Distribucion de Chi Cuadrado

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO TÉCNICAS CUANTITATIVAS DE GESTIÓN (Distribución de Chi Cuadrado) Calatrava Yanoski Maldonado Hugo Rincón Julio Sevilla Carlos

2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL “Distribución de Chi Cuadrado ” Las distribución Chi cuadrado, se derivan de la distribución Normal y están relacionadas con la teoría del muestreo pequeño n< 30. Son muy importantes pues son la base de metodologías inferenciales , tales como Intervalos de Confianza y Pruebas de Hipótesis. En otros estudios se les define como la suma de diferencias cuadráticas relativas entre valores experimentales (observados) y valores teóricos (esperados).

3. Definición: Sea Sea k variables aleatorias normales e independientes, cada una con media 0 y desviación típica 1. entonces, la variable aleatoria Se llama la variable aleatoria chi cuadrado con k grados de libertad. Distribución Chi-cuadrado

4. Fórmula de Chi Cuadrado α = Nivel de Significancia: En estadística, un resultado se denomina estadísticamente significativo cuando no es probable que haya sido debido al azar. Son comunes los niveles de significancia del 0,05, 0,01 y 0,1. En algunas situaciones es conveniente expresar la significancia estadística como percentil 1 − α. Este valor hace referencia al nivel de confianza que deseamos que tengan los cálculos de la prueba; es decir, si queremos tener un nivel de confianza del 95%, el valor de alfa debe ser del 0.05, lo cual corresponde al complemento porcentual de la confianza. Definición de los Términos

5. Hipótesis: Si un contraste de hipótesis proporciona un valor P inferior a α, la hipótesis nula es rechazada, siendo tal resultado denominado “estadísticamente significativo”. Cuanto menor sea el nivel de significancia, más fuerte será la evidencia de que un hecho no se debe a una mera coincidencia (al azar). Grados de Libertad: GL=k-1 En estadística, grados de libertad es un estimador del número de categorías independientes en una prueba particular o experimento estadístico. Se encuentran mediante la fórmula n − r , donde n =número de sujetos en la muestra, también pueden ser representados por k − r , k =número de grupos, cuando se realizan operaciones con grupos y no con sujetos individuales r=número de sujetos o grupos estadísticamente dependientes

6. Distribución Chi-cuadrado

7. Distribución Chi-cuadrado

8. Chi Cuadrado Crítico

9. La Regla de Decisión Ch² observado < Ch² critico Rechazar Ho Aceptar Ho Si No

10. Para determinar si la muestra se ajusta o no se ajusta a una distribución teórica. Para saber si la(s) poblacione(s) son homogénea(s) o no. Para determinar la dependencia e independencia la(s) variable(s) a analizar. ¿Para que utilizamos una Prueba de Chi Cuadrado?

11. Aplicaciones de Chi Cuadrado

12. Se utiliza para la comparación de la distribución de una muestra con alguna distribución teórica que se supone describe a la población de la cual se extrajo. H o : La variable tiene comportamiento normal se distribuye de manera uniforme H 1 : La variable no tiene comportamiento normal, no se distribuye de manera uniforme. Prueba de Bondad de Ajuste

13. Un gerente de ventas que tiene su mercado dividido en cuatro zonas le indica a sus vendedores que las zonas tienen el mismo potencial de ventas. Ante la duda de los vendedores sobre el potencial de sus zonas el gerente hace el siguiente procedimiento :Se extrae una muestra de los archivos de la empresa de 40 ventas realizadas el año pasado y encuentra que el numero de ventas por zona son: zona 1 = 6, Zona 2 = 12, Zona 3 = 14 y zona 4 = 8 . En vista de esos resultados se realiza una prueba de bondad de ajuste. Ejemplo 1:

14. Planteamiento de Hipótesis H : las ventas están igualmente distribuidas. H 1 : las ventas no están igualmente distribuidas Nivel de Significancia α = 5% = 0.05 Cálculos GL= k-1 = 4-1 = 3 El critico = 7.81 ( Según Tabla) Solución:

15. Chi Cuadrado Crítico

16. Elaborar la tabla de y y calcular el . ZONAS A B C D Frecuencia observada (fo) 6 12 14 8 40 Frecuencia esperada (fe) 10 10 10 10 40 Ch² 1.6 0.4 1.6 0.4 4 Los individuales se calculan con la formula; y luego se suman: Este valor es el observado = 4 Solución:

17. Como: observado < Critico observado (4) < critico (7.81) Si se Cumple entonces, no rechazamos Ho . Es decir que la Ho de que las ventas se encuentran igualmente distribuidas en las cuatro zonas no se puede rechazar para un nivel de significancia de 5%. La decisión:

18. Se usa para analizar la frecuencia de dos variables con categorías múltiples para determinar si las dos variables son independientes o no. Hipótesis nula (H ) : Las variables X e Y son independientes, ( X e Y no están relacionadas) Hipótesis alternativa (H 1 ): Las variables X e Y no son independientes, (X e Y están relacionadas) Prueba de Independencia

19. Tablas de contingencias Grados de libertad GL= (m-1)(n-1) Calculo de frecuencia esperado. Una Tabla de contingencia con r filas y c columnas tiene la siguiente forma: Los datos de variables cualitativa o categóricas representan atributos o categorías y se organizan en tablas llamadas tablas de contingencia o tablas de clasificación cruzada.

