Divisibilidad i

Divisibilidad I, ejercicios y problemas

2. Prof.JennerHuamánCallirgos

3. Pierre de Fermat y David Hilbert. Dos
momentos en la historia de las
matemáticas, evidentemente el trabajo de
los predecesores sostiene el trabajo de
quienes vienen después.
Enlosprimerostiemposdelaaviación
invitaronalmatemáticoalemánDavid
Hilbert(1862-1943)adarunaconferencia
sobreeltemaqueélquisiera.La
conferenciacreógranexpectaciónyaque
eltemaelegidofue:"Lapruebadelúltimo
teoremadeFermat". LlegóeldíayHilbert
diolaconferencia.Laexposiciónfuemuy
brillanteperonotuvonadaqueverconel
últimoteoremadeFermat. Cuandole
preguntaronelporquédeltítulocontestó:
"Oh,eltítuloerasolamenteparaelcasode
queelaviónseestrellara".
• ¿Cuál es el último teorema de Fermat y
por qué creó tanta expectativa?

4. Observe la forma como se han dispuesto los números en el arreglo que
muestra la figura:
ABCDEFG
1 2 3 4
7
8
6 5
15
14 13
2021 19
12
9 10 11
16 17 18
. .
. .
Si se continúa el proceso, ¿debajo de qué letra debe aparecer escrito
el número 2014?

5. Es una parte de la aritmética que estudia las leyes, propiedades y criterios
que nos sirven para determinar cuándo un número es divisible por otro.
DIVISIBILIDAD
DIVISIBILIDADDEUNNÚMERO
UnnúmeroAesdivisibleporotroB,siladivisióndeAentreBes
exacta.
369
36 es divisible por 9
9 es divisor de 36
9 divide a 36
4
Ejemplo
486 48 es divisible por 6
6 es divisor de - 48
6 divide a - 48
8

6. En general:
Dado los números:
Si:
Entonces: A es divisible por B
B es divisor de A
B divide a A
AZ
B Z (entero positivo)
KZ
+
∈
∈
∈AB
K

7. MULTIPLICIDAD DE UN NÚMERO
Un número A es múltiplo de otro B, si el primero A contiene al
segundo B, un número exacto y entero de veces.
Ejemplo
36 = 9 x (4)
–48 =6x (– 8)
0= 11x(0
)
36 es múltiplo de 9
9 es factor de 36
- 48 es múltiplo de 6
6 es factor de - 48
0 es múltiplo de 11
11 es factor de 0

8. En general:
Dado los números:
Si:
entonces:
AesmúltiplodeB
BesfactordeA
AZ
B Z (entero positivo)
KZ
∈
+
∈
∈
ABK= ×
A=B
A es múltiplo de B
A es divisible por B
B es factor de A
B es divisor de A
Se lee
Notación:

9. Indicarqueunnúmeroesdivisibleo
múltiplodeotroloconsideramos
comoequivalente.
Tododivisordeunnúmeroesun
factordedichonúmero.
Ejemplo:
Divisoresde20:1,2,4,5,10,20
ºº
20 20 51
ºº
20 202 10
ºº
20 20 204
= =
= =
= =
Luego:

10. Elceroesmúltiplodecualquierenteropositivo
Ejemplo:
()
()x
x
ºº
0 porque 0 077
ºº
0 porque 0 011 11
= =
= =
Todonúmeroesmúltiplodelaunidad.
Ejemplo:
()
()
x
x
ºº
15 porque 15 151 1
º º
24 porque 24 241 1
= =
= =

11. Ejemplos Aplicativos
Calcule cuántos números positivos de tres cifras son:
I.Múltiplos de 15.
II.Múltiplos de 9 pero no de 5.
III.Múltiplos de 7.
IV.Múltiplos de 13 que terminan en cifra cero.
Resolución

12. Hasta el momento, solo hemos visto el caso cuando al realizar la
división, ésta resulta exacta. Ahora veremos el caso cuando la
división resulta inexacta.
Ejemplo:
37noesdivisiblepor5,porquealdividir37entre5la
divisiónesinexacta,efectuándolapor:
Defecto Exceso
375
7
2
375
8
3
Por el algoritmo de la división:
r
defecto
37=5x(7)+2
r
exceso
37=5x(8)- 3
Números no divisibles

13. Por la notación:
2+3=5
r+ r =d
d e
37=5+ 2 ó 37=5 - 3
Ejemplo:
24=5
0
+424=5
0
−1
28=6
0
+428=6
0
−2
Representación del
número 24 respecto al
módulo 5
Representación del número 28 respecto al módulo 6

14. Ejemplos Aplicativos
Calcule la suma de todos los números positivos de dos
cifras, tal que al dividirse entre 8 se obtiene residuos
máximos.
Resolución
Respuesta: 605

15. Calcule cuántos números positivos de tres cifras son
múltiplos de 13, más 7 y además dichos números
terminan en cifra 2.
Resolución
Respuesta: 7

16. PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
Primer principio: De la suma o diferencia de 2 números que son múltiplos
De “n” se obtiene otro múltiplo de “n”.
+=
↓↓↓
+=
ºº º
56 35 91
777
Ejemplos:
ºº º
45 18 27
999
−=
↓↓↓
−=
ººº
nnn
=
+
ººº
nnn
=
−

17. Segundo principio: Si a un número que es múltiplo de “n”, se le multiplica
Por cualquier otro número entero, resulta otro número múltiplo de “n” .
()
º
º
º
20 5
3 20 5
60 5
=
×=
=
  
Ejemplo
º
º
Si: A n
entonces:K A n
Siendo: K Z
=
×=
∈
()
º
º
º
18 9
3 18 9
972
=
×=
=
  

18. Nota: Si un número es y otro es , entonces el producto
de ambos es:
????????????
0
+???????????? ????????????
0
+????????????
????????????
0
+????????????.b
En general, diríamos
�????????????
º
+????????????)(????????????
º
+????????????)(????????????
º
+????????????)=????????????
º
+????????????.????????????.????????????
Ejemplo �
5
0
+3)(5
0
+2)=5
0
+3.2
=5
0
+6
=5
0
+5
0
+1
=5
0
+1

19. Tercer principio: Todo número entero que sea múltiplo de “n” y si es
elevado a un exponente entero positivo, se obtendrá otro múltiplo
de “n”.
Ejemplo

º
º
2
º
10 5
10 5
5100
=
=
=

º
º
2
º
412
12 4
44 41
=
=
=
º
ºm
Si: A n
nA
Siendo: m Z
+
=
=
∈

20. Debemos tener en cuenta que:
Si un número es múltiplo entre cierto módulo, es múltiplo con
cada divisor del módulo.
Ejemplo:
Divisoresde20:1,2,4,5,10,20
º
º
º
20 1
20 2
20 4
=
=
=
Entonces:
º
º
º
20 5
20 10
20 20
=
=
=

21. Ejemplos Aplicativos
Calcule cuál es el residuo al dividir entre 11 si:
Resolución
????????????=14.3
2+????????????
+????????????00????????????+6.3
????????????
,????????????∈ℤ
+
Respuesta: 0

22. Siunnúmeroesmúltiplodevariosnúmeros,entoncesesmúltiplo
delMCMdedichosnúmeros.
Ejemplos:
60=4
60=10
=MCM(4,10)
=20
2x2x5=20
4 - 10 2
2 - 5 2
1 - 5 5
1
Si:
Se observa que 20 es el menor
número múltiplo de 4 y 10.
Engeneral:
Si:
( )
º
º
º
Aa
º
A b Entonces: A MCM a;b;c
Ac

=


= =

=


23. Si un número al ser dividido entre varios módulos y da el mismo
residuo, entonces, dicho número al ser dividido entre el MCM de
dichos módulos dará el mismo residuo.
( )
º
º
º
º
N 93
º
MCM ; ;10N 8 3 Entonces: N 8 39
N 360 3
N 10 3

= +


=+=+

= +
= +

Si:
( )
º
º
º
Nar
º
N b r Entonces:
rMCM a,b,c
Ncr

= ±


= ±
±

= ±

Si:

24. PrincipiodeArquímedes
Sielproductodedosnúmerosenterosesmúltiplodecierto
móduloyunodelosnúmerosnoesmúltiplodelmódulo,entoncesel
otronúmerodebesermúltiplodedichomódulo.
Ejemplo.
º
º
7b 5
b5
•=
⇒=
º
º
5a 16
a16
•=
⇒=
º
º
3x 11
1x1
•=
⇒=
15x=18
15x=18k
5x=6k
5x=6
x=6
9h = 13+1
9h = 13+1+13+13
9h = 13+27
9h - 27=13
9(h-3) =13
h-3 = 13
h = 13+3

25. Siunnúmeroaceptalan–avaparteentera,entoncesdicho
númeroserásiempremúltiplode“n”.
Ejemplo:
Si: es entero, entonces
1
N
3
×
º
N3=
Un número expresado en cierta base es múltiplo de la base más la
última cifra.
()kabcdN=Sea:
Entonces:
º
NKd= +
º
5
º
9
ab3 5 3
xyz8 9 8
= +
= +
Ejemplo:

26. DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON
Aplicándoseloscriteriosdedivisibilidadypermitehallarelresiduo
demanerainmediata.
n
n
º
BABA +=








+

=
n
º
BA








−
+ B
n
(si “n” es par)
-B
n
(si “n” es impar)

A

A

27. Ejemplo
Hallar el resto de: 15
12
entre 8.
Resolución
°
8
°
8
°
815
12
= (16 -1)
12
= (-1)
12
= + 1
12
= + 1
Por lo tanto, el resto es: 1

28. Ejemplo
Hallar el residuo de dividir 37
326
por 7.
Resolución
Rpta.:4

29. APLICACIONES
1.Halleelresiduoqueseobtienealdividir(58)
36
entre9.
(UNMSM-2011 -II)
a) 5 b) 2c) 1d) 3e) 4
Resolución

31. Continuará…