Ecuación de la energía

mecánica de fluidos

2. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

1
entra sale del al
sistema sistema
Flujo de Calor Potencia Mecánica Flujo de Energía Flujo de Energía   
INTRODUCCIÓN
Un tema de gran importancia de la mecánica de fluidos aplicada, es el análisis y diseño de
sistemas e instalaciones de transporte de fluidos incompresibles, a través de tuberías,
accesorios y máquinas específicos para ciertas condiciones y requerimientos.
Para comprender los principios que explican los fenómenos que suceden en un sistema o
instalación hidráulica, se desarrollarán algunas ecuaciones fundamentales de la dinámica de
fluidos.
Se comenzará con la aplicación de la Primer Ley de la Termodinámica, aplicada a un
volumen de control confinado dentro de una superficie; dicho volumen es atravesado por un
flujo de masa de fluido incompresible o líquido. Se consideran interacciones energéticas
dentro del volumen de control, como el trabajo mecánico que recibe o bien, produce una
máquina que interactua con el fluido, así como pérdidas energéticas debidas a la fricción del
fluido con la superficie del volumen de control, cuando dicho fluido se desplaza de un punto
a otro dentro del volumen de control.











La Primera Ley de la Termodinámica establece que

En forma de ecuación:

Entrada al sistema Salida del sistema Superficie de control Volumen de control

3. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

2
expresada en forma extensiva
expresada en función de propiedades específica

s
sale entra
sale sale entra entra
Q W E E
Q W m e m e
  
  

 estado estable (sin acumulación o retención de m asa)
sale entra
m m m sale entra
Q W m e e  
 2211
vv
22
sale entra
Q W m u Pv gz u Pv gz
   
        
   
   




De la ecuación de Conservación de la Masa, para flujo estacionario o estado estable (sin
acumulación de masa)


Siendo: Q
el flujo de calor, W la tasa de trabajo o potencia, m el flujo de masa o flujo másico y e,
la energía específica.

Entonces la Primera Ley de la Termodinámica se expresa como


Expresando la sumatoria de energías específicas (expresadas por unidad de masa) a través
de los términos que la conforman,es decir, por:
 Energía interna u
 Energía de flujo Pv
 Energía cinética 21
v
2
 Energía potencial gz
Siendo P la presión, v el volumen específico del fluido, v la velocidad del fluido, g la gravedad y
z la altura o distancia vertical del fluido en algún punto, respecto a un nivel de referencia, siendo
por lo regular esta referncia, el suelo.
Se tiene entonces la Primera Ley en esta forma

4. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

3
22
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1
11
vv
22
Q W m u P v gz u Pv gz
   
        
   
        
22
2 1 2 2 1 1 2 1 2 1
1
vv
2
Q W m u u P v Pv g z z

        

 21
para un fluido incompresible v v v      
22
2 1 2 1 2 1 2 1
1
vv
2
Q W m u u P P v g z z

        

  
 
  
21 22
2 1 2 1 2 1
1
vv
2
v
PP
Q W m c T T g z z


       

Sin embargo, por simplicidad, se distinguirán los términos correspondientes a la entrada del
sistema a través del subíndice 1, y los de la salida del sistema, con el subíndice 2, por lo
que la ecuación anterior se reescribe como


Reordenando términos se tiene



Un fluido incompresible, se caracteriza por no experimentar cambios de volumen (pues se
considera idealmente, que no pueden comprimirse y reducir por lo tanto su volumen, aunque
en realidad, todo fluido puede experimentar cambios de volumen al someterse a presiones
extremadamente elevadas); por lo tanto el volumen por unidad de masa, el cual es el volumen
dividido por la masa y que se denomina volumen específico es V
v
m
 y para un fluido
incompresible, será por lo tanto , constantes, es decir


Por lo que la ecuación anterior se escribe ahora como



Como la densidad de un fluido es el inverso del volumen específico, es decir, 1
v

