Distribucion muestral de proporciones

1. Distribución muestral de
proporciones
Algunas secciones han sido tomadas de:
Apuntes de Estadística Inferencial
Instituto Tecnológico de Chiuhuahua

2. Tarea.
Se eligen muestras ordenadas de tamaño 2, con reemplazo, de la población de
valores 0, 2, 4 y 6. Encontrar:
μ
, la media poblacional.
σ
, la desviación estándar poblacional.
μ x,
la media de la distribución muestral de medias.
σ
x
, la desviación estándar de la distribución muestral de medias.
Además, graficar las frecuencias para la población y para la distribución
muestral de medias.
Nota: Usar muestras ordenadas implica todas las combinaciones de valores,
por ejemplo, (4,0) y (0,4).

3. Solución:
La media poblacional es:
3
4
6420
=
+
+
+
=
μ
La desviación estándar de la poblacional es:
236.2
4
)36()34()32()30(
2 2 2 2
=
−+−+−+−
=
σ

4. la distribución muestral de medias es:

5. La media de la distribución muestral de medias es:
01 12 23 34 43 52 61 48
3
1616
()()() ()() ()() ()() ()() ()() ()()
x
fx
f
μ
++++++
====
∑
∑
La desviación estándar de la distribución muestral de medias es:
58.1
16
)36(1)35(2)34(3)33(4)32(3)31(2)30(1 )(
2 2 2 2 2 2 2 2
=
−+−+−+−+−+−+−
=
−
=
∑
∑
f
xf
x
x
μ
σ
2236
158
1414213
.
.
.
x
n
σ
σ
== =
Notar que:

6. Distribución muestral de Proporciones
Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar
la
proporción
de
artículo
s

defectuosos o la proporción de personas con teléfono,
etc
en
la
muestra.
La distribución muestral de proporciones es
la
adecuada
para
dar
respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera
que
la
distribución
muestral de
medias, a excepción de que al extraer las muestras
de
la
población
se
calcula el estadístico
proporción
(
p=x/n
en donde “
x
”
e
s el número de
éxitos u observaciones de interés y “
n
”
e
l tamaño de la
muestra)
en
lugar
de la
media
de cada muestra que era lo que calculamos antes.

7. El siguiente diagrama sirve para ex
plicar
el concepto de distribución
muestral de proporciones.

8. La distribución muestral de proporciones está
estrechamente
relacionada
con
la
distribución binomial; una dist
ribución binomial es una distribución
del total de éxitos en las muestras, mientras que
una
distribución
de
proporciones es la distribución de un promedio (media) de los éxitos. Como consecuencia de esta
relación,
las afirmaciones probabilísticas
referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la aproximación normal a la binomial, siempre que: np
≥
5
y
n
(
1-
p
)
≥
5
Como
vimos,
una
distribución
binomial es por ejemplo, si echamos una
moneda al aire y observamos el lado
que
cae. Está
claro que sólo hay dos
posibilidades. Ahora bien,
la
probabi
lidad de que caiga la moneda de
cualquier
lado
es la misma siempre que ésta no esté
cargada. Como cada
caso tiene igual probabilidad de ocurri
r, y siendo la suma de
probabilidades
siempre igual a 1, entonces la
probabilidad de que caiga la moneda de
algún lado es 0.5. Si realizamos el experimento
n
veces
y
queremos saber la probabilidad de
que salga águila o sol
x
veces, entonces usamos una distribución binomial.

9. Generación de la Distribución Muestral de Proporciones Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene
4
artículos
defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo.
Vamos
a
generar la distribución muestral de proporciones para
el número de piezas defectuosas. Como se puede observar
en
este
ejercicio la proporción de artículos defectuosos de esta población es
P
=
4/12=1/3.
Por lo que podemos decir que el 33%
de
las
piezas
de
este
lote
están
defectuosas. El
número
posible
de
muestras
de tamaño 5 a extraer de una población de
12 elementos es
12
C
5
=792,
las
cuales
se pueden desglosar de la siguiente
manera:

10. Para calcular la media de la distribución muestral de
proporciones
se
tendría que hacer la sumatoria de la frecuencia por
el
valor
de
la
proporción muestral y dividirla entre el número total de muestras. Esto es:
333.
0
31
792
)
56
0
(
)
280
2.
0
(
)
336
4.
0
(
)
112
6.
0
(
)
8
8
.
0
(
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
p
μ Como podemos observar la media de
la
distribución
muestral
de
proporciones es igual a la proporción
de la población.
P
p
=
μ

11. La desviación estándar de la distribución muestral de proporciones
del
ejemplo se puede calcular directamente con los datos:
168
.
0
792
56
)
33
.
0
0
(
280
)
33
.
0
2
.
0
(
336
)
33
.
0
4
.
0
(
112
)
33
.
0
6
.
0
(
8
)
33
.
0
8
.
0
(
2
2
2
2
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
p
σ
1
()
p
P
P
n
σ
−
=
Sin
embargo,
podemos
usar
la distribución binomial lo cual nos da la
siguiente fórmula para la desviación es
tándar de la distribución muestral de
proporciones:
Notar que
P
es la
proporción de la
población
pero
n
es el tamaño
de
la
muestra

