Distâncias entre dois pontos - Mat A 10.º Ano

Distâncias entre dois pontos: no espaço, no plano e nas retas.

1. Distância
entre dois Pontos
• Na Reta
• Na Reta
• No Pla no
• No Plano
• No Espa ço
• No Espaço

2. 0
A distância de um ponto de coordenada positiva à
origem é o valor da própria coordenada.
5
x
P
d
PO = 5
5
Distância entre dois pontos na Reta

3. 0-5
x
d
QO = 5
5
Distância entre dois pontos na Reta
A distância de um ponto de coordenada negativa à
origem é o valor da própria coordenada.
Q

4. a
x
P
d
PO = | a |
0
| a |
Distância entre dois pontos na Reta
De forma geral, a distância de um ponto à origem é
o valor absoluto da própria coordenada.

5. 0 5
x
P
d
PQ = 5 - 3
= 2
3
2
Distância entre dois pontos na Reta
A distância entre dois pontos será dada pela
subtração das coordenadas.
Q

6. a b
x
P
d
PQ = | a – b |
| a - b |
Distância entre dois pontos na Reta
A distância entre dois pontos será dada pela
subtração das coordenadas.
Q

7. 0 3
x
P
Exemplo:
-1
d
PQ= | -1 - 3 |
= | - 4 |
= 4
d
PQ= | 3 - (-1) |
= | 3 + 1 |
= | 4 |
= 4
d
PQ = | a – b |
Q

8. x
y
0
Como determinar a distância entre os pontos no plano?
a
1
b
1
a
2
b
2
P (a
1, b
1)
Q (a
2, b
2)
?
Distância entre dois pontos no Plano

9. x
y
0
Consideramos um terceiro ponto R nas condições da figura.
a
1
b
1
a
2
b
2
P (a
1, b
1)
Q (a
2, b
2)
R (a
2, b
1)
Distância entre dois pontos no Plano
?

10. x
y
0
a
1
b
1
a
2
b
2
P (a
1, b
1)
Q (a
2, b
2)
R (a
2, b
1)
d
PR = | a
1 - a
2
|
d
QR = | b
1 - b
2
|
(d
PQ)
2
= (d
PR)
2
+ (d
QR)
2

Distância entre dois pontos no Plano

11. x
y
0
a
1
b
1
a
2
b
2
P (a
1, b
1)
Q (a
2, b
2) ( )( )
2
21
2
21 bbaad
PQ −+−=
Distância entre dois pontos no Plano
R (a
2, b
1)
d
QR = | b
1 - b
2
|
d
PR = | a
1 - a
2
|

12. x
y
z
P (a
1, b
1, c
1)
Q (a
2, b
2, c
2)
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
?
Distância entre dois pontos no Espaço
Como determinar a distância entre os pontos no espaço?

13. x
y
z
P (a
1, b
1, c
1)
Q (a
2, b
2, c
2)
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
R (a
2, b
2 , c
1)
Distância entre dois pontos no Espaço
Consideramos um terceiro ponto R nas condições da figura.

14. x
y
z
P (a
1, b
1, c
1)
Q (a
2, b
2, c
2)
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
R (a
2, b
2 , c
1)
(d
PR)
2
= (a
1 - a
2)
2
+ (b
1 - b
2)
2

d
QR = | c
1 - c
2 |
(d
PQ)
2
= (d
PR)
2
+ (d
QR)
2
( )( )( )
2
21
2
21
2
21 ccbbaad
PQ −+−+−=
Distância entre dois pontos no Espaço

15. Distância entre Dois Pontos
• Na Reta :
• Na Reta:
• No Pla no:
• No Plano:
• No Espa ço:
• No Espaço:
d
PQ=|a-b|( )( )
2
21
2
21 bbaad
PQ −+−= ( )( )( )
2
21
2
21
2
21 ccbbaad
PQ −+−+−=