondiente al máximo momento se divide entre el número de cuñas sin
tomar en cuenta los extremos. De cada punto se dirige una paralela al eje x hasta cortar la
curva de momentos. De los puntos de corte se suspenden rectas hasta cortar la curva de
cortantes, estableciendo en la gráfica de cortantes las áreas que se observan en la figura. Se
identifica el centro de gravedad de cada área; de este punto se suspende una recta hasta
cortar a la viga y en cada punto de corte se introduce una cuña.
Entre cuña y cuña en el punto medio se dispondrá de un perno, se empezará con un perno
situado entre el apoyo y la primera cuña. Se recomienda ubicar siempre una cuña donde el
momento es máximo.
Si la distancia entre cuñas “s” <20 cm. entonces se deberá buscar una mayor escuadría, en
caso de columnas se dispondrán cuñas verticales.
A partir del centro de línea hacia la derecha se dispondrá del mismo número de cuñas y de
posición simétrica.

EJERCICIO PROPUESTO. -

En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos:
o Deflexión Admisible
o Módulo de Elasticidad Axial: Emínimo
o Módulo de Elasticidad Axial: Epromedio
o Sección Óptima
o Vigas reforzadas con perfiles de acero
o Vigas Acopladas

PROBLEMA PROPUESTO .-

 Diseñar la siguiente Viga reforzada con una plancha de acero para las condiciones de
apoyo y cargas que se muestran en la figura. La madera corresponde al Grupo A.
Discutir los resultados en clase.

38. ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 62



 Resolver el siguiente problema: “Un albañil usa una tabla (de 40x10cm) de madera para
poder pasar de un lado a otro, lleva consigo una carretilla, en la cual trae bolsas de
cemento. Suponiendo que el albañil pesa 60 kilogramos, el peso de la carretilla de 25
kilogramos. Se pide dibujar una grafica de la cantidad de bolsas de cemento (enteras)
que se puedan cargar en función de la longitud de la tabla (cada 25 cm). Suponer el
esquema como una carga puntual, y simplemente apoyado; y considerar un coeficiente
de seguridad a la deformación mínimo de 1.8. La madera pertenece al grupo B.”

h
b
A
q = 0.5 t/m
B
4.5 m