Distribuciones uniforme y distribucion normal

Estudiantes de administración, economía y contaduria

1. Distribuciones continuas
MSc Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCRE
Estadística I
2017
MSc Edgar Madrid CuelloDepartamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 1 / 38

2. Distribución Uniforme
Denición (distribución uniforme)
Se dice que una variable aleatoriaXestá distribuida uniformemente sobre
el intervalo[a; b], cona < bnúmeros reales, si su función de densidad está
dada por:
f(x) =
8
<
:
1
ba
si axb
0 e:c:o:c
La función de densidad tiene la forma que presenta la gura 1.
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3. Figure:
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4. Función de distribución
Es fácil vericar que siXU[a; b], entonces, la función de
distribución deXestá dada por:
F(x) =
8
>
<
>
:
0si x < a
xa
ba
si axb
1si x > b
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5. Función de distribución
Es fácil vericar que siXU[a; b], entonces, la función de
distribución deXestá dada por:
F(x) =
8
>
<
>
:
0si x < a
xa
ba
si axb
1si x > b
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6. Figure:
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7. Ejemplo
SeaXU[3;2]clacular:
P(X0)
P(5x
1
2
)
Ejemplo
Se escoge un número al azar en el intervalo[1;3 ]. Cuál es la probabilidad
de que el primer dígito al lado derecho del punto decimal sea el 5?
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8. Ejemplo
SeaXU[3;2]clacular:
P(X0)
P(5x
1
2
)
Ejemplo
Se escoge un número al azar en el intervalo[1;3 ]. Cuál es la probabilidad
de que el primer dígito al lado derecho del punto decimal sea el 5?
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9. Ejemplo
SeaXU[3;2]clacular:
P(X0)
P(5x
1
2
)
Ejemplo
Se escoge un número al azar en el intervalo[1;3 ]. Cuál es la probabilidad
de que el primer dígito al lado derecho del punto decimal sea el 5?
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10. Teorema (propiedades de la distribución discreta)
SiXes una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo
[a; b]entonces:
1
X=E

X

=
a+b
2
2

2
X
=V ar

X
!
=

ba

2
12
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11. Teorema (propiedades de la distribución discreta)
SiXes una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo
[a; b]entonces:
1
X=E

