drpi_t5 - Filtragem espacial_plllllllt.pdf

filtragem

1. VI. Filtragem espacial
CorrelaçãoeConvolução.Filtrospassa-baixa,passa-altaepassa-banda.
Exemplosdefiltrosdigitaisdesuavização(média,filtrodeGauss,
mediana,suavizaçãoconservativa,Kuwahara).Noçãodegradiente.
Filtrosderivativos(Roberts,PrewitteSobel).Unsharp.Laplaciano.
Laplacianodogaussiano.
Fernando Soares

2. Filtro digital (2D)
SejaHumfiltro,caracterizadoporumamatriz,quesedesignaráporkernel.Por
conveniência,considere-sequeHrespeitaasseguintescondições:
•Héumamatrizquadrada.
•Htemumnúmeroímpardeelementos,ouseja,tem(2N+1)×(2N+1)elementos,
equeestesestãoindexadosdesde-NatéN,talqueoelementocentraldeHé
H(0,0).
•OsvaloresdeHdesignam-sepor“coeficientes”.
Porexemplo:
Fernando Soares

3. Filtro digital (2D)
SeofiltroHfor2N×2NNãoseperdenadacomaaplicaçãodasanteriores
condiçõesparaH,poispode-sepegaremqualquerjanelaepreenchê-lacomzeros,
porformaaquepasseaserquadradaecomumnúmeroímpardeelementos.Esta
operaçãonãomudaocomportamentodeH.
Fernando Soares

4. Operações aritméticas
•Asoperaçõesaritméticaspodemtambémserformuladasdeacordocom
operaçõesqueenvolvempixelsvizinhos.
•Nailustraçãoaseguir,ovalorz5correspondeàmédiaponderada(pesoswj)dos
valoreszjincluídosdajaneladedimensão3×3ecentradaemz5.
å
=
=+++=
9
1i
ii992211
zwzwzwzwz !
Fernando Soares

5. Correlação
SendoIumaimagemmatricial,define-seaoperaçãodecorrelação(“⨂”)entreHe
Ipor:
•Porexemplo,paraumkernelde3×3tem-se:
Fernando Soares
! ⨂ #$,&= ((!),*×#($+),&+*)
/
012/
/
312/
! ⨂ #$,&= ((!(),*)×#(
4
0124
4
3124
$+),&+*)=
=!−1,−1×#$−1,&−1+!−1,0×#$−1,&+!−1,−1×#$−1,&+1+
+ !0,−1×#$,&−1+!0,0×#$,&+!0,1×#$,&+1+
+ !1,−1×#$+1,&−1+!1,0×#$+1,&+!1,1×#$+1,&+1

6. Convolução
•Aoperaçãodeconvolução(“*”)ésemelhanteàdacorrelação.Adiferença
consisteemrodarprimeirookernelHde180graus,esóentãoaplicara
operaçãodecorrelação.
•Note-sequeacorrelaçãoeaconvoluçãosãooperaçõesidênticasseHfor
simétrico.
Fernando Soares
!∗#$,&= ((!),*×#($−),&−*)
/
012/
/
312/

7. Convolução
A diferençachaveentre a correlaçãoe a convoluçãoéa de que a últimarespeitaa
propriedadeassociativa. Ouseja, se G e H sãofiltros, então,
G * (H * I) = (G* H) * I
•Averificaçãodestapropriedadetorna-sebastanteconvenientequando,por
exemplo,sepretendeaplicarmaisdoqueumfiltroaumaimagem.
•Como geralmenteas dimensõesda imagemI sãosignificativamentemaioresque
as dos filtros, o esforçode cálculoéreduzidose se executara convoluçãoentre
osdoisfiltros, seguidada convoluçãoentre o filtroresultantee a imagem.
Fernando Soares

