Disequazioni con valori assoluti

1. Disequazioni fratte con valori
assoluti
Valeria Merenda

2. Premessa
●
Il procedimento da attuare per risolvere
una disequazione con valore assoluto è molto
simile a quello per le equazioni.
●
Per comprendere ciò che segue, bisogna
avere le adeguate conoscenze sulle equazio-
ni con valore assoluto.

3. Ricordiamo...
●
In una qualsiasi espressione algebrica A(x),
il suo valore assoluto |A(x)| dipende dal se-
gno di A(x):
●
Se A(x)≥0 |A(x)|=A(x)
→
●
Se A(x)<0 |A(x)|=-A(x)
→

4. Come procedere
Per risolvere le disequazioni con valore assoluto bisogna
preliminarmente studiare il segno di ciascuna espressio-
ne in cui compare il valore assoluto.
Esempio:
|x-1| > 4-2x

5. Studiamo l'espressione con il valore assoluto:
|x-1|
●
Quando x-1≥0 x≥1 il valore assoluto vale
→
x-1
●
Quando x-1<0 x<1 il valore assoluto vale
→
-x+1
Quindi il valore assoluto assume valori diversi nei due
intervalli

6. ●
Ottenuti i due valori x≥1 e x<1 li mettiamo a sistema
Ora vanno studiati entrambi gli intervalli separatamente.
●
Nel caso dell'intervallo x≥1 la disequazione diventa:
“ x-1>4-2x (il segno del v.a è quindi positivo)”
●
Nel caso dell'intervallo x<1 la disequazione diventa:
“ -x+1>4-2x (il segno del v.a è negativo e cambiamo i segni)”

7. A differenza delle equazioni, nel caso delle
disequazioni utilizzeremo precisamente due
sistemi, uno per il primo caso( x≥1) e un altro
per il secondo caso(x<1)

8. Perciò risolvere la disequazione con il valore
assoluto
|x-1|>4-2x
Vuol dire risolvere due sistemi, contenenti le
“forme diverse” della disequazione negli intervalli
determinati del v.a
E la soluzione finale si ottiene unendo le soluzione
dei due sistemi
S=S1 U S2

9. Andiamo a svolgere
il primo sistema
S1=

10. Risolviamo adesso
il secondo sistema
S2=

11. La soluzione finale data dall'unione dei due
sistemi è

12. Nel caso in cui i valori assoluti
siano più di uno...
Il ragionamento da seguire non cambia. Si
studiano i singoli valori assoluti, si ricavano le
“forme diverse” di disequazioni e si ricavano i
sistemi da risolvere. In questo caso però i
sistemi da risolvere aumentano.
L'unione di tutte le soluzioni dei sistemi
determinerà la soluzione finale.
Facciamo un esempio...

13. Questa è la nostra disequazione con due
valori assoluti:
|x|-2|x+3|<0

14. Studiamo il primo valore assoluto |x|
Quando x≥0 il valore assoluto vale “x”
Quando x<0 il valore assoluto vale “-x”

15. Quindi il valore assoluto |x| assume valori
diversi nei due intervalli

16. Studiamo il secondo valore assoluto
Quando x+3≥0 ossia x≥-3 il valore assoluto vale
x+3
Quando x+3<0 ossia x<-3 il valore assoluto vale
-x-3

17. Quindi il valore assoluto |x+3| assume valori
diversi nei due intervalli

18. se consideriamo insieme i due valori assoluti
e i loro intervalli si ricava

19. si può notare come la disequazione assume TRE
“forme diverse” in tre intervalli
Quando x<-3 la disequazione assume la forma –x-
2(-x-3)<0
Quando -3≤x<0 la disequazione assume la forma –x-
2(x+3)<0
Quando x≥0 la disequazione assume la forma
–x-2(x+3)<0

20. Perciò dobbiamo studiare tre sistemi:
E la soluzione finale si ricaverà unendo le
soluzioni dei tre sistemi
S=S1 U S2 U S3

21. Risolviamo il primo
sistema
S1 = x<-6

22. Risolviamo il
secondo sistema
S2 = -2<x<0

23. Risolviamo il terzo
sistema
S3 = x≥0

24. La soluzione finale:
S=S1 U S2 U S3
X<-6 U -2<x<0 U x≥0
=
x<-6 U x>-2

25. FINE
FINE