Distribución de probabilidad normal

1. Capítulo 7
Distribución de
probabilidad normal

2. Características de la distribución de
probabilidad normal
La curva normal es acampanada y presenta sólo
un pico en el centro de la distribución.
La media aritmética, la mediana y la moda de la
distribución son iguales y están localizadas en el
pico. De esta forma, la mitad del área bajo la
curva se encuentra por arriba de este punto
central, y la otra mitad por abajo.

3. Características de la distribución de
probabilidad normal
La distribución de probabilidad normal es
simétrica con respecto a su media.
La curva normal decrece uniformemente en
ambas direcciones a partir del valor central. Es
asintótica, esto significa que la curva se acerca
cada vez más al eje x, pero en realidad nunca
llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de
la curva se extienden indefinidamente en ambas
direcciones.

4. Características de la distribución de
probabilidad normal
La curva normal es simétrica.
Media, mediana y moda son iguales.

5. La distribución de probabilidad normal
estándar
La distribución normal estándar es una
distribución normal con media cero y desviación
estándar de 1.
También es llamada distribución z.
Un valor z es la distancia entre un valor
seleccionado llamado x, y la media de la
población µ, dividida entre la desviación
estándar, σ. La fórmula es:
Z = (x – µ)/σ

6. Ejemplo 1
El salario inicial de los primeros dos meses de
los recién graduados de MBA siguen la
distribución normal con una media de $2,000 y
una desviación estándar de $200. ¿Cuál es el
valor z para un salario de $2,200?
Z = (x – µ)/s = (2,200 – 2,000)/200 = 2.00

7. Ejemplo 1 (Continuación)
¿Cuál es el valor z de $1,700?
Z = (x – µ)/σ = (1,700 – 2,000)/200 = -1.50
Un valor z de 1 indica que el valor de $2,200 es una
desviación estándar arriba de la media de $2,000.
Un valor z de -1.50 indica que $1,700 es 1.5 desviación
estándar debajo de la media de $2,000.

8. Áreas bajo la curva normal
Aproximadamente 68% del área bajo la curva normal
está entre la media más una y menos una desviaciones
estándar, y se expresa µ +- 1σ.
Alrededor de 95% del área bajo la curva normal está
entre la media más dos y menos dos desviaciones
estándar, lo que se expresa µ +- 2σ.
Prácticamente toda el área bajo la curva normal está
entre la media y tres desviaciones estándar (a uno y otro
lados del centro), es decir µ +- 3σ.

9. Áreas bajo la curva normal

µµ+σµ-σ
68%µ-2σ µ+2σ
95%

10. Ejemplo 2
El uso diario de agua por persona en Vista
Bella, Naucalpan, está distribuido normalmente
con una media de 20 galones y una desviación
estándar de 5 galones. Aproximadamente 68%
de ellos ¿cuántos galones de agua consumen?
Aproximadamente 68% del uso diario de agua
cae entre 15 y 25 galones.

11. Ejemplo 3
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de
Vista Bella seleccionada al azar consuma entre
20 y 24 galones por día?
Z = (x – µ)/σ = (20 – 20)/5 = 0.00
Z = (x – µ)/σ = (24 – 20)/5 = 0.80

12. Ejemplo 3 (Continuación)
El área bajo la curva normal entre un valor
z de cero y un valor z de 0.80 es 0.2881.
Concluimos que 28.81% de los residentes
consumen entre 20 y 24 galones de agua
por día.
Observe el siguiente diagrama.

13. Ejemplo 3
0 1 23-1-2-3
P(0<z<.8) = .2881

14. Ejemplo 3 (Continuación)
¿Qué porcentaje de la población consume entre
18 y 26 galones por día?
Z = (x – µ)/σ = (18 – 20)/5 = – 0.40
Z = (x – µ)/σ = (26 – 20)/5 = 1.20

15. Ejemplo 3 (Continuación)
El área asociada con un valor z de – 0.40 es
de .1554.
El área asociada con un valor z de 1.20 es de .
3849.
Sumando estas áreas, el resultado es .5403.
Concluimos que 54.03% de los residentes
consumen entre 18 y 26 galones de agua por
día.

16. Ejemplo 4
El profesor Velasco ha determinado que las
calificaciones en su curso de estadística, están
aproximadamente distribuidas en forma normal
con una media de 72 y desviación estándar de
5. Él avisa a la clase que el 15% más alto
obtendrá una calificación de A. ¿Cuál es la
puntuación límite más baja que obtendrá
calificación de A?

17. Ejemplo 4 (Continuación)
Para comenzar, sea x la puntuación que separa
una A de una B.
Si el 15% de los estudiantes tienen puntuación
superior a x, entonces el 35% deberá estar
entre la media de 72 y x.
El valor z asociado correspondiente al 35% es
1.04.

18. Ejemplo 4 (Continuación)
Tomamos z = 1.04 y resolvemos la ecuación de
la normal estándar para x. El resultado es la
puntuación que separa a los estudiantes que
separan una A de aquellos que ganaron una B.
1.04 = (x – 72)/5 = 72 + 5.2 = 77.2
Aquellos cuya puntuación sea de 77.2 o más
ganarán una A.

19. La aproximación normal a la binomial
La distribución normal (una distribución
continua) proporciona una buena aproximación
de la distribución binomial (una distribución
discreta) para valores grandes de n.
La distribución de probabilidad normal es
generalmente una buena aproximación para la
distribución de probabilidad binomial cuando np
y n(1 – p) son ambos mayores que 5.

20. La aproximación normal (Continuación)
Recordemos que para un experimento binomial:
En un experimento sólo existen dos resultados
mutuamente excluyentes: éxito y fracaso.
La distribución es el resultado de contar el
número de éxitos en una cantidad fija de
ensayos.
Cada ensayo es independiente.
La probabilidad, p, permanece igual de un
ensayo a otro.

21. Factor de corrección de continuidad
El valor 0.5 que se resta o se suma,
dependiendo de la situación, a un valor
seleccionado cuando una distribución de
probabilidad discreta se aproxima por medio de
una distribución de probabilidad continua.

22. Ejemplo 5
Un estudio reciente de una firma de estudios de
mercado mostró que 15% de residentes americanos
son propietarios de una videocámara. Para una
muestra de 200 hogares, ¿cuántos de los hogares
esperaría que tengan videocámara?
Esta es la media de una distribución binomial.
mp== =n(.)()1520030

23. Ejemplo 5 (Continuación)
¿Cuál es la varianza?
¿Cuál es la desviación estándar?
5.25)15.1)(30()1(
2
=-=-= ppsn
0498.55.25==s

24. Ejemplo 5 (Continuación)
¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40
hogares en la muestra tengan videocámaras?
Usamos el factor de corrección, por lo tanto x es
39.5.
El valor z es 1.88
Z = (x – µ)/σ = (39.5 – 40)/5.0498 = 1.88

25. Ejemplo 5 (Continuación)
Del apéndice D el área entre 0 y 1.88 en la
escala z es .4699.
Por lo tanto, el área a la izquierda de 1.88 es .
5000 + .4699 = .9699.
La probabilidad de que menos de 40 de los 200
hogares tengan videocámara es
aproximadamente 97%.

26. Ejemplo 5 (Continuación)
0123
Z = 1.88
P(z<1.88)
=.50000 + .4699
=.9699