Divisibilidad básico

Divisibilidad paso a paso para 1º ESO.

1. DIVISIBILIDAD
1
División exacta entre 2:
Sólo para los números pares.
El número 14 es un número PAR
porque con él podemos hacer parejas.
14 2
0 7División exacta.
Nº de parejas: 7.
Estos apuntes están basados en
una técnica llamada Enseñanza
Programada, y te ayuda a ir
comprendiendo poco a poco
hasta conseguir estar al nivel
de tus compañeros/as.
Sigue el orden de los cuadros.
Cuando encuentres el símbolo
R3, por ejemplo, significa que
en ese cuadro aparece la
Respuesta del cuadro 3 que has
tenido que responder al
encontrar el símbolo _______.
Si no respondiste bien, vuelve
atrás y repasa.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

2. R1
2
¿ Es 38 un nº par? ______
38 2
División ______
Nº de parejas: ___
(No requiere respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

3. R2
3
¿ Es 19 un nº par? ______
19 2
División _______
Nº de parejas: __
Sí
exacta
19
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

4. R3
4
No hace falta hacer la división
para saber si un nº es par o no.
Mira si termina en cero o cifra par (2,4,6,8)
¿Es 96 un nº par? _____ (no dividas),
porque ______________________.
no exacta (entera)
9, y sobra uno.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

5. R4
5
Subraya los números pares:
18, 20, 1002, 84, 13, 74, 29, 21
Sí
Termina en cifra par
(6).
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

6. R5
6
Tabla del 2
Todos estos números pares terminan en las
cifras __________.
Si sigues la tabla, multiplicando por 11, 12,
13, …, verás que siempre pasa lo mismo.
18
20
1002
84
74
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

7. R6
7
Todos los números pares salen de
la tabla del 2.
Por ejemplo, 74 es par, así que:
742
14 372∙37=74
0
Podemos hacer 37 parejas con el 74.
Completa: 2∙ ____=1002
0, 2, 4, 6 u 8.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

8. R7
8
Los números pares tienen
división _______ entre 2,
porque aparecen en la tabla del 2 y
podemos hacer parejas.
Por ejemplo, el 74.
Se dice entonces que:
74 es DIVISIBLE por 2
o que 74 es MÚLTIPLO de 2.
Al 2 se le llama DIVISOR de 74 (porque es el que divide).
501
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

9. R8
9
Cuando un nº, como el 74, es múltiplo de
otro, como el 2, es porque su _________
es exacta.
Entonces se dice que 74 es divisible por 2,
y como 2∙37=74, también 74 es _____ por
37.
(No requiere respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

10. R9
10
Entre el 74, el 2 y el 37 existe una
relación, porque son, entre sí, múltiplos y
divisores.
Esta relación se llama
relación de divisibilidad.
¿Es 58 múltiplo de 2? ____
¿Existe relación de divisibilidad entre
ellos? _____
divisible
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

11. R10
11
El nº 18 es par, porque su última cifra es 8.
Entonces, 18 es divisible por 2, o lo que es lo
mismo, 18 es _______ de 2.
Y 2 es _______ de 18.
Existe entonces _______ de divisibilidad entre
18 y 2.
Sí.
Sí.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

12. R11
12
Recuerda:
Reconocemos si un nº es par, o lo que es lo
mismo, divisible por 2, sin tener que
dividirlo, cuando ___________________
múltiplo
divisor
relación
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

13. R12
13
Sabes que los números pares, es decir, los
que tienen división exacta entre 2,
se reconocen porque terminan en 0,2,4,6,8.
¿En qué cifras terminarán entonces los
números impares? ________________

termina en cero o
cifra par (2, 4, 6, 8)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

14. R13
14
¿Es 221 un nº impar? ______
Los números impares no se pueden dividir
de forma exacta entre 2 porque siempre
sobra ___ (divide 221 entre 2)
1, 3, 5, 7, 9
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

15. R14
15

Subraya los números impares:
27, 72, 106, 30, 31, 25, 13, 49
Sí.
1
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

16. R15
16
Como los números 27, 31, 25, 13 y 49 son
impares y no se pueden dividir de forma
exacta entre 2, ¿se podrán dividir de
forma exacta entre 3? (Compruébalo)
27
31
25
13
49
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

17. R16
17
División exacta entre 3:
Para saber si un nº es divisible por 3 de forma
exacta, suma sus cifras, y el resultado debe ser
múltiplo de 3 (estar en la tabla de multiplicar del 3).
El 39 lo es, porque 3+9= 12 (múltiplo de 3)
Así que,
39 es divisible por 3, o múltiplo de 3,
y 3 es un divisor de 39.
Sólo el 27.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