 ; por
otra parte, la energía interna específica, se define como el producto entre el calor específico
a volumen constante v
c y la temperatura T, es decir
v
u c T por lo que la Primera Ley,
nuevamente se reescribe en la forma

5. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

4
 
  
21 22
2 1 2 1
1
vv
2
PP
Q W m g z z


     
  
  
21 22
2 1 2 1
1
vv
2
PPQW
g z z
mm 

     
 
 
  
21 22
2 1 2 1
1
vv
2
PP
q w g z z


       
Para un proceso isotérmico, en donde idealmente no se consideran cambios de temperatura ,
y por lo tanto entonces 12
TT , por lo que 21
0TT , eliminándose así el término
correspondiente a la diferencia de energías internas, por lo que la ecuación anterior se
simplifica




Dividiendo a todos los términos entre el flujo másico m se tiene



Los dos primeros términos, en el lado izquierdo de esta última ecuación, son el flujo de calor
y la potencia, que al ser divididos respectivamente entre el flujo másico, quedan expresados
en forma intensiva o por unidad de masa; por otra parte, ahora se incluirán los signos
termodinámicos a los que dicha ecuación podría estar sujeta, de acuerdo a la convención que
establece:
 Signo positivo para el calor que ingresa al volumen de control atravesando la
superficie de control y signo negativo para el calor que sale del volumen de control
a través de la superficie de control.
 Signo positivo para el trabajo que sale del volumen de control (el que el sistema
entrega para que sea aprovechado, como por ejemplo, un molino de viento o una
turbina hidráulica en una represa) y signo negativo para el trabajo que ingresa al
volumen de control (el que hay que suministrar al sistema para mover al fluido de
un punto a otro del sistema o provocar algún cambio físico en el sistema, como por
ejemplo una bomba centrífuga o un compresor)

Así, aplicando los signos termodinámicos, la ecuación anterior se expresa como

6. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

5
q
ds
T

 dq
ds
T
 dq Tds 2
1
s
s
q T ds 21
( )q T s s  
 
  
21 22
2 1 2 1 2 1
1
( ) v v
2
PP
T s s w g z z


        
La definición de entropía, establece a esta propiedad como una medida de la irreversibilidad
que un sistema experimenta (el grado de desorden en términos de la mecánica estadística,
que experimenta el sistema cuando cambia de un estado), expresando esta medida en función
del calor y la temperatura, por lo que en forma diferencial por unidad de masa, se tiene que


Esta desigualdad, tiene un diferencia total ds, y un diferencial que es parte de una trayectoria
cíclica q , haciendo que la desigualdad sea una igualdad al utilizar un diferencial absoluto,
para el calor, se tiene


Reordenando e integrando como se muestra


Aplicando límites de integración entre el estado inicial y final del sistema



Obteniéndose finalmente

Al sustituire esta expresión para el flujo de calor en la última ecuación de la Primera Ley de
la Termodinámica se tiene




Como en el análisis de los sistemas e instalciones hidráulicas, no se considera suministro de
calor al fluido, simplemente transferencia de calor del sistema hacia los alrededores (calor

7. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

6
 
 
  
21 22
2 1 2 1 2 1
1
( ) v v
2
PP
T s s w g z z


          
 
  
2
21 22
2 1 2 1
1
1


v



v
2
i
i
PP
Pérdidas por Fricción H
Ecuación de la Ene
zz
g
rgí
g
a



         
 
2
21
1

i
i
T s s
Pérdidas por Fricción
g


 w
H
g


que sale del volumen de control), entonces solo se utilizará el signo termodinámico negativo
que precede a este término, por lo cual se tiene



si todos los términos se dividen entre la gravedad g, a fin de obtener una ecuación
dimensionada en unidades de longitud (altura), en metros, sis e considera el Sistema
Internacional de Unidades M.K.S , se tiene





en donde se ha reemplazado el término del calor en función de la diferencia de entropía y la
temperatura, dividido entre la gravedad, por la suma de las pérdidas energéticas que el fluido
experimenta debido a la fricción viscosa, debido a los esfuerzos cortantes entre el fluido y la
superficie con la que mantiene contacto, a través de su desplazamiento desde la entrada hasta
la salida del sistema, por lo que se origina una caída de presión entre dicha entrada y salida,
es decir