8. Convolução
Nocontextodoprocessamentodeimagem,umadasmatrizesdeentradaé
geralmenteumaimagemdeníveisdecinzento(I).Asegundamatriz,geralmente
bastantemaispequenaeigualmentebidimensional(apesardepodertambémser
apenasumvector),correspondeaofiltroH,dentrodoqualseestabeleceuma
posiçãodereferênciacomosendooseupixelcentral(comojáantesreferido).
Fernando Soares
z1z2z3z4z5z6z7z8z9z10
z11z12z13z14z15z16z17z18z19z20
z21z22z23z24z25z26z27z28z29z30
z31z32z33z34z35z36z37z38z39z40
z41z42z43z44z45z46z47z48z49z50
z51z52z53z54z55z56z57z58z59z60
z61z62z63z64z65z66z67z68z69z70
Imagem I
Filtro H
CorrelaçãoConvolução
w9w8w7
w6w5w4
w3w2w1
w1w2w3
w4w5w6
w7w8w9

9. Convolução
•Paraospixelsdefronteiradaimagemháquefazerumaadaptaçãoparaa
convoluçãoseexecutar.Umadasquatroseguintesopçõespodeserseguida:
1.Usa-seapenasaconvoluçãoqueconsidereossubconjuntosdepixelsdeHque
estejamdentrodoslimitesdaimagemI.
2.Sãoescolhidosvaloresiguaisazeroparaospixelsdasregiõesqueestãoforada
imagem,mastalescolhapodedistorceraintensidadedospixelsdefronteirana
imagem.
3.Acrescenta-selinhasecolunasàimagem.Cadapixeldestas,teráumvalorigual
aodopixeldaimagemquedeleestivermaispróximo.
4.Acrescenta-selinhasecolunasàimagem,porformaaquereflitauma
continuidadedecarácterperiódico,dointeriorparaoexteriordaimagem.
Fernando Soares

10. Configuração geométrica dos filtros digitais
•Apresentam-seaseguiralgunsexemplosdageometriadeHquesepodemusar
paraaconvolução.Paraalémdosvaloresdoscoeficientesassociados,aformae
adimensãosãocaracterísticassegundoasquaisHtambémpodevariar.
Fernando Soares
hexágonoquadradodiamantecírculosegmentopar de pontos

11. Propriedades
•Aclassificaçãodasjanelasdeconvoluçãofaz-sesegundoduaspropriedadesque
condicionamdosresultados;sãoelasaconvexidadeeaisotropia.
Fernando Soares

12. Filtros espaciais
•Afrequênciaespacialdeumaimageméumacaracterísticaquepodeser
definidaporumparâmetrocorrespondenteaonúmerodevariaçõesdeníveisde
cinzentoporunidadededistância.
•Sehápoucasvariaçõesdetonsdecinzentonumadadazonadiz-sequeessa
zonaédebaixafrequência;seostonsdecinzentovariammuitoemdistâncias
pequenasdiz-sequeessazonaédealtafrequência.
Fernando Soares
Sinal debaixa frequênciaSinal de alta frequência

13. Filtros espaciais
•Osfiltrosespaciaissãooperadoresquepermitemalterarafrequênciaespacial
deumaimagem(sinal),modificandoovalordotomdecinzentodecadapixel
emfunçãodosvaloresdostonsdecinzentodospixelsdasuavizinhança.
•Osfiltrospodemserlinearesounão-lineares.Nosfiltroslinearescadapixel
resultadeumacombinaçãolinearentreospixelsdasuavizinhança,com
coeficientesquecorrespondemaospesosaatribuiràsparcelas.
•Quaisqueroutrosfiltrossãodesignadosporfiltrosnãolineares.
Fernando Soares
9(),*)=((!(:,;)×<()−:,*−;)
=
>∈@
=
A∈@
F: imagem filtrada;
f: imagem inicial;
H: filtro (coeficientes);

14. Filtro passa-baixa
Filtroquesuavizaoaspectodaimagematenuandoeventosdeelevadafrequência
(transiçõesabruptas),istoé,aszonasdefronteiraradiométrica.Tendeaminimizar
ruídoseoresultadoapresentaumefeitodedesfocagem.
Aformadafunçãorespostanecessáriaparaimplementarumfiltropassa-baixa
indicaqueestedevetertodososseuscoeficientespositivos,devendoarespectiva
somaseriguala1.
Fernando Soares
Função-resposta
Efeito

