Distribución gamma

1. Distribución Gamma Luis Alejandro Pineda Pulido

2. “Sirve de modelo para numerosos experimentos en donde interviene el tiempo como sucede en la llegadas de aviones a un aeropuerto y en general a los problemas de teoría de colas ”1 Ejemplo: Problemas de tráfico en líneas telefónicas, ERLANG, 1900 . Problemas de Teoría de la confiabilidad Ejemplo Tiempo de falla de un sistema de  componentes, cada uno falla con frecuencia  . 1.Estadística descriptiva e Inferencial, Antonio Vargas Sabadias ¿Para que sirve?

3. “– El tiempo ( ó espacio) requerido para observar ? ocurrencias del evento A en el intervalo t ( ó región del espacio ), sucesos del tipo Poisson. – Flujos máximos, MARKOVIC, 1965. – Resistencia de componentes del concreto reforzado, TICHY VARLIETK, 1965. – Altura de la precipitación mensual, WHITCOMB, 1940. – Ingresos familiares. – Edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez. – Tiempo total para completar una operación, sí ésta se lleva a cabo en  subestaciones a una frecuencia”2. 2.http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_13.html (12/11/10) ¿Para que sirve?

4. “Algunas variables aleatorias son no negativas siempre y tienen distribuciones sesgadas a la derecha , es decir, la mayor parte del área bajo la grafica de la función de densidad se encuentra cerca del origen y los valores de la función de densidad disminuyen gradualmente cuando x aumenta ” 4. 4.BLANCO CASTAÑEDA LILIANA, Probabilidad, ,Unibiblos,2004 Bogotá Colombia , pág. 144-145 caracteristicas

5. Una variable aleatoria x tiene una distribución Gamma si su densidad de probabilidad esta dada por: Definición

6. Esta distribución continua depende de dos parámetros  parámetro que varia la forma de la distribución k parámetro que varia la escala de la distribución Parámetros en R A continuación veremos una breve explicación de la función gamma que interviene en la definición de la distribución gamma Definición

7. Leonard euler “En la academia de Petersburgo entre 1730 y 1731 Euler calcula miembros de series, mediante integrales determinadas que mas tarde serán llamadas función beta y función gamma” 3. 3.HOFMAN JOSEPH EHRENFRIED, Historia de la Matematica,limusa,2002, México DF, pág. 280

8. Función Gamma o Función factorial o Integral Euleriana de Segunda especie Es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. Si k es un numero entero positivo entonces Definición

9. Demostración vamos a integrar por partes y sucesivamente  (  ) = (  -1)(  -2)(  -3)...  (1), pero  (1) = 1 por integración directa.  (  +1 ) =   (  )    ( 5 )=4  ( 4 ) =4.3  ( 3 )=4.3.2  ( 2 )=4.3.2  ( 1 )=4.3.2.1 Definición

10. Distribución exponencial caso particular cuando  = 1 y sabiendo que (1)=1 Algunos casos particulares de la distribución Gamma

11. agner krarup erlang Nacido en 1878 y fallecido en 1929 matematico , estadistico e ingeniero Danes quien invento los Campos de ingenieria de trafico y teoria de colas

12. Distribución Erlang Fue desarrollada  para examinar el número de las llamadas telefónicas que se pudieron hacer al mismo tiempo a los operadores de las estaciones de conmutación. Este trabajo sobre el teléfono (Ingeniería de trafico) se ha ampliado para considerar tiempos de espera dentro  de sistemas que hacen cola en general. La distribución ahora se utiliza en el campo de procesos estocásticos. Se aplica en modelos de sistemas de servicio masivo, Ejemplo: En situaciones donde el servicio tiene que realizar dos operaciones c/u con tiempo de servicio exponencial. http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Erlang_distribution(19/11/10 20:34pm) Algunas Variaciones de la distribución Gamma

13. MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA  = E[X] =  ,  2 = V[X] =  2 Propiedades

14. El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución G amma con parámetros  =3,  =2 a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas Ejemplo

15. Solución Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria) Su densidad de probabilidad es : Ejemplo

16. Probabilidad de que el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas El área Resaltada corresponde a P(x>8) Ejemplo

17. En R

18. En R

19. En Excel Sintaxis DISTR.GAMMA ( x , a lfa , beta , acumulativo ) X      es el valor al que se desea evaluar la distribución. Alfa      es un parámetro de forma la distribución. Beta      es un parámetro de la escala distribución. Acumulado      es un valor lógico que determina la forma de la función. Si acumulado es VERDADERO, DISTR.GAMMA devuelve la función de distribución acumulada, si es FALSE, devuelve la función de densidad de probabilidad.

20. En Excel

21. Ejemplo 2.Si el costo de mantenimiento en dólares es Siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento Solución: Nos solicitan el costo promedio ósea la esperanza de la función de costo

22. Ejemplo

23. Estadística descriptiva e Inferencial, Antonio Vargas Sabadias http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_13.html (12/11/10 17:56) http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Erlang_distribution(19/11/10 20:34pm) http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/gammadist-HP005209101.aspx?CTT=1(18/11/10 18:53) Bibliografia