Ecuacion de la circunferencia

matematica

1. Ecuación general de la circunferencia


La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro.



Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

2. y el radio cumple la relación:

Para que una expresión del tipo: sea una
circunferencia debe cumplir que:
1. Los coeficientes de x
2
e y
2
sean iguales a la unidad . Si tuvieran ambos
un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos
de la ecuación.
2. No tenga término en xy .
3.
Ecuación reducida de la circunferencia
Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la
ecuación queda reducida a:



Ejercicios
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

3. Dada la circunferencia de ecuación x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el
radio.




Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3),
C(1, 3).
Si sustituimos x e y en la ecuación por las
coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:



Indicar si la ecuación: 4x
2
+ 4y
2
- 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una
circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.
1. Como los coeficientes de x
2
e y
2
son distintos a la unidad, dividimos por 4:

2. No tiene término en xy.
3.

4. Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.


Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, -3) y es tangente
al eje de abscisas.





Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en ( -1, 4) y es tangente
al eje de ordenadas.

5. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de
intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la
ecuación , y que pasa por el punto ( -3,4).
Por ser concéntricas tienen el mismo centro.








Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A( -5,3) y B(3,1).
¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

7. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la
circunferencia que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7
= 0.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B( -2,3) y
tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.





Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio
es y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

10. Problemas de la ecuación de la
circunferencia
1Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
2Dada la circunferencia de ecuación x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0,
hallar el centro y el radio.
3Determina las coordenadas del centro y del radio de las
circunferencias:
1
2
3
4 4x
2
+ 4y
2
- 4x - 8y - 11 = 0
4Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, -
3) y es tangente al eje de abscisas.
5Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en ( -1,
4) y es tangente al eje de ordenadas.
6Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el
punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su
radio es igual a 5.
7 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la
ecuación , y que pasa por el punto ( -3,4).
8Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el
punto C(3,1) y es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.
9Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

11. 10Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de
vértices:A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7).
11Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.
12Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
(0,-3), cuyo radio es y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer
y tercer cuadrantes.
13 Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos
A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?
14 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la
circunferencia que sea tangente a la recta 3x -
4y + 7 = 0.
15Calcula la posición relativa de la
circunferencia y la recta .
16Estudiar la posición relativa de la circunferencia x
2
+ y
2
- 4x +
2y - 20 = 0 con las rectas:
1 x + 7y -20 = 0
2 3x + 4y - 27 = 0
3 x + y - 10 = 0

12. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
1
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.



Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
2
Dada la circunferencia de ecuación x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0, hallar
el centro y el radio.


Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
3
Determina las coordenadas del centro y del radio de las
circunferencias:
1

13. 2





3






4 4x
2
+ 4y
2
- 4x - 8y - 11 = 0

14. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
4
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, -3)
y es tangente al eje de abscisas.

15. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
5
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en ( -1,
4) y es tangente al eje de ordenadas.




Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
6
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el
punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su
radio es igual a 5.

16. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
7
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la
ecuación , y que pasa por el punto ( -3,4).
Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

17. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
8
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el
punto C(3,1) y es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.

18. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
9
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
A(2,0), B(2,3), C(1, 3).



Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
10
Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de
vértices: A(0,0), B(3,1), C(5,7).

19. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
11
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

20. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
12
Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, -
3), cuyo radio es y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y
tercer cuadrantes.

21. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
13
Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A( -
5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

22. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
14
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la
circunferencia que sea tangente a la recta 3x -
4y + 7 = 0.

23. Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
15







Problemas resueltos de la ecuación de la
circunferencia
16
Estudiar la posición relativa de la circunferencia x
2
+ y
2
- 4x + 2y -
20 = 0 con las rectas:
1 x + 7y -20 = 0

24. 2 3x + 4y - 27 = 0

25. 3 x + y - 10 = 0