18. R17
18
El nº 447 es múltiplo de 3, o divisible por
3 porque 4+4+7=15 (múltiplo de 3)
El nº 143 no es múltiplo de 3, no es
divisible por 3 porque 1+4+3=8
El nº 1005 _____________________
porque _________________________
(No requiere respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

19. R18
19
Un nº par (divisible por 2)
también puede ser divisible por 3,
por ejemplo el número 18.
804 es múltiplo de 2 (termina en cifra par)
804 es múltiplo de 3 ( 8+0+4=12)
(Comprueba que entonces 804 es divisible por 6, que es dos por tres)
es múltiplo de 3, o
divisible por 3 porque
1+0+0+5=6, es
múltiplo de 3.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

20. R19
20
Un nº es:
Divisible por 2 si termina en __________
Divisible por 3 si ___________________
Esta forma de saber si un nº es divisible por 2, o
3, o … sin tener que dividir, se llama CRITERIO
DE DIVISIBILIDAD.
El de 5 es muy fácil:
Divisible por 5 si termina en 0 o 5.
(Sí, 804 es divisible
por 6)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

21. R20
21
Los números que terminan en 0, además
de ser pares, son divisibles por 5.
El 30 se puede dividir de forma exacta
entre 2 y también entre 5 (y entre 3,
porque 3+0=3)
Por tanto, el 30 no es primo, es ________
cero o cifra par.
la suma de sus cifras
es múltiplo de 3.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

22. R21
22
Practica con estos números:

114 es divisible por: 2 Sí ; 3 __ ; 5 __.
207 es divisible por: 2 __ ; 3 __ ; 5 __.
45 es divisible por: 2 __ ; 3 __ ; 5 __.
23 es divisible por: 2 __ ; 3 __ ; 5 __.
compuesto.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

23. R22
23

¿Es 15 múltiplo de 3? ____
¿Es 5 divisor de 15? ____
¿Es 3 divisible por 15? ____
¿Es 15 divisible por 3? ____
Sí ; No
No; Sí ; No
No; Sí ; Sí
No; No ; No
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

24. R23
24

Si un nº termina en 0 o 5, es divisible por ___
Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3, el nº
es divisible por ____
Si termina en 0,2,4,6 u 8, es divisible por ___
Éstos se llaman ________ de divisibilidad.
Sí
Sí
No, al revés
Sí
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

25. R24
25

¿Se puede dividir el nº 12 entre sí mismo de forma
exacta?
12 12 ___ , y da __
¿Se puede dividir el nº 12 entre 1 de forma exacta?
12 12 ___ , y da __
¿Se puede dividir el nº 12 entre 2 de forma exacta?
___ , y da ___.
5
3
2
criterios
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

26. R25
26

Todos los números naturales, 1,2,3,…, se
pueden dividir siempre entre sí mismos y el 1
de forma exacta.
Si sólo tienen estos divisores (ellos mismos
y el 1), se dice que son números PRIMOS.
Si tienen más divisores, son números
COMPUESTOS.
Sí, y da 1
Sí, y da 12
Sí, y da 6

Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

27. R26
27

Los números pares, como todos los
números, tienen al 1 y a sí mismos como
divisores.
Pero por ser pares, tienen también como
divisor al 2.
Así que, ningún nº par es primo, todos son
___________.
(No requiere
respuesta)

Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

28. R27
28
Los números pares son todos compuestos (no
primos).
Los números impares pueden ser compuestos o
primos.

Para saber si es compuesto hay que encontrar
algún divisor suyo (sabemos que el 2 no lo es).
¿Son compuestos estos dos nº impares?:
El 27: __________ ; El 25: __________
compuestos
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

29. R28
29
Piensa ahora en éste otro número impar:
49 no es divisible por 2 (no termina en 0,2,4,6,8)
49 no es divisible por 3 ( 4+9=13, no múltiplo de 3)
49 no es divisible por 5 (no termina en 0 ni 5)
(Tampoco es divisible entre 4, porque lo sería entre 2; ni entre 6, porque lo sería entre 2 y
entre 3)
¿Es 49 primo? ______________
El 27 sí, por ser
divisible por 3.
El 25 también es
compuesto, por ser
divisible por 5.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

