ecuación canonica de la parábola con vértice h, k

Muy importante

1. EXPOSICIÓN DE MATEMÁTICAS integrantes: KENDRY CAMARGO ROSA SOLANO ELVIA GUTIÉRREZ I.E.D MADRE LAURA 11ª2 2013

2. Ecuación canoníca de la parábola con vértice en (h,k) Sea h , k un punto distinto del origen del plano cartesiano. para deducir la ecuación de una parábola con vértice en h , k se consideran dos casos: La parábola con eje de simetría paralela al eje X y la parábola con eje de simetría paralelo al eje Y

3. Ecuación canoníca de la parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje X y M ( h-p,y ) P(x, y) v (h,k) F(h +p, k) x X=h-p Y=k

4. Sea P la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en (H,K) y eje paralelo al eje X. Entonces, las coordenadas del foco son: F( h+p,k ). Además, la directriz esta dada por x=h-p y la ecuación del eje de simetría y=k. Como se muestra en la figura anterior .

5. ahora, si P (x, y ) es un punto de la parábola, entonces su proyección sobre la directriz, es de la forma M(h-p,y). Luego, d(M,P) = √ [ x- (h – p )² + ( y – k )² = √( x – h + p ) = x - h + p Y por definición de la parábola se tiene que : d ( P,F) = d ( M,P) √[ x - ( h - p ) ]² + ( y – k )² = x – h + p

6. ( √[ x - ( h + p ) ]² + ( y – k )² )² = ( x – h + p ) ² [ x - ( h + p )² + ( y – k )² = ( x - h + p )² x² - 2x( h + p ) + ( h + p )² + y² - 2 yk + k² = [ x - (h - p)]² x²- 2xh – 2xp + h² + 2hp + p² + y² - 2yk + k² = x² - 2x( h - p) + ( h - p)² // = x² - 2xh + 2xp – h² - 2hp + p² x² - 2xh – 2xp – h² + 2hp + p² + y² - 2yk +k² = x² - 2xh + 2xp - h² - 2hp +p² y² - 2yk + k² = 2xp - 2hp + 2xp - 2hp y² - 2yk + k² = 4xp – 4p ( y – k )² = 4p( x – h )

7. Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda

8. Ecuación canoníca de la parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje Y P (x, y) M(x, k-p) x V (h, k) F (h, k+ p) y = k - p y

9. Sea P la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en (H,K) y eje paralelo al eje X. Entonces, las coordenadas del foco son: F(h +p, k). Como la distancia del vértice al foco es igual a la distancia del vértice a la directriz, entonces, la ecuación de la directriz es y = k-p . Además, la ecuación del eje de simetría es x = h Como nos muestra la figura anterior

10. La ecuación canoníca de la parábola con eje focal paralelo al eje y vértice en ( h, k) es; (x-h)² = 4p(y-k) La ecuación ( x-h)² = 4p(y-k ) representa una parábola que: Se abre hacia arriba, si p > 0 Se abre hacia abajo. Si p < 0

11. Ejemplos Encontrar la ecuación canoníca de la parábola que cumple las condiciones dadas: Vértice en ( -3, 4 ) y foco en ( -5, 4 ) Vértice en ( 2, -3) y pasa por el punto que 5, - 3 2

12. So lución V( -3 , 4 ) y F( -5 , 4 ) Hallamos P. P= -5 – (-3) = -2 Remplazamos en la formula los valores para encontrar la ecuación de la parábola . ( y – k)² = 4p ( x – h ) ( y – 4 )² = 4( -2 ) (x- ( -3 ) ) ( y – 4 )² = -8 ( x + 3) Y así obtenemos la ecuación canoníca cuyo eje de simetría es paralelo al eje x.

13. X - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - - - - - V (-3, 4) f (-5,4) -5 -4 - 3 -2 -1 Grafica:

14. Gracias.