Ecuación de Monod, cinética de crecimiento y tiempo de duplicación

En esta presentación se habla de la cinética de crecimiento y su modelado matemático aplicado a reactores biologicos

1. Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Química UA: REACTORES BIOLÓGICOS Presentado por: Nolasco Terrón Eder Yair Grupo 85 IQ “Cinética de crecimiento celular: Ecuación de Monod”

2. Crecimiento Microbiano Es el incremento en el número de células o aumento en la masa microbiana(biomasa). El crecimiento es un componente esencial de la función microbiana, ya que una célula tiene un periodo de vida determinado y la especie se mantiene como resultado del crecimiento continuo de la población celular

3. Modelamiento matemático Dicho crecimiento celular se puede modelar matemáticamente a tal modo de predecir el aumento de población en un cultivo microbiano; adquiere relevancia ya que este modelamiento influye en el diseño de un biorreactor, en consecuencia va a repercutir en el aumento de biomasa y en los productos que se pueden llegar a obtener del crecimiento microbiano.

4. Los microrganismos presentan un crecimiento catalítico y se puede describir mediante el siguiente modelo matemático: Donde:  

5. La representación gráfica de dicha ecuación diferencial se visualiza de la siguiente manera:

6. Fases de crecimiento celular Fase I( Lag p hase): O llamada fase de adaptación, no hay crecimiento microbiano aunque hay metabolismo microbiano activo. Asimilan el medio de cultivo y lo procesan según sus necesidades nutricionales.

7. Fase II(Log phase): recibe el nombre de fase exponencial, aquí hay duplicación celular de manera acelerada. Al tiempo en que una célula se duplica se le conoce como tiempo de duplicación o regeneración. En el caso de las bacterias el tiempo de duplicación es de 20 min a 20 hrs donde cada intervalo de tiempo es menor a 1 h.

8. Duplicación celular modelado matemático Se tiene que una célula crece progresivamente y se divide en dos células iguales. Contando que se tiene un número inicial de células llamado y queremos averiguar el número final de células la duplicación celular es la siguiente: Si la célula que se duplicó se vuelve a duplicar tenemos que:  

9. Si la duplicación celular ocurre en potencias de dos la recurrencia se da de la siguiente manera: Se tiene que la última ecuación es el número de células que finales que se obtienen después de un cierto número de divisiones celulares.  

10. Tiempo de duplicación celular modelado matemático Es el tiempo que en que una célula se duplica. En el caso de las bacterias el tiempo de regeneración es de 20 min a 20 hrs en donde cada intervalo es menor a 1 hr Para obtener el tiempo de duplicación como modelo matemático usamos la ecuación diferencial de crecimiento celular: Resolviendo la ecuación diferencial por el método de variables separables tenemos lo siguiente:  

11. Queda como: Rearreglando y usando antilogaritmos: Evaluando la condición inicial: A  

12. Se tiene: Si evaluamos la siguiente condición Obtenemos el tiempo de duplicación celular:  

13. Fase III(Fase estacionaria): la velocidad de división celular ha decrecido a tal grado de que la nuevas células son producidas al mismo ritmo que cuando mueran las células viejas, por lo tanto el número de células es constante. La cantidad de nutrientes es limitada y pueden aparecer desechos tóxicos.

14. Fase IV(muerte celular): también llamada fase de declive, en esta etapa ya no es posible la división celular, por lo tanto, las células mueren y su población decrece exponencialmente.

15. Ahora surge una interrogante: ¿Qué significa μ ?

16. El parámetro μ es la velocidad específica de crecimiento celular y es la relación de crecimiento de la célula en función de los nutrientes del medio. Esta variable la podemos obtener por medio de la ecuación de Monod: Donde:  

17. Dicha ecuación es usada como parámetro de diseño en los biorreactores ya que es la ecuación que más tiene similitud con el comportamiento poblacional de microorganismos y que depende también de la cantidad de sustrato contenido en el biorreactor. La ecuación de Monod se utiliza para encontrar la tasa de crecimiento a velocidad de crecimiento constante.

18. Combinando la ecuación de Monod y la ecuación de crecimiento microbiano se tiene la siguiente ecuación: cuando se desea obtener y se linealiza la ecuación diferencial de la siguiente manera: si  

19. Multiplicando por :  

20. La linealización anterior se hace cuando se desea averiguar el crecimiento celular para el caso que la velocidad específica de crecimiento sea constante.

21. Para el caso de que la velocidad de crecimiento se halle en un sistema(reactor) Batch y dependa a su vez de la concentración del sustrato se tiene que introducir el concepto de rendimiento de la reacción, que se define como: En términos de diferencial:  

22. Integrando la ecuación diferencial de a y de a Tenemos la siguiente ecuación Despejando a S: Y sustituyendo en la ecuación diferencial  

23. Queda de la siguiente manera: Arreglando términos Resolviendo la ecuación diferencial por el método de variables separables  

24. Resolviendo por fracciones parciales la integral se ve como: Integrando queda como:  

25. La ecuación antes deducida es la variante de la ecuación de Monod para sistemas que dependen directamente de la concentración del sustrato ya que de el depende si el crecimiento celular es eficiente o provocará la muerte celular, asimismo, es una consideración en el diseño de reactores biológicos .

26. Cinética de Monod para fermentaciones La ecuación de Monod describe de antemano el crecimiento celular, aunque si hacemos que esta ecuación se vea de modo cinético adopta la forma siguiente: Que toma la forma de la ecuación diferencial en crecimiento microbiano. Bajo esta forma se diseñan las curvas de crecimiento óptimas en Biorreactores ya sea en forma Batch o en un Quimiostato.  

27. Curva cinética de crecimiento Crecimiento microbiano en un biorreactor

28. ¿Alguna duda?

29. Referencias bibliográficas Fogler H. Scott, Elementos de ingeniería de las reacciones químicas, Cuarta edición, Edit. Pearson Prentice Hall, Naucalpan de Juárez México, 2008. Quintero R. Rodolfo, Ingeniería bioquímica: teoría y aplicaciones, Primera Edición, Edit. Alhambra Mexicana, México DF. México, 1981. http :// www.diversidadmicrobiana.com/index.php?option=com_content&view=article&id=182&Itemid=225, consultado el día 15 de marzo de 2015 a las 20:00 hrs. http:// www2.cbm.uam.es/jl sanz /docencia/archivos/08.pdf, consutado el día 15 de marzo de 2015 a las 21:30.

30. Muchas gracias por su atención