30. R29
30
49 = 7∙7
49 es divisible por 7, así que es
compuesto, no primo.
No hay criterio de divisibilidad para el 7,
hay que dividir, para saber si es divisible o
no.
¿Es 91 primo? ______________
No, porque es
divisible por 7.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

31. R30
31
Existe un último criterio de divisibilidad. Es para el 11.
Un nº es divisible por 11 si al sumar una cifra sí y otra no,
y las que quedan por otro lado, y restar los resultados, da
cero o múltiplo de 11. (múltiplos de 11: 11,22,33,…)
Ejemplo: 7403 es divisible por 11, ya que:
7+0=7
4+3=7
Restamos los resultados, 7-7=0, y da cero.
¿Es 121 múltiplo de 11? ______
No, porque es
divisible por 7 y por
13.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

32. R31
32

¿Es 814 divisible por 11?
8+4=12
1
Restamos los resultados: 12-1=11.
Por tanto 814 es múltiplo de 11. (Compruébalo dividiendo)
¿Es este número múltiplo, o divisible por
11?
Sí, porque 1+1=2, y
le restamos la otra
cifra, el 2, y queda 0.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

33. R32
33

¿Cuánto tiene que valer la cifra “a” para
que el número 5a03 sea divisible por 11?
_______________________________
_______________________________
No, porque 8+8=16 y
9+2=11.
Al restarlos da 5, que
no es cero ni múltiplo
de 11.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

34. R33
34

Un nº es:
Divisible por 7 si __________________
Divisible por 11 si __________________
________________________________
________________________________
¿Cuántos criterios de divisibilidad hemos visto?
__________________________

Tiene que valer 2,
porque 5+0=5, y la
suma de a+3, cuando
lo restemos con 5
debe dar cero (no
puede dar 11 porque
“a” es de una sola
cifra).
Así que a=2.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

35. R34
35
¿Existe relación de divisibilidad entre 7 y
21?
Sí, porque 7∙3=21,
así que 7 es divisor de 21 (lo divide) y 21 es
múltiplo de 7 (21 está en la tabla de multiplicar del 7).
¿Y entre 3 y 8? ___________________

al dividir da división
exacta (no hay criterio).
al sumar una cifra sí y
otra no, y las que quedan
por otro lado, y restar
los resultados, da cero o
múltiplo de 11.
Hemos visto cuatro: del
2, 3, 5 y 11.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

36. R35
36
Entre 3 y 8 no existe relación de
divisibilidad.
Se dice entonces que 3 y 8 son primos entre
sí, porque no hay relación de divisibilidad
entre ellos (aunque el 8 no sea número primo).
¿Qué ocurre con 4 y 6? _____________

No, porque ni 3 es
divisor de 8 ni 8 es
múltiplo de 3.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

37. R36
37
Cuando tenemos dos números, y ninguno
es múltiplo ni divisor del otro, se dice que
son ________________
¿Qué ocurre con 6 y 42? _____________

Son primos entre sí,
porque ni 4 es divisor
de 6 ni 6 es múltiplo
de 4 (aunque ambos
tengan un divisor
común que es el 2)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

38. R37
38
Hasta ahora hemos cogido dos números y los
hemos comparado para saber si existe relación de
divisibilidad entre ellos o no.
Eso es lo mismo que preguntarse si el número
“mayor” aparece en la tabla de multiplicar del
“menor”, es decir, es múltiplo suyo o no.
Por ejemplo, el 4 aparece (como resultado) en la
tabla de multiplicar de sí mismo, del 1 y del 2, y en
ninguna otra.
Por eso se dice que los divisores del 4 son 1,2,4 y
ninguno más.
No son primos entre
sí, porque 6 es
divisor de 42 (y 42
múltiplo de 6). Existe
relación de
divisibilidad entre
ambos.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

39. R38
39
Para saber cómo está “construido” un número,
es decir, en qué tablas de multiplicar aparece,
hacemos su descomposición factorial.
“factorial” viene de la palabra “factor”, que
significa “número que multiplica”.
Si 2 6=12, el 2 y 6 son factores.
Recuerda esto, es importante: En la
descomposición factorial todos los factores
deben ser números primos.
•
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

40. R39
40
Si descomponemos en factores el nº 12 así:
12=2 6, el 6 no es nº primo, así que también lo
podemos descomponer: 6=2 3
La descomposición factorial sería:
12=2 2 3. Que se escribe como potencia si hay
factores repetidos:
12=22 3
(ahora sí está del todo descompuesto porque todos los factores son números primos)
Descompón factorialmente el 18.
•
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

