Distribuciones de probabilidad.

1. Distribuciones de Probabilidad
Generación de Variables
aleatorias
Luis Carlos Campos Carrión.

2. Distribución Uniforme discreta (a, b)
•Describe el comportamiento de una variable
discreta que puede tomar n valores distintos
con la misma probabilidad cada uno de
ellos.
•Esta distribución asigna igual probabilidad a
todos los valores enteros entre el límite
inferior y el límite superior que definen el
recorrido de la variable.

3. Distribución Uniforme discreta (a, b)
•Por ejemplo, cuando se observa el número
obtenido tras el lanzamiento de un dado
perfecto, los valores posibles siguen una
distribución uniforme discreta en {1, 2, 3, 4,
5, 6}, y la probabilidad de cada cara es 1/6.

4. Distribución Uniforme discreta (a, b)
•Ejercicio
•Un empleado es seleccionado de un grupo de 10, para
supervisar cierto proyecto, extrayendo una papeleta al
azar de una caja que contiene 10 papeletas, numeradas
del 1 al 10:
•Si X representa el número en la papeleta que se extrae,
hallar:
•a) La probabilidad de que sea extraído el número 5.
•Si X= número impreso en la papeleta extraída.
•Como todas las papeletas son equiprobables, es decir,
todas tienen la misma probabilidad de ser extraídas,
•P(X=x)= 1/k donde k= total de papeletas
•En este caso k=10  Entonces: P(x=5) = 1/10

5. Distribución Uniforme discreta (a, b)
•b) La probabilidad de que sea extraído el
número 7.
•Si X= número impreso en la papeleta extraída
•Como todas las papeletas son equiprobables,
es decir, todas tienen la misma probabilidad de
ser extraídas,
•P(X=x)= 1/k donde k= total de papeletas
•En este caso k=10  Entonces: P(x=7)=1/10

6. Distribución Uniforme discreta (a, b)

7. Distribución Uniforme (a, b)
•La distribución uniforme es aquella que
puede tomar cualquier valor dentro de un
intervalo, todos ellos con la misma
probabilidad. Es una distribución continua
porque puede tomar cualquier valor y no
únicamente un número determinado (como
ocurre en las distribuciones discretas).

8. Distribución Uniforme (a, b)
•Esta distribución presenta una peculiaridad
importante: la probabilidad de un suceso
dependerá exclusivamente de la amplitud del
intervalo considerado y no de su posición en el
campo de variación de la variable.

9. Distribución Uniforme (a, b)

10. Distribución Uniforme (a, b)
•Ejercicio.
•El precio medio del litro de gasolina durante el
próximo año se estima que puede oscilar entre 140
y 160 ptas. Podría ser, por tanto, de 143 ptas., o
de 143,4 ptas., o de 143,45 ptas., o de 143,455
ptas., etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas
con la misma probabilidad.
•Por lo tanto, la función de distribución del ejercicio
sería:

11. Distribución Uniforme (a, b)

12. Distribución Uniforme (a, b)

13. Distribución Binomial (n, p)
•Esta distribución aparece de forma natural al
realizar repeticiones independientes de un
experimento que tenga respuesta binaria,
generalmente clasificada como “éxito” o
“fracaso”.
•Por ejemplo, esa respuesta puede ser el
hábito de fumar (sí/no), si un paciente
hospitalizado desarrolla o no una infección,
o si un artículo de un lote es o no
defectuoso.

14. Distribución Binomial (n, p)
•Este modelo se aplica a poblaciones finitas
de las que se toma elementos al azar con
reemplazo, y también a poblaciones
conceptualmente infinitas.
•A continuación veremos La función de
probabilidad de la distribución Binomial,
también denominada Función de la
distribución de Bernoulli.

