Ecuación de boltzmann

Ecuación que explica el comportamiento de los gases.

1. La ecuaci¶on de Boltzmann
Efectos de transporte:fen¶omenos f¶³sicos determinados por el movimiento de cargas
el¶ectricas bajo la acci¶on de campos internos o externos o gradientes de temperatura.
Ecuaci¶on cin¶etica de Boltzmann:es el m¶etodo empleado para estudiar las variaciones
de la funci¶on de distribuci¶on debido a las perturbaciones producidas por los campos.
La funci¶on de distribuci¶on de los electrones en el s¶olido en equilibrio es la de Fermi-
Dirac:
f0(E(k)) =
1
1 +e
(E(k)¡EF)=kT
La funci¶on de distribuci¶on es independiente derporque se supone homogeneidad.
Fuera del equilibrio, la funci¶on de distribuci¶onf(r;k; t) depender¶a en general de la
posici¶on y el tiempo. Los valores derykser¶an alterados por los campos externos y
las colisiones. La variaci¶on total defrespecto detser¶a:
f(r;k; t)
dt
=
@f
@t
+rrf¢
dr
dt
+
1
¹h
rkf¢Fa
siendoFael conjunto de las fuerzas aplicadas. Como el n¶umero total de estados es
constante,df=dt= 0, luego
¡
@f
@t
=v¢ rrf+
1
¹h
Fa¢ rkf
Hay dos tipos de fuerzas, las debidas a campos externos y las debidas a campos
internos (defectos, impurezas, vibraciones de la red). Podemos separarFa=F+FD
y
@f
@t
=
Ã
@f
@t
!
campos
+
Ã
@f
@t
!
colisiones
siendo
Ã
@f
@t
!
colisiones
=
1
¹h
FD¢ rkf
y
Ã
@f
@t
!
campos
=v¢ rrf+
1
¹h
F¢ rkf
Determinemos la forma anal¶³tica del t¶ermino de colisiones (integral de colisiones).
SeaW(k;k
0
) la probabilidad por unidad de tiempo de que las part¶³culas pasen de un
estado (r;k) a un estado (r
0
;k
0
) por efecto de las colisiones. Es evidente quer»r
0
.
1

2. Consideremos dos vol¶umenes elementales alrededor de los puntoskyk
0
. Teniendo
en cuenta el spin, el n¶umero de estados ocupados ser¶a:
f(r;k)
1
4¼
3
d
3
kyf(r;k
0
)
1
4¼
3
d
3
k
0
Del mismo modo, el n¶umero de estados libres ser¶a, respectivamente,
[1¡f(r;k)]
1
4¼
3
d
3
ky [1¡f(r;k
0
)]
1
4¼
3
d
3
k
0
El n¶umero de estados ocupados deber¶a variar endt
¡dt
½
W(k;k
0
)
1
4¼
3
d
3
kf(r;k) [1¡f(r;k
0
)]
1
4¼
3
d
3
k
0
¾
+
+dt
½
W(k
0
;k)
1
4¼
3
d
3
k
0
f(r;k
0
) [1¡f(r;k)]
1
4¼
3
d
3
k
¾
:
Extendiendo la integral a toda la zona de Brillouin (ZB), obtenemos la variaci¶on total
del n¶umero de estados ocupados en el volumen endt
dt
1
4¼
3
d
3
k
Z
fW(k
0
;k)f(r;k
0
) [1¡f(r;k)]¡W(k;k
0
)f(r;k) [1¡f(r;k
0
)]g
1
4¼
3
d
3
k
0
El n¶umero de estados permitidos ocupados por las part¶³culas en cualquier instante de
tiempo esf(r;k)d
3
k=4¼
3
, luego la variaci¶on de estos estados debido a las colisiones
es Ã
@f
@t
!
colisiones
dt
d
3
k
4¼
3
Por tanto
Ã
@f
@t
!
colisiones
=
Z
fW(k
0
;k)f(r;k
0
) [1¡f(r;k)]¡W(k;k
0
)f(r;k) [1¡f(r;k
0
)]g
1
4¼
3
d
3
k
0
Si las probabilidades de transici¶on directa e inversa son iguales,
Ã
@f
@t
!
colisiones
=
Z
W(k;k
0
) [f(r;k)¡f(r;k
0
)]
1
4¼
3
d
3
k
0
En el caso estacionario@f=@t= 0 y la ecuaci¶on de Boltzmann se escribe:
Ã
@f
@t
!
campos
=¡
Ã
@f
@t
!
colisiones
Luego la ecuaci¶on de Boltzmann en el caso no estacionario puede escribirse como
2