Así mismo, al término correspondiente al trabajo dividido entre la gravedad, se le denominará
de aquí en adelante, como carga o altura útil de la máquina hidráulica (ya sea bomba o
turbina hidráulica), es decir

8. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

7
 
  
21 22
2 1 2 1
1
0 v v
2
PP
zz
gg

     22
1 1 2 2
12
v
2

v

2
P
Ecuación
P
z
de Bernoulli
z
g g g g
     2
v
Ecuación de Darcy-Wei
2
s bach
L
Pérdidas por Fricción f
Dg

El signo termodinámico positivo se utilizará si se trata de una turbina hidráulica y el signo
termodinámico negativo si se trata de una bomba. Además de utilizar en la H, el subíndice
T para turbinas y B para bombas a fin de diferenciar el tipo de máquina instalada en el sistema.

Para el caso en que no se consideren pérdidas energéticas por fricción y no se tenga instalada
alguna máquina hidráulica, entonces Pérdidas por Fricción=0 y H=0, por lo que la ecuación
de la energía se reduce a



Reordenando términos se obtiene la conocida ecuación de Bernoulli






Para que la ecuación de la energía, sea útil en las aplicaciones prácticas de la ingeniería, es
necesario poder calcular las pérdidas por fricción. Para el caso de flujo turbulento, que es el
tipo de régimen que se tiene en los sistemas reales, existe una ecuación determinada
experimentalmente obtenida por Darcy y Weisbach, dos ingenieros pioneros en el campo
de la dinámica de fluidos aplicada, dicha ecuación, expresa las pérdidas por fricción a través
de ciertos parámetros, como se muestra a continuación

9. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

8

 
  
22
21 22
2 1 2 1
1
v 1
vv
22
ii
i
i i
PPL
f H z z
D g g g 


       v
Re
D

 Rugosidad Relativa
D


En donde:
 f es el factor de fricción que se halla normalmente a través del Diagrama de Moody,
el cual es un gráfico con curvas trazadas para un amplio rango de valores del Número
de Reynolds versus diferentes valores de rugosidad relativa de ciertos materiales y su
acabado superficial, utilizados en la fabricación de ductos o tuberías.

 L es la longitud del ducto o tubería
 D es el diámetro del ducto o tubería
 v es la velocidad del fluido
 g es la gravedad

el número de Reynolds, es un parámetro adimensional que caracteriza al tipo de régimen en
que se encuentra un flujo en determinado momento, el cual puede ser laminar Re≤2300,
zona de transición 2300≤Re≤4000, o turbulento Re≥4000, como el que se trabajará en los
problemas que se estudiarán aquí; dicho Número de Reynolds, se expresa a través de la
siguiente ecuación



en donde  es la viscosidad cinemática del fluido, la cual depende de la temperatura; existen
tablas y/o digramas de propiedades para fluidos comerciales que proporcionan valores de
dicha viscosidad para ciertos rangos de temperatura.
Por otra parte, la rugosidad relativa del material de las tuberías, se obtiene al dividir la
rugosidad abslouta  ( proporcionada en tablas para diversos materiales y acabados
superficiales) entre el diámetro D de dicha tubería, es decir


Nótese que ambos parámetros son adimensionales, es decir no tienen dimensiones.