20. Donde: Oi j : es el número de sujetos que tienen las características Ai y Bj a la vez. Ri : (i = 1,…,r) es la suma de la i- ésima fila de la tabla. Es decir, es el total de sujetos que poseen la característica Ai . Cj :(j = 1,…,c) es la suma de la j- ésima columna de la tabla. Es decir, es el total de sujetos que poseen la característica Bj. n : representa el total de observaciones tomadas.

21. El uso de bebida ordenado con alimentos en un restaurante ¿es independiente de la edad del consumidor? Se toma una muestra aleatoria de 309 clientes del restaurante de donde resulta el siguiente cuadro de valores observados. Utilice α = 1% para determinar si las dos variedades son independientes . EDAD CAFÉ (TÉ) REFRESCO LECHE 21 – 34 26 95 18 35 – 55 41 40 20 >55 24 13 32 Ejemplo 2:

22. Solución: Planteamiento de Hipótesis H : El tipo de bebida preferida es independiente de la edad H 1 : El tipo de bebida preferida no es independiente ,esta relacionada con la edad Nivel de significancia α = 0.01 Cálculos Grados de Libertad GL = (m-1)(n-1) Tenemos 3 filas y tres columnas, es decir GL = (3-1)(3-1) = 4 El critico = 13.27 ( Según Tabla)

23. Chi Cuadrado Crítico

24. Solución: Calculo de frecuencia esperado. EDAD CAFÉ (TÉ) REFRESCO LECHE TOTAL 21 – 34 26 95 18 139 Frecuencia Esperada 35 – 55 41 40 20 101 Frecuencia Esperada ≥55 24 13 32 49 Frecuencia Esperada Total f o 91 148 50 289 Total f e 43,8 71,2 EDAD CAFÉ (TÉ) REFRESCO LECHE TOTAL 21 – 34 26 95 18 139 Frecuencia Esperada 43.8 71.2 24.0 139,0 35 – 55 41 40 20 101 Frecuencia Esperada 31.8 51.7 17.5 101,1 ≥55 24 13 32 49 Frecuencia Esperada 15.4 25.1 8.5 49,0 Total f o 91 148 50 289 Total f e 91.0 148.0 50,0 289,0

25. Como: observado < Critico observado (97,93) < critico (13,27) No se Cumple entonces, rechazamos H , es decir se acepta la hipótesis alternativa H 1 Las dos variables, bebida preferida y edad, no son independientes. El tipo de bebida que un cliente ordena con alimentos está relacionada con la edad y depende de está. La Decisión

26. Se extraen Muestras Independientes de varias poblaciones y se prueban para ver si son homogéneas con respecto a algún criterio de clasificación. H = Las Poblaciones son Homogéneas H 1 = Las Poblaciones no son Homogéneas Prueba de Homogeneidad

27. La siguiente tabla indica las familias de cuatro distritos y el número de personas que vieron un programa especial de política económica nacional. Use α =1% Ejemplo 3: A B C D TOTAL Número de personas que si vio 10 15 5 18 48 Número de personas que no vio 40 35 45 32 152 50 50 50 50 200

28. Planteamiento de Hipótesis H : todos vieron el programa H 1 : No todos vieron el programa Nivel de Significancia α = 0.011 Cálculos GL = (m-1)(n-1) = (2-1)(4-1) = 3 = 11.35 Calcular las frecuencias esperadas y el Ch 2 observado. Solución:

29. A B C D TOTAL VEN EL PROGRAMA 0.33 0.75 4.08 3.00 NO VEN EL PROGRAMA 0.11 0.24 1.29 0.95 TOTAL 10.75 Como el valor observado (10.75) es menor que el valor critico ( 11.35). No podemos rechazar H para un nivel del 1 %. La diferencia de las proporciones no es suficientemente grande para rechazar H . Solución:

30. Lipschutz . S., Schiller . J., Introducción a la Probabilidad y Estadística. 2001 Editorial Mc Graw Hill. Evans. M., Rosenthal . J. Probabilidad y Estadística. 2005 Editorial Reverte Bibliografía

31. Muchas Gracias…