3. v¢ rrf+
1
¹h
F¢ rkf=
Z
W(k;k
0
) [f(r;k)¡f(r;k
0
)]
1
4¼
3
d
3
k
0
El tiempo de relajaci¶on
Supongamos que ent= 0 suprimimos los campos. La variaci¶on de la funci¶on de
distribuci¶on se corresponder¶a con el t¶ermino de colisiones:
Ã
@f
@t
!
=¡
Ã
@f
@t
!
colisiones
Las colisiones garantizan el retorno al equilibrio. La hip¶otesis m¶as simple para de-
scribir la evoluci¶on del proceso es que la velocidad de restablecimiento del equilibrio
es proporcional a la diferencia entre la funci¶on de distribuci¶on enty la funci¶on de
distribuci¶on en equilibrio. Es decir:
Ã
@f
@t
!
=¡
Ã
@f
@t
!
colisiones
=¡
f(r;k; t)¡f0(r;k)
¿(k)
La soluci¶on de esta ecuaci¶on es
f(r;k; t)¡f0(r;k) = [f(r;k;0)¡f0(r;k)]e
¡t=¿(k)
Dado que
Ã
@f
@t
!
colisiones
=
Z
W(k;k
0
) [f(r;k)¡f(r;k
0
)]
1
4¼
3
d
3
k
0
=¡
f¡f0
¿(k)
tendremos que
1
¿(k)
=
1
4¼
3
Z
W(k;k
0
) [f(r;k
0
)¡f(r;k)]d
3
k
0
y la ecuaci¶on de Boltzmann se puede escribir en la forma
v¢ rrf+
1
¹h
F¢ rkf=¡
f(r;k)¡f0(r;k)
¿(k)
3

4. La ecuaci¶on de Boltzmann
La ecuaci¶on de Boltzmann puede escribirse como:
@f
@t
+v¢rr+
e
¹h
E ¢rkf=
Ã
@f
@t
!
s
donde, como vimos el dia pasado,
Ã
@f
@t
!
s
=
1
4¼
3
Z
W(k;k
0
) [f(r;k
0
)¡f(r;k)]d
3
k
0
La aproximaci¶on del tiempo de relajaci¶on
La idea es la siguiente. La presencia de campos externos produce una variaci¶on de
la funci¶on de distribuci¶on que pasa def0afest. Si ent= 0 se suprimen los campos
externos, la funci¶on de distribuci¶on vuelve a la funci¶on de distribuci¶on de equilibrio
de manera que
@f
@t
=¡
f¡f0
¿
Con la condici¶on inicialf(t= 0;k) =fest, la soluci¶on a esta ecuaci¶on es:
f¡f0= (fest¡f0)e
¡t=¿
La aproximaci¶on del tiempo de relajaci¶on permite una soluci¶on aproximada de la
ecuaci¶on de Boltzmann para el caso estacionario. En estado estacionario, suponiendo
que tenemos un campo el¶ectrico aplicado, la ecuaci¶on del Boltmann puede escribirse
como:
e
¹h
E ¢rkf=¡
f(k)¡f0(k)
¿(k)
Reescribiendo la ecuaci¶on en t¶erminos def,
f(k) =f0(k)¡
e
¹h
¿(k)E ¢rkf
En principio esta ecuaci¶on puede resolverse de forma iterativa. Pero si estamos in-
teresados en fen¶omenos lineales en el campo el¶ectricoE, una soluci¶on aproximada
es:
f(k)¼f0(k)¡
e
¹h
¿(k)E ¢rkf0
Luego para el problema lineal o para campos el¶ectricos d¶ebiles, podemos entender
la ecuaci¶on previa como el desarrollo de la funci¶on de distribuci¶on para un puntok
cercano (la funci¶on de distribuci¶on no se aleja mucho del equilibrio):
f(k)¼f0
µ
k¡
e
¹h
¿(k)E
¶
La funci¶on de distribuci¶on estacionaria resultante de la aplicaci¶on de un campo
el¶ectricoE, incluyendo los efectos de las colisiones a trav¶es de¿puede represen-
tarse como una distribuci¶on de Fermi desplazada una cantidade¿E=¹h. Volvamos a
4

