Distribución Normal, Binomial y de Poisson

Ing. Ronal Torres
Estadística II

1. REP Ú BLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACI Ó N UNIVERSITARIA CIENCIA Y TECNOLOG Í A INSTITUTO UNIVERSITARIO POLIT É CNICO “ SANTIAGO MARI Ñ O ” EXTENSI Ó N BARINAS Autor: Ing. Ronal Torres C.I. 19.956.244. Materia: Estad í stica II Prof. Ing. Gilberto Linares Barinas; Febrero 2017 DISTRIBUCION NORMAL BINOMIAL Y POISSON

2. Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. La importancia de esta distribución radica en que permite  modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes . DISTRIBUCIÓN NORMAL Se dice que la v.a continua X es una v.a. normal con parámetrosµyσ² si su función de densidad es: Se denota X~ N(µ,σ²) y se dice X se distribuye normal con parámetrosµ

3. C aracteres  morfológicos  de individuos como la estatura; Caracteres  fisiológicos  como el efecto de un fármaco; Caracteres  sociológicos  como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos; Caracteres  psicológicos  como el cociente intelectual; Nivel de ruido en telecomunicaciones ; Errores  cometidos al medir ciertas magnitudes; etc. La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos. Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son: El área  del recinto determinado por la función y el eje de abscisas  es igual a la unidad . Al ser  simétrica  respecto al eje que pasa por  x = µ , deja un  área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha . La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. Una  distribución normal  de  media μ  y  desviación típica σ  se designa por  N(μ, σ) . Su gráfica es la  campana de Gauss :

4. La  distribución normal estándar, o tipificada o reducida,  es aquella que tiene por  media  el valor  cero ,  μ =0 , y por desviación típica la unidad, σ =1 . Distribución Normal Estándar N(0, 1) La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla. Tipificación De La Variable Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable  X  que sigue una distribución  N(μ, σ)  en otra variable  Z  que siga una distribución  N(0, 1) .

5. La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de  n  ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija  p  de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia  p  y al otro, fracaso, con una probabilidad  q  = 1 -  p . DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Para representar que una variable aleatoria  X  sigue una distribución binomial de parámetros  n  y  p , se escribe: *La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística n  es el número de pruebas. k  es el número de éxitos. p.  es la probabilidad de éxito. q  es la probabilidad de fracaso. El número combinatorio 

6. CARACTERÍSTICAS Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como  p  y  q  o  p  y 1- p ). Se designa por  X  a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los  n  experimentos. Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable  X  sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota  B( n,p ) . Experimento binomial

7. DISTRIBUCIÓN  DE  POISSON La  distribución de Poisson  parte de la distribución binomial: la  distribución de Poisson  es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros". Fue descubierta por Simeón-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo  Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile  ( Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles ).

8. Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de  distribución de Poisson: Se tiene que cumplir que: " p "  < 0,10 " p * n "  < 10 Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería: La   distribución de Poisson  sigue el siguiente modelo:                                                            Dónde: p( x , l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto e = 2.718 x  = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

9. En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,: - # de defectos de una tela por m 2 - # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc. - # de bacterias por cm 2  de cultivo - # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc. - # de llegadas de embarcaciones a  un puerto por día, mes, etc, etc. Características

10. 6 .- Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15. b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población? a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110. E jemplo Distribución Normal

11. b) Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones. 6 .- En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección . a ) Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones. E jemplo Distribución Binomial

12. E jemplo Distribución Poisson Solución Sea: x  el número de partículas en el área de un disco bajo estudio n = 1cm 2  el tamaño de la muestra  el de un disco bajo estudio = 100cm 2 . Sabemos que el número promedio de partículas es 0.1 partículas x cm 2 El promedio de defectos en la superficie total será: 1 cm 2 . ®  0.1 partículas/cm 2 100cm 2   ®   l Por lo tanto, el número medio de contaminación de partículas para 100cm 2  es de: l  = (100 cm 2 ·* 0.1 partículas/cm 2 )/1 cm 2  = 10 partículas Luego entonces La distribución de Poisson para la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área de cada disco esta dada por la formula: 6 .- La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partícula de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene a distribución de poisson y el numero promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1, el área de un disco bajo estudio es 100 centímetro cuadrado. Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio.

13. Resultado: La probabilidad de que existan doce partículas de contaminación en los discos   ópticos es de, P( x =12) =   0.09478033 . Calcula la probabilidad de que el disco esté limpio; es decir, que ocurran cero partículas en su área. Esta dado por: Luego entonces la probabilidad de que no existan partículas de contaminación en los discos ópticos es de   P( x =0)=  0.0000453999