41. R40
41
Para hacer una descomposición factorial
rápidamente se colocan dos columnas de
números, siendo la segunda columna los números
primos divisores (probando los criterios de
divisibilidad) del cociente de la izquierda. El 12
se haría así:
12 2
6 2
3 3
1
12=22 3 Haz tú la del número 18
•
18 = 2∙32
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

42. R41
42
La descomposición factorial en factores
primos nos ayuda a saber cómo está
“construido” un nº, es decir, saber en qué
tablas de multiplicar aparece, porque nos
muestra todos sus divisores “primos”.
Por ejemplo, el 18 tiene como divisores
primos el 2 y el 3. Pero tiene más, que no son
primos, como el 1, el 18, el 6 y el 9.
La abreviatura de “divisores de 18” es d(18).
Entonces, d(18)={1,2,3,6,9,18}
18 2
9 3
3 3
1
18 = 2∙32
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

43. R42
43
Es fácil obtener d(18)={1,2,3,6,9,18} si
miramos su descomposición factorial:
El 1 y el 18 son divisores.
El 2 y el 3 se ven en la descomposición factorial (primos)
El 6 sale de 2 por 3 (mira la segunda columna)
El 9 sale de 3 por 3 (como se ve en la segunda columna)
Pero, ¿cómo sabemos que el 18 no tiene más divisores que
esos seis? Pues los miramos todos: El 1 sí, y el 2 y el 3.
El 4 no, porque en la segunda columna no aparece 2 por 2, que es 4.
El 5 no, porque no aparece en la segunda columna. El 6 sabemos que sí.
El 7 no, porque no aparece en la segunda columna. Y así sucesivamente.
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

44. R43
44
Más rápido aún si nos fijamos en
y sumamos “uno” a cada exponente,
multiplicando los resultados:
El exponente del 2 es un 1, que al sumarle 1, da 2.
El exponente del 3 es 2, que al sumarle 1, da 3.
Entonces, 2 por 3, da 6, que es el total de divisores.
d(18)={ _, _, _, _, _, _ } (seis divisores)
Colocamos los que ya sabemos (salen en la desc. factorial) por orden:
d(18)={ 1, 2, 3, _, _, 18 }
Y como van por parejas cuyo resultado es 18, terminamos:
Parejas: 1 por 18 = 18
2 por 9 = 18
3 por 6 = 18

(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

45. R44
45
Calcula el número de divisores del 12 y cuáles son:
Sumamos “uno” a cada exponente,
multiplicando los resultados:
El exponente del 2 es un ___, que al sumarle 1, da ___.
El exponente del 3 es ____, que al sumarle 1, da ____.
Entonces, ___ por ___, da ____, que es el total de divisores.
d(12)={ 1, 2, 3, _, _, 12 } ( ___ divisores)
Colocamos los que ya sabemos (salen en la desc. factorial) por orden, y hacemos las parejas.



(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

46. R45
46
Los divisores del número 4 son 1,2,4 porque haciendo
la descomposición factorial da 4 = 22
Como tiene un solo exponente, al sumarle 1 da: 2+1=3.
Tiene 3 divisores.
d(4) = {1,2,4}
Así que, como ya sabemos, el 4 sólo aparece como
resultado en las tablas de
multiplicar del 1, del 2 y del 4.
El 19 es primo, entonces, d(19)=______
es un 2, que al sumarle 1, da 3.
es 1, que al sumarle 1, da 2.
3 por 2, da 6,
6 divisores
1,2,3,4,6,12
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

47. R46
47
Calculemos ahora cuántos y cuáles son los
divisores del número 90:
Descomponemos factorialmente el 90:
902
463
173
5 5
1
Calcula cuántos y cuáles son los del 100.
d(19) = {1,19}
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

48. R47
48
El número de divisores de un nº se calcula
_______________________________
___________________________
Los divisores de un número se obtienen
_______________________________
____________________________
100 = 22 ∙ 52
(2+1)(2+1) = 9 divis.
d(100) =
={1,2,4,5,10,20,25,50,100}
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

49. R48
49
Hay un número determinado de divisores
de un nº.
Si sólo tiene dos divisores (él mismo y el 1)
será un número _________
Si tiene más de dos divisores será un
número __________
sumando “uno” a cada
exponente de la
descomposición
factorial y
multiplicando los
resultados.
haciendo parejas
cuyo producto sea el
número, empezando
desde el 1, en orden.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

