Distribuciones de variables aleatorias discretas y continuas

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1. DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

2. Variable aleatoria Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

3. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros . Ejemplos:  El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

4. Función de probabilidad Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de x i  de la variable con su probabilidad p i . 0 ≤ p i  ≤ 1 p 1  + p 2  + p 3  + · · · + p n  = Σ p i  = 1

5. Ejemplo : Calcular la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado . X P i 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 1

6. La representación de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de barras.

7. Función de distribución Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos   función de distribución de la variable X , y escribiremos F(x) a la función: F(x) = p(X ≤ x ) La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.

8. Ejemplo:   Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado. X P i 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1 X P i 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1

9. La representación de una función de distribución de probabilidad es una gráfica escalonada.

10. Esperanza matemática o media Varianza Desviación típica

11. Ejemplo : Calcular la esperanza matemática, la varianza, y la desviación típica, de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado. X Pi X . P i . P i 1 1/6 1/6 1/6 2 1/6 2/6 4/6 3 1/6 3/6 9/6 4 1/6 4/6 16/6 5 1/6 5/6 25/6 6 1/6 1 6 21/6 91/6 X Pi X . P i 1 1/6 1/6 1/6 2 1/6 2/6 4/6 3 1/6 3/6 9/6 4 1/6 4/6 16/6 5 1/6 5/6 25/6 6 1/6 1 6 21/6 91/6

12. Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos:  La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

13. Función de Densidad de Probabilidad . También llamada: Distribución de Probabilidad. La probabilidad de que  X  tome un valor en el intervalo [ a, b ] es el área arriba de este intervalo y bajo la gráfica de una función de densidad. La curva  f(x)  se llama curva de densidad . Para que  f(x)  sea una función de densidad de probabilidad, se deben satisfacer las siguientes condiciones: 1.- f(x ) > 0,...para todo x . 2.-  

14. Esperanza de una Variable Aleatoria Continua .   Varianza de una Variable Aleatoria Continua .  

15. Distribución Uniforme. Se dice que una variable aleatoria continua  X , que toma todos los valores del intervalo [ a, b ] real, sigue una distribución uniforme de parámetros  a  y  b , si su función de densidad de probabilidad  es :   Si a En otro caso   La media  La   varianza  

16. Distribución Normal. Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución normal o de Gauss de parámetros μ y σ, si su función de densidad de probabilidad es:   2 La  media  de la distribución normal viene dada por: E(X) =  μ Y la  varianza  de la distribución normal viene expresada por: Var(X) =  σ²

17. Distribución Exponencial. Se dice que una variable aleatoria continua  X , tiene una  distribución exponencial  de parámetro β, si su  función de densidad de probabilidad  es:   Si en otro caso   La  media  de la distribución normal viene dada por: E(X) =  β Y la  varianza  de la distribución normal viene expresada por: Var(X) =  β²

18. EJERCICIOS Ej1.  Sea  X  una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad: Hallar: a)  El valor de  c  para que  f(x)  sea una función de densidad. b )  Calcular la esperanza y la varianza de  X .

19. Apartado a) Empleamos la expresión de función de densidad de probabilida d: Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones: 1.  f(x) > 0,...para todo x. 2 . La función  f(x)  es mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición: (8/3)·c = 1 Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua  X  queda:    

20. Apartado b) En este apartado, debemos calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria continua,  X . Para el cálculo de la esperanza, empleamos la siguiente expresión:     Y para la varianza, se empleará la siguiente expresión:   Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

21. Ej2.   Sea X una variable aleatoria continua que mide el avance entre dos automóviles consecutivos elegidos al azar en segundos, su función de distribución del tiempo de avance presenta la forma: Hallar: a)  Determinar el valor de  k  para que  f(x)  sea una función de densidad legítima.

22. Apartado a) Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad:     La función  f(x)  es mayor que cero, para ello,  k  debe ser mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición: k/3 = 1 Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua  X  queda:    

23. GRACIAS