X

=
a+b
2
2

2
X
=V ar

X
!
=

ba

2
12
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12. Ejemplo
Supóngase queXU[a; b]y queE(X) = 2yV ar(X) =
3
4
. Calcular
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13. La distribución normal
Objetivos:
Usar la curva normal para modelar distribuciones;
Calcular probabilidades utilizando la curva normal;
evaluar la normalidad de conjuntos de da- tos mediante el uso de
grácas de probabilidad normales.
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14. La distribución normal
Objetivos:
Usar la curva normal para modelar distribuciones; Calcular probabilidades utilizando la curva normal;
evaluar la normalidad de conjuntos de da- tos mediante el uso de
grácas de probabilidad normales.
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15. La distribución normal
Objetivos:
Usar la curva normal para modelar distribuciones; Calcular probabilidades utilizando la curva normal; evaluar la normalidad de conjuntos de da- tos mediante el uso de
grácas de probabilidad normales.
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16. La distribución normal
Objetivos:
Usar la curva normal para modelar distribuciones; Calcular probabilidades utilizando la curva normal; evaluar la normalidad de conjuntos de da- tos mediante el uso de
grácas de probabilidad normales.
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17. La distribución normal
Se presenta el tipo más importante de curvas de densidad:la curva
normal.
Una distribución representada por una curva normal se denomina
distribución normal.La familia de las distribuciones normales tiene dos
papeles en aplicaciones estadísticas. Su uso directo es como una
aproximación adecuada de la distribución de una variable observadaX. El
segundo papel de la distribución normal es más teórico y es base
fundamental para estadística II.
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18. La distribución normal
Se presenta el tipo más importante de curvas de densidad:la curva
normal.
La curva normal es una curva simétrica con forma de campana.
Una distribución representada por una curva normal se denomina
distribución normal.La familia de las distribuciones normales tiene dos
papeles en aplicaciones estadísticas. Su uso directo es como una
aproximación adecuada de la distribución de una variable observadaX. El
segundo papel de la distribución normal es más teórico y es base
fundamental para estadística II.
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19. La distribución normal
Se presenta el tipo más importante de curvas de densidad:la curva
normal.
La curva normal es una curva simétrica con forma de campana.
Una distribución representada por una curva normal se denomina
distribución normal.
La familia de las distribuciones normales tiene dos
papeles en aplicaciones estadísticas. Su uso directo es como una
aproximación adecuada de la distribución de una variable observadaX. El
segundo papel de la distribución normal es más teórico y es base
fundamental para estadística II.
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20. La distribución normal
Se presenta el tipo más importante de curvas de densidad:la curva
normal.
La curva normal es una curva simétrica con forma de campana.
Una distribución representada por una curva normal se denomina
distribución normal.
La familia de las distribuciones normales tiene dos
papeles en aplicaciones estadísticas. Su uso directo es como una
aproximación adecuada de la distribución de una variable observadaX. El
segundo papel de la distribución normal es más teórico y es base
fundamental para estadística II.
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21. La distribución normal
Ejemplo (Vida útil de baterías)
Como parte de su programa de control de calidad, la compañía Autolite
Battery realiza pruebas acerca de la vida útil de las baterías. La vida media
()de una batería de celda alcalina D es de 19 horas. La vida útil de la
batería se rige por una distribución normal con una desviación estándar()
de 1.2 horas
a
.
a
Estadística aplicada a los negocios y la economía, Lind, pag. 230
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22. Distribución de la vida media de 230 baterías
baterias
Density
16 18 20 22
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30 Figure:
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23. Distribución de la vida media de 230 baterías
baterias
Density
16 18 20 22
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30 Figure:
superpuesta
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24. La curva normal se puede usar para describir la distribución de una variable
observadaXde dos formas:
como una aproximación suave a un histograma basado en una muestra
de valores deX
como una representación idealizada de la distribución poblacional deX
Se considera la curva normal como la representación de la distribución
poblacional.
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25. La curva normal se puede usar para describir la distribución de una variable
observadaXde dos formas:
como una aproximación suave a un histograma basado en una muestra
de valores deX
como una representación idealizada de la distribución poblacional deXSe considera la curva normal como la representación de la distribución
poblacional.
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26. La curva normal se puede usar para describir la distribución de una variable
observadaXde dos formas:
como una aproximación suave a un histograma basado en una muestra
de valores deX
como una representación idealizada de la distribución poblacional deXSe considera la curva normal como la representación de la distribución
poblacional.
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27. Ejemplo (Espesor de cascaras de huevo)
En la producción comercial de huevos, la rotura es un problema
importante. Por tanto, el espesor de las cascaras de huevos es una variable
importante. En un estudio se observó que el espesor de las cascaras de
huevos producidos por un gran número de gallinas White Leghorn seguía
aproximadamente una distribución normal de media= 0;38mmy
desviación típica= 0;03mm.0.30 0.35 0.40 0.45
0
2
4
6
8
10
12
Espesor de cáscara (mm)
dnorm(x, mean = 0.38, sd = 0.03)
Figure: = 0;38mm
y= 0;03mm
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28. Denición (Curvas normales)
Cada curva normal concreta se caracteriza por su media y su desviación
típica (parámetros). Xsigue una distribución normal de
mediay desviación típicaentonces se dice queXN(; ).Todas las
curvas normales se pueden expresar mediante una sola fórmula.
Si una variableXsigue una distribución normal de mediay desviación
típica, entonces la curva de densidad de la distribución deXestá dada
por la siguiente fórmula:
f(x) =
1

p
2
e

1
2(
x
)
2
Esta función,f(x)se denomina función de densidad de la distribución y
expresa la altura de la curva en función de la posiciónxen el ejey.
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29. Denición (Curvas normales) Cada curva normal concreta se caracteriza por su media y su desviación
típica (parámetros).
Si la variableXsigue una distribución normal de
mediay desviación típicaentonces se dice queXN(; ).Todas las
curvas normales se pueden expresar mediante una sola fórmula.
Si una variableXsigue una distribución normal de mediay desviación
típica, entonces la curva de densidad de la distribución deXestá dada
por la siguiente fórmula:
f(x) =
1

p
2
e

1
2(
x
)
2
Esta función,f(x)se denomina función de densidad de la distribución y
expresa la altura de la curva en función de la posiciónxen el ejey.
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30. Denición (Curvas normales) Cada curva normal concreta se caracteriza por su media y su desviación
típica (parámetros).
Si la variableXsigue una distribución normal de
mediay desviación típicaentonces se dice queXN(; ).
Todas las
curvas normales se pueden expresar mediante una sola fórmula.
Si una variableXsigue una distribución normal de mediay desviación
típica, entonces la curva de densidad de la distribución deXestá dada
por la siguiente fórmula:
f(x) =
1