50. R49
50
Sin embargo, múltiplos de un número hay
infinitos, los que aparecen en su tabla de
multiplicar (sin pararnos en el 10).
Los múltiplos del 12, por ejemplo, se escriben
abreviadamente con el símbolo
m(12) o también
m(12) = {12, 24, 36, …}
(resultados de multiplicar por 1, 2, 3, …
primo
compuesto
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

51. R50
51
d(40) = { …………………………..} significa
_________ de 40.
m(40) = { …………………………..} significa
__________ de 40.
Calcula d(40) y m(40).
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

52. R51
52
Es importante saber si un nº se puede descomponer en
factores distintos de él mismo y del 1 porque si no se
puede es porque es un nº primo.
El 1 no es primo.
El 2 es primo, y el 3.
El 4 no, por ser par (divisible por 2).
El 5 es primo.
El 6 no, por ser par.
El 7 es primo.
El 8 no, por ser par; y el 9 tampoco, por ser múltiplo de 3.
…
Conviene que conozcas (y te aprendas de memoria) los
números primos menores que 100, que son 25 números.
d(40) =
{ 1,2,4,5,8,10,20,40}
M(40) =
{40,80,120,160,…}
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

53. R52
53
Un matemático griego nacido en el año 276 a.C.,
llamado Eratóstenes, inventó un método para
averiguar los números primos. Para los menores
de 100 tenemos:
Criba de Eratóstenes
Se tachan los m(2), que no
serán primos, luego los m(3),
y los múltiplos de 5, y de 7.
Al ir a tachar los m(11), vemos
que ya están tachados, así que
los que quedan, son los números
primos menores que 100.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97.
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

54. R53
54
¿Será 91 primo? ¿Y 31?
Si no te los sabes de memoria, seguimos estos pasos:
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

55. R54
55
Calcula de esta forma si 87 es primo o no
(empieza utilizando los criterios de
divisibilidad, como siempre)
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

56. R55
56
Con el nº 87 hemos tenido suerte, porque el
criterio de divisibilidad del 3 nos dice que
87 es múltiplo de 3, así que es compuesto.
Pero a veces no es tan rápido. Por ejemplo,
¿es primo 103?
No es divisible por 2, ni por 3, ni por 5, ni por 7, ni por 11, …
¿tenemos que seguir probando a dividir por más números primos? ¿Hasta
cuál de ellos?
La respuesta es:
Hasta el nº primo cuyo cuadrado más se acerque a 103
87 no es primo. Es
compuesto, porque es
divisible por 3.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

57. R56
57
Vamos a ver qué cuadrado se acerca más a
103:
102 = 100 ; 112=121
Así que 10 al cuadrado es el que más se
acerca. Esto nos dice que para saber si 103 es
primo, hay que dividir por los números primos
menores que 10 y ver si da división exacta:
el 2, 3, 5 y 7 (crit. de div.)
Como ya lo probamos y no daba división exacta,
103 es primo.
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

58. R57
58
¿Es primo 221?
Los criterios de divisibilidad nos dicen que no es divisible por 2, ni 3,
ni 5, ni 7, ni 11.
Calculamos entonces el cuadrado más próximo a 221 para ver hasta qué
nº primo hay que probar:
102 = 100 ; 112=121 ; 122=144 ; 132=169 ; 142=196 ; 152=225.
El cuadrado más cercano es el de 14, así que como habíamos probado ya los criterios de divisibilidad hasta el 11, hay
que seguir hasta el primo 13.
22113 La división es exacta.
9217 221 es compuesto. 221=13∙17
00

(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

59. R58
59
Calcula los divisores y múltiplos de 221:
22113
17 17
1
221=13∙17
d(221)={…………………….}
m(221)={…………………….}
¿En qué tablas de multiplicar aparece el 221?
____________________
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

60. R59
60
¿Hay números que no se puedan
descomponer en factores?
________________________
Pon un ejemplo: ____________
d(221)={1,13, 17, 221}
m(221)={221, 442, …}
El 221 aparece en las
tablas de sus
divisores, la del 1, la
del 13, la del 17 y la
del 221.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

61. R60
61
¿Qué número es divisor de cualquier nº?
______________________________
Sí, los números primos.
El 19, por ejemplo, no se
puede descomponer,
aparte de poner
1 por 19.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

62. R61
62
Hay un número finito (no infinito) de divisores
de un número.
Por ejemplo, el 4 sólo tiene 3 divisores
d(4) = {1, 2, 4}
Pero hay un número __________ de múltiplos
de un número.
___ = {4, 8, 12, 16, 20, …}
El número 1 es
divisor de todos los
números.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