Al sustituir la Ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de la energía, se obtiene

10. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

9
222 2
1 1 2 2
12
1
222 2
1 1 2 2
12
1
vvv
2 2 2
vvv
2 2 2
ii
Bomba i
i i
ii
i Turbina
i i
LPP
z H z f
g g g g D g
LPP
z z f H
g g g g D g




      
      

 1 atmosférica
PP 1
v0 1
z 2
z h 2 atmosférica
PP 2
v atmosférica
P


En donde esta forma útil de la ecuación, puede expresarse en dos ecuaciones, una para
bombas y otra para turbinas, como sigue







Si se aplica la Ecuación de Bernoulli al siguiente caso particular, en el que se tiene un
depósito con un orificio en la parte inferior, por el que un fluido escapa, como se ilustra a
continuación













“Jarro” o Tubo de
Venteo, que conecta el
interior del depósito con
la atmósfera

11. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

10
22
1 1 2 2
12
vv
22
PP
zz
g g g g
     22
2 1 1 2
12
vv
2
PP
zz
gg

   2
2
12
v
2
zz
g
  
 
2
2 1 2
2 1 2
v2
v2
g z z
g z z

 Ecuación d e Tov rricell 2 i gh

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 del sistema, los cuales se han
enumerado de acuerdo a donde inicia y termina el movimiento del fluido


Reordenando términos


Si en la parte superior del nivel del líquido (punto 1), la velocidad es cero, es decir, 1
v0
y la presión en la parte superior del nivel del líquido y a la salida en la descarga (punto 2),
es la presión atmosférica, es decir, 12 atmosférica
P P P , entonces la diferencia de presiones
en el primer término de la derecha en la última ecuación es 12
0PP por lo que se
simplifica como


Reordenando y despejando se tiene



Como puede observarse en la figura, la diferencia de niveles entre el punto 1 y el punto 2 es
en sí 12
z z h y la velocidad de descarga del fluido a través del orificio 2
vv , por lo que
la última ecuación se simplifica obteniéndose la conocida Ecuación de Torricelli

12. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

11
acumulada
entra sale
dm
mm
dt
 0 21
dm dm
dt dt
 
2 2 1 1
d V d V
dt dt

 

2
dV
dt


1
dV
dt  
2 2 1 1
d A l d A l
dt dt

 22
22
dl dl
AA
dt dt


Otra ecuación de gran utilidad e importancia es la Ecuación de Continuidad, la cual se obtiene
a partir de la ecuación de Conservación de la Masa, considerando flujo permanente, es decir
sin acumulación de masa


Por lo que entonces sale entra
mm o de acuerdo a la nomenclatura utilizada aquí, 21
mm
Recordando que cuando a una variable se le añade un punto encima, significa que es una
derivada respecto al tiempo, por lo que entonces, en forma equivalente


Por otra parte, la masa se define a través del producto entre la densidad y el volumen como mV
, por lo que al sustituir en las derivadas de la ecuación anterior, se tiene


Como se considera a un fluido incompresible entonces 12
   por lo que la ecuación
anterior se simplifica


Por otra parte, el volumen recorrido o “barrido” V por el fluido, es el producto del área o
sección transversal A atravesada por el fluido, en forma normal o perpendicular, y la longitud
o distancia recorrida l por dicho fluido en un instante determinado, por lo que V A l ,
entonces


Considerando secciones transversales constantes

13. SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRÁULICAS
Autor de este material: Ing. Roberto Peñaloza Rivera

Texto y figuras elaborados en Microsoft Word
Gráficas generadas en Wolfram Mathematica
Ecuaciones realizadas en MathType

12
1 1 2 2
Ecuaciónv v de Conti nuidadAA Gastov o Caudal AQ

Recordando que la velocidad se define como la razón de cambio de la distancia respecto al
tiempo, es decir v
dl
dt
 entonces al sustituir esta expresión en la ecuación anterior, se
obtiene la ecuación de continuidad



En donde al producto del área por la velocidad, se le denomina Gasto, Caudal o Flujo
Volumétrico


El cual se mide en el Sistema Internacional de Unidades M.K.S. en metros cúbicos por
segundo 3
m /s o en unidades derivadas, en litros por minuto lt/min .