5. escribir la ecuaci¶on de Boltzmann en la aproximaci¶on del tiempo de relajaci¶on, es-
cribiendo la expresi¶on de la fuerza de Lorentz y suponiendo que tenemos tambi¶en
inhomogeneidades espaciales:
v¢rrf+
e
¹h
[E+v£B]¢rkf=¡
f(r;k)¡f0(r;k)
¿(k)
=¡
f
(1)
(r;k)
¿(k)
Nos hace falta hallar los gradientes def, siendof=f0+f
(1)
. Recordemos que
f0(r;k) =
1
1 +e
(E(k)¡EF(r))=kT(r)
;
es decir que la dependencia enkest¶a en la energ¶³a del electr¶on, mientras que la
dependencia espacial puede estar en la temperatura (variaciones deTa lo largo del
semiconductor) o en el nivel de Fermi (variaciones de la concentraci¶on de portadores).
Hallemos los gradientes def0.
rrf0=¡
e
(E¡EF)=kT
[1 +e
(E¡EF)=kT
]
2
r
µ
E¡EF
kT
¶
Dado que
@f0
@E
=¡
e
(E¡EF)=kT
[1 +e
(E¡EF)=kT
]
2
1
kT
;
podemos escribir la ecuaci¶on anterior como
rrf0=¡
@f0
@E
[rEF+ (E¡EF)rlnT]
La derivada enkes simplemente
rkf0=
@f0
@E
¹hv
y llegamos a la ecuaci¶on
¡
f
(1)
(r;k)
¿(k)
=v¢rrf
(1)
+
1
¹h
FL¢rkf
(1)
+
@f0
@E
fv¢[eE ¡rEF¡(E¡EF)rlnT]g
dado quev¢v£Bes cero.
Sifno var¶³a mucho respecto def0, podemos considerar que las derivadas def
(1)
son
un in¯nit¶esimo de orden superior respecto af
(1)
y resolver la ecuaci¶on anterior de
forma iterativa. Es decir, tomar en primer orden
f
(1)
(r;k)¼ ¡
@f0
@E
¿(k)v¢[eE ¡rEF¡(E¡EF)rlnT]:
Si nos quedamos en esta aproximaci¶on, el campo magn¶etico no aparece. Hemos de
introducir el campo magn¶etico a trav¶es del t¶ermino
e
¹h
v£B¢rkf
(1)
5

6. Para simpli¯car, llamemos
Â(r;k) =¿(k) [eE ¡rEF¡(E(k)¡EF)rlnT];
de manera que la ecuaci¶on paraf
(1)
es, en primer orden:
f
(1)
=¡
@f0
@E
v¢Â=¡
@f0
@E
1
¹h
dE
dkj
Âj
El gradiente
rkf
(1)
=¡
@f0
@E
¹h
Â
m
?
¡v¢rk
Ã
@f0
@E
Â
!
El producto mixto
e
¹h
v£B¢rkf
(1)
=
@f0
@E
ev¢
Â
m
?
£B
Luego la cantidad
Â=¡¿
·
r(eÁ+EF) + (E¡EF)rlnT¡e
Â
m
?
£B
¸
;
Si, para simpli¯car, llamamos
A=¡¿[r(eÁ+EF) + (E¡EF)rlnT];
se puede resolver la ecuaci¶on anterior paraÂ:
Â=
A+e¿
A
m
?
£B+
e
2
¿
2
jm
?
j
A¢B
B
m
?
1 +
e
2
¿
2
jm
?
j
Bm
?
B
Recordemos que
f
(1)
=¡
@f0
@E
v¢Â
Densidad de corriente el¶ectrica y densidad de °ujo de energ¶³a
El pr¶oximo d¶³a veremos que la densidad de corriente puede escribirse como
j=
e
4¼
3
Z
vf(r;k)d
3
k=
e
4¼
3
Z
vf
(1)
(r;k)d
3
k
y la densidad de energ¶³a
w=
1
4¼
3
Z
E(k)vf(r;k)d
3
k=
1
4¼
3
Z
E(k)vf
(1)
(r;k)d
3
k
6