15. Filtro passa-baixa
•Porexemplo,nofiltropassa-baixadamédiaaritmética3x3,tem-se:
•Porconvolução,tem-se:
Fernando Soares
1/91/91/9
1/91/91/9
1/91/91/9
f
i-1,j-1f
i-1,jf
i-1,j+1
f
i,j-1f
i,jf
i,j+1
f
i+1,j-1f
i+1,jf
i+1,j+1
1/9 × = PBi,j
Função CoeficientesValor a calcular
BC3,0=
1
9×<324,024+
1
9×<324,0+
1
9×<324,0E4+
1
9×<3,024+
1
9×<3,0+
1
9×<3,0E4+
1
9×<3E4,024+
1
9×<3E4,0+
1
9×<3E4,0E4

16. Filtro passa-alta
Filtroqueatenua,ouelimina,oseventosdaimagemcombaixafrequência,pelo
queosfiltrostornammaisnítidasasfronteirasradiométricaseosdetalhes.
•Aformadafunçãorespostanecessáriaparaimplementarumfiltropassa-alta
indicaqueestedeveteroscoeficientespositivosnavizinhançadocentroe
negativosnaperiferia,devendoarespectivasomaseriguala0.
Fernando Soares
Função-resposta
Efeito

17. Filtro passa-alta
•Porexemplo,apartirdofiltrodamédiaanteriortem-se:
Fernando Soares
Filtro Passa-Alta= Imagem original -Filtro Passa-Baixa
-1-1-1
-1 8 -1
-1-1-1
-1/9-1/9-1/9
-1/98/9-1/9
-1/9-1/9-1/9
=1/9 ×
f
i-1,j-1f
i-1,jf
i-1,j+1
f
i,j-1f
i,jf
i,j+1
f
i+1,j-1f
i+1,jf
i+1,j+1
PAi,j
Função CoeficientesValor a calcular
BX3,0=<3,0−BC3,0=
=<3,0−
1
9×<324,024+
1
9×<324,0+
1
9×<324,0E4+
1
9×<3,024+
1
9×<3,0+
1
9×<3,0E4+
1
9×<3E4,024+
1
9×<3E4,0+
1
9×<3E4,0E4=
=−
1
9×<324,024−
1
9×<324,0−
1
9×<324,0E4−
1
9×<3,024+
8
9×<3,0−
1
9×<3,0E4−
1
9×<3E4,024−
1
9×<3E4,0−
1
9×<3E4,0E4

18. Filtro passa-alta
•Osfiltrospassa-altapodemser”desenhados”emfunçãodadirecção.Nestecaso
okernelcontémcoeficientesquevariamemfunçãodaorientaçãoque
apresentamnaimagemasfronteirasquesepretenderealçar.
Fernando Soares
N
S
W E
NW NE
SW SE

19. Filtro passa-banda
Filtroqueremove/atenuadeterminadosintervalosdefrequências.
•Aformadafunçãorespostanecessáriaparaimplementarumfiltropassa-banda
indicaqueestedeveteroscoeficientespositivosnavizinhançadocentroe
alternadamentenegativosepositivosnosentidodaperiferia.
Fernando Soares
Passa-banda
Função-resposta

20. Filtro passa-banda
•Tipicamente,osfiltrosPB1ePB2devemrepresentarmédiasdecurto-termoe
delongo-termo.
•OsfiltrosPassa-Bandasãogeralmenteusadospararealçarasfronteiraseoutras
característicasdefiltragempassa-altanapresençaderuído.
Fernando Soares
Filtro Passa-Banda = Filtro Passa-Baixa 1 -Filtro Passa-Baixa 2

21. Exemplos de filtros passa-baixa
Média:Éomaissimplesfiltrolinearpassa-baixa.Todososcoeficientessãoiguais.
Calcula-seamédiadostonsdecinzentonointeriordajanela(H)esubstitui-seo
pixelcentraldajanelapelovalorresultante(porestarazãoasjanelassão
normalmentequadradascomdimensãoímpar(3x3,5x5,etc.).
Fernando Soares
Média 9 x 9Inicial
!\×\=
1
9×
111
111
111
!]×]=
1
81×
1⋯1
⋮⋱⋮
1⋯1

22. Exemplos de filtros passa-baixa
Médiaponderada:Oscoeficientestêmpesosdiferentes(geralmenteemfunçãoda
distânciaaopixelcentral).
Fernando Soares
!\×\=
1
8×
010
141
010
!\×\=
1
10×
111
121
111
!\×\=
1
16×
121
242
121

