Divergencia

1. LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ
Octubre 2004, Para casanchi.com
LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL EN COORDENADAS
RECTÁNGULARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS :

Del teorema de la divergencia, se tiene:

∫∫
=
SV
Sdfdfdiv
rrr
.).(τ
y podemos escribir en forma diferencial para coordenadas generales q 1, q2, q3:



333
3
222
2
111
1
)..()..()..().( dqSdf
q
dqSdf
q
dqSdf
q
dfdiv
rrrrrrr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=τ




Expresión en coordenadas rectangulares o cartesianas:

En estas coordenadas es: dxdydSdzdxdSdzdydS
qqq
===
321
,.,.
Y también es el elemento diferencial de volumen
dzdydxd ..=τ

Por tanto:

3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
321
...
..
1
...
..
1
...
..
1
)(
)..()..()...().(
x
f
x
f
x
f
dxdzdy
x
f
dzdydx
dxdzdy
x
f
dzdydx
dxdzdy
x
f
dzdydx
fdiv
dzdxdyf
z
dydxdzf
y
dxdzdyf
x
dfdiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⇒
⇒
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
r
τ


3
3
2
2
1
1
)(
x
f
x
f
x
f
fdiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r






Expresión en coordenadas esféricas:

En estas coordenadas es:

θρρφρθρφθθρdddSddsendSddsendS
qqq
..,...,... ===
321
2


Y también es
φθρθρτdddsend ....
2
=

Por tanto:

2. LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ
Octubre 2004, Para casanchi.com
φ
φ
θρρ
φθρθρ
θ
θ
φρθρ
φθρθρ
ρ
ρ
φθθρ
φθρθρ
φ
φ
θ
θ
ρ
ρ
τ
φθρ
d
ddf
dddsen
d
ddsenf
dddsen
d
ddsenf
dddsen
fdiv
ddSfddSfddSfdfdiv
.
)...(
....
1
.
)....(
....
1
.
)....(
...
1
)(
)..()..()..().(
3
2
2
2
2
1
2
321
∂
∂
+
+
∂
∂
+
+
∂
∂
=⇒
⇒
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
r


O sea:



φθρθ
θ
θρρ
ρ
ρ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
)(
.
1.).(
..
1).(1
)(
32
2
1
2
f
sen
senf
sen
f
fdiv
r





Expresión en coordenadas cilíndricas:

En estas coordenadas es:

φρρρφρdddSdhddSdhddS
qqq
..... ===
321


Y también es
dhddd ...φρρτ=

Por tanto:

dh
h
ddf
dhdd
d
dhdf
dhdd
d
dhdf
dhdd
fdiv
dhdSf
h
ddSfddSfdfdiv
h
.
)...(
.....
1
.
)..(
...
1
.
)..(
...
1
)(
)..()..()..().(
3
2
1
321
∂
∂
+
+
∂
∂
+
+
∂
∂
=⇒
⇒
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
φρρ
φρρ
φ
φ
ρ
φρρ
ρ
ρ
φρ
φρρ
φ
φ
ρ
ρ
τ
φρ
r
r


Finalmente:


h
fff
fdiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
)()(1)(
.
1
)(
321
φρρ
ρ
ρ
r

3. LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ
Octubre 2004, Para casanchi.com
En resumen:


En cartesianas:
3
3
2
2
1
1
.
x
f
x
f
x
f
f
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
rr



En esféricas:
φθρθ
θ
θρρ
ρ
ρ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
)(
.
1.).(
..
1).(1
.
32
2
1
2
f
sen
senf
sen
f
f
rr




En cilíndricas:
h
fff
f
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
)()(1)(
.
1
.
321
φρρ
ρ
ρ
rr