p
2
e

1
2(
x
)
2
Esta función,f(x)se denomina función de densidad de la distribución y
expresa la altura de la curva en función de la posiciónxen el ejey.
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31. Denición (Curvas normales) Cada curva normal concreta se caracteriza por su media y su desviación
típica (parámetros).
Si la variableXsigue una distribución normal de
mediay desviación típicaentonces se dice queXN(; ).
Todas las
curvas normales se pueden expresar mediante una sola fórmula.
Si una variableXsigue una distribución normal de mediay desviación
típica, entonces la curva de densidad de la distribución deXestá dada
por la siguiente fórmula:
f(x) =
1

p
2
e

1
2(
x
)
2
Esta función,f(x)se denomina función de densidad de la distribución y
expresa la altura de la curva en función de la posiciónxen el ejey.
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32. Denición (continuación: : :)
La Figura 8 muestra una gráca de una curva normal. La forma de la curva
es como la de una campana simétrica, centrada enx=. La dirección de
curvatura es hacia abajo en la parte central de la curva, y hacia arriba en la
parte de las colas.
Figure: y
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33. Denición (continuación: : :)
Los puntos de inexión (es decir, donde la curvatura cambia de dirección)
sonx=yx=+. Nótese que la curva es casi lineal en los
alrededores de esos puntos.
Figure: y
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34. Denición (continuación: : :)
En principio la curva se extiende hasta1y+1, y nunca alcanza
realmente el eje x (asíntota).
pequeña para valores dexalejados más de tres desviaciones típicas de la
media.
Figure: y
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35. Denición (continuación: : :)
En principio la curva se extiende hasta1y+1, y nunca alcanza
realmente el eje x (asíntota).
Sin embargo, la altura de la curva es muy
pequeña para valores dexalejados más de tres desviaciones típicas de la
media.
El área bajo la curva es exactamente igual a 1.
Figure: y
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36. Denición (continuación: : :)
En principio la curva se extiende hasta1y+1, y nunca alcanza
realmente el eje x (asíntota).
Sin embargo, la altura de la curva es muy
pequeña para valores dexalejados más de tres desviaciones típicas de la
media.
El área bajo la curva es exactamente igual a 1.
Figure: y
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37. Denición
Todas las curvas normales tienen la misma forma esencial, en el sentido de
que se pueden hacer idénticas mediante una selección adecuada de las
escalas vertical y horizontal de cada una. . Pero curvas normales con
diferentes valores deyno parecerán idénticas si se dibujan todas en la
misma escala, como se ilustra en la Figura 9. La posición de la curva
normal en el eje y está gobernada por, ya que la curva está centrada en
x=.La anchura de la curva está gobernada por. La altura de la curva
también está determinada por.
igual a 1, una curva con un valor más pequeño dedebe tener una altura
mayor. Esto reeja el hecho de que los valores de Y están más altamente
concentrados cerca de la media cuando la desviación típica es pequeña.
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38. Denición
Todas las curvas normales tienen la misma forma esencial, en el sentido de
que se pueden hacer idénticas mediante una selección adecuada de las
escalas vertical y horizontal de cada una. . Pero curvas normales con
diferentes valores deyno parecerán idénticas si se dibujan todas en la
misma escala, como se ilustra en la Figura 9. La posición de la curva
normal en el eje y está gobernada por, ya que la curva está centrada en
x=.
La anchura de la curva está gobernada por. La altura de la curva
también está determinada por.
Como el área bajo cada curva debe ser
igual a 1, una curva con un valor más pequeño dedebe tener una altura
mayor. Esto reeja el hecho de que los valores de Y están más altamente
concentrados cerca de la media cuando la desviación típica es pequeña.
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39. Denición
Todas las curvas normales tienen la misma forma esencial, en el sentido de
que se pueden hacer idénticas mediante una selección adecuada de las
escalas vertical y horizontal de cada una. . Pero curvas normales con
diferentes valores deyno parecerán idénticas si se dibujan todas en la
misma escala, como se ilustra en la Figura 9. La posición de la curva
normal en el eje y está gobernada por, ya que la curva está centrada en
x=.
La anchura de la curva está gobernada por. La altura de la curva
también está determinada por.
Como el área bajo cada curva debe ser
igual a 1, una curva con un valor más pequeño dedebe tener una altura
mayor. Esto reeja el hecho de que los valores de Y están más altamente
concentrados cerca de la media cuando la desviación típica es pequeña.
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40. Figure:
El parámetroes un parámetro de localización y el parámetroes un
parámetro de forma
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41. −4 −2 0 2 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
dnorm(x, 0, 1/2) Figure:
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42. −4 −2 0 2 4
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
x
dnorm(x, 0, 1.2) Figure:
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43. Denición (distribución normal estándar)
SiXN(0;1), entonces se dice queXtiene distribución normal estándar.
La función de densidad y la función de esta variable aleatoria se denotan
por()y()respectivamente.
La función de densidad de una variable aleatoria normal estándar es
simétrica con respecto al ejey. z <0se satisface
que:
(z) = 1(z)
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44. Denición (distribución normal estándar)
SiXN(0;1), entonces se dice queXtiene distribución normal estándar.
La función de densidad y la función de esta variable aleatoria se denotan
por()y()respectivamente.
La función de densidad de una variable aleatoria normal estándar es
simétrica con respecto al ejey.
Por lo tanto, para todoz <0se satisface
que:
(z) = 1(z)
MSc Edgar Madrid CuelloDepartamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 24 / 38