23. Exemplos de filtros passa-baixa
Gaussiano2-D:éumoperadordeconvoluçãousadopara“desfocar”imagense
removerdetalheeruído,àsemelhançadofiltrodamédia.Noentanto,utilizaum
kernelrepresentadosobaformadeuma“bossa”gaussiana(emformadesino).
Fernando Soares
c$=
1
2d
=e
×f
2gh
ijh
c$,&=
1
2d
=ei×f
2ghEkh
ijh
c\×\=
0.01130.08380.0113
0.08380.61930.0838
0.01130.08380.0113
Exemplo

24. Exemplos de filtros passa-baixa
•Oefeitodasuavizaçãogaussianaéodedesfocarumaimagem,talcomoofazo
filtrodamédia.
•Ograudesuavizaçãoédeterminadopelovalordodesvio-padrãodafunçãode
Gauss(funçõescomdesvios-padrãomaisaltosrequeremjanelasdeconvolução
maioresnosentidodeasfunçõesficaremmasbemrepresentadas).
Fernando Soares
Gaussiana (s2= 0.5)Gaussiana (s2= 5)

25. Exemplos de filtros passa-baixa
•Ofiltrogaussianoconsistenumamédiaponderadadavizinhançadecadapixel,
commaiorpesoaplicadoaopixelcentralediminuíndoprogressivamenteparao
exterior.Estadefiniçãocontrastacomofiltrodamédiaaritmética,emqueos
pesosestãouniformementedistribuídosportodosospixelsdajanelade
convolução.
•Comotal,ofiltrogaussianoproporcionaumasuavizaçãomais“delicada”queo
damedia,preservandomelhorasfronteirasentreobjectos.
•Ousodestefiltrotorna-setambémmais“atractivo”quandoporvezesestão
envolvidosfenómenoscujasrespostastêmcomportamentosgaussianos.
Fernando Soares

26. Exemplos de filtros passa-baixa
•Exemplo:Diferençaentreosfiltrosdamediaegaussiano:
Fernando Soares
inicial
Média 9 x 9Gaussiano 9 x 9

27. Exemplos de filtros passa-baixa
Mediana:éumfiltronão-lineardesuavização,eénormalmenteusadoparareduzir
oruídonumaimagem,talcomoofiltrodamédia.Contudo,oresultadoéquase
sempremelhorqueodofiltrodamédia,nosentidodapreservaçãododetalheútil
daimagem.
Fernando Soares
nfo),*=:fo)p;<)−:,*−;,(:,;)∈!

28. Exemplos de filtros passa-baixa
Exemplo:filtrodamediana.
Fernando Soares
Inicial
Mediana 9 x 9
Mediana 5 x 5
Média 9 x 9

29. Exemplos de filtros passa-baixa
Suavizaçãoconservativa:técnicadereduçãoderuídoquevisaapreservaçãodos
detalhesdealtafrequência(transições)daimagem.Éusadoexplicitamentena
remoçãode“picos”isoladosdeintensidade(altosebaixos).
Fernando Soares
Resultado: 150 é substituído por 127
AntesDepois

30. Exemplos de filtros passa-baixa
Kuwahara:Suavizaumaimagemsemperturbaranitidezeaposiçãodasfronteiras.
•Emborapossaserimplementadoemjanelasdeformasdiversas,considera-se
aquiumajanelaquadradadedimensãoímpar.Estajanelaédivididaem4
regiõeseemcadaumadelascalcula-seaintensidademédiamieavariânciasi
2,
(i=1,2,3,4).Ovaloratribuídoaopixelcentraldajanelacorrespondeaovalor
médiodajanelaquetemmenorvariância.
Fernando Soares
Região 1
Região 2
Região 3
Região4 Pixel
central

31. Exemplos de filtros passa-baixa
Exemplo:SuavizaçãodeKuwahara.
Fernando Soares
Kuwahara 5 x 5Inicial Mediana 5 x 5
InicialKuwahara5 x 5

32. Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
•Comoseviu,osfiltrospassa-baixaesbatem/eliminamoseventosdedetalhe
contidosnasimagens.
•Adiferenciaçãovaiteroefeitocontrário,ouseja,evidenciarodetalhe.
•Paraalémdosfiltrospassa-alta,definem-seassimoutrosfiltrosdesignadospor
filtrosderivativos(operadoresdegradiente).
Fernando Soares

33. Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
Gradiente:Ogradientedeumafunçãof,noponto(x,y),define-sepor,.
•Amagnitudeédadapor .
•Estesconceitosconstituemabasedediversasabordagensdediferenciaçãoda
imagem.
Fernando Soares
q<=
r<
r$
r<
r&
:psq<=
r<
r$
i
+
r<
r&
i=

34. Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
•Considerandoajaneladafigura,podeaproximar-seaequaçãoanteriornoponto
z5dediversasformas.Amaissimpleséutilizaradiferença(z5-z6)paradefinira
derivadaparcialnadirecçãoxeadiferença(z5-z8)paradefiniraderivadaparcial
nadirecçãoy.
Fernando Soares
x
y
<tu=:ps(q<)≈tu−twi+tu−txi=
<tu=:psq<≈tu−tw+tu−tx
ou

35. Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
Roberts:estefiltroexecutaogradientecruzado,istoé,emvezdecalcularas
diferençasdevaloresdebrilhonadirecçãoverticalehorizontal,fá-lonuma
direcçãorodadade45º,ondeasjanelasdeconvoluçãosãoasseguintes:
Fernando Soares
<tu=:ps(q<)≈tu−t]i+tw−txi=
<tu=:psq<≈tu−t]+tw−tx
ou
x
y

36. Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
Roberts(exemplo1):
Fernando Soares
s),*=s4(),*)+si(),*)
000505050
000505050
000505050
000505050
000505050
000505050
00-5000… 005000…
00-5000… 005000…
00-5000… 005000…
00-5000… 005000…
00-5000… 005000…
……………… ………………
0010000…
0010000…
0010000…
0010000…
0010000…
………………
s4),*=<),*−<()+1,*+1) si),*=<),*+1−<()+1,*)

37. Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
Roberts(exemplo2):
Fernando Soares
505050505050
05050505050
0050505050
000505050
00005050
0000050
00000… 500000…
00000… 5050000…
00000… 0505000…
00000… 0050500…
00000… 0005050…
……………… ………………
500000…
5050000…
0505000…
0050500…
0005050…
………………
s),*=s4(),*)+si(),*)
s4),*=<),*−<()+1,*+1) si),*=<),*+1−<()+1,*)

38. Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
Sobel:esteoperadorrealçalinhasverticaisehorizontaismaisescurasqueofundo,
semrealçarpontosisolados.Consistenaaplicaçãodeduasmáscaras,descritasa
seguir,quecompõemumresultadoúnico.
Fernando Soares
x y
x
y
yg= t4+2×tz+t{−t\+2×tw+t]
yk=t4+2×ti+t\−t{+2×tx+t]
<(tu)=yg+yk

39. -101 -101
-110-1 000505050 -1121
020-2 000505050 0000
110-1 000505050 1-1-2-1
000505050
000505050
000505050
……………… ………………
…02002000… …0000…
…02002000… …0000…
…02002000… …0000…
…02002000… …0000…
……………… ………………
………………
…02002000…
…02002000…
…02002000…
…02002000…
………………
Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
Sobel(exemplo):
Fernando Soares
yg yk
yg+yk

40. Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
Prewitt:esteoperadorrealçalinhasverticaisehorizontaismaisescurasqueo
fundo,semrealçarpontosisolados.Consistenaaplicaçãodeduasmáscaras,
descritasaseguir,quecompõemumresultadoúnico.
Fernando Soares
x y
x
y
yg=t4+tz+t{−t\+tw+t]
yk=t4+ti+t\−t{+tx+t]
<(tu)=yg+yk

41. 000505050
000505050
000505050
000505050
000505050
000505050
……………… ………………
… … … …
… … … …
… … … …
… … … …
……………… ………………
………………
… …
… …
… …
… …
………………
Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
Prewitt(completar):
Fernando Soares
yg yk
yg+yk

42. Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
•Operadoresdegradiente:
Fernando Soares

43. Exemplos de filtros passa-alta (derivativos)
•Operadoresdegradiente:
Fernando Soares

44. Operação de Unsharp
Permitefazersobressairasfronteirasdosobjectosdeumaimagem,atravésda
operaçãodesubtracçãoentreaimagemoriginaleaimagemsuavizadacomum
filtropassa-baixa.
Fernando Soares
(a) + (c)
|),*=<),*+<),*−}×BC),*,0≤}≤1

45. Operação de Unsharp
Exemplo:
Fernando Soares
Antes Depois

46. Filtro derivativo “Laplaciano”
Ofiltrolaplacianodistingue-sedosrestantesfiltrosderealcedefronteirasporque
usaainformaçãodesegundasderivadasrelativaàsvariaçõesdeintensidadedos
pixels.
Fernando Soares
GradienteFunção Laplaciano
<($) r<($)
r$
ri<($)
r$i

47. Filtro derivativo “Laplaciano”
•Noespaço2Dolaplacianodefine-secomo:
•Asexigênciasparaadefiniçãodolaplacianodigitalsãoasdeocoeficiente
associadocomopixelcentralserpositivoeoscoeficientesdospixelsexternos
seremnegativos.
•Comoolaplacianoéumaderivada,asomadoscoeficientestemquesernula
(todaavezqueopontoemquestãoeseusvizinhostiveremomesmovalor,a
respostaseránula).
Fernando Soares
qi<$,&=
ri<($,&)
r$i+
ri<($,&)
r&i

48. Filtro derivativo “Laplaciano”
•Nocasodiscreto,paraumavizinhançade3×3,olaplacianopodeseraproximado
porumoperadordeconectividade-4ouumdeconectividade-8:
Fernando Soares
qi<),*=
000
−12−1
000
+
0−10
020
0−10
=
0−10
−14−1
0−10
qi<),*=
000
−12−1
000
+
0−10
020
0−10
+
−100
020
00−1
+
00−1
020
−100
=
−1−1−1
−18−1
−1−1−1

49. Filtro derivativo “Laplaciano”
•Usandoqualquerumdosanterioreskernels,olaplacianopodesercalculadopor
convolução:
•Porqueesteskernelssãoumaaproximaçãoàsegundaderivada,osoperadores
sãobastantesensíveisàpresençaderuídoaleatórionaimagem.
•Paraatenuaroefeitodapresençaderuído,aimagemégeralmentefiltrada
primeirocomumfiltropassa-baixagaussianoantesdeaplicarooperador
laplaciano.Estatarefareduzoruídodealtafrequênciaantesdadiferenciação.
Fernando Soares
qi<),*=−<)−1,*−<)+1,&−<),*−1−<),*+1+4×<(),*)
qi<),*=−<)−1,*−<)+1,&−<),*−1−<),*+1−
−<)−1,*−1−<)+1,*+1−<)−1,*+1−<()+1,*−1)+8×<(),*)

50. Filtros derivativo “Laplacianodo Gaussiano”
Comoaoperaçãodeconvoluçãoéassociativa,pode-seexecutaremprimeirolugar
aconvoluçãodofiltropassa-baixagaussianocomoperadorlaplaciano,esódepois
executaraconvoluçãodaimagemcomesteoperadorhíbrido(LoG-Laplacianof
Gaussian).Destaformatêm-seasseguintesvantagens:
•Comoambososkernelsgaussianoelaplacianosãogeralmentebastantemenores
queaimagem,estemétodorequerdelongemuitomenosoperações
aritméticas.
•OKernelLoGpodeserpré-calculadoantecipadamentee,comotal,énecessária
deexecutarapenasumaconvoluçãocomaimagem.
Fernando Soares

51. Filtros derivativo “Laplacianodo Gaussiano”
LaplacianodoGaussiano:
Fernando Soares
Função gaussiana
2ª derivada em ordem a x2ª derivada em ordem a y
LaplacianofGaussian
c$,&=
1
2d
=ei×f
2ghEkh
ijh
ri
r$ic$,&=
1
2d
=ei×
$i−ei
ez×f
2ghEkh
ijhri
r$ic$,&=
1
2d
=ei×
&i−ei
ez×f
2ghEkh
ijh
?cc$,&=
ri
r$ic$,&+
ri
r&ic$,&=
1
2d
=ei×
$i+&i−2ei
ez×f
2ghEkh
ijh

52. Filtros derivativo “Laplacianodo Gaussiano”
Exemplo:
Fernando Soares
LoGde apenas uma componente (R)LoGconjunto (3 componentes)RGB