63. R62
63
Los divisores de un número siempre son,
¿mayores o iguales que él, o menores o
iguales que él? __________________
¿Y los múltiplos? _________________
infinito
m(4), o también

Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

64. R63
64
Si tenemos dos o más números, a veces pueden
tener divisores en común.
Por ejemplo, el 6 y el 8 tienen en común, además
del 1, al 2, porque ambos son pares.
Así que si tenemos por ejemplo, 6 alumnos y 8
alumnas, podemos hacer grupos de 2 y saldrán
tres grupos de dos chicos y cuatro grupos de dos
chicas.
6 = 3∙2 chicos 8 = 4∙2 chicas.
Menores o iguales
que él.
Mayores o iguales
que él.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

65. R64
65
Si tenemos por ejemplo 12 latas de tomate
baratas y 18 caras, ¿cómo las podemos
empaquetar, sin mezclarlas, de forma que
los paquetes tengan todos la misma
cantidad de latas, y la mayor posible?
¿Cuántos paquetes saldrán?
En este problema, lo que se está pidiendo es, que se calcule un
divisor común a 12 y 18 (repartir las latas en paquetes) y además el
mayor posible (mayor cantidad posible de latas en cada paquete?
Es lo que se llama Máximo Común Divisor. Abreviadamente M.C.D.
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

66. R65
66
Máximo Común Divisor. Abreviadamente M.C.D.
d(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
d(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
La respuesta es 6. Los paquetes contendrán 6 latas.
Del tomate barato habrá 2 paquetes, porque 12:6 = 2.
Del tomate caro habrá 3 paquetes, porque 18:6 = 3.
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

67. R66
67
No hace falta calcular los divisores de los
números para calcular su M.C.D:
Se
12= 22 ∙3 ; 18= 2 ∙32 Los factores comunes son 2 y 3,
y el exponente menor de cada uno de ellos es el 1, así que:
M.C.D(12,18) = 2 ∙3 = 6 (que eran las 6 latas que nos salían)
M.C.D(12,18) se lee “Máximo Común Divisor de 12 y 18”
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

68. R67
68
Si dos números no tienen factores
comunes, ¿cuál es su M.C.D?
__________________________
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

69. R68
69
Si necesitamos calcular un múltiplo común
a dos números, y el menor de ellos,
calcularemos el
Mínimo Común Múltiplo, abreviadamente mcm.
El M.C.D. será el 1,
que es divisor de
todos los números.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

70. R69
70
Por ejemplo, si un autobús se para en una
parada cada 40 minutos, y otro cada 12
minutos, y acaban de coincidir ahora, ¿cuándo
volverán a coincidir?
El primero para a los 40, 80, 120, … minutos (múltiplos de 40)
El segundo para a los 12, 24, 36, … minutos (múltiplos de 12)
Buscamos entonces un múltiplo común y el
menor de ellos (porque dice, “la próxima vez
que vuelvan a coincidir”)
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

71. R70
71
El mcm se calcula descomponiendo factorialmente los
números y tomando todos los factores (no solo los
comunes) elevados al mayor exponente.
En nuestro ejemplo:
40 = 23∙5 ; 12 = 22∙3
Todos los factores son el 2, el 3 y el 5.
Y como el 2 aparece con dos exponentes, se coge el
mayor.
Entonces, m.c.m(40,12) = 23∙3∙5 = 120
Los dos autobuses coincidirán de nuevo a los 120 minutos (2 horas).
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

72. R71
72
Si dos números no tienen factores en
común, su m.c.m será el producto de los
dos.
Por ejemplo: 15 y 28.
15 = 3∙5 ; 28 = 22∙7
Como no tienen factores en común con
distinto exponente, y se cogen todos, sale:
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

73. R72
73
Si dos números tienen relación de divisibilidad
(uno es divisor del otro y el otro es múltiplo),
¿Cuál es su M.C.D? _______________
¿Cuál es su m.c.m? _______________
¿Se puede calcular el M.C.D y el m.c.m de un solo
número?
(No requiere
respuesta)
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"

74. R73
74
Cómo diferenciar entre M.C.D y m.c.m:
(No te aprendas las cosas de memoria, trata de razonarlas)
El menor de ellos, que
es el divisor.
El mayor de ellos, que
es el múltiplo.
No, no tiene sentido.
Estamos buscando
múltiplos o divisores
comunes a dos o más
números.
Matemáticas IES
"Juan de Soto Alvarado"