12. Cuando, como vimos antes, si contamos con una población finita
y
un
muestreo sin reemplazo, para calcular la
desviación
estándar usamos
la
corrección (Como regla aproximada, si
el
muestreo se hace sin reemplazo
y el tamaño de la población es al menos 20 veces
el
tamaño
de
la
muestra,
entonces se puede usar la fórmula). :
Para el ejemplo anterior tendríamos
la
siguiente
distribución
de
probabilidades:
1
1
()
p
P
PN
n
nN
σ
−
−
=
−

13. La fórmula que se utilizará
p
ara el cálculo de
probabilidad
en
una
distribución muestral de proporciones está
basada en la aproximación
de
la
distribución binomial a la normal . Esta
fórmula nos servirá
para calcular la
probabilidad del comportamiento de
la proporción en la muestra.
A la fórmula anterior se le puede agregar el
factor
de
corrección
(en
el
denominador): si se cumplen con las
condiciones mencionadas anteriormente de
que
sea
una población finita y sin reemplazo.
1
1
()
pP
z
P
PN
n
nN
−
=
−
−−
1
()
pP
z
P
P
n
−
=
−

14. Ejemplo: Se ha determinado que 85.1% de los estudiantes de
una
universidad
fuman
cigarrillos.
Se
toma
una muestra aleatoria de 200 estudiantes.
Calcular la probabilidad de que no más de 80% de
alumnos
de
la
muestra

fume.
Solución
:
La media o valor esperado
de la proporción
muestral
es
de
P
=0.851
, por
lo
que:
0
8
00
0
851
20
2
5
5
1
0
851
1
0
851
200
..
.
()
.
(
.
)
pP
z
PP
n
−−
==
=
−
−−

15. Usando
las
tablas
de valor
z
, para
z
= -2.02
encontramos
que
la
probabilidad
de que
no más
de 80% de los alumnos
de la muestra
f
umen
es
de 0.0214 o sea 2.14%
0.0214

16. Actividad 1. Suponer que de la gente que solicita
ingresar
a
una
compañía,
40%
pueden
aprobar
un examen de artimética
para obtener el trabajo. Si se
tomara
una
muestra
de
20 solicitantes, ¿Cuál sería la probabilidad de qu
e
50% o más de ellos aprobaran? Datos: P = 0.40, n = 20, p = 0.50
05
0
0
4
0
09
1
2
9
1
0
40
1
0
40
20
..
.
()
.
(
.
)
pP
z
PP
n
−−
==
=
−−

17. Usando
t
ablas
de valor o calificación
zz
, o un programa
para
d
istribución
normal
estándar
(como
M
initab, etc.), encontramos
que
el área
bajo
la
curva
h
asta
un valor de z = 0.9129 es
de 0.81935, o sea que
(1-
0
.81935) = 0.1806,
por lo que la probabilidad de que 50
% o más aprobaran es de 18.06% .
El área desde -
∞
hasta z= 0.9129
es de 0.81935

18. Cómo calcular probabilidades normales usando MINITAB (versión en
inglés):
•En el menú superior: Calc > Probability Distributions > Normal
•Tenemos 3 opciones:
– Probability density
– Esta nos da el valor de la función de densidad, f(x)
para un valor específico de x. Esto no nos es muy útil en esta clase.
– Cumulative Probability
– Esta nos da el área bajo la curva hasta un
valor z específico. Usamos esto para encontrar probabilidades.
– Inverse Cumulative Probability
– Esto nos da el valor z para una área
específica bajo la curva. Esto lo usamos para encontrar valores críticos.
•Hacer Click en la opción que queremos.
•Se introduce la media y la desviación estándar de la distribución
normal que estamos usando.
•En el caso de la estándar normal (Z) introducimos N(0,1).
•Hacemos Click en “input constant” e introducimos el valor de x (x-
value) para la opción 1, el valor z para la opción 2, o la probabilidad
para la opción 3.

19. Ejemplo: Cuál es la probabilidad de que tengamos un valor mayor a 60 si
tenemos datos con una distribución normal con media 55 y deviación
estándar de 4?
Esto es, encontrar P(x > 60).

20. Como puede verse en la figura, el resultado que se obtiene es que P(X < 60)
= 0.8964. Notar que nos da los valores de la probabilidad de que X sea menor
al valor dado, por lo que para nuestro problema:
P(X > 60) = 1 - 0.8964 = 0.1036

21. Si lo que queremos es el área para una calificación Z (normal estándar)
entonces, como se explicó, podemos introducir una media igual a 0 y una
desviación estándar de 1.0, e introducir el valor de Z para el cual queremos
encontrar la probabilidad.
Poner media = 0
Poner
σ
= 1.0
Poner z
=
valor de interés