Distribuicao de probabilidades

1. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
As distribuições de probabilidades mais conhecidas e utilizadas
na maioria das aplicações são:
-
Distribuição binomial 
-
p
e 
n (variável discreta)
01/17
-
Distribuição binomial 
-
p
e 
n (variável discreta)
-Distribuição normal -me s
2
(variável contínua)
Uma função f(x)é quem define o comportamento das 
variáveis em termos de resultados de probabilidade 
(distribuição).
Função de probabilidade –f(x)– variável discreta
Função densidade de probabilidade –f(x)– variável contínua

2. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
02/17
Uma diferença fundamental separa as variáveis aleatórias 
discretas e as contínuas em termos de como as probabilidades 
são calculadas.
Quanto a variável aleatória discreta, f(x)produz a probabili-
dade de a variável aleatória assumir um valor em particular.
Quanto a variável aleatória contínua, f(x)não produz probabili-
dade diretamente; associa a área sob o gráfico de f(x) corres-
pondente a determinado intervalo.
Então, quando se calculam probabilidades de variáveis aleató-
rias contínuas, calcula-se a probabilidade de a variável aleató-
ria assumir qualquer valor nesse intervalo.

3. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
03/17
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA ®f(x)³0
Sf(x)= 1
VALOR
ESPERADO
DE
UMA
V
.
A
.
D
.
®
E(x)=
m
=
S
xf
(x)
VALOR
ESPERADO
DE
UMA
V
.
A
.
D
.
®
E(x)=
m
=
S
xf
(x)
VARIÂNCIA DE UMA V.A.D.®Var(x)=
s
2
=
S
(x-
m
)
2
f(x)
1) No. esperado de chamadas: E(x)=m=2,05
2) Variância:s
2
=2,05 Desvio Padrão:s=1,43
No. Chamadas Probabilidades No. Chamadas Probabilidades
0 0,10 3 0,20
1 0,15 4 0,15
2 0,30 5 0,10

4. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
04/17
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
VALOR ESPERADO: E(x)=
m
=np
VARIÂNCIA: Var(x)=
s
2
=np(1-p) s
Exemplo: 
Considere um experimento binomial com n=10 e p=0,10
a) Calcular f(0)= 
0,3487
b) Calcular f(2)= 
0,1937
c) Calcular P(x£2)= 
0,9298
d) Calcular P(x³1)= 
0,6513
e) Calcular E(x)= 
1,0
f) Calcular Var(x)=s
2
= 
0,9
g) Calcular o desvio padrão -s= 
0,95

5. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
05/17
Aplicação:
Os sistemas militares de radar e de mísseis são concebidos para um 
país precaver-se de ataques inimigos. Uma questão de confiabilidade é 
saber se um sistema de detecção será capaz de identificar um ataque  saber se um sistema de detecção será capaz de identificar um ataque  inimigo e disparar um alarme. Considere que determinado sistema de 
detecção tenha 90% de probabilidade de detectar um ataque de 
mísseis. Use a distribuição binomial para responder as questões a 
seguir:
a) Qual a probabilidade de um único sistema de detecção detectar um 
ataque? R: 0,90
b) Se dois sistemas são instalados na área e operam independentes, 
qual é a probabilidade de pelo menos um deles detectar o ataque? R: 
0,99
c) Se três sistemas ... De pelo menos um detectar? R: 0,999
d) Você recomendaria o uso de múltiplos sistemas? R: sim

6. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
06/17
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES
Função Densidade Normal de Probabilidade:
2 2
( ) /2
1
( )
2
x
f x e
m s
s p
- -
=
onde: 
m= média
s= desvio padrão
p= número pi – 3,141596259
e= 2,7182
Função Densidade Normal Padrão de Probabilidade:
Com z = (x -m)/s
2
s p
2
/2
1
( )
2
z
f x e
p
-
=

7. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
06A/17
Curva em forma de sino 
correspondente a 
distribuição normal de 
probabilidade. probabilidade.
Três distribuições 
normais com o mesmo 
desvio padrão (s), mas 
com três diferentes 
médias (-10, 0 e 20).

8. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
06B/17
Duas distribuições normais 
com a mesma média (m), mas 
com desvios padrão (s) 
diferentes.
Áreas sob a curva de uma 
distribuição normal qualquer.

9. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
06C/17
Área sob a curva normal 
padrão = probabilidade
A distribuição normal padrão:
- Média m=0
- Desvio padrão s=1

10. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
07/17
CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
1. Possui dois parâmetros: a média me o desvio padrão s;
2. Ponto máximo da curva é a média = mediana = moda;
3.
A média da distribuição pode ser qualquer valor: negativo, zero ou 
3.
A média da distribuição pode ser qualquer valor: negativo, zero ou  positivo;
4. A distribuição normal é simétrica em relação a média;
5. O desvio padrão determina quanto uma curva é achatada ou larga;
6. As probabilidades da va são dadas por área sob a curva; a área 
total é igual a 1; como a curva é simétrica, a área, a direita e a 
esquerda da média valem 0,5;
7. As porcentagens dos valores de alguns intervalos:
a) 68,3% dos valores de uma va estão dentro de ±1sda média;
b) 95,4% dos valores de uma va estão dentro de ±2sda média;
c) 99,7% dos valores de uma va estão dentro de ±3sda média.

11. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
08/17
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO DE PROBABILIDADES
Uma variável aleatória que tem uma distribuição normal com média 
igual a zero e desvio padrão igual a um, diz
-
se que esta variável 
igual a zero e desvio padrão igual a um, diz
-
se que esta variável 
tem distribuição normal padrão de probabilidade.
Para encontrar a probabilidade de uma va estar contida em um 
intervalo específico, deve-se calcular a área sob a curva normal ao 
longo deste intervalo. 
Existem tabelas que podem ser usadas para o cálculo das 
probabilidades; estas tabelas foram geradas para uma va com 
distribuição normal padrão de m=0 e s=1

12. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
09/17
DISTRIBUIÇÃO NORMAL – APLICAÇÃO
Uma empresa desenvolveu umnovo pneu radial comcinturão de
aço que será vendido por meio de uma cadeia nacional. Uma vez
que este tipo de pneu é umproduto novo, os gerentes da empresa
acreditam
que
a
durabilidade
(em
termos
de
km
rodados)
oferecida
acreditam
que
a
durabilidade
(em
termos
de
km
rodados)
oferecida
como pneu será umfator importante na aceitação do produto.
Antes de fechar os termos do contrato de garantia de durabilidade
do pneu, os gerentes desejamobter informações de probabilidade a
respeito do número de kmque os pneus durarão. Dos testes reais
de estrada comos pneus, a equipe de engenharia da empresa
estima que a durabilidade média dos pneus é 36500kme que o
desvio padrão é 5000. Alémdisso, os dados coletados indicamque a
distribuição normal é uma hipótese razoável.
a) Qual percentagemdos pneus duraria mais de 40 mil km? Ou,
qual é a probabilidade de a durabilidade do pneu ultrapassar 40mil
km?

13. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
10/17
40000 36500
0,70
5000
x
z
m
s- -
= = =
Consultando a tabela de 
dis
-
Consultando a tabela de 
dis
-
tribuição normal padrão com 
z=0,70 observamos que a 
área para valores iguais ou 
maior que z=0,70 é 0,2420.
Esta é a probabilidade de x
ultrapassar o valor 40000. 
Conclui-se que 24,2% dos 
pneus terão uma durabili-
dade maior que 40000 km.

14. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
11/17
b) A empresa está
considerando a possibi-
lidade de dar uma
garantia que concede um
desconto
na
troca
de
desconto
na
troca
de
pneus se os originais não
resistiremao número de
kmestipulados na
garantia. Qual deve ser o
número de kmcoberto
pela garantia levando-se
emconta que a empresa
quer que não mais de
10% dos pneus se
habilitemà garantia do
desconto?

15. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
12/17
Agora, usando a tabela normal padrão, devemos determinar o valor 
de z que produz uma área de 0,10 (10%) sob a curva normal. Este 
valor é 1,28; por simetria o valor de z procurado encontra-se a 
esquerda da média; z=
-
1,28.
esquerda da média; z=
-
1,28.
Para encontrar o valor de x correspondente a z=-1,28 calculamos a 
expressão                com m=36500 e s=5000. Encontra-se x=30100.
Assim, a empresa poderá fixar a garantia de durabilidade de seus 
pneus em 30.000km, uma vez que este valor garante que apenas 
10% dos pneus produzidos se habilitarão à garantia.
x
z
m
s-
=

16. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
13/17
APROXIMAÇÃO NORMAL ÀS PROBABILIDADES BINOMIAIS
Adota-se a aproximação normal às probabilidades binomiais quando 
o número de ensaios torna-se grande.
É lícito usar a aproximação quando: a) np
³
5; b) n(1-p)³5.
Ao usar a aproximação normal às probabilidades binomiais ajusta-se 
uma curva normal da seguinte maneira:
m
= npe
s
2
= np(1-p)
A distribuição normal trabalha com va contínua e a probabilidade é 
obtida a partir da área sob a curva normal. A distribuição binomial 
trabalha com va discreta e a probabilidade é obtida para cada valor 
assumido por x.
Truque: P(x=12) da binomial é igual a P(11,5 £x £12,5) da normal.

17. DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
14/17
EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS