DTII_UD3 _TANGENCIAS_2_PRESENTACIÓN .pdf

Tangencias segundo de bachillerato

1. Departamento de Educación Plástica
IES Puente Ajuda - Olivenza
UD3
TANGENCIAS II
Dibujo Técnico 2º de Bachillerato

2. 1.- INTRODUCCIÓN
Durante el primer curso de Dibujo Técnico vimos los axiomas o
principios fundamentales para construcción de tangencias e
introdujimos la construcción de tangencias conocido el radio de la
solución. (Ver documento)
En esta segunda parte del estudio de tangencias veremos
construcciones en las que no se nos da el radio de la circunferencia
solución y que tendremos que solucionar utilizando los conceptos de
Potencia e Inversión vistos en los temas 1 y 2 del presente curso.
1.- LOS DIEZ PROBLEMAS DE APOLONIO
Apolonio de Perga (geómetra griego 262 AC-190AC) es muy conocido
por su tratado “Las Cónicas” sobre las curvas resultantes de seccionar
un cono mediante un plano: Circunferencia, Elipse, Parábola e Hipérbola,
(curvas que estudiaremos más adelante). Pero no es tan conocido su
tratado sobre las tangencias, un estudio que no ha llegado a nosotros
pero que conocemos por referencia de Papus de Alejandría en el siglo
IV.
Según dicho tratado, Apolonio plantea el siguiente problema:
“Hallar la circunferencia (C) tangente a otras TRES dadas de radio
arbitrario pudiendo ser una de radio cero (un punto, P) o de radio
infinito (recta, R)”.
Este planteamiento da lugar a 10 casos de problemas para los que se
han planteado diferentes soluciones a lo largo de la historia, siendo las
de François Viète (s. XVII) las que se consideran más cercanas a las que
podría haber hallado Apolonio.

3. Para el planteamiento de estos casos se ha dado en utilizar
acrónimos basados en las iniciales de los elementos que
intervienen en cada problema: C Circunferencia, P Punto y
R Recta.
Dando lugar a 10 combinaciones:
PPP, PPR, PPC, PRR, PRC, PCC, RRR, RRC, RCC y CCC.
La combinación PPP, tienen unas soluciones que ya vimos
en el curso pasado, por lo que no la consideraremos. Para
resolver los restantes casos lo haremos mediante el uso del
concepto de POTENCIA (eje radical y centro radical) y el de
INVERSIÓN.
Es importante destacar que para solucionar los problemas por
inversión hemos de tener en cuenta que LOS PUNTOS DE TANGENCIA
EN FIGURAS INVERSAS (O1, O2…) SE CONVIERTEN A SU VEZ EN
PUNTOS DE TANGENCIA EN SUS INVERSAS (O1’, O2’.)… Por ello
hallaremos los puntos de tangencia de las figuras inversas de las
dadas y sus inversos en las figuras originales serán los puntos de
tangencia buscados.1. INTRODUCCIÓN

4. 2.- RESOLUCIÓN DE TANGENCIAS (EN ROJO LAS CONSIDERADAS ACTUALMENTE EN LAS EBAU)
2.1.-PPR
FIG. 1
2.1.- Circunferencias tangentes a una recta pasando por dos
puntos dados (PPR)(FIG. 1)
Método: POTENCIA
Datos: recta r y dos puntos P y Q.
Concepto: Por P y Q pasan infinitas circunferencias entre las que
se encuentran las tangentes a r. Todas ellas tendrán como eje
radical la recta que pasa por P y Q, ER1. La recta r dada
también es eje radical de todas las circunferencias que son
tangentes a ella (ER2). La intersección de ER1 y ER2 será por
tanto el Centro Radical (Cr) de las circunferencias que pasa por
P y Q y a su vez de las que son tangentes a r, lo que quiere decir
que tiene la misma potencia para todas ellas de manera que:
CrT · CrT = CRT1 · CRT1 = CRT2 · CRT2 = k <z CrT= √k
Siendo T1 y T2 los puntos de tangencia de las circunferencias
solución con r.
1.Dibujamos las recta ER1 que pasa por P y Q y se corta con r
en el punto Cr.
2.Dibujamos una circunferencia auxiliar que pase por los
puntos P y Q cuyo eje radical será Er1.
3.Desde CR trazamos una tangente a la circunferencia
auxiliar para hallar √k, que es la potencia para las
circunferencias buscadas.
4.Con centro en Cr y radio CrT = √k hago un arco que se corta
con r en T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias
solución con r.
5.Para hallar los centros O1 y O2, trazamos perpendiculares a
r desde T1 y T2, que se cortarán con la mediatriz de PQ en
dichos centros.
6.Dibujamos las circunferencias solución.

5. 2.- 2.2.- PPC
FIG. 2
2.2.- Circunferencias tangentes a una
circunferencia pasando por dos puntos
dados (PPC)(FIG. 2)
Método: POTENCIA
Datos: Circunferencia O y dos puntos P y Q.
Concepto: Por P y Q pasan infinitas
circunferencias entre las que se encuentran
las tangentes a O. Todas ellas tendrán como
eje radical la recta que pasa por P y Q,
Er1 y sus centros estarán situados en la
mediatriz del segmento PQ. Dibujando una
circunferencia auxiliar cualquiera que pase
por P y Q y que se interseccione con O
hallaremos Er2, eje radical de ambas
circunferencias. La intersección de Er1 y Er2
será por tanto el Centro Radical (Cr) de las
circunferencias que pasa por P y Q y a su
vez de las que son tangentes a O, lo que
quiere decir que tiene la misma potencia
para todas ellas de manera que:
CRT1 · CRT1 = CRT2 · CRT2 = √k
Siendo T1 y T2 los puntos de tangencia de
las circunferencias solución con O.
Si uno de los puntos pertenece a la circunferencia,
la construcción se simplifica.
Si los puntos P y Q son interiores a la
circunferencia el procedimiento es el mismo que el
de la figura 2.
1.Dibujamos las recta Er1 que pasa por P y Q.
2.Dibujamos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos P y Q y que se corta con la circ. dada O.
3.Dibujamos el eje radical de ambas circunferencias Er2 que se corta con Er1 en Cr.
4.Desde Cr trazamos tangentes a O encontrando los puntos de tangencia T1 y T2, puntos de tangencia
solución.
5.Para hallar los centros de circunferencias solución unimos T1 y T2 con el centro O y al cortarse con la
mediatriz del segmento PQ encontramos O1 y O2
6.Trazamos las circunferencias.

6. 2.- 2.3.- PRR
2.3.- Circunferencias tangentes a dos rectas
pasando por un punto dado (PRR)(FIG. 3)
Método 1: Por POTENCIA (FIG. 4)
Datos: rectas r y s y punto P.
Concepto: Al dibujar un punto A simétrico a P con
respecto a la bisectriz del ángulo formado por las
rectas dadas r y s, reducimos el ejercicio al caso
PPR anteriormente estudiado. Buscamos, por
tanto ,las circunferencias que pasan por P y A y que
son tangentes a r y obviamos la recta s hasta el
paso 8.
1.Prolongamos las rectas r y s dadas hasta que se
cortan.
2.Dibujamos la bisectriz del ángulo formado.
3.Desde P lanzo la perpendicular a la bisectriz
cortándose con r en Cr y hallamos sobre ella el
punto A, simétrico de P con respecto a la bisectriz.
En este momento el problema ya se ha
reducido al de PPR, siendo los datos los
puntos P y A y la recta r.
4.Dibujamos una circunferencia cualquiera que
pase por P y por A.
5.Trazamos la tangente desde Cr a la circunferencia
auxiliar, hallando así k (√k∙ √k), potencia común
para todas las circ. que pasan por P y A.
6.Con centro en Cr y radio √k, hallamos T1 y T2.
7.Lanzando perpendiculares desde estos puntos a la
bisectriz hallamos los centros O1 y O2 de las circ.
solución.
8.Las dibujamos después de hallar T1 y T4 en la
recta s.
FIG. 3
FIG.4

7. 2.- 2.3.- PRR
FIG. 4
Método 2: Por INVERSIÓN/HOMOTECIA (FIG. 5)
Datos: rectas r y s y punto P.
Datos: recta r y dos puntos P y Q.
Concepto: Convertimos el punto de intersección
de las rectas r y s en el centro O de una
homotecia en la que circunferencias homotéticas
tienen tangentes comunes (r y s) y P es
homotético de Q e inverso de P’.
1.Prolongamos las rectas r y s dadas hasta que
se cortan en O.
2.Dibujamos la bisectriz del ángulo formado.
3.Dibujamos una circunferencia cualquiera C
tangente a r y s.
4.Desde O lanzamos un rayo proyectante a P
que corta a la circ. C en los puntos P’ y Q,
inverso y homotético respectivamente de P.
5.Para hallar los centros O1 y O2, trazamos
paralelas a CQ y CP’ desde P hasta que
corta a la bisectriz.
6.Hallamos los puntos de tangencia T1…T4
trazando perpendiculares a las rectas r y s
desde O1 y O2.
7.Dibujamos las circunferencias.
FIG.5

8. 2.- 2.4.- PRC
2.4.1.- Circunferencias tangentes a una recta y una
circunferencia conocido el punto de tangencia T en
la circunferencia (PRC)(FIG. 5 a 11)
Método 1: INVERSIÓN
Datos: rectas r , circunferencia O y punto de tangencia
T. (FIG. 5)
Concepto: Convertimos a la circunferencia O en figura
inversa de la recta r:
Tendremos 2 centros de inversión: una positiva, O1 y
otra negativa, O2. Los centros de inversión O1 y O2
estarán en los extremos del diámetro perpendicular de
O a la recta r.
EL PUNTO DE TANGENCIA (T) EN LA
CIRCUNFERENCIA O SE CONVIERTE EN PUNTO DE
TANGENCIA EN LA RECTA (T’ 1 Y T’2)
Las soluciones posibles son 2, derivadas de las dos
posibles inversiones, una positiva y otra negativa.
(FIG. 7)
1.Dibujamos una perpendicular a la recta r desde el
centro de la circunferencia O, prolongando
encontraremos los puntos O1 y O2 sobre la
circunferencia (serán los centros de inversión).
2.Desde O1 lanzamos un radio proyectante que pasa
por T y corta a la recta r en el punto T’1, inverso de
T y punto de tangencia solución en la recta r.
(Inversión positiva) (FIG. 8)
3.De la misma manera lanzamos un radio
proyectante desde T que pasando por O2 corta a
la recta r en T’2, segundo punto de tangencia
solución (Inversión negativa)FIG. 8)
4.Hallamos los centros de las circunferencias
resultantes que estarán situados en la recta que
une O con T y en la perpendicular a r por los puntos
T’1 y T’2.
5.Las dibujamos.
FIG. 6
FIG. 8

9. 2.- 2.4.- PRC
FIG. 7:
SOLUCIÓN 2 CIRC.
FIG. 6
FIG. 9
2.4.1.- Circunferencias tangentes a una recta y una
circunferencia conocido el punto de tangencia T
en la circunferencia (PRC)(FIG. 5 a 11)
Método 2: POTENCIA
Datos: rectas r , circunferencia O y punto de
tangencia T. (FIG. 5)
Concepto: Tenemos que hallar el eje radical de las
circunferencias que son tangentes a O por el punto T
(er1) y el eje radical de las circunferencias que son
tangentes a la recta r (er2, que es ella misma).
El punto de intersección de estos dos ejes será el
centro radical Cr que tendrá la misma potencia √k
para ambos casos.
Las soluciones posibles son 2. (FIG. 7)
1.Dibujamos la tangente a O por el punto T, este es
el eje radical er1 que se corta con r en Cr,
centro radical.
2.El segmento CrT es la potencia √k común que
buscamos.
3.Con centro en Cr y radio CrT, trazamos un arco
que se corta con la recta r en los puntos T’1 y T’2,
puntos de tangencia buscados.
4.Hallamos los centros de las circunferencias
resultantes que estarán situados en la recta que
une O con T y en la perpendicular a r por los
puntos T’1 y T’2.
5.Las dibujamos.(FIG. 9)

10. 2.- 2.4.- PRC
2.4.- Circunferencias tangentes a una recta y una
circunferencia pasando por un punto (PRC)(FIG. 6A
a 11)
Método: INVERSIÓN
Datos: rectas r , circunferencia O y punto P. (FIG. 6A)
Concepto: Convertiremos al punto P en el centro de
inversión de las dos figuras dadas:
Dibujamos la circunferencia de puntos dobles c.p.d.
de modo que la circunferencia O sea ortogonal a ella,
de este modo la convertimos en figura doble (inversa
de sí misma).
La recta r tendrá como figura inversa una
circunferencia que sí pasa por el centro de
inversión (P).
Dibujando las rectas tangentes comunes para las
circunferencias inversas de las figuras dadas,
hallaremos los puntos de tangencia en las figuras
inversas siendo inversos los puntos T1-T’1, T2-T’2, T3-
T’3 Y T4-T’4:
LOS PUNTOS DE TANGENCIA EN FIGURAS
INVERSAS SE CONVIERTEN EN PUNTOS DE
TANGENCIA.
Las soluciones posibles son 4, derivadas de las 4
rectas tangentes comunes a las circunferencias
inversas (FIG. 6), aunque en este ejercicio hallaremos
tan sólo una dada por una tangente externa y otra
interna. (FIG. 7)
FIG. 6A: ENUNCIADO
FIG. 6:
SOLUCIÓN 4 CIRC.
FIG. 7:
SOLUCIÓN 2 CIRC.

11. FIG. 92.-
2.4.- PRC
2.4.- Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia
pasando por un punto (PRC)(FIG. 6A a 11)
Método: INVERSIÓN
Datos: rectas r , circunferencia O y punto P. (FIG. 6A)
1.Para hallar la c.p.d: Dibujamos la tangente √k desde P a la
circunferencia O. √k es el radio de la circunferencia de puntos
dobles, la dibujamos. La circunferencia c de centro O se convierte
en inversa de sí misma (c’) puesto que es un a circunferencia
ortogonal a la c.p.d. (FIG. 8)(trazado gris)
2.Hallamos la circunferencia inversa de la recta r: Ayudándonos de la
c.p.d. hallamos la inversa de la recta r que será la circunferencia r’
que pasa por P y cuyo centro está situado en la perpendicular desde P
a r. Para ello hallamos A’, inverso del punto A que es el punto de
intersección de esta recta perpendicular con r. (FIG. 9). (trazado
verde)
3.Halladas las dos circunferencias inversas c’ y r’, hallamos las rectas
tangentes exteriores comunes (en este caso tan sólo dibujamos
una), que nos arrojan los puntos de tangencia T’1 y T’2. (FIG. 10)
(trazado azul)
4.El punto inverso del de tangencia T’1 de la circ. c’ se convierten
en un punto de tangencia en la circ. c. Lanzando rayos proyectantes
desde P a T’1 hallamos T1 en la circunferencia c, T1 es un punto de
tangencia solución. (FIG. 11) (trazado rojo)
5.Lo mismo pasa con el punto de tangencia de r’, T’2, lanzando rayos
proyectantes desde P a T’2 hallaremos en la recta r su inverso, T2,
punto de tangencia solución. (trazado rojo)
6.Para hallar los centros de las circunferencias tangentes buscadas:
1.Para hallar O1:
1.Unimos O con T1 y prolongamos.
2.Desde T3 hallamos la perpendicular a la recta r.
3.Donde se encuentren ambas rectas hallaremos O2.
2.Para hallar O1 operamos de manera similar:
1.Unimos O con T1 y prolongamos.
2.Desde T2 hallamos la perpendicular a la recta r.
3.Donde se encuentren ambas rectas hallaremos O1.
7.Dibujamos la circunferencia tangente buscada. (FIG. 10) (trazado rojo)
8.Para hallar otra de las cuatro soluciones hemos dibujado la recta
tangente interna común para c’ y r’, hallando los puntos de tangencia
T’3 y T’4, hallando sus inversos T3 y T4 encontramos los puntos de
tangencia solución, siguiendo las instrucciones del punto 6 dibujamos
la circunferencia solución. (FIG. 11) (trazado rojo)
FIG. 8
\
FIG. 11
FIG. 10

12. 2.- 2.5.- PCC
FIG. 12:
ENUNCIADO
2.5.- Circunferencias tangentes a otras dos que pasan por
el punto P (PCC) (FIG. 12 a 14)
Caso 1: Punto P exterior a las circunferencias
Método: INVERSIÓN
Datos: circunferencias O1, O2 y punto P. (FIG. 12)
Concepto: Convertiremos al punto P en el centro de inversión
de las dos figuras dadas:
La circunferencia O1 se convierte en circunferencia doble
coincidiendo con su inversa O1’ (circunferencia ortogonal
a la c.p.d.). De ella sacamos la potencia de inversión k,
dibujando la circunferencia de puntos dobles, c.p.d. que a
su vez nos servirá para hallar la circunferencia O2’, inversa
de O2.
Hallando las rectas tangentes comunes de las
circunferencias inversas O1’ y O2’, sus puntos inversos
serán también puntos de tangencia.
LOS PUNTOS DE TANGENCIA EN FIGURAS INVERSAS SE
CONVIERTEN EN PUNTOS DE TANGENCIA.
En total podríamos hallar hasta 4 soluciones relativas a las 4
rectas tangentes comunes de las circunferencias anteriores
(FIG. 13), por claridad del ejercicio tan sólo hallaremos 1 de
ellas. (FIG. 14)
1.Hallamos la tangente desde P a O1, cuya longitud √k es el
radio de la c.p.d. (Trazado Azul)
2.Ayudándonos de la c.p.d. hallamos la inversa de la
circunferencia O2 que será la circunferencia O2’. Para
ello dibujamos la tangente desde P a O2 hallando Q y su
inverso Q’ (Trazado verde) y después, por homotecia
hallamos el centro de O2’ (alineado con P y O2) trazando
una paralela al radio QO2 desde Q’ (trazado violeta).
3.Una vez halladas O1’ y O2’, circunferencias inversas de
las dadas, trazamos la recta tangente común a ambas t1
que determinan los puntos de tangencia T1’ y T2’
uniéndolos con P hallaremos sus inversos T1 y T2, puntos
de tangencia solución, en las circunferencias O1 y O2
respectivamente (trazado marrón).
4.Para dibujar la circunferencia tangente pedida hallamos
el centro C en la intersección de las rectas que unen
O1 con T1 y O2 con T2 (trazado rojo).
FIG. 13: 4
SOLUCIONES
FIG. 14

13. 2.- 2.5.- PCC
PCC.- Caso 2: Punto T de tangencia en una de las circunferencias.
(FIG. 15)
Método: POTENCIA
Datos: circunferencias O1, O2 y punto T de tangencia en O1.
2 soluciones.
Concepto: El eje radical de todas las circunferencias que pasan
por el punto T de tangencia es la recta tangente por dicho
punto (e1). Por otro lado el lugar geométrico de los centros de las
circunferencias tangentes a O1 en T es la perpendicular a dicho
eje radical por T. Hemos de hallar un punto situado en el eje radical
que tenga la misma potencia para O2, es decir que se cumpla que
CrT=CrT1=CrT2, esto es, el centro radical (Cr)
1.Dibujamos el eje radical e1 que será la tangente por T a la
circunferencia O1.
2.Por T dibujo la perpendicular c a e1, lugar geométrico de los
centros de las circ. tangentes a O1 en T.
3.Con centro en c dibujo una circ. auxiliar O3 cualquiera que sea
tangente a O1 en T y que se corte con O2 en los puntos A y B.
4.Por A y B dibujo la recta e2, eje radical de O2 y O3, que se
cortará con e1 en Cr, centro radical de las circunferencias
dadas y las de la solución.
5.Con centro en Cr y radio CrT trazo una circ. que se corta con
O2 en T1 y T2, puntos de tangencia de las de solución con
dicha circunferencia.
6.Uniendo O2 con T1 y T2 hallamos C1 y C2, centros de las
circunferencias solución respectivamente.
7.Las dibujamos.
FIG. 15

14. 2.- 2.6.- RRR
2.6.- Circunferencias tangentes a tres rectas (RRR)(FIG.
16)
Método: BISECTRICES
Datos: rectas r, s y t.
4 soluciones: 1 interior y 3 exteriores
Concepto: Al formar las tres rectas secantes entre sí
un triángulo ABC dibujamos las bisectrices para halla
el incentro.
1.Para hallar la circunferencia interior:
1.Dibujamos las bisectrices de los ángulos A, B y
C formados por las tres rectas, en su punto de
intersección (incentro) estará el centro de la
circunferencia interior O1.
2.Hallamos los puntos de tangencia con las rectas
trazando perpendiculares desde el centro O1 a
cada una de las rectas. (trazado Gris)
2.Para dibujar las circunferencias exteriores:
1.Prolongamos las bisectrices para situar en ellas
los centros de las circunferencias exteriores:
2.Una vez prolongadas dibujamos las
perpendiculares a las bisectrices por cada uno
de los vértices del triángulo ABC (trazado
Verde).
3.Donde estas perpendiculares se corten con la
prolongación de las otras dos bisectrices
encontraremos los centros de las circunferencias
exteriores, O2, O3 y O4.
4.Hallamos los puntos de tangencia lanzando
una perpendicular desde cada centro a las
rectas r, s y t. (trazado Azul).
5.Dibujamos las circunferencias. (Trazado Rojo) FIG. 16

15. 2.- 2.7.- Circunferencias tangentes a dos rectas y a otra
circunferencia (RRC)(FIG. 17)
Método: REDUCCIÓN Y SUMA DE RADIOS
Datos: rectas s y t y circunferencia O.
4 soluciones: 2 restando y 2 sumando, se muestran
las dos primeras
Concepto: Al restar el radio a la circunferencia y restarlo
o sumarlo a la distancia entre las restas s y t reducimos el
problemas a PRR, punto 2.3.
1.Restamos el radio r de la circunferencia a las rectas s
y t dibujando paralelas por el interior. La
circunferencia queda, pues, reducida a un punto.
Tenemos por tanto el planteamiento del caso PRR.
2.Este caso se puede resolver por potencia o por
homotecia, aquí hemos optado por la segunda.
3.Una vez hallados los centros de las circunferencias
O1 y O2 tan sólo tenemos que trazar perpendiculares
desde ellos a las rectas s y t para hallar los puntos
de tangencia T1 a T4 en las rectas.
4.Para hallar los de la circunferencia dada unimos O
con O1 y O2 y tenemos T5 y T6.
5.Dibujamos las soluciones.
2.7.- RRC

16. 2.- 2.8.- RCC
2.8.- Circunferencias tangentes a una recta y dos
circunferencias (RCC).(FIG. 18-20)
Método: REDUCCIÓN Y SUMA DE RADIOS
Datos: rectas s y t y circunferencia O.(FIG. 18)
8 soluciones: 4 restando y 4 sumando, se
muestra 1 solución restando(FIG. 19)
Concepto: Al reducir el radio de O1 a cero la
convertimos en un punto y reducimos el
ejercicio a PRC visto en el capítulo 2.4.
1.Reducimos el radio r de la circunferencia O1
a cero y lo restamos a la circunferencia O2
(R-r), a la rectas s dibujando la paralela por
el exterior (s1). Tenemos ya el planteamiento
del caso PRC. (Trazado azul)
2.PRC: Una vez convertido O1 en centro de la
inversión, la circunferencia O2 en figura
doble inversa de sí misma y hallada la
circunferencia s1’ inversa de s1, trazamos las
tangentes desde esta última a O2’. Los
inversos de los puntos de tangencia serán los
puntos T1’’ y T2’’.
3.Para hallar los puntos de tangencia T1 y T2
solución tan solo hemos de unir el centro O2
con T1” para hallar T1 y hacer la
perpendicular de a s1 por T2”, en la
prolongación encontraremos el centro de la
circunferencia solución C. (Trazado Rojo)
4.La dibujamos.
Para hallar el resto de circunferencias solución
hemos de dibujar las 3 tangencias restantes
entre s1’ y O2’. Las otras 4 lo haremos
repitiendo la operación, pero en vez de restar el
radio r lo sumaremos antes de empezar a
operar.
FIG. 19
FIG. 18
FIG. 20

17. FIG. 222.-
2.9.- CCC
FIG. 21
2.9.- Circunferencias tangentes a tres
circunferencias (CCC).(FIG. 21-22)
Método: REDUCCIÓN Y SUMA DE RADIOS
Datos: circunferencias O1, O2 y O3.
8 soluciones: 4 restando y 4 sumando, se
muestra 1 solución restando
Concepto: Al reducir el radio de O1 a cero
la convertimos en un punto y reducimos el
ejercicio a PCC visto en el capítulo 2.5.
1.Reducimos el radio r de la
circunferencia O1 a cero y lo restamos a
las circunferencias O2 y O3 (R-r).
Tenemos ya el planteamiento del caso
PCC. (Trazado azul)
2.PCC: Una vez convertido O1 en centro
de la inversión, la circunferencia O2 en
figura doble inversa de sí misma y
hallada la circunferencia O3' inversa de
O3, trazamos las tangentes desde esta
última a O2’. Los inversos de los puntos
de tangencia serán los puntos T1’’ y
T2’’.
3.Para hallar los puntos de tangencia T1 y
T2 solución tan solo hemos de unir el
centro O2 con T2” para hallar T2 y O3
con T1” para hallar T1, en la
prolongación encontraremos el centro
de la circunferencia solución C.
(Trazado Rojo)
4.La dibujamos.
Para hallar el resto de circunferencias
solución hemos de dibujar las 3
tangencias restantes entre O3’ y O2’. Las
otras 4 lo haremos repitiendo la
operación, pero en vez de restar el radio r
lo sumaremos antes de empezar a operar.