45. Denición (distribución normal estándar)
SiXN(0;1), entonces se dice queXtiene distribución normal estándar.
La función de densidad y la función de esta variable aleatoria se denotan
por()y()respectivamente.
La función de densidad de una variable aleatoria normal estándar es
simétrica con respecto al ejey.
Por lo tanto, para todoz <0se satisface
que:
(z) = 1(z)
MSc Edgar Madrid CuelloDepartamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 24 / 38

46. Denición (Escala tipicada)
Las áreas bajo una curva normal se han calculado matemáticamente y
están tabuladas en cualquier libro de estadística o se puede emplear el
programa R o su App.
normales se pueden hacer equivalentes, con respecto a las áreas bajo ellas,
mediante un cambio de escala adecuado del eje horizontal.
la escala cambiada se denominaZ.
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47. Denición (Escala tipicada)
Las áreas bajo una curva normal se han calculado matemáticamente y
están tabuladas en cualquier libro de estadística o se puede emplear el
programa R o su App.
Esto debido al hecho de que todas las curvas
normales se pueden hacer equivalentes, con respecto a las áreas bajo ellas,
mediante un cambio de escala adecuado del eje horizontal.
La variable con
la escala cambiada se denominaZ.
MSc Edgar Madrid CuelloDepartamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 25 / 38

48. Denición (Escala tipicada)
Las áreas bajo una curva normal se han calculado matemáticamente y
están tabuladas en cualquier libro de estadística o se puede emplear el
programa R o su App.
Esto debido al hecho de que todas las curvas
normales se pueden hacer equivalentes, con respecto a las áreas bajo ellas,
mediante un cambio de escala adecuado del eje horizontal.
La variable con
la escala cambiada se denominaZ.
MSc Edgar Madrid CuelloDepartamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 25 / 38

49. La relación entre las escalas se muestra en la Figura 12.
Figure:
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50. Denición (Fórmula de tipicación)
Z=
X