15. Distribución Binomial (n, p)

16. Distribución Binomial (n, p)
•Ejercicio 1
•¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras
al lanzar una moneda 10 veces?
•El número de aciertos k es 6. Esto es x=6
•El número de experimentos n son 10
•La probabilidad de éxito p, es decir, que
salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó
0.50

17. Distribución Binomial (n, p)

18. Distribución Binomial (n, p)
•Ejercicio 2.
•¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro
veces el número 3 al lanzar un dado ocho
veces?
•El número de aciertos k es 4. Esto es x=4
•El número de experimentos n son 8
•La probabilidad de éxito p (probabilidad de que
salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666)
•La fórmula queda:

19. Distribución Binomial (n, p)

20. Distribución Poisson (lambda)
•En general, la distribución de Poisson se
puede utilizar como una aproximación de la
binomial, Bin (n, p), si el número de pruebas
n es grande, pero la probabilidad de éxito p
es pequeña; una regla es que la
aproximación Poisson-binomial es “buena” si
n≥20 y p≤0,05 y “muy buena” si n≥100 y
p≤0,01.

21. Distribución Poisson (lambda)
•La distribución de Poisson también surge
cuando un evento o suceso “raro” ocurre
aleatoriamente en el espacio o el tiempo.
•El número de pacientes que llegan a un
consultorio en un lapso dado, el número de
llamadas que recibe un servicio de atención
a urgencias durante 1 hora, son ejemplos de
variables que siguen una distribución de
Poisson.

22. Distribución Poisson (lambda)
•Para que una variable recuento siga una
distribución de Poisson deben cumplirse varias
condiciones:
•1. En un intervalo muy pequeño (p. e. de un
milisegundo) la probabilidad de que ocurra un
evento es proporcional al tamaño del intervalo.
•2. La probabilidad de que ocurran dos o más
eventos en un intervalo muy pequeño es tan
reducida que, a efectos prácticos, se puede
considerar nula.

23. Distribución Poisson (lambda)

24. Distribución Poisson (lambda)
•Ejercicio
•Si un banco recibe en promedio 6 cheques
sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba:
•a) cuatro cheques sin fondo en un día dado.
•b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de
dos días consecutivos.

25. Distribución Poisson (lambda)

26. Distribución Poisson (lambda)

27. Distribución Hipergeométrica (N, R, n)
•La distribución hipergeométrica suele
aparecer en procesos muestrales sin
reemplazo, en los que se investiga la
presencia o ausencia de cierta
característica.
•Por ejemplo, en un procedimiento de control
de calidad en una empresa farmacéutica,
durante el cual se extraen muestras de las
cápsulas fabricadas y se someten a análisis
para determinar su composición.

28. Distribución Hipergeométrica (N, R, n)
•Cuando el tamaño de la población es
grande, los muestreos con y sin reemplazo
son equivalentes, por lo que la distribución
hipergeométrica se aproxima en tal caso a la
binomial.
•Parámetros:
•N: tamaño de la población, N>0 entero
•R: número de éxitos en la población R≥0
entero
•n: número de pruebas, n>0 entero

29. Distribución Hipergeométrica (N, R, n)

30. Distribución Hipergeométrica (N, R, n)
•Ejemplo:
•De 50 edificios en un parque industrial 12 no cumplen con el
código eléctrico si se seleccionan 10 edificios aleatoriamente
determine la probabilidad de que:
•a)3 no cumplan el código.
•b)4 no cumplan el código.
•Solución Inciso a:
•Datos:
•N = 50
•R = 12
•n = 10
•x = 3

31. Distribución Hipergeométrica (N, R, n)

32. Distribución Hipergeométrica (N, R, n)
•Solución Inciso b:
•Datos:
•N = 50
•R = 12
•n = 10
•x = 4

33. Distribución Hipergeométrica (N, R, n)

34. Distribución Normal (Mu, Sigma)
•La distribución normal es, sin duda, la
distribución de probabilidad más importante
del Cálculo de probabilidades y de la
Estadística.
•Fue descubierta por De Moivre (1773), como
aproximación de la distribución binomial.
•La distribución normal queda totalmente
definida mediante dos parámetros: la media
(Mu) y la desviación estándar (Sigma).

