DistribucióN De Poisson

Fundamentos de la Distribución de Poisson

2. En este módulo se describe el uso de la distribución de
Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de
sucesos raros cuyo resultado lo representa una
variable discreta.

3. Además, esperamos que puedas:
3.Identificar las propiedades de una distribución Poisson.
5.Determinar los valores de frecuencia p y segmento n para
establecer las bases para el cómputo de las probabilidades.
7.Determinar el promedio, la varianza y la desviación estándar
utilizando las variables de la distribución de Poisson.

4. La distribución de Poisson se llama así
en honor a su creador, el francés
Simeón Dennis Poisson (1781-1840),
Esta distribución de probabilidades fue
uno de los múltiples trabajos matemáticos
que Dennis completó en su productiva trayectoria.

5. La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son
impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el
total de posibles resultados.
Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con
resultado discreto.
Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de
éxitos p es pequeña.
Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye
dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área,
volumen o tiempo definido.

6. La llegada de un cliente al negocio durante una hora.
Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.
Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.
Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de
producto terminado.

La distribución de Poisson se emplea
para describir procesos con un elemento
en común, pueden ser descritos por una
variable aleatoria discreta.

7. 1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el
segmento o tamaño de muestra n es constante.
2. El evento debe considerarse un suceso raro.
3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros
eventos

Si repetimos el experimento n veces podemos
obtener resultados para la construcción de la
distribución de Poisson.

8. La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de
distribución de probabilidad discreta.
La distribución de Poisson parte de la distribución binomial.
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento
muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de
éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el
modelo de distribución de Poisson.
Se tiene que cumplir que:
p < 0.10
p * n < 10

9. Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta
X toma un valor finito k.
λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo,
volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La
constante e tiene un valor aproximado de 2.711828
K es el número de éxitos por unidad
A continuación veremos la función de probabilidad de la
distribución de Poisson.

10. La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de
manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300
días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es
menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de
distribución de Poisson:
Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892
Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300
días de trabajo es de 8.9%.

11. La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de
0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya
fabricados hayan 5 defectuosos?
En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor
que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que
aplicamos el modelo de distribución de Poisson:
El resultado es P (x = 5) = 0.04602
Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos
defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.

12. Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3%
de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 100
verduras al azar, encuentre la probabilidad de que,
a) 4 estén descompuestas.
b) de 1 a 3 estén descompuestas

13. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que
el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos
amortiguadores, hallar la probabilidad de que,
a) 4 salgan defectuosos,
b) más de 5 tengan fuga de aceite.
c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.
d) Determine el promedio y la desviación estándar de
amortiguadores con defectos.

14. Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad
de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200
alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están
defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,
a) ninguno esté defectuoso,
b) uno salga defectuoso,
c) al menos dos salgan defectuosos
d) más de tres estén con defectos

15. La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin
que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra
de 15,
a) 12 duren menos de un año,
b) a lo más 5 duren menos de un año,
c) al menos 2 duren menos de un año.

16. Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la
probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona
aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:
a) ninguna de las casas viola el código de
construcción
b) una viola el código de construcción
c) dos violan el código de construcción
d) al menos tres violan el código de construcción

17. Aleatorio – que ocurre al azar.

Distribución de Poisson – Distribución discreta que se aplica
cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el
experimento de Bernoulli.
Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de
defectos, llamadas recibidas, servicios completados.
Experimento independiente – Cuando el resultado de un
experimento no tiene influencia en el resultado de otro
experimento.

 

18. Resultado discreto – Son resultados con un número finito de
valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5, etc.)
Suceso raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia.

Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño de
muestra, ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo
o cualquier otra medida.
Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un
número finito de valores de forma impredecible o al azar.
Variable Discreta – Variable que puede obtener un
número finito de valores como 0, 1, 2, 3.