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51. Ejemplo
Paraz= 1:23, se tieneP(Z <1:23)
Figure: (1:23)
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52. Para obtener el área por encima de un valor dado dez, restaremos el área
tabulada de 1. z= 1;8es
10:9641 = 0:0359(Figura 14).
Figure: 1(1:8)
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53. Para obtener el área por encima de un valor dado dez, restaremos el área
tabulada de 1.
Por ejemplo, el área por encima dez= 1;8es
10:9641 = 0:0359(Figura 14).Figure: 1(1:8)
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54. Para obtener el área por encima de un valor dado dez, restaremos el área
tabulada de 1.
Por ejemplo, el área por encima dez= 1;8es
10:9641 = 0:0359(Figura 14).Figure: 1(1:8)
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55. Ejemplo
Para obtener el área entre dos valores dez, se restan las áreas dadas en la
Tabla. Zentrez=1:4yz= 1:35, es decir
P(1:4< z <1:35)(Figura 15),
Figure: (1:35)(1:40)
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56. Ejemplo
Para obtener el área entre dos valores dez, se restan las áreas dadas en la
Tabla.
El área bajo la curvaZentrez=1:4yz= 1:35, es decir
P(1:4< z <1:35)(Figura 15),Figure: (1:35)(1:40)
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57. El área bajo la curva normal entrez=1yz= +1es
0:84130:1578 = 0:6826.
Por tanto, para cualquier distribución normal, aproximadamente el 68% de
las observaciones están dentro de1alrededor de la media.
Asimismo, el área bajo la curva normal entrez=2yz= +2es0:9544y
el área bajo la curva normal entrez=3yz= +3es 0.9974.
Esto signica que en cualquier distribución normal aproximadamente el
95% de las observaciones están dentro de2alrededor de la media y
aproximadamente el 99.7% de las observaciones están dentro de3
alrededor de la media (véase la Figura 16).
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58. El área bajo la curva normal entrez=1yz= +1es
0:84130:1578 = 0:6826.Por tanto, para cualquier distribución normal, aproximadamente el 68% de
las observaciones están dentro de1alrededor de la media.
Asimismo, el área bajo la curva normal entrez=2yz= +2es0:9544y
el área bajo la curva normal entrez=3yz= +3es 0.9974.
Esto signica que en cualquier distribución normal aproximadamente el
95% de las observaciones están dentro de2alrededor de la media y
aproximadamente el 99.7% de las observaciones están dentro de3
alrededor de la media (véase la Figura 16).
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59. El área bajo la curva normal entrez=1yz= +1es
0:84130:1578 = 0:6826.Por tanto, para cualquier distribución normal, aproximadamente el 68% de
las observaciones están dentro de1alrededor de la media.
Asimismo, el área bajo la curva normal entrez=2yz= +2es0:9544y
el área bajo la curva normal entrez=3yz= +3es 0.9974.
Esto signica que en cualquier distribución normal aproximadamente el
95% de las observaciones están dentro de2alrededor de la media y
aproximadamente el 99.7% de las observaciones están dentro de3
alrededor de la media (véase la Figura 16).
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60. El área bajo la curva normal entrez=1yz= +1es
0:84130:1578 = 0:6826.Por tanto, para cualquier distribución normal, aproximadamente el 68% de
las observaciones están dentro de1alrededor de la media.
Asimismo, el área bajo la curva normal entrez=2yz= +2es0:9544y
el área bajo la curva normal entrez=3yz= +3es 0.9974.
Esto signica que en cualquier distribución normal aproximadamente el
95% de las observaciones están dentro de2alrededor de la media y
aproximadamente el 99.7% de las observaciones están dentro de3
alrededor de la media (véase la Figura 16).
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61. El área bajo la curva normal entrez=1yz= +1es
0:84130:1578 = 0:6826.Por tanto, para cualquier distribución normal, aproximadamente el 68% de
las observaciones están dentro de1alrededor de la media.
Asimismo, el área bajo la curva normal entrez=2yz= +2es0:9544y
el área bajo la curva normal entrez=3yz= +3es 0.9974.
Esto signica que en cualquier distribución normal aproximadamente el
95% de las observaciones están dentro de2alrededor de la media y
aproximadamente el 99.7% de las observaciones están dentro de3
alrededor de la media (véase la Figura 16).
MSc Edgar Madrid CuelloDepartamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 31 / 38

62. Figure:
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63. Ejemplo
De acuerdo con el Internal Revenue Service (IRS) el reembolso medio de
impuestos en 2007 fue de $2 708. Suponga que la desviación estándar es
de $650 y que las sumas devueltas tienen una distribución normal.
1
¾Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $3 000?
2
¾Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $3 000 e inferiores a
$3 500?
3
¾Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $2 500 e inferiores a
$3500?Figure:
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64. Denición (Lectura inversa de la Tabla (qnorm en R))
Al determinar hechos sobre la distribución normal, algunas veces es
necesario obtener el valor dezcorrespondiente al área dada en vez de la
otra forma.
Ejemplo
supongamos que deseamos obtener el valor en la escalaZque deja por
encima del 2.5% de la distribución.
en la Figura 18.
Figure:
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65. Denición (Lectura inversa de la Tabla (qnorm en R))
Al determinar hechos sobre la distribución normal, algunas veces es
necesario obtener el valor dezcorrespondiente al área dada en vez de la
otra forma.
Ejemplo
supongamos que deseamos obtener el valor en la escalaZque deja por
encima del 2.5% de la distribución.
Este número es 1.96, como se muestra
en la Figura 18.
Figure:
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66. Denición (Lectura inversa de la Tabla (qnorm en R))
Al determinar hechos sobre la distribución normal, algunas veces es
necesario obtener el valor dezcorrespondiente al área dada en vez de la
otra forma.
Ejemplo
supongamos que deseamos obtener el valor en la escalaZque deja por
encima del 2.5% de la distribución.
Este número es 1.96, como se muestra
en la Figura 18.
Figure:
MSc Edgar Madrid CuelloDepartamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 34 / 38

67. Utilizaremos la notaciónZpara designar el número tal que
P(Z < z) = 1yP(Z > z) =, como muestra la Figura 19. Así
pues,z0:025= 1:96.
Figure: Z
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68. Ejemplo (Longitudes de peces)
Obtener el percentil 70 de la distribución de longitudes de peces del
Ejemplo anterior.
Figure:
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69. Ejemplo
Calcular el percentil 20 de la distribución de la longitud de peces del
Ejemplo anterior.
Figure:
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