35. Distribución Normal (Mu, Sigma)

36. Distribución Normal (Mu, Sigma)

37. Distribución Normal (Mu, Sigma)

38. Distribución Normal (Mu, Sigma)

39. Distribución Normal (Mu, Sigma)
•Luego se busca la respuesta anterior (2.0)
en la tabla de la distribución normal estándar
lo cual nos da un valor de 0.4772 que
representa el área bajo la curva en la gráfica
de esta distribución, para obtener la
respuesta correspondiente se resta 0.5
correspondiente a la mitad de la gráfica del
valor que se encontró en la tabla:
•0.5 – 0.4772 = 0.0228 ó 2.28%, que
representa la probabilidad de que una pieza
exceda los 18 cm.

40. Distribución Normal (Mu, Sigma)

41. Distribución Normal (Mu, Sigma)
•Solución del inciso b
•Luego se busca la respuesta anterior (1.33) en
la tabla de la distribución normal estándar lo
cual nos da un valor de 0.4082 que representa
el área tanto positiva como negativa bajo la
curva en la gráfica de esta distribución, para
obtener la respuesta correspondiente se
multiplica el valor obtenido a través de la tabla
por las dos mitades de la gráfica, por lo cual la
respuesta es la siguiente:
•0.4082 * 2 = 0.8164 ó 81.64% de probabilidad
de que una pieza de pan tenga como longitud
de 13 a 17 cm.

42. Generación de variables aleatorias.
•Para hacer más fácil la comprensión de este
tema se hará uso de un ejemplo el cual cita de
la siguiente manera:
•Juego del lanzamiento de la moneda.
•Usted es el afortunado ganador de un
concurso. El premio es un viaje todo pagado a
uno de los hoteles más importantes de Las
Vegas, que incluye algunas fichas para apostar
en el casino del hotel. Al entrar al casino, se da
cuenta de que además de los juegos
tradicionales (Blackjack, ruleta, etc.) Ofrecen un
nuevo juego con las siguientes Reglas:

43. Generación de variables aleatorias.
•Reglas del juego.
•1)En cada jugada se lanza una moneda no
alterada en repetidas ocasiones hasta que la
diferencia entre el número de caras y cruces
que aparecen sea tres.
•2)Si decide participar, debe pagar un dólar
cada vez que lanza la moneda. No puede
abandonar el juego hasta que este se acaba.
•3)Se reciben 8 dólares al final de cada juego.

44. Generación de variables aleatorias.
•En consecuencias se gana dinero si el
número de lanzamientos es menor que
ocho, pero se pierde si se tiene que lanzar la
moneda más de ocho veces. Estos son
algunos ejemplos (donde H representa cara
y T cruz).

45. Generación de variables aleatorias.
HHH
3 lanzamientosSe gana $5
THTTT 5 lanzamientosSe gana $3
THHTHTHTTTT 11 lanzamientosSe pierde $3

46. Generación de variables aleatorias.
•Pasos para la simulación del juego
•Numero de Lanzamientos
•=CONTAR.BLANCO(G13:G74) + 1
•Ganados
•=C4-D8

47. Generación de variables aleatorias.
•Pasos para la simulación del juego
•Número Aleatorio
•=ALEATORIO()
•Resultado
•=SI(C13:C74 < 0.5,"Cara","Cruz")

48. Generación de variables aleatorias.
•Pasos para la simulación del juego
•Total de Caras
•=SI(D13:D74 = "Cara",1,0)
•=E13+SI(D13:D74="Cara",1,0)
•Total de Cruces
•= B13:B74 - E13:E74

49. Generación de variables aleatorias.
•Pasos para la simulación del juego
•¿Parar?
•=SI(ABS(E15:E76-F15:F76) >= C3,
"Parar","")
•=SI(G15 = "",SI(ABS(E13:E74-F13:F74)>=
C$3,"Parar",""),"NA")